北京市顺义区仁和中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试题

北京市顺义区仁和中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1．若分式有意义，则x的值（　　） A．x＞5 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x＜5 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．2cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．4cm，5cm，11cm 4．下列变形正确的是（　　） A．a+b B． C． D． 5．二次根式的化简结果是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD翻折后，点C落到点E处．若DE∥AB，则∠AFC的度数为（　　） A．65° B．75° C．80° D．85° 7．如图是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（　　） A． B． C． D． 8．已知min{a，b，c}表示取三个数中最小的那个数．例如：当x＝﹣2时，min{|﹣2|，（﹣2）2，（﹣2）3}＝﹣8，当时，则x的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题2分，共16分） 9．若分式的值为0，则x的值为 　 　 ． 10．在实数范围内分解因式：a3﹣7a＝　 　 ． 11．与是同类二次根式，则a可能是　 　 （写出一个即可）． 12．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件　 　 ，使△BDE≌△CDF成立． 13．已知等腰三角形的周长为16，若其中一边长为6，则三角形中最短边的长为　 　 ． 14．已知u、v、f满足关系，用含字母v、f的代数式表示u＝　 　 ． 15．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 　 　 ，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出y值，则x的值为 　 　 ． 16．某农场培育了一种新品种果苗，计划分配给甲、乙、丙、丁四家店铺销售．当一家店铺将分配到的m箱果苗全部售出后，农场从该店获得的利润（单位：元）与m的对应关系如下： m＝1 m＝2 m＝3 m＝4 m＝5 m＝6 … 甲 40 60 乙 30 55 75 90 100 105 丙 20 40 60 70 80 90 … 丁 14 38 62 86 110 134 … （1）如果农场将5箱果苗分配给这四家店铺销售，且每家店铺至少分配到1箱，为使果苗全部售出后农场获得的总利润最大，应向店铺　 　 分配2箱水果．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果农场将6箱果苗分配给这四家店铺中的一家或多家销售，那么6箱果苗都售出后农场可获得的总利润的最大值为　 　 元． 三、解答题（17-20题每题4分，21-29题每题5分，30题7分，共68分） 17．计算：． 18．计算：． 19．解方程：． 20．计算：． 21．已知，，若A＝B，求x的值． 22．已知：，． （1）求x+y和xy的值； （2）求式子 x2﹣xy+y2 的值． 23．先化简，然后从0、1、﹣1、中选一个你喜欢的x值代入，求出代数式的值． 24．填空，并完成下面证明过程． 已知：如图，在四边形ABCD中AB∥CD，且AB＝CD． 求证：△ABD≌△CBD． 证明：∵AB∥CD， ∴　 　 ＝　 　 （　 　 ）， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CBD（　 　 ）． 25．实数a、b、c在数轴上对应点如图． （1）化简：　 　 ，　 　 ； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 26．如图，在三角形ABC和三角形AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD，连接CE，BD．试说明：△AEC≌△ADB． 27．人工智能在现代农业领域有重要应用，其中智能灌溉系统可通过传感器精准控制水肥输送．某智慧农业产业园的A、B两种智能水肥输送装置，A型装置比B型装置每小时多输送30kg混合水肥，A型装置输送750kg混合水肥所用时间与B型装置输送600kg混合水肥所用时间相等．那么两种智能水肥输送装置每小时分别输送多少混合水肥？ 28．（1）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝） ①当a＝1，b＝2时，a+b　 　 2； ②当a＝2，b＝2时，a+b　 　 2； ③当a＝3，b＝2时，a+b　 　 2； （注： （2）根据第（1）问，当a≥0，b≥0时，判断a+b与2的数量关系并证明． 29．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为　 　 ． 【变式与应用】 （2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，求EP的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF． 30．在代数式的学习中，在一定范围内x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． （1）下列代数式中，当1＜x＜9是“增值代数式”的是 　 　 ． ①﹣x+2； ②x2﹣1；③；④． （2）当x＜t时，代数式x2﹣2x+1是“减值代数式”． ①写出一个t的值，t＝ 　 　 .②t的取值范围是 　 　 ． （3） 关于x的代数式M，若2t﹣3≤x≤2t﹣1时，代数式M是“增值代数式”，2t+2≤x≤2t+5时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 北京市顺义区仁和中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D D B D C 一、选择题（每题2分，共16分） 1．若分式有意义，则x的值（　　） A．x＞5 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x＜5 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可求得答案． 【解答】解：若分式有意义， 则5﹣x≠0， 即x≠5， 故选：B． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A．根据立方根的定义进行计算，然后判断即可； B．根据二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可； C．根据完全平方公式进行计算，然后判断即可； D．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； B．∵， ∴此选项的计算正确， 故此选项符合题意； C．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； D．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质，解题关键是熟练掌握立方根与平方根的定义、完全平方公式、二次根式的乘法法则和二次根式的性质． 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．2cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．4cm，5cm，11cm 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【解答】解：∵2+4＜8，不能构成三角形，故选项A不符合题意； ∵8+7＝15，不能构成三角形，故选项B不符合题意； ∵12+13＝25＞20，能构成三角形，故选项C符合题意； ∵4+5＜11，不能构成三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 4．下列变形正确的是（　　） A．a+b B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可． 【解答】解：A、a﹣b，故A不符合题意； B、（c≠0），故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5．二次根式的化简结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的除法法则和分数的基本性质进行化简，从而判断即可． 【解答】解： ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式． 6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD翻折后，点C落到点E处．若DE∥AB，则∠AFC的度数为（　　） A．65° B．75° C．80° D．85° 【分析】由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，∵DE∥AB， ∴∠BAE＝∠E＝30°， ∴∠AFC＝∠BAE+∠B＝30°+45°＝75°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 7．如图是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：•． 故选：D． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 8．已知min{a，b，c}表示取三个数中最小的那个数．例如：当x＝﹣2时，min{|﹣2|，（﹣2）2，（﹣2）3}＝﹣8，当时，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据定义分别计算，，x的x值，找到满足条件的x值即可． 【解答】解：当时，x，x，不合题意； 当时，x，当x时，x＜x2，不合题意；当x时，，x2＜x，符合题意； 当x时，x2，x2＜x，不合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 二、填空题（每题2分，共16分） 9．若分式的值为0，则x的值为 　﹣2　 ． 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：由题意，得 x2﹣4＝0且x﹣2≠0， 解得x＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 10．在实数范围内分解因式：a3﹣7a＝a（a）（a）　 ． 【分析】利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣7） ＝a（a）（a）． 故答案为：a（a）（a）． 【点评】本题主要考查了在实数范围内因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键． 11．与是同类二次根式，则a可能是　8（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此写出一个符合题意的值即可． 【解答】解：2， 则与是同类二次根式， 那么a可能是8， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点评】本题考查同类二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件　∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD或AB＝AC ，使△BDE≌△CDF成立． 【分析】答案不唯一根据AB＝AC，推出∠B＝∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED＝∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED＝∠AFD推出∠B＝∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可． 【解答】解：根据AB＝AC，推出∠B＝∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED＝∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED＝∠AFD推出∠B＝∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可． 故答案为：∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD或AB＝AC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 13．已知等腰三角形的周长为16，若其中一边长为6，则三角形中最短边的长为　4　 ． 【分析】依题意有以下两种情况：①当该等腰三角形的腰长为6时，设底边为x，则2×6+x＝16，由此解出x＝4，进而得该等腰三角形的三边长分别为6，6，4且满足构成三角形的条件；②当该等腰三角形的底长为6时，设腰边为y，则2y+6＝10，由此解出y＝5，进而得该等腰三角形的三边长分别为5，5，6且满足构成三角形的条件，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意有以下两种情况： ①当该等腰三角形的腰长为6时，设底边为x， ∴2×6+x＝16， 解得：x＝4， 此时该等腰三角形的三边长分别为：6，6，4， ∵6+4＞6，满足构成三角形的条件， ∴最短边的长为4； ②当该等腰三角形的底长为6时，设腰边为y， ∴2y+6＝10， 解得：y＝5， 此时该等腰三角形的三边长分别为：5，5，6， ∵5+5＞6，满足构成三角形的条件， ∴最短边的长为5， 综上所述：该三角形的最短边为4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 14．已知u、v、f满足关系，用含字母v、f的代数式表示u＝　　 ． 【分析】把u、v当作常数，即可求解． 【解答】解：方程两边同时乘以fuv，得： vf+uf＝uv， ∴u（v﹣f）＝vf， ∴u． 故答案为：． 【点评】本题考查分式的加减，关键是会正确对分式进行变形． 15．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 　　 ，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出y值，则x的值为 　0或1　 ． 