精品解析：江西南昌市南昌县部分校 2025—2026 学年度第一学期期中考试 九年级数学试题

南昌县 2025—2026 学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 2025 年 12 月 7 日，是二十四节气的大雪，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将含的直角三角板绕点 A 顺时针旋转到处（点 C，A，D 在一条直线上），则这次旋转的旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 5. 在平面直角坐标系中，把抛物线，向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7. 方程的解是________________． 8. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则________． 9. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则__________． 10. 在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______． 11. 已知抛物线过，，三点，则，，的大小关系是_______．（用“”号连接） 12. 一副三角板按图所示放置（点在同一直线上），，．若固定，将绕着公共点顺时针旋转（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为_______． 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 14. 已知正方形的边长为4个单位长度，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； （2）在图2中，将直线向上平移1个单位长度． 15. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 16. 如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在边上，点A的对应点为点D，连接，求的度数． 17. 已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围． 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18. 如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为． （1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围； （2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？ 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 20. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21. 综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）在【问题情境】的条件下，存在，使点三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段的长度． 【能力提升】 （3）在旋转过程中，线段的最小值为__________．（直接写出答案） 22. 如图，二次函数的图象经过三点，顶点为D，已知点B的坐标是． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若E是线段上的一个动点（E与不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，求线段长度的最大值； （3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为，若这个函数在时的最大值为3，求m的值． 六、（本大题共 1 小题，共 12 分） 23. 实验与探究： 【问题初探】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为、、，，求证： 【类比迁移】（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴正半轴上，边在第一象限，且，将正方形绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为______； 【探究延伸】（3）如图3，图中抛物线为，已知正方形（、、、为动点）的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的右侧，且点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值，如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （4）图3中的正方形的顶点、在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上．设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县 2025—2026 学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 2025 年 12 月 7 日，是二十四节气的大雪，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、B、C三个选项中的图形无论绕哪个点旋转都不能与自身重合，所以这三个选项都不符合题意， 选项D中的图案绕中心旋转 180° 后能与自身重合，是中心对称图形，符合题意． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边同时加上1，再写为完全平方式即可． 【详解】解：两边同时加1，得：， 配方，得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤． 3. 如图，将含的直角三角板绕点 A 顺时针旋转到处（点 C，A，D 在一条直线上），则这次旋转的旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的特点找出旋转角即可． 【详解】解：旋转后 C 的对应点为 D， 且 C、A、D 三点共线、A 在中间， 故旋转角． 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，k≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 解得：k＞， ∴k＞且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，把抛物线，向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出顶点式然后根据左加右减，上加下减求出结果即可． 【详解】解：抛物线化为顶点式得：, 向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的为: ,化简得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化求解更加简便，平移的规律：左加右减，上加下减． 6. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，利用二次函数的图像和性质注意判断即可解题． 【详解】解：由图象可得，， 对称轴为直线，则 ∴ ∴, ∴, 故①不正确； ∵， ∴, 故, 故②正确; 抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确； ∵当时，该函数取得最大值，此时， ∵对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为， ∴ 又∵ ∴ 即，故④不正确 ∴点在该抛物线上, 则,即,故⑤正确． 所以正确的有②③⑤共三个， 故选:C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7. 方程的解是________________． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：移项得 ， 提取公因式得 ， ∴ 或 ， 解得 ，. 8. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点B的坐标是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称问题及有理数的乘方运算，数轴关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由点关于原点对称的点B的坐标是，可知：， ∴； 故答案为． 10. 在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案． 【详解】∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0， 解得：k=1， 故答案为：1 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键． 11. 已知抛物线过，，三点，则，，的大小关系是_______．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键是掌握二次函数的对称性及增减性． 根据二次函数的性质，得到对称轴为直线，再利用对称性得到的对称点坐标为，最后利用增减性即可得到答案． 【详解】解：， 对称轴为直线， 的对称点坐标为， ， 抛物线开口向下，有最大值，在对称轴左侧，随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 12. 一副三角板按图所示放置（点在同一直线上），，．若固定，将绕着公共点顺时针旋转（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用平行线的性质，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：以所在直线为基准，初始时，就是旋转角，． ①顺时针旋转后，如图， ， ， ， ． ②顺时针旋转后，如图， ， ， ， ， ． ③顺时针旋转后，此时三点在同一直线上， ， ， ， 综上所述：的值为或或 ． 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）将方程移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 14. 已知正方形的边长为4个单位长度，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； （2）在图2中，将直线向上平移1个单位长度． 【答案】 （1）如图，直线OF即为所求； （2）如图，直线GH即为所求； 【解析】 【分析】（1）连接BD与AC相交于O，连接AE与BD相交于P，连接CP并延长交AD于F，直线OF即为所求； （2）设AE与OF交于G，连接OE交CF于H，则直线GH即为所求． 【详解】（1）∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP， ∴△ADP△CDP， ∴∠DAE=∠DCF， ∵AD=CD，∠ADE=∠CDF=90°， ∴△ADE△CDF， ∴DE=DF， ∵点E是CD的中点， ∴点F是AD的中点， ∵∠AOD=90°，且AO=OD， ∴∠AOF=45°； （2）由三角形中位线定理知OG=CF=1，OH=AF=1，且∠GOH=90°， ∴OG=OH， ∴△GOH是等腰直角三角形， ∴∠HOC=∠OHG=45°， ∴GH∥AC，且OG =1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【解析】 【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人． 【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． 16. 如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在边上，点A的对应点为点D，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得，由旋转得，，，再结合等边对等角得，由即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴． 17. 已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，与不等式的关系，二次函数的图象与性质． （1）已知顶点坐标，将抛物线的解析式设为顶点式的形式，然后利用待定系数法求出的值即可得出答案，根据顶点坐标确定，的值，并掌握待定系数法是解题关键； （2）先求出抛物线与轴的交点，即可得到时，的取值范围． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴即; 【小问2详解】 解：当时，， 因式分解，得， ． 抛物线与轴的交点分别为，， 由图象得，当时，． 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18. 如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为． （1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围； （2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？ 【答案】（1）（）；（2）AB的长应为5m． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到与的函数关系式以及的取值范围； （2）令代入（1）中的函数解析式，即可求得的值，注意的取值范围． 【详解】（1）由题意可得， ， ∵， ∴， 即y与x之间的函数表达式是（）； （2）当时， ， 整理得： 解得，（舍去） 答：AB的长应为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解一元二次方程，根据题意得出函数关系式是解决问题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根得，据此列不等式求解即可； （2）先利用一元二次方程根与系数关系写出两根之和、两根之积，把变形为代入求解，再结合（1）中的范围舍去不符合题意的解即可． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程两实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 左边因式分解，得， 或， 解得或， 由（1）可知， ∴． 20. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【解析】 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21. 综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点． 【猜想证明】 （1）当时，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）在【问题情境】的条件下，存在，使点三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段的长度． 【能力提升】 （3）在旋转过程中，线段的最小值为__________．（直接写出答案） 【答案】（1）四边形是正方形；证明如下： ∵四边形是矩形， ∴； 当时，由旋转性质知：，； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形； （2）当旋转角小于直角时，补全图形如图所示； ； 当旋转角大于直角则小于平角时，补全图形如图所示； ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可判定四边形的形状； （2）有两种情况，分别补全图形即可；由证明，得，由勾股定理求出，即可求解． （3）连接，由，当A、E、C三点共线时，取得最小值，由勾股定理求出即可求得最小值． 【详解】解：（1）略； （2）当旋转角小于直角时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 当旋转角大于直角则小于平角时， 同理，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上，或； （3）如图，连接， ∵， ∴当A、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为； 由勾股定理， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 22. 如图，二次函数的图象经过三点，顶点为D，已知点B的坐标是． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若E是线段上的一个动点（E与不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，求线段长度的最大值； （3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为，若这个函数在时的最大值为3，求m的值． 【答案】（1）；（2）最大值为1；（3）或 【解析】 【分析】（1）先表示出，再利用可得，于是可利用交点式表示解析式，得到，所以，解得，所以抛物线解析式为； （2）把二次函数写成顶点式，得到D点坐标，设出直线的解析式，将两点坐标代入，可得直线解析式，分别利用各自的解析式写出交点E的坐标表达式，利用两点间公式可得到二次函数，求出最值即可； （3）分三种情况求出m的值． 【详解】（1）当时，，则， ， ， ， ，解得（舍去）或， 代入二次函数解析式中， ； （2）抛物线， 顶点D的坐标为． 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为． 设点E的横坐标为m， ， ， 当时，最大值为1． （3）的图象由平移得到， 表达式可设为，对称轴是直线； ①若，则时函数值最大，把代入， 解得，不合题意，舍去； ②若，则时函数值最大， 把代入，解得， ； ③若，则时函数值最大， 把代入， 解得 综上所述，或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质（对称性、增减性）等知识点，较难的是题（3），利用二次函数的性质正确分三种情况讨论是解题关键． 六、（本大题共 1 小题，共 12 分） 23. 实验与探究： 【问题初探】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为、、，，求证： 【类比迁移】（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴正半轴上，边在第一象限，且，将正方形绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为______； 【探究延伸】（3）如图3，图中抛物线为，已知正方形（、、、为动点）的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的右侧，且点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值，如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （4）图3中的正方形的顶点、在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上．设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． 【答案】 （1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2），，；（3）定值，1；（4）或． 【解析】 【分析】（1）利用证全等即可； （2）分类讨论点的对应点恰好落在坐标轴上时的位置，再利用全等三角形的性质求解即可； （3）过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，得到利用全等的性质列式运算即可； （4）分类讨论和的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可作图： ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴点，， ∵正方形绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在坐标轴上， ①当点的对应点在轴正半轴时，过点作轴于点， 由（1）同理可得：， ∴，， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ②当点的对应点在轴负半轴时，则， ∵， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ③当点的对应点在轴负半轴时，过点作于点，过点作于点， 由（1）同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴点的对应点的坐标为； ∴综上点的对应点的坐标为：，，； （3）为定值，理由如下： 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， 由（1）同理可证：， ∴，， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：①点和点都在轴右边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 由（1）同理可证：， ∴，， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②点和点都在轴左边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 同理可证：， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ③当点在轴左边，点在轴右边时，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如图所示： 由（1）同理可证：， ∵正方形在抛物线上，点、的横坐标分别为，， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $