江西南昌市南昌县2026-2027学年度第一学期期中九年级数学试卷

九年级 数学（二） 说明：1.范围：25.1~28.1。 2.满分：120分；时间：120分钟。 3.请将答案写在答题卡上。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1.下列生活中的现象属于旋转的是 ( A.飞驰的汽车 B.匀速转动的摩天轮C.运动员投掷标枪D.乘坐升降电梯 2.关于x的方程x2一mx一7=0根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.密度p、质量m、体积V之间的关系为m=pV,当质量m一定时，另外两个变量的函数图 象可能是 B D 4.已知反比例函数y一王，下列结论中不正确的是 A.图象必经过点(1,4) B.当x>0时，y随x的增大而减小 C.图象在第一、三象限内 D.若x<0,则y>0 5.将下列抛物线先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，能得到抛物线y=x2 的是 () A.y=(x-3)2+5B.y=(x+3)2-5C.y=(x-5)2-3 D.y=(x+5)2+3 6.如图，点O是坐标原点，已知二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图 象与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B,顶点为点D,对称轴为直 线x=一2，其中点A(2,0),B(0,c),且一3<c<一2.给出以下结论： ①ac<0,@日a<子下列说法正确的是 D A.①②都正确 B.①错误，②正确 (第6题困) C.①正确，②错误 D.①②都错误 九年级·数学（二）（人教版）第1页（共6页） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.一元二次方程x2=4V3x的根为 8.如图，△AOB绕点O顺时针旋转30°后与△COD重合.若 ∠AOD=130°，则∠COB= 9.若m是关于x的一元二次方程x2十2x一1=0的一个实数 (第8题图) 根，则代数式2m2+4m-5的值为 10.若反比例函数y=2的图象与直线)y=-5x的-个交点是点A(-1,5),则它们的另一 个交点坐标是 11.已知一名运动员推铅球，脱手后，铅球的行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 2何的关系式为y一+名x+球飞行至水平距离一m时，达到最默 高度 12.在平面直角坐标系中，抛物线y=x经过点A(0,0),B(2,4),点P是抛物线上的一点， 且△ABP的面积为1，则点P的坐标为 三、解答题（本大题共5小题，每小意6分，共30分） 13.解方程： (1)3(x-1)2=x(x-1); (2)(x-3)(x+4)=8. 14.为弘扬江西地方文化，让更多游客了解豫章故郡，某文旅公司推出多款文创产品.已知 某款非遗纸雕灯的成本价是40元，当售价为50元时，每天可以售出60件，经调查发现， 售价每降价1元，每天可以多售出9件. (1)设该款非遗纸雕灯降价x元，则每天售出的数量是 件； (2)设平均每天获利为Q元，写出Q与x的关系式（化成最简形式，不要求写出自变量 的取值范围). 九年级·数学（二）（人教版）第2页（共6页） 15.如图，已知二次函数y=一x2一2x十3的图象经过点A(1,0),B(一2,3). (1)请仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴L;(保留画图痕迹) (2)结合图象，直接写出当y>0时，x的取值范围是 B 0 A (第15题图) 如图，反比例函数y三的图象在第一象限与正方形ABCO的边AB,BC分别交 P,Q.已知点P为AB的中点. (1)求证：点Q为BC的中点； (2)当k=8时，求正方形ABCO的边长. 0 (第16題图) 17.对于“已知x十y=1,求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的： x+y=1,y=1-xy=x1-x)=x-x2=-(x-2)‘+月 “xy≤牙，z列的最大值为好 请你按照这种方法计算：当2n十m=4(m>0,n>0)时，求号+的最小值。 m 九年级·数学（二）（人教版）第3页（共6页） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.已知关于x的方程x2一(2k十1)x+k2一k=0有两个不相等的实数根， (1)求实数k的取值范围； (2)若该方程的一个根为1，求k的值. 19.如图，一次函数y=kx十b(k≠0)的图象分别交x轴、y轴于C,D两点，交反比例函数 y三(m≠0)的图象于A(3,8),B(6,n)两点，试求 (1)反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)一次函数的解析式. (第19题图) 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的 对应点为点E,点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F,连接BE. (1)求证：DC平分∠ADE; D (2)若∠A=75°，求∠DEB的度数 E (第20题图) 九年级·数学（二）（人教版）第4页（共6页） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系回答下列问题： 已知实数a,b(a≠b)满足a2+3a-1=0,b2十3b一1=0，则可将a,b看作一元二次方程 x2十3x一1=0的两个不相等的实数根， (1)材料理解：已知实数a,b满足7a2-7a一1=0,7b2-7b-1=0,且a≠b,求a2b十ab2 的值； (2)思维拓展：已知实数a,b满足3a2一5a+1=0,b2-5b+3=0,且ab≠1，求 2ab-4a+2 a6+4a+7的值. 函数 22.某社区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外 层水柱的形状为抛物线.如图2，已知车棚建在AO,BC两面墙之间，CO为水平地面， AO⊥CO,BC⊥CO.消防喷淋头D安装在距离地面2.8米高的棚顶AB上，其到墙面 AO的水平距离AD为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面AO上的点E处，OE=0.8 米.以点O为原点，地面CO所在的水平线为x轴，墙面AO所在的直线为y轴建立平 面直角坐标系 (1)求最外层水柱所在抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度C0为7.6米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需 的 要覆盖离地面0.8米高的全部范围.工作人员计划在棚顶上再安装一个与消防喷淋 头D相同型号的消防喷淋头G,请通过计算，确定在满足所需条件时，点D与点G 之间的距离DG的取值范围. +/米 0 Cx/米 图1 图2 （第22题图) 九年级·数学（二）（人教版）第5页（共6页） 六、解答题（本大题共12分） 23.【定义】在平面直角坐标系中，点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x 的差“y一x”称为点A的“纵横差”.函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该函 数的“最优纵横差”. 【举例】已知点A(1,3)在函数y=2x+1的图象上，则点A(1,3)的“纵横差”为y一x= 3一1=2.函数y=2x十1的图象上所有点的“纵横差”可以表示为y一x=2x十1一x= x+1.当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，故函数y=2x+1(3≤x≤6)的“最优 纵横差”为7. 【问题】根据定义，回答下列问题： (1)点B(-5,一1)的“纵横差”为 (2)已知二次函数y=-x2+(2b+1)x-b2+5. ①求证：无论b取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值； ②当一1≤x≤4时，此二次函数的“最优纵横差”为4，求b的值； ③若此函数的顶点记为点M,它的“最优纵横差”对应的点记为点N,点M与点N 到直线y=3的距离相等，则b的值为 九年级·数学（二）（人教版）第6页（共6页） 九年级 数学（二）答题卡 准考证号 (条形码粘贴处) ① 0 口 1.答题前，考生先将自己的学校、准考 证号填写清楚、并认真技对条形丹上 2刀 刀 的准考证号、姓名、 2.造择题部分必须使用2B铅笔填沁 田 非造择题部分必须使用鼻色墨水范 事 ① 田 书写.字体工整、笔迹清楚， 仓 项3.请看请题目序号，在各题目的答题区域 a 田 内规范作答，超出答题区域书写的答案 无效：在草稿纸试题卷上答题无效、 a 16 团 回 4. 保持卷面清洁，不要折叠、不要弄玻， C刀 填涂 正确填涂：☐ 缺考 a 切 错误填涂： 中 范倒 a 标记 9 、选择题（本大愿共6小题，每小愿3分，共18分.每小题只有一个正 确选项) ■ 1.m 2.a) 3.▣▣四m 4.囚四a回 5.四四四回6.四四☑四 二、填空题（本大愿共6小题，每小题3分，共18分） 毁 8 9. 10 11 12 三、解答题（本大意共5小题，每小题6分，共30分） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 14.(1) (2) 15.(1) 0 (2) 16. 0 17. 九年级·数学（二）（人救版）第1页（共2页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 19. 7 ■ ■ 请在各题目的答题区试内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 20. A D B 五、解答题（本大是共2小意，每小题9分，共18分） 21 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 22. +/米 D B Cx米 图2 九年级·数学（二）（人教版）第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 六、解答题（本大题共12分） 23.(1) (2)① ② ③ ■九年级 数学（二）参考答案 一、 1.B2.A3.B4.D5.C6.A 二、 7.x1=0,x=438.70°9.-310.(1，-5)11.412.(1,1)或(1+√2,3+2√2)或(1-√2,3-2√2) 三、 13.解：(1)3(x-1)=x(x-1), 移项，得3(x-1)2-x(x-1)=0, 因式分解，得(x一1)(2x-3)=0, 则x-1=0或2x-3=0, 3 解得x1=1,x2=2 (3分) (2)(x-3)(x十4)=8. x2+x-20=0, (x-4)(x+5)=0, 则x-4=0或x+5=0,解得x1=4,x2=-5. (6分) 14.解：(1)由题意得，当该款非遗纸雕灯降价x元时，每天售出的数量是(60十9x)件. (2分) (2)由题意得Q=(50-40-x)(60+9x)=(10-x)(60+9.x)=-9x2+30x+600. (6分) 15.解：(1)如图，直线1为所求对称轴. (3分) 0 (2)-3<x<1. (6分) 16.解：(1)证明：，四边形ABCO是正方形， .AB∥OC.AB=OA=OC. 设AB=OA=OC=2a(a>0), ∴点A(0,2a),点B(2a,2a). :点P为AB的中点， ∴点P(a,2a). :点P在反比例函数y=冬的图象上， .aX2a=k,即2a2=k, :点Q在反比例函数y=的图象上，点Q又在BC上， 九年级·数学（二）（人教版）第1页（共4页） .点Q的横坐标=2a, 点Q的载坚标-会一 =a ..QC=a. 点Q为BC的中点. (3分) (2)2a2=8,a>0, .a=2, ..AB=0A=OC=4, ∴.正方形ABCO的边长为4. (6分) 17.解：，2n十m=4, ∴.m=4-2n, :2+1=2m+m= 4 2 nmn-2n2+4n-(n-1)2+1 (2分) m>0,n>0,.0<n<2,.0<-(n-1)2+1≤1， 12 2 m 十n=-0m-1)+≥1=2， :品+的最小值为2 (6分) m 四、 18.解：1)根据题意得4=[-(2k+1了-42-)>0，解得>-号， 即实数人的取值范围为k>一号 (4分) (2),该方程的一个根为1， .1-(2k+1)+k-k=0, 整理得2一3k=0,解得k=0或k=3. :>-日的值为0或3 (8分) 19.解：)把点A(3,8)代入y=m,得m=3X8=24, “反比例函数的解析式为y兰 (3分) 把点B(6m)代人y-24,得6m=24,解得n=4, x 点B(6,4). (4分) (2)由(1)得点B(6,4), 把点A(3,8),B(6,4)代入y=kx+b, 3k+b=8, 得 解得 31 6k+b=4, b=12, 4 ·一次函数的解析式为y=一3x+12. (8分) 20.解：(1)证明：：△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为点E,点A的对应点D落在线段AB 上， .CA=CD,∠A=∠CDE, .∠A=∠CDA, ∴∠CDA=∠CDE, 九年级·数学（二）（人教版）第2页（共4页） .DC平分∠ADE. (3分) (2)∠ACB=90°，∠A=75°， .∠CBA=90°-∠A=90°-75°=15 ∠A=∠CDA=75°， ∴.∠ACD=180°-∠A-∠CDA=180°-75°-75°=30°. ,△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC, ∴.CB=CE,∠ACD=∠BCE=30°，∠CED=∠CBA=15°， 1 1 六∠CBE=∠CEB=2×(180°-∠BCE)=2×180°-30)=75， ∴.∠DEB=∠CEB-∠CED=75°-15°=60°， ∴.∠DEB的度数为60°. (8分) 五、 21.解：(1)4=(-7)-4×7×(-1)=77>0， 可将a,b看作方程7x2一7x一1=0的两个不相等的实数根， a+b=1,ab=-7 1 ∴a6+a6=a6(a+b)=-7×1=-月 (4分) (2)将b=0代入方程b2-56+3=0中得等式不成立，∴.b≠0. 在方程6-56+3=0的两边同时除以6，得3（分）广-5（分）+1=0， 六可将u,方看作方程3x-5x+1=0的两个不相等的实数根。 △=(-5)-4×3×1=13>0，显然a,b≠0， 3 则2a6-4a+23ab+3 3a+b 3×5 ab+4a+万ab+4a+-1 一1= 一1= ,4a,1 15 12 3 (9分) a++号+4 1,4a 5 9 a+6+6 3 22.解：(1)由题意可知，点E的坐标为(0,0.8)，顶点D的坐标为(2,2.8)， 设最外层水柱所在抛物线的解析式为y=a(x一2)+2.8(a≠0)， 将点E(0,0.8)代人，得0.8=4a十2.8，解得a=-2, 1 六最外层水性所在珑物线的解析式为y=一子：一-2)十2.8 (3分) 1 (2)y=-2（x-2)+2.8, 当y=0.8时，2(x=2+2.8=0,8,解得x=0或x=4 设抛物线上横坐标为4的点为点P,则点P(4,0.8),如图. 由题意可设消防喷淋头G的最外层水柱所在抛物线的解析式为y=一之红一6)+2.8， (6分) 1 当此抛物线经过点P(4,0.8)时，有0.8=-2（4-h)+2.8, 3/米 D B 解得h=2(舍去)或h=6, 此时AG=6米， E ∴.DG=AG-AD=6-2=4(米)； 0 Cx/米 九年级·数学（二）（人教版）第3页（共4页） 当抛物线y=2(x一h)+2.8经过点(.6,0,8)时) 有0.8？.6-h)+2,8,解得h=9.6(舍去)或h=5.6 此时AG=5.6米，DG=AG-AD=5.6-2=3.6(米). 综上所述，DG的取值范围为3.6米≤DG≤4米. (9分) 六、 23.解：(1)点B(-5,-1)的“纵横差”为-1-(-5)=-1十5=4， (2分) (2)①证明：y-x=-x2+(2b+1)x-b+5-x =-x+2bx-b2+5 =-(x-b)+5. (x-b)≥0 .一(x-b)20 ∴一(x一b)2+5≤5，故该二次函数的“纵横差”有最大值5， ∴无论b取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为5. (5分) ②：y-x=-(x-b)2+5, ∴当x=b时，y一x有最大值，最大值为5， ∴.当一1≤b≤4时，二次函数的“最优纵横差”为5，不符合题意，舍去； 当b>4时，-(4-b)2+5=4,解得b=5或6=3（舍去）： 当b<-1时，-(-1-b)+5=4,解得b=0(舍去)或6=-2. 综上所述，b的值为5或-2 (9分) ③“y=-x+(26+10x-6+5=-(x-26)+46+21. 2 4 顶点M的坐标为(，6十】 y-x=-(x-b)2+5,∴点N(b,b+5) ,点M与点N到直线y=3的距离相等， .点M与点N关于直线y=3对称或yM=yN 4b+21+b+5 当点M与点N关于直线y=3对称时，y“十N=3,即4 2 2 3，解得6=-1 9 当yw=心时，6十21=6十5，此时方程无解. 综上所述6的值为一吕 (12分) 九年级·数学（二）（人教版）第4页（共4页）