【分析】当输入x的值是64时，根据程序框图列式计算即可；再根据题意求得x的值即可． 【解答】解：当输入x的值是64时， 则64的算术平方根为8，其立方根为2， 再取2的算术平方根为，它是无理数，输出结果， 即输出的y值是， 当x＝0时，0，0，一直计算下去不能得到无理数，无法输出y的值， 当x＝1时，1，1，一直计算下去不能得到无理数，无法输出y的值， 则x的值为0或1， 故答案为：；0或1． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 16．某农场培育了一种新品种果苗，计划分配给甲、乙、丙、丁四家店铺销售．当一家店铺将分配到的m箱果苗全部售出后，农场从该店获得的利润（单位：元）与m的对应关系如下： m＝1 m＝2 m＝3 m＝4 m＝5 m＝6 … 甲 40 60 乙 30 55 75 90 100 105 丙 20 40 60 70 80 90 … 丁 14 38 62 86 110 134 … （1）如果农场将5箱果苗分配给这四家店铺销售，且每家店铺至少分配到1箱，为使果苗全部售出后农场获得的总利润最大，应向店铺　乙　 分配2箱水果．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果农场将6箱果苗分配给这四家店铺中的一家或多家销售，那么6箱果苗都售出后农场可获得的总利润的最大值为　157　 元． 【分析】（1）分别计算各店铺销售完1箱和2箱的利润的增长量，比较即可得出答案； （2）分别求出一家分配、四家分配、三家分配、两家分配时的最大利润，比较即可得出答案． 【解答】解：（1）当m＝2时， 从甲店处获得的利润为60元，比m＝1时，增加60﹣40＝20（元）， 从乙店获得的利润为55元，比m＝1时，增加55﹣30＝25（元）， 从丙店处获得的利润为40元，比m＝1时，增加40﹣20＝20（元）， 从丙店处获得的利润为38元，比m＝1时，增加38﹣14＝24（元）， ∵25＞24＞20， ∴应向乙店铺分配2箱水果， 故答案为：乙； （2）当给这四家店铺中的一家分配时，最大利润为丙店铺的134元， 当分配给四家店铺时，最大利润为40+55+20+38＝153（元）， 当分配给三家店铺时，最大利润为40+55+62＝157（元）， 当分配给两家店铺时，最大利润为60+90＝150（元），或40+110＝150（元）， 综上所述，农场可获得总利润的最大值为157元， 故答案为：157． 【点评】本题考查了列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题的关键． 三、解答题（17-20题每题4分，21-29题每题5分，30题7分，共68分） 17．计算：． 【分析】按同分母分式的减法法则计算． 【解答】解：按同分母分式的减法法则计算可得： ． 【点评】本题考查了同分母分式的减法．熟练掌握该知识点是关键． 18．计算：． 【分析】根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝12 ＝1+3． 【点评】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 19．解方程：． 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2），得：x﹣1＝x+3x﹣6， 解得：x， 检验：当x时，x﹣2≠0， ∴原方程的为x． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 20．计算：． 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝3． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 21．已知，，若A＝B，求x的值． 【分析】由题意可得方程：，整理，得，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：由题意，得， ∴， ∴， 方程两边同时乘（x+2），得x﹣2＝1， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入x+2≠0， ∴分式方程的解为x＝3． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 22．已知：，． （1）求x+y和xy的值； （2）求式子 x2﹣xy+y2 的值． 【分析】（1）根据二次根式的加法法则即可求出x+y，根据二根式的乘法法则即可求出xy； （2）先根据完全平方公式变成x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，再代入求出答案即可． 【解答】解：（1）x+y＝22+22＝4； xy＝（22）（22）＝（2）2﹣22＝12﹣4＝8． （2）∵x+y＝4，xy＝8， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（4）2﹣3×8 ＝48﹣24 ＝24． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 23．先化简，然后从0、1、﹣1、中选一个你喜欢的x值代入，求出代数式的值． 【分析】先将题目中的式子化简，然后从0、1、﹣1、中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • ， ∵当x＝0，﹣1时，原分式无意义， ∴x＝1或2， 当x＝1时，原式1； 当x＝2时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 24．填空，并完成下面证明过程． 已知：如图，在四边形ABCD中AB∥CD，且AB＝CD． 求证：△ABD≌△CBD． 证明：∵AB∥CD， ∴　∠ABD ＝　∠CDB （　两直线平行，内错角相等　 ）， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS ）． 【分析】根据SAS证明△ABD≌△CBD解答即可． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB（两直线平行，内错角相等）， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， 故答案为：∠ABD；∠CDB；两直线平行，内错角相等；∠ABD＝∠CDB；BD＝DB；SAS． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 25．实数a、b、c在数轴上对应点如图． （1）化简：　2﹣c ，　﹣0.5﹣b ； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【分析】（1）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，再根据有理数的加减法则判断2﹣c和0.5+b的正负，最后根据二次根式的性质化简即可； （2）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，再根据有理数的加减法则判断c﹣a和b﹣c的正负，最后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【解答】解：（1）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2， ∴2﹣c＞0，0.5+b＜0， ∴， 故答案为：2﹣c，﹣0.5﹣b； （2）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2， ∴c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴ ＝﹣a﹣（c﹣a）+c﹣b ＝﹣a﹣c+a+c﹣b ＝﹣b． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 26．如图，在三角形ABC和三角形AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD，连接CE，BD．试说明：△AEC≌△ADB． 【分析】先证明∠CAE＝∠BAD，然后根据SAS可证△AEC≌△ADB． 【解答】解：∵在三角形ABC和三角形AED中，∠CAB＝∠EAD， ∴∠CAB+∠BAE＝∠EAD+∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键． 27．人工智能在现代农业领域有重要应用，其中智能灌溉系统可通过传感器精准控制水肥输送．某智慧农业产业园的A、B两种智能水肥输送装置，A型装置比B型装置每小时多输送30kg混合水肥，A型装置输送750kg混合水肥所用时间与B型装置输送600kg混合水肥所用时间相等．那么两种智能水肥输送装置每小时分别输送多少混合水肥？ 【分析】设A种智能水肥输送装置每小时输送xkg混合水肥，则B种智能水肥输送装置每小时输送（x﹣30）kg混合水肥，根据A型装置输送750kg混合水肥所用时间与B型装置输送600kg混合水肥所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设A种智能水肥输送装置每小时输送xkg混合水肥，则B种智能水肥输送装置每小时输送（x﹣30）kg混合水肥， 由题意得：， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣30＝120， 答：A种智能水肥输送装置每小时输送150kg混合水肥，B种智能水肥输送装置每小时输送120kg混合水肥． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 28．（1）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝） ①当a＝1，b＝2时，a+b　＞　 2； ②当a＝2，b＝2时，a+b　＝　 2； ③当a＝3，b＝2时，a+b　＞　 2； （注： （2）根据第（1）问，当a≥0，b≥0时，判断a+b与2的数量关系并证明． 【分析】（1）代入计算即可； （2）分两种情况进行讨论． 【解答】（1）解：①当a＝1，b＝2时，a+b＝3，， ∵3＞2， 故答案为：＞； ②当a＝2，b＝2时，a+b＝4，2 ，∵4＝4， 故答案为：＝； ③当a＝3，b＝2时，a+b＝5，2，∵，∴， 故答案为：＞； （2）证明：当a≥0，b≥0时， 由（1）得出当a＝b时，a+b， 当a≠b时，a+b＞2综合得，a+b≥2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，灵活运用二次根式的性质是关键． 29．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为SAS ． 【变式与应用】 （2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，求EP的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ＝DE＝6，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长FD至G，使得GD＝DF，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【解答】（1）解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴判定两个三角形全等的依据为SAS， 故答案为：SAS； （2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ， 在△PDE与△PQF中， ， ∴△EDP≌△QFP（SAS）， ∴FQ＝DE＝6， 在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ， 即8﹣6＜2EP＜8+6， ∴EP的取值范围是1＜EP＜7； （3）证明：延长FD至G，使得GD＝DF，连接BG，EG， 在△DFC和△DGB中， ， ∴△DFC≌△DGB（SAS）， ∴BG＝CF， 在△EDF和△EDG中， ， ∴△EDF≌△EDG（SAS）， ∴EF＝EG， 在△BEG中，两边之和大于第三边， ∴BG+BE＞EG， 又∵EF＝EG，BG＝CF， ∴BE+CF＞EF． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确作出图形是解题的关键． 30．在代数式的学习中，在一定范围内x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． （1）下列代数式中，当1＜x＜9是“增值代数式”的是 　②③　 ． ①﹣x+2； ②x2﹣1；③；④． （2）当x＜t时，代数式x2﹣2x+1是“减值代数式”． ①写出一个t的值，t＝ 　1（答案不唯一）　 .②t的取值范围是 t≤1　 ． （3）关于x的代数式M，若2t﹣3≤x≤2t﹣1时，代数式M是“增值代数式”，2t+2≤x≤2t+5时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 【分析】（1）根据“增值代数式”的定义判断即可； （2）根据“增值代数式”的定义，确定的范围即可； （3）将M整理为再根据（2）的思路求解即可． 【解答】解：（1）①﹣x+2，x的值越大，﹣x+2的值越小，故①不是“增值代数式”； ②x2﹣1，当1＜x＜9时，x2﹣的值随x值增大而增大，故②是“增值代数式”； ③当1＜x＜9时，的值随x值增大而增大，故③是“增值代数式”； ④，当1＜x＜9时，的值随x值增大而减小，故④是“增值代数式”； 故答案为：②③； （2）∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， 所以，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，代数式x2﹣2x+1是“减值代数式”， ∴x＜1， ∴t≤1， ∴t可以取1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一），t≤1； （3）∵， 对于（x﹣t）2，当x＜t时是“增值代数式”，当x＞f时是“减值代数式”， 所以，当x＜t时，是“减值代数式”， 当x＞t时，是“增值代数式”， 又当2t﹣3≤x≤2t﹣1时，代数式M是“增值代数式”， ∴2t﹣1＜t， 解得，t＜1， 当2t+2≤x≤2t+5时，代数式M是“减值代数式”， ∴2t+2＞t， 解得，t＞﹣2， 综上，t的取值范围是﹣2＜t＜1． 【点评】本题考查了新定义下的完全平方公式的运用，理解新定义，并熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $