精品解析：北京市丰台区第二中学2026-2027学年上学期九年级数学期中试卷

北京丰台二中教育集团九年级数学阶段性自我检测 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共16分） 1. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 3. 1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速．如图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙．该齿轮绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则可以为（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 年北京冬奥会以后，冰雪运动的热度持续，九城宫滑雪场第一周接待游客人，第三周接待游客人，设九城宫游雪场游客人数的周平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 7. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，若抛物线与线段有且只有一个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共16分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为_____． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 11. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 12. 点，，在抛物线上，则______填“>”，“<”或“=” 13. 某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为________元． 14. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______. 15. 老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 16. 二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 三、解答题（共68分） 17. 解方程： 18. 已知为方程的一个根，求代数式的值． 19. 如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． （1）在图中画出； （2）是以点______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将______时针旋转______度得到的． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点为． （1）________； （2）画出函数的图像； （3）当时，结合函数图像直接写出的取值范围． 22. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 24. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，求的取值范围． 25. 甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球________（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足上述数据的函数关系； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系，乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则________ 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 27. 如图，在等边三角形中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A 顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为______； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． （1）在点中，______________的“关联点”在函数的图象上； （2）如果一次函数图象上点的“关联点”是，求点的坐标； （3）如果点在函数的图象上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京丰台二中教育集团九年级数学阶段性自我检测 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共16分） 1. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A不是中心对称图形，故不符合要求； B是中心对称图形，故符合要求； C不是中心对称图形，故不符合要求； D不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：B． 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 3. 1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速．如图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙．该齿轮绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∴该齿轮绕其中心每旋转后能与自身重合， ∴当为的整数倍时都满足题意， ∴只有C选项符合题意． 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 5. 年北京冬奥会以后，冰雪运动的热度持续，九城宫滑雪场第一周接待游客人，第三周接待游客人，设九城宫游雪场游客人数的周平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九城宫游雪场游客人数的周平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设九城宫游雪场游客人数的周平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 6. 若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】构造菱形的对角线与面积之间的函数关系式，根据关系式进行判断即可． 【详解】解：设菱形的面积为S，两条对角线的长分别为x、y，则有， ， ∴， 而菱形的面积为定值，即2S为定值，是常数不变， 所以y是x的反比例函数， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数关系，理解反比例函数的意义是正确判断的前提． 7. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称性可确定另一根的范围，再由题意进一步缩小范围即可． 【详解】解：， 对称轴为， 方程的一个根在1和之间， 另一个根在和之间， 当时，， 这个根在和之间， 这个根更接近． 8. 在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，若抛物线与线段有且只有一个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式计算抛物线的对称轴为：直线，得抛物线与轴交于点，先计算过边界点时，，对于抛物线，当时，无论取何值，抛物线的对称轴不变，抛物线与轴的交点都在点的上方，随着的值变大，抛物线的开口越小，可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线：， 对于， 当时，， ∴抛物线与轴交于点， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴抛物线在平面直角坐标系中的大致位置如图： 当抛物线经过点时，， 解得， 对于抛物线，当时，无论取何值，抛物线的对称轴不变，抛物线与轴的交点都在点的上方，随着|a|的值变大，抛物线的开口越小， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴， 又∵， ∴（两个负数比较大小，绝对值较大的反而小）． ∴的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握的值变大，抛物线的开口越小，并利用数形结合的思想解决问题． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共16分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 11. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 12. 点，，在抛物线上，则______填“>”，“<”或“=” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 通过计算点A和点B的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为，图象开口向上， 点A的横坐标，点B的横坐标 计算：当时， ， 计算：当时， ， 由于， 因此． 故答案为：． 13. 某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为________元． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式是解题关键． 设商品所获利润为w元，先根据“利润（售价进价）销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设所获利润为w元 由题意得： 由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w取得最大值，最大值为25元 故答案为：25． 14. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______. 【答案】0. 【解析】 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 15. 老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 【答案】20 【解析】 【分析】设，把代入求出函数解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 即把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是． 16. 二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数与x轴的交点可设解析式为，从而得到，，由与y轴交点范围可得的范围，进而求出的范围，再结合开口方向、对称轴及函数性质判断各结论即可． 【详解】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 三、解答题（共68分） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：  ， 或 ， 解得. 18. 已知为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】将a代入方程中得，将所求代数式化简整理后，把整体代入即可. 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴． ∴． ∴原式=． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值.解题的关键是掌握整体代入法. 19. 如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． （1）在图中画出； （2）是以点______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将______时针旋转______度得到的． 【答案】（1） 即为所求； （2），顺，90． 【解析】 【分析】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据图中的的位置，得是以点为旋转中心，将顺时针旋转90度得到的． （2）利用旋转变换的性质判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是以点为旋转中心，将顺时针旋转90度得到的． 故答案为：，顺，90． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 【答案】（1） 证明：根据题意，， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根. （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据即可证明； （2）根据因式分解法求出方程的解为，，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 解得，， ∵方程的一个实数根是另一个实数根的两倍， ∴或， 解得或． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点为． （1）________； （2）画出函数的图像； （3）当时，结合函数图像直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：如图所示： ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将代入表达式解方程即可得到答案； （2）由（1）可知，利用描点法作出图形即可得到答案； （3）由（2）中图像，作出图形，利用图像即可得到当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的一个交点为， ，解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知， 列表： 0 1 3 0 0 描点、连线，画函数图像 【小问3详解】 解：题中给出，过作，过作，如图所示： 的开口向上，对称轴为， 在图像上，当时，图像是下降的，即随增大而减小，当时，；当时，； 在图像上，当时，图像是上升的，即随增大而增大，当时，；当时，； 当时，结合函数图像，再由上述计算可知：当时，；当时，； 当时，结合函数图像得到的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、描点法作二次函数图像和利用二次函数图形与性质求的取值范围，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 22. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 23. 某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 【答案】 【解析】 【分析】通过平移，可得绿化图形拼成长方形，其长，宽．再根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：设道路宽为．依题意得： 整理得： ∴或 （宽为） 不合实际，舍去． 答：道路的宽为． 24. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点坐标代入两个函数解析式求出值即可； （2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点， ，， 正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值， ， 解得． 25. 甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球________（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足上述数据的函数关系； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系，乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则________ 【答案】（1）①4；②是；③ （2） 【解析】 【分析】（1）①由表中数据直接可以得出结论； ②由表中数据直接可以得出结论； ③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和，进而相减即可． 【小问1详解】 解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， ②当时，， 羽毛球是可以过网， ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； 【小问2详解】 解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与x轴的交点的坐标，可求出对称轴，结合已知的对称轴为，列出方程，求解即可； （2）由点是抛物线上的点，的横坐标是，得到，从而得出抛物线的解析式为．①若，则抛物线开口向上，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的下方，因此，结合即可判断a的取值范围；②若，则抛物线开口向下，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的上方，因此，结合即可判断a的取值范围． 【小问1详解】 解：对于抛物线：，令， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线对称轴为， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵是抛物线上的点，的横坐标是， ∴， ∵抛物线，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到， ∴抛物线的解析式为． ①若，则抛物线开口向上， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的下方， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若，则抛物线开口向下， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的上方， ∴， ∵时，，， ∴恒成立． 综上所述，a的取值范围是或． 27. 如图，在等边三角形中，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A 顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为______； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） ．证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点A 顺时针旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴； （2）①； ②．证明：如图，延长到N，使得，连接． ∵M为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质可得，即可得出结论； （2）①根据等边三角形的性质可得，从而得到，由，可得．进而得到．再由可得，即可求解； ②延长到N，使得，连接．通过证明，从而得到，，进而得到，则可得到 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；即． 故答案为：； ②略 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． （1）在点中，______________的“关联点”在函数的图象上； （2）如果一次函数图象上点的“关联点”是，求点的坐标； （3）如果点在函数的图象上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，求实数的取值范围． 【答案】（1）、 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，将点的坐标代入函数，看是否在函数图象上，即可求解； （2）当时，点，则；当时，点，则，解方程即可求解； （3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点” 的纵坐标的取值范围是，而，函数图象只需要找到最大值（直线与最小值（直线直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，只要求出关键点即可求解． 【小问1详解】 点的“关联点”是， 点的“关联点”是， 点的“关联点”是， 点的“关联点”是， 将点的坐标代入函数， 得和在此函数图象上， 故答案为：、； 【小问2详解】 当时，点， 则，解得：（舍去）； 当时，点， ，解得：， 点； 【小问3详解】 如图为“关联点”函数图象： 从函数图象看，“关联点” 的纵坐标的取值范围是， 而， 函数图象只需要找到最大值（直线与最小值（直线直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束．都符合要求， 即，解得：（舍去负值）， 观察图象可知满足条件的的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $