精品解析：广东省惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2024-2025学年第一学期高一第一次月考数学试卷

大亚湾一中 2024—2025 学年度第一学期高一第一次月考 数学试卷 2024 年 10 月 本试卷共 4 页，19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由于，故， 故选：D 2. 已知，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A，由特值法可判断BCD. 【详解】由，则，A正确； 当时，，故B错误； 当时，， ，则，故C错误； ，则，故D错误. 故选：A. 3. 设集合，，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】结合集合中元素的性质以及集合的真子集个数的求法进行求解即可. 【详解】由题意可知，集合，集合中有4个元素， 则集合的真子集有个， 故选：C 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出时的范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可求解. 【详解】由，解得或， 又“或”“”， “” “或”， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 5. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数若，则的值是（　　） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式及函数值，解方程即可确定的值，舍去不合要求的解即可. 【详解】函数 当时，，若，即，解得或（舍）； 当时，，若，即，解得（舍）； 综上可知，的值为 故选：B 【点睛】本题考查了分段函数的求值，根据函数值求自变量的值，属于基础题. 7. 若是一元二次方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意及韦达定理可得，，从而得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由若是一元二次方程的两个正实数根， 所以，，则 所以 ， 当且仅当时取等号，故C正确. 故选：C. 8. 已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：的最值为负数.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由三个同学的论述得到甲同学：，乙同学：，丙同学：， 可判断乙同学论述错误，即可得到的范围. 【详解】甲同学：即，若解集为， 则，得； 乙同学：因为的解集为， 所以，得； 丙同学：，其对称轴为 由的最值为负数得， 得， 得， 又这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，所以甲丙同学正确，乙同学错误， 故， 故选：C 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分． 9. 已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则（ ） A. p是存在量词命题 B. q是全称量词命题 C. p是假命题 D. 是真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词、全称量词命题的定义、及相关概念判定真假即可. 【详解】由题意知：p是存在量词命题，q是全称量词命题，A，B正确； 因为等腰三角形是轴对称图形，所以p是真命题，C错误； 因为有些梯形（例如直角梯形）的对角线不相等，所以q是假命题，是真命题，D正确. 故选：ABD 10. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（　　） A. 8 B. 23 C. 37 D. 233 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：：满足； ，满足； ，不满足，舍去 对于B：，满足； ，满足； ，满足，符合题意； 对于C：，不满足A，舍去； 对于D：，满足； ，满足； ，满足，符合题意. 11. 下列命题正确的有（　　） A. 若方程有两个根，一个大于另一个小于，则实数的取值范围为 ． B. 设，若且，则． C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为． D. 若集合，，和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或． 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论的三种情况，再结合图像和零点分布即可判断A；先换元，再用新元表示不等式，再利用不等式的性质即可算出B；根据抽象函数定义域括号内整体取值范围不变即可判断C；正难则反，先求出和都是空集时的范围，再取补集即可. 【详解】选项A，设，当时，开口向上， ∵方程有两个根，一个大于1另一个小于1， 则，即； 当时，开口向下，则，无解； 当时，，只有一个根，与题意不符， 综上所述，，A正确； 选项B，令，则，再令，则， 由，则， 又，∴，B正确； 选项C，∵函数的定义域为，即， 对于函数有， 即函数的定义域为，C错误； 选项D，∵“和至少有一个集合不是空集”的反面是 “和都是空集”，即当和都是空集时， 有①， ②， 联立①②得，即当和至少有一个集合不是空集时， 或，D正确. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 命题：“，”的否定是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题：“，”的否定是，. 故答案为：，. 13. 已知为二次函数，满足，则函数______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得，解方程可得答案. 【详解】设， 由，得， 则， ∴，解得. 所以. 故答案为：. 14. 已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为. 【详解】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）分别求以及和； （2）已知，若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或，或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由集合的交并补的定义求得结果； （2）由集合的包含关系得到不等式，解得实数的取值范围． 【小问1详解】 ,或 ，所以或. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 16. （1） 求不等式 的解集； （2） 求不等式 的解集； （3） 求关于 x 的不等式 的解集． 【答案】 （1）；（2）； （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】(1)对二次三项式因式分解，结合二次函数开口方向，根据一元二次不等式解法确定解集； (2)将分式不等式转化为整式不等式，利用二次不等式求解，注意分母不为零； (3)先因式分解，按二次项系数是否为、正负以及两根大小关系分类讨论，分别求出对应解集. 【详解】(1)， 因式分解得， 所以不等式的解集为. (2)，等价于， 所以不等式的解集为. (3)， 因式分解得， ①当时，不等式化为，。 解集为； ②当时，不等式化为，解得，解集为； ③当时，方程的两根为，， 若，则，解集为， 若，则，解集为， 若，则，解集为， 综上： 当时，解集为； 当，解集为；、 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图1所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示． （1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数； （2）若该公司投资25万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这25万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？ 【答案】（1）甲产品的利润函数为，乙产品的利润函数为 （2）甲产品投资万元，乙产品投资万元时，公司获得最大利润，最大利润为（或）万元 【解析】 【分析】（1）根据正比关系设出甲、乙利润函数，代入图像上的点求出比例系数，得到对应的函数解析式； （2）设投资额，列出总利润表达式，换元转化为二次函数，利用二次函数性质求出利润最大时的投资分配和最大利润. 【小问1详解】 设甲：，∵过点， 即，∴， 设乙：，∵过点， 即，∴. 【小问2详解】 设投入乙产品万元，则投入甲产品万元， ，∴总利润为， 令，则，， 则，此二次函数开口向下， 对称轴为，即当时，最大，即，此时， ∴甲产品投资万元，乙产品投资万元时，公司获得最大利润，最大利润为 （或）万元. 18. （1）已知，求的最大值； （2）已知，求 的最大值； （3）若两个正实数满足 且存在这样的 使不等式 有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为 （2）最大值为 （3）实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）中两因子与 之和为定值 1，直接用基本不等式求最大值； （2）使为负，无法直接用基本不等式，令转化为正数，再用 "积定和最小" 求的最小值，从而得原式最大值； （3） "存在使不等式有解" 等价于大于的最小值，乘 1 法将与相乘展开，用基本不等式求最小值，再解二次不等式. 【小问1详解】  已知，得， 根据基本不等式得，当且仅当，即时取等号. 故的最大值为. 【小问2详解】 已知，故，即. 对目标式变形得：  ， 令（），则上式可写为. 根据基本不等式，对，有，当且仅当即时等号成立. 因此  ，当时，即，满足的题设条件， 故的最大值为. 【小问3详解】 利用乘“1”法展开得： ，  因为，故，，根据基本不等式：  ，当且仅当即时等号成立. 因此，即的最小值为. 将代入约束条件，解得，满足正实数要求，故最小值可取得. 题目要求存在使不等式有解，需，解得或. 故实数的取值范围是. 19. 设，其中，记． （1）若， （i） 写出的解析式； （ii） 在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i） （ii），的值域为. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）将参数代入函数，列出不等式，根据函数大小范围，即可写出关于最小值的分段函数， （ii）根据图象即可求出函数值域. （2）只需根据在上的值域为的子集即可，求解的范围即可. 【小问1详解】 （i）由题意得，， ，即. （ii）略. 【小问2详解】 由题意，只需在上的值域为的子集即可， 因为，所以，对称轴为， 由得，， ①当，即时，， 所以，解得，故； ②当，，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，最大值为， 所以，解得，所以； 综上，所求的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大亚湾一中 2024—2025 学年度第一学期高一第一次月考 数学试卷 2024 年 10 月 本试卷共 4 页，19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若，则的值是（　　） A. 3 B. C. D. 5 7. 若是一元二次方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：的最值为负数.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分． 9. 已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则（ ） A. p是存在量词命题 B. q是全称量词命题 C. p是假命题 D. 是真命题 10. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（　　） A. 8 B. 23 C. 37 D. 233 11. 下列命题正确的有（　　） A. 若方程有两个根，一个大于另一个小于，则实数的取值范围为 ． B. 设，若且，则． C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为． D. 若集合，，和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或． 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 命题：“，”的否定是______. 13. 已知为二次函数，满足，则函数______． 14. 已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）分别求以及和； （2）已知，若，求实数的取值范围． 16. （1） 求不等式 的解集； （2） 求不等式 的解集； （3） 求关于 x 的不等式 的解集． 17. 某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图1所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图2所示． （1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数； （2）若该公司投资25万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这25万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？ 18. （1）已知，求的最大值； （2）已知，求 的最大值； （3）若两个正实数满足 且存在这样的 使不等式 有解，求实数的取值范围． 19. 设，其中，记． （1）若， （i） 写出的解析式； （ii） 在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的值域； （2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $