精品解析：江苏省南京市七所高中学校合作联盟2026-2027学年高一上学期11月期中学情调研数学试

南京市2026—2027学年度第一学期七所高中学校合作联盟 期中学情调研高一数学试卷 本卷：共150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则用列举法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于，故时，满足题意， 时，不满足题意， 时，满足题意， 且时，此时，，不满足题意， 综上可得. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为，. 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式等价于，解该一元二次不等式，得， 所以原不等式的解集为. 4. 设，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 当且仅当，即：时，等号成立，此时的最小值是4. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 又， 所以. 6. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可. 【详解】选项A：对于，其定义域为. 对于，因为恒成立，所以定义域为. 又因为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项B：的定义域是.的定义域是. 虽然自变量的符号不同，但是它们的定义域相同，对应关系（这里和都只是自变量的符号）也相同，所以和是同一个函数. 选项C：的定义域为. 当时，；当时，，，其定义域为. 与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项D：，根据根式的性质，其定义域为. ，其定义域为. 由于和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数在实数集上严格单调递增的性质，分别分析两段函数的严格单调性及分段点处的函数值衔接条件，建立关于的不等式组求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得. 8. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的性质和特点进行分类讨论即可计算. 【详解】当时，， ，化简得：，解得：； 当时，， ，化简得：，解得：； 综上所述，实数的取值范围是. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. ，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A，若，，取，，，，则，，此时，与矛盾，故 A 错误； 选项B， ，由，，得，，，故，故 B 正确； 选项C，若，当时，，不满足，故 C 错误； 选项D，由且，得；又由且，得.故，故 D 正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 关于的不等式的解集是，则， B. 若，则是偶函数 C. 函数的图象与直线的交点至多有个 D. 函数的零点是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集可得二次方程的根，根据韦达定理求参即可； B选项，根据偶函数的定义判断； C选项，根据函数的定义可知，任意在定义域内，都有唯一确定的与之对应； D选项，根据零点的定义求解即可． 【详解】A选项，由不等式的解集是可得： 的两根为，可知为二次方程，则； 根据韦达定理可得，，解得，，故A错误； B选项，，故为偶函数；故B正确； C选项，当定义域包含时，因为一个自变量只能有唯一的函数值。所以与的图象只有一个交点； 当定义域不包含时，与的图象没有交点；故C正确； D选项，令，解得，故的零点是，D正确． 11. 已知函数，以下结论正确的有（ ） A. 图像关于中心对称 B. 的值域是 C. 对任意的，，，都有 D. 对任意的，，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据奇偶性的定义判断对称中心；B选项，通过判断单调性求出值域；C选项，根据作差法判断单调性；D选项，根据凹凸性判断． 【详解】A选项，，可得为奇函数，图像关于中心对称，正确； B选项，当时，， 时，，，则，， 则； 当时，， 时，，，则， 综上的值域是，正确； C选项，对任意的，，， ； 当同号时，， 当时， ，，则； 当时， ，，则，综上C正确； 令，则，， ，D错误，． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【详解】要使有意义，则，解得且， 的定义域为. 13. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【详解】解不等式，即，得. 是的充分不必要条件， 即⫋，得. 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】要使函数的值域为，等价于两段函数值域的并集为.先明确两段分段函数的图像与值域特征，再分三种情况：，，，分别讨论三种情况下，两段函数的值域的并集为所满足的条件，从而可得实数的取值范围. 【详解】要使函数的值域为，等价于两段函数值域的并集为. 当时，，该函数为开口向下的抛物线，对称轴为，顶点为， 在上单调递增，在上单调递减，最大值为（在处取得）. 当时，， 该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值为（在处取得）. 分三种情况讨论实数的取值： ①当时： 当时，的值域为， 当时，的值域为， ，解不等式得， 又，所以； ②当时， 当时，的值域为， 当时，的值域为， 此时在上的值域为，符合条件， 因此. ③当时， 当时，的值域为， 当时，的值域为， 由题意可得，解得. 又，所以. 综上，实数的取值范围为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求， 【答案】（1），. （2），. 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 因为，且，所以； 又因为，， 所以，， 故. 16. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式的解集．（其中） 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）利用配方法计算可得； （2）对的取值进行分类讨论，即可求得不等式解集. 【小问1详解】 将配方可得； 可得， 因此函数的解析式为； 【小问2详解】 不等式即为； 所以； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 17. 已知函数是定义在上的偶函数．且． （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增. 任取，由（1）得， ， ， 故，即， 故函数在上单调递增. （3） 【解析】 【小问1详解】 已知函数是定义在上的偶函数，故， 即，所以，解得； 又，故，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，是偶函数，，故， 由（2）可得，在上单调递增， 则函数在上单调递减，故，且， 故，解得. 18. 某同学设计了如图所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点． （1）证明图中的周长为定值； （2）用表示图中的面积； （3）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用． 【答案】（1）由折叠的性质可知，，因为四边形是矩形，所以， 所以，所以的周长， 因为矩形的周长为，所以，即， 即的周长为，为定值. （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）利用折叠和平行推出，线段代换，周长直接化简为，即可证明为定值； （2）先利用勾股定理求出，代入直角三角形面积公式化简即可； （3）结合徽章6个三角形全等，先利用基本不等式求出的最大值，再结合双面镀金即可求出费用的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为矩形的周长为，，所以， 因为为较长边，所以，即， 由（1）知，，所以，所以. 在中，，即， 整理得：，解得：， 所以的面积 【小问3详解】 由题意知，图2中阴影部分由6个全等的组成.因为， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最大值为， 所以阴影部分的总面积最大值为， 因为需要双面镀金，所以实际镀金面积最大值为， 最大费用为元， 即当时，这枚徽章镀金所需的最大费用为元. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若对任意实数，二次函数总有不动点，求实数的取值范围． （3）已知函数有两个不相等的不动点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）和2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义列方程，解二次方程即可； （2）先转化为对任意实数，恒有实根，再看成关于的二次不等式恒成立，利用判别式即可求解的取值范围； （3）先利用韦达定理转化为对勾函数，再确定的范围，利用对勾函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意得，即，整理得：， 解得：，所以二次函数的不动点为和. 【小问2详解】 由题意，对任意实数，二次函数总有不动点， 即对任意实数恒有解， 即对任意实数恒有实数根， 所以，即， 要使该不等式对任意实数恒成立，所以， 即，解得：， 又因为，所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知，，是方程的两个不相等的根， 即，所以，即，则， 因为，且，所以，解得：. 设，因为在上单调递减， 且当时，；当时，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2026—2027学年度第一学期七所高中学校合作联盟 期中学情调研高一数学试卷 本卷：共150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则用列举法表示（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 设，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. ，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 关于的不等式的解集是，则， B. 若，则是偶函数 C. 函数的图象与直线的交点至多有个 D. 函数的零点是 11. 已知函数，以下结论正确的有（ ） A. 图像关于中心对称 B. 的值域是 C. 对任意的，，，都有 D. 对任意的，，都有 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 13. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______________． 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是______________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求， 16. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式的解集．（其中） 17. 已知函数是定义在上的偶函数．且． （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 18. 某同学设计了如图所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点． （1）证明图中的周长为定值； （2）用表示图中的面积； （3）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用． 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若对任意实数，二次函数总有不动点，求实数的取值范围． （3）已知函数有两个不相等的不动点，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $