精品解析：山东日照市实验高级中学2026-2027学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题

山东省日照市实验高级中学2026-2027学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 解得. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线的一般方程转化为斜截式方程，求得直线的斜率，进而求得其倾斜角. 【详解】由，得. 直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，所以. 因为，所以. 故选：D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标． 【详解】解：整理抛物线方程得 焦点在轴， 焦点坐标为 故选：A 4. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用共面向量基本定理结合空间向量的坐标运算列方程组求出结果即可． 【详解】由于，，，若三向量共面， 故，整理得， 故，解得，故D正确. 5. 已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为求圆心到直线的距离的最大值即可. 【详解】圆的方程：，圆心 ，半径  ， 直线方程为 。 圆心到直线的距离公式为： ， 圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，即： 当时，最小，取得最大值， 此时：， 因此，圆上的点到直线  的距离的最大值为5.  故选：C 6. 若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为，过上的一点作轴的垂线，交的准线于点，若直线PF的方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过焦点，可求得，进而求得抛物线方程和准线方程，求得点，进而可求，利用焦半径公式可求. 【详解】由抛物线，可得焦点， 又直线PF的方程为，所以， 解得，所以抛物线的方程为，所以准线方程为， 由，得，所以， 因为轴，所以，所以，所以， 所以. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点A在双曲线C的左支上，与的平分线的交点为D，若，则点B到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角形内切圆的知识、双曲线的定义，求得点的坐标、，由此求得和双曲线的渐近线方程，由此求得点B到双曲线C的一条渐近线的距离. 【详解】由题可知D为的内切圆圆心，点B在x轴上，且与内切圆D相切于点B，作出大致图形，如图所示.设直线，分别与圆D相切于G，H，则，，.因为，所以，即，设，则，解得.因为，故，故，则，，故，故，解得，故双曲线C的渐近线方程为，则点到双曲线C的一条渐近线的距离为. 故选：D 二、多选题 9. 已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线可能是圆 B. 曲线可能是等轴双曲线 C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线方程的特征，逐项列式求解判断即可. 【详解】对于A，曲线表示圆，则，解得，故A正确； 对于B，曲线表示等轴双曲线，则，方程无解，故B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得，故C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 为的中点 B. 与所成的角为 C. 平面 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】在A中，连结，交于点，连结，则平面平面，推导出，由四边形是正方形，从而，进而； 在B中，由，得（或其补角）为与所成角，推导出，从而与所成角为； 在C中，推导出，，由此能证明平面； 在D中，设，则，．由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于． 【详解】解：在A中，连结，交于点，连结，则平面平面， ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，故A正确； 在B中，∵，∴（或其补角）为与所成角， ∵平面，平面，∴， 在中，，∴， ∴与所成角为，故B错误； 在C中，∵四边形为正方形，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，、平面， ∴平面，故C正确； 在D中，设，则， ． ∴，故D正确． 故选：ACD． 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点 【答案】BD 【解析】 【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，结合椭圆的离心率为确定正确答案. 【详解】由椭圆， 可得，， 对于A，，即，化简得，即， 不符合题意，故A错误； 对于B，，则，即， 化简得，即有， 解得（舍去），符合题意，故B正确； 对于C，轴，且， 由，解得， 不妨设，由，可得， 解得，又，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c， 则，结合，即， 解得（舍去）或即，符合题意，故D正确； 故选：BD 【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率. 三、填空题 12. 已知直线与垂直，则______ 【答案】1 【解析】 【详解】将直线化为， 直线与垂直， ，解得. 13. 抛物线的焦点到直线的距离为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点， 直线，即， 则焦点到直线的距离为，解得. 故答案为：2. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直． （1）求直线l的方程； （2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程. （2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程. 【小问1详解】 . 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设圆的标准方程为， 则， 所以圆的标准方程为. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，M为线段上一点，，N为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成的锐二面角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形为平行四边形，有，再由线面平行的判定定理，得证； （2）取的中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，设，0，，求得平面的法向量，而平面的法向量为，求得的值后，得向量和，设直线与直线所成角为，由，，得解． 【详解】解；（1）证明：由已知得，取的中点T，连接，由N为的中点知， ．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）取的中点E，连接，由知，从而，． 以A为坐标原点，的方向为x轴的则正方向，建立如图所示的空间坐标系． 设， 则，所以 设平面的法向量为， 则，可取， 又平面的法向量为且平面与平面所成的锐二面角的正弦值为， ∴，解得． 所以，，所以， 设直线与直线所成角为，则． 所以直线与直线所成角的余弦值为． 17. 椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求的方程； （2）设是曲线上的动点.若直线过点，且点是曲线的上顶点，求面积的最大值； 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用离心率以及长轴长，求出椭圆中，即可求椭圆的方程； （2）由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，推出面积的表达式，通过换元法，利用导数求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题可知， ，解得 ， 所以椭圆的方程是 【小问2详解】 若直线的斜率不存在， 则点与点重合，所以不符合题意，舍去； 故直线的斜率存在，如图所示： 设直线的斜率为，则直线的方程为， 设，， 联立 ，得， 由韦达定理得， ， 所以， 又，所以， 令，， 所以， 令， ， 根据对勾函数性质知在上单调递增， 所以当时，此时，有最小值，此时有最大值. 18. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，点到平面的距离为，求平面和平面所成角的大小． （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点，使得与平面所成的角为30°．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：平面，平面， ，又因为平面，平面， 平面， 平面平面平面， . （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理得出线面平行，再由线面平行的性质定理证明线线平行； （2）利用等体积法求出为等腰直角三角形，得出，建立空间直角坐标系，利用垂直求出，再求解两平面的法向量，最后利用向量夹角余弦公式计算求解即可； （3）设，结合平面的法向量，利用向量法求解即可得出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，平面，又平面， . 又平面平面， ， 又平面， 平面， ，点到平面的距离为，， ，即， 又因为，故， 又因为， ，因此， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立下图所示空间直角坐标系， 设，则 ， ， ，解得， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ， ，则，取，则，则， ， ，取，则，则， 设平面和平面所成角的大小为， ，故. 【小问3详解】 设线段上存在点，使得与平面所成的角为， 设， 则，则， 由(2)知，平面的法向量为， ，整理得， 解得， ， 线段上存在点，使得与平面所成的角为，此时. 19. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点． （1）若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹落在某个椭圆上. 斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 理由如下： 我们证明一个结论： 若斜率为的直线与椭圆交于两点，则中点的轨迹在直线上, 证明：设，它们的中点为， 则且， 从而，故， 故，故中点在直线上. 对于“果园”的弦的中点， 若斜率，则设直线， 它与“果圆”的交点是，， 弦的中点满足， 弦的中点轨迹方程是， 而， 即，所以，若“果圆”弦所在直线的斜率为0，则平行弦中点轨迹是椭圆. 若“果圆”弦的斜率，则可平移过程总存在无数条斜率为的直线与“果园”的左半椭圆相交，由前述证明的结论，此时中点在直线上， 故平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 综上，斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹落在某个椭圆上. 斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合椭圆的性质进行进行求解即可； （2）利用椭圆的性质结合，得到不等式，再根据已知所给的不等式进行求解即可； （3）先证明斜率相同的椭圆的弦的中点在定直线上，据此可判断“果圆”平行弦的中点轨迹是否落在某个椭圆上. 【小问1详解】 由，，， 解得，， 因此“果圆”的方程为，. 【小问2详解】 因为，故，得， 而，即， 于是，，. 又，则，∴的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中与弦的中点有关的计算问题，可利用点差法来处理，也可以直曲联立，结合韦达定理等来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市实验高级中学2026-2027学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 5. 已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. 若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，过上的一点作轴的垂线，交的准线于点，若直线PF的方程为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点A在双曲线C的左支上，与的平分线的交点为D，若，则点B到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线可能是圆 B. 曲线可能是等轴双曲线 C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 10. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 为的中点 B. 与所成的角为 C. 平面 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点 三、填空题 12. 已知直线与垂直，则______ 13. 抛物线的焦点到直线的距离为，则__________. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 四、解答题 15. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直． （1）求直线l的方程； （2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，M为线段上一点，，N为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成的锐二面角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 17. 椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求的方程； （2）设是曲线上的动点.若直线过点，且点是曲线的上顶点，求面积的最大值； 18. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，点到平面的距离为，求平面和平面所成角的大小． （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点，使得与平面所成的角为30°．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 19. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点． （1）若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $