精品解析：天津市四合庄中学2026-2027学年第一学期阶段检测高二数学试卷

天津市四合庄中学2026-2027学年第一学期阶段检测 年级：高二 学科：数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（综合题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟． 一、单选题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算法则进行计算. 【详解】. 故选：C 2. 已知过两点的直线的倾斜角是，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. -5 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线倾斜角为，所以直线的斜率为， 化简得：，解得. 3. 向量，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由向量，且， 则向量，即，解得. 4. 已知直线方程，则直线恒过的定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将直线方程整理为 ， 要使该式对任意 都成立，只需 且 ， 解得 ，，所以直线恒过定点 . 5. 如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：斜率为，截距，故不过第二象限. 考点：直线方程. 6. 在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于坐标原点对称 C. 关于平面对称 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】因为点，， 所以两点关于平面对称. 7. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为：， 故选：D 8. 以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 9. 已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由点到直线的距离公式，点到直线 的距离为， 由题意得，即， 所以或，解得或， 又，所以. 二、单空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 若直线与直线平行，则实数的值为_______. 【答案】1; 【解析】 【详解】由直线平行的充要条件可得：，解得：. 11. 如图，在三棱锥中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及中点公式，先将 用 表示，再将 用 表示，最后代入整理即可. 【详解】连接，因为为的中点，可得 ，因为为 的中点，可得 ， 将的表达式代入 中，得 ，展开整理得 ， 因为， 所以. 12. 若点在过点，的直线上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 13. 直线和直线的距离是__________． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】直线化为， 所以直线和直线的距离为. 14. 求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________ 【答案】x＋2y－7＝0 【解析】 【分析】首先求两条直线的交点，再利用垂直关系设出直线，代入交点求解. 【详解】由得∴l1与l2的交点坐标为(1，3)． 设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0， 则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7. ∴所求直线方程为x＋2y－7＝0. 15. 已知点，，直线l过点且与线段始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，数形结合得答案 【详解】解：如图， 因为点，，直线l过点， 所以， 所以直线的斜率的取值范围为或， 故答案为： 【点睛】此题考查直线的斜率，考查数形结合的思想方法，属于基础题 三、解答题（本大题共4小题，共45.0分） 16. 已知． （1）求； （2）若，求的值； （3）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . ，. . 【小问2详解】 ，. 由垂直得数量积为 0：， 即 ，解得. 【小问3详解】 ，故存在实数 λ 使. 由得，于是，. 17. 已知的三个顶点分别为，，，求下列直线的方程（最终化简成一般式）： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 直线过，两点， 由两点式得直线的方程为，即. 【小问2详解】 由，，得中点的坐标为. 边上中线过，两点， 由截距式得直线的方程为，即. 【小问3详解】 由，，得； 边的垂直平分线的斜率. 直线过边上的中点， 由斜截式得边的垂直平分线的方程为，即. 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角空间向量法计算求解即可； （2）根据点到平面距离空间向量法计算求解即可. 【小问1详解】 因为平面，，所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 由题意可得，，，. 因为，，且，所以. 所以，. 设异面直线与所成角为， 则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以平面的一个法向量为. 设点到平面的距离为， 则. 所以点到平面的距离为. 19. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）在正方体中，， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定定理即可. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值即可. （3）利用空间向量求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，则， ， 设平面的法向量， 则， 令，得，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，则， 设平面与平面的夹角为，由图可得为锐角， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市四合庄中学2026-2027学年第一学期阶段检测 年级：高二 学科：数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（综合题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟． 一、单选题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知过两点的直线的倾斜角是，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. -5 D. 5 3. 向量，且则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线方程，则直线恒过的定点为（ ） A. B. C. D. 5. 如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于坐标原点对称 C. 关于平面对称 D. 以上都不对 7. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不是 9. 已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、单空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 若直线与直线平行，则实数的值为_______. 11. 如图，在三棱锥中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 12. 若点在过点，的直线上，则________． 13. 直线和直线的距离是__________． 14. 求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________ 15. 已知点，，直线l过点且与线段始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为______. 三、解答题（本大题共4小题，共45.0分） 16. 已知． （1）求； （2）若，求的值； （3）若，求实数，的值． 17. 已知的三个顶点分别为，，，求下列直线的方程（最终化简成一般式）： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $