2.4 单摆 导学案-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

2.4 单摆 人教版（2019）· 高中物理 选择性必修第一册 教 学 内 容 导练目标 导练内容 目标1 知道单摆的组成与理想化模型，理解回复力的来源，掌握小角度条件下回复力与位移的关系，会判定单摆做简谐运动（重点）。 目标2 掌握单摆周期公式，理解周期与摆球质量、振幅无关，会分析摆长与重力加速度改变对周期的影响（难点）。 目标3 理解等效摆长与等效重力加速度，会用单摆测定重力加速度并分析相关图像与综合问题（综合应用）。 ■ 知识导学与典例导练 ▍一、单摆的组成与回复力（重点） 1．单摆的定义：用细线悬挂小球，使其在竖直平面内摆动，若细线的质量与小球相比可以忽略、球的直径与线的长度相比可以忽略、空气等阻力与重力和拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型，要尽量选用质量大、体积小的球和尽量细的线。 组成部分 理想化要求 记忆点 细线 质量远小于小球，形变量可忽略 又轻又韧的细丝线 小球 直径远小于线长，质量大、体积小 小而沉的金属球 运动环境 空气阻力远小于重力与拉力 阻力忽略不计 2．单摆回复力的来源：摆球受重力和细线拉力，沿圆弧切线方向的合力使摆球返回平衡位置。单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，即 注意：单摆的回复力不是摆球所受的合力（合力还需提供沿摆线方向的向心力），受力分析时不能把回复力当作额外的力重复计入。 3．小角度近似：在最大偏角很小的条件下，用弧度表示的偏角 θ 与其正弦近似相等，即 其中 x 为摆球偏离平衡位置的位移，l 为摆长。代入回复力表达式可得 令比例系数 这就是简谐运动的动力学表达式：回复力与位移大小成正比、方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动，这也是判定单摆做简谐运动的依据。 ▍二、单摆的周期（难点） 1．周期公式：单摆做简谐运动的周期公式由荷兰物理学家惠更斯首先提出，表达式为 即周期 T 与摆长 l 的平方根成正比，与重力加速度 g 的平方根成反比。 2．周期的影响因素：单摆的周期只由摆长 l 和重力加速度 g 决定，与摆球质量、振幅无关，因此也叫固有周期。同一单摆小角度摆动时，无论振幅大小，周期都相同，这就是单摆的等时性。 相关因素 是否影响周期 规律说明 摆球质量 m 不影响 周期与摆球质量无关 振幅 A（小角度） 不影响 体现单摆的等时性 摆长 l 影响 l 越大，T 越大，周期与摆长的平方根成正比 重力加速度 g 影响 g 越大，T 越小，周期与重力加速度的平方根成反比 3．对摆长的理解：摆长是悬点到摆球球心的距离。普通单摆的摆长等于摆线长加上摆球半径（即摆球直径的一半）；摆动方向不同时还需按等效摆长计算（如斜向悬挂的秋千，等效摆长为摆线在相应方向的投影长度）。 ▍三、单摆的综合应用 1．等效重力加速度：一般情况下，公式中 g 的值等于摆球静止在平衡位置时摆线拉力与摆球质量的比值，即 据此可把电梯、电场、斜面等情境等效为新的重力加速度，再代入周期公式判断周期变化。 典型情境 等效重力加速度的变化 周期变化 地面静止 等于 g，不变 不变 加速上升的电梯 比 g 大，增大 周期变小 加速下降的电梯 比 g 小，减小 周期变大 竖直向下电场中的正电荷 比 g 大，增大（电场力与重力同向） 周期变小 光滑斜面上的单摆 比 g 小，减小（等于 g 与倾角正弦之积） 周期变大 2．用单摆测定重力加速度：由周期公式变形可得 只要测出摆长 l 和 n 次全振动所用的时间、求出周期 T，即可算出当地的重力加速度；计时一般从摆球经过最低点开始，并注意分析摆长、周期测量带来的误差。 3．图像综合：单摆的位移—时间图像、拉力—时间图像、动能—时间图像都与周期相关。一个周期内摆球两次经过最低点，拉力、动能各出现两次峰值，读图时要结合周期与最低点、最高点的运动特征。 ▍考向一 单摆的回复力与简谐运动 单摆是实际摆的理想化模型，其回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；在最大偏角很小的条件下，回复力与位移成正比、方向指向平衡位置，符合简谐运动的动力学特征，因此单摆做简谐运动。 【例1】单摆在振动过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．摆球经过同一高度速度相同 B．摆球在最低点加速度为零 C．重力沿垂直摆线方向的分力提供回复力 D．同一单摆，在北京和南京振动的周期相同 【答案】C 【解答】解：A、由题意可知，不计空气阻力，摆球的机械能守恒，可知在同一高度时，重力势能相同、动能相同、速度的大小相同； 由图可知，速度方向不一定相同，根据速度为矢量，可知同一高度处，摆球的速度不一定相同，故A错误； B、根据摆球的运动特点，可知其在最低点时，受到的合力提供指向圆心方向的向心力，即加速度指向O，故B错误； C、对摆球受力分析，如下图： 摆球在O左侧时，其位移指向左侧，重力在垂直于摆线方向的分力与其位移方向相反； 根据回复力的定义：与位移方向始终相反，大小满足：F＝﹣kx，可知重力在垂直于摆线方向的分力，提供回复力，故C正确； D、根据单摆周期公式：，即可知北京、南京的g不同，会导致两地的振动周期T不同，故D错误。 故选：C。 【例2】如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点加速度为0 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 D．增大半径R，小球运动的周期不变 【答案】C 【解答】解：A.小球在A点时，速度为0，此时回复力（重力沿圆弧切线方向的分力）不为0，根据牛顿第二定律F＝ma，加速度a≠0，故A错误； B.速度是矢量，既有大小又有方向，小球在同一位置时，速度大小可能相同，但方向可能不同（如从A到B经过某点与从B到A经过同一点时，速度方向相反），故B错误； C.小球在A点的回复力由重力与支持力的合力提供，合力沿切线方向指向平衡位置，故C正确； D.因，小球运动可视为等效单摆，其周期公式为，增大半径R周期会改变，故D错误。 故选：C。 【例3】如图，单摆在AB之间做简谐运动，A、B为运动最高点，O为平衡位置。下列关于单摆说法正确的是（　　） A．经过O点时，向心力和回复力均不为零 B．经过A点时，向心力和回复力均为零 C．在半个周期内，合外力的冲量一定为零 D．在半个周期内，合外力做的功一定为零 【答案】D 【解答】解：A、O点为摆球的平衡位置，回复力为零，根据向心加速度公式an，可知向心加速度最大，向心力最大，故A错误； B、经过A点时，是摆球的最大位移位置，速度为零，向心力为零，回复力最大，故B错误； C、根据动量定理：I合＝Δp，如果初始位置为A，经过半个周期，运动至B点，动量变化量为零，则合外力的冲量为零，如果从位置O且向右运动开始计时，经过半个周期，摆球会向左经过O点，动量变化量为Δp＝﹣mv﹣mv＝﹣2mv，方向向左，则合外力的冲量不为零，故C错误； D、根据简谐运动的对称性，可知经过半个周期，摆球一定运动至其对称位置，且速度大小相等，方向相反，根据动能定理W合＝ΔEk，可知在半个周期内，合外力做的功一定为零，故D正确。 故选：D。 ▍考向二 单摆的周期及影响因素 单摆做简谐运动的周期公式由惠更斯首先提出，周期只与摆长和重力加速度有关，与摆球质量、振幅无关（等时性）；比较周期时抓住摆长（悬点到球心的距离）与重力加速度的变化。 【例4】如图所示单摆摆线上端固定，下端悬挂一个小钢球。将小球拉离平衡位置一个小角度θ（θ＜5°）释放。欲增大该单摆的周期T，可行的方案是（　　） A．增大摆角θ B．换用质量更大的小钢球 C．换用更长的摆线 D．换用直径更小的小钢球 【答案】C 【解答】解：ABC.由可知单摆周期只与摆长和当地重力加速度有关，要增大该单摆的周期T，增大摆长或减小重力加速度，故C正确，AB错误； D.换用直径更小的小钢球，由于摆长等于线长加上小球半径，所以摆长变小，周期变小，故D错误； 故选：C。 【例5】如图所示，甲、乙、丙、丁四个单摆在同一地点做简谐振动，其中周期最长的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：单摆的周期公式为，其中l是摆长，g是重力加速度（同一地点g相同）。由图可知，甲的摆长最长，根据周期公式，摆长越长，周期越大，因此甲的周期最长。 故A正确，BCD错误。 故选：A。 【例6】如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其运动的周期变大，可以（　　） A．减小单摆振幅 B．缩短单摆摆长 C．增大摆球质量 D．减小斜面倾角 【答案】D 【解答】解：AC、单摆在光滑斜面上做简谐运动的周期T，其中θ是斜面与水平面之间的夹角，可知简谐运动的周期与摆球质量、单摆振幅无关，故AC错误； B、根据周期公式T，缩短单摆摆长，其做简谐运动的周期变小，故B错误； D、根据周期公式T，减小斜面倾角，单摆的周期增大，故D正确。 故选：D。 ▍考向三 单摆的综合应用 对电梯、电场、斜面等情境，用摆球静止在平衡位置时摆线拉力与质量之比确定等效重力加速度，结合等效摆长代入周期公式；利用周期公式可测定重力加速度，并结合振动图像、拉力图像综合判断。 【例7】如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是（　　） A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＜T3＜T4 C．T1＜T2＝T3＜T4 D．T1＞T2＝T3＞T4 【答案】D 【解答】解：根据周期公式T， 单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关； （1）中重力平行斜面的分量mgsinθ沿切向分力提供回复力， 沿斜面的加速度为a＝gsinθ，所以周期为 （2）中带正电的摆球要受到天花板带正电的球的斥力，但是斥力与运动方向总是垂直，不影响回复力，所以单摆周期不变。 所以周期为。 （3）中的周期为， （4）中的加速度为a′＝g+a，所以周期为 故T1＞T2＝T3＞T4，故D正确，ABC错误； 故选：D。 【例8】某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 【答案】B 【解答】解：A、在一个周期内小球两次经过最低点，由图乙可知单摆的周期为2t0，故A错误。 B、根据T＝2π2t0，可得重力加速度大小为g，故B正确。 C、由T＝2π可知单摆的周期大小与单摆的振幅无关，即与小球拉起的幅度无关，故C错误。 D、小球经过最低点时，速度最大，合力方向指向悬挂点，小球做的是圆周运动，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，故D错误。 故选：B。 【例9】如图1所示，一单摆悬挂在O点，在O点正下方P点有一个钉子，将小球（可视为质点）拉到A点后静止释放，小球在竖直平面内做简谐运动，摆球的振动图像如图2所示。已知摆球摆角始终不超过5°，重力加速度g取10m/s2，不计一切阻力和能量损失，下列说法中正确的是（　　） A．该单摆的周期为0.4πs B．OP间的距离为1.6m C．t＝0.2πs时小球动能最大 D．图中x1与x2的比值为2：1 【答案】D 【解答】解：A、由图像可知，该单摆的周期为 T＝2（0.5﹣0.2）πs＝0.6πs 故A错误； B、根据单摆周期公式 代入数据，解得OP间的距离为 LOP＝1.2m 故B错误； C、由图像可知，t＝0.2πs时小球到达最高点，此时速度为零，则动能为零，故C错误； D、不计摆线和钉子相碰时的能量损失，所以整个过程机械能守恒，由机械能守恒定律可知 mgh1＝mgh2 所以摆球摆到两侧最高点的位置是等高；单摆在OP左侧最大偏角为θ，由数学知识得 单摆在OP右侧最大偏角为α，由数学知识得 由机械能守恒定律得 mgLOA（1﹣cosθ）＝mgLBP（1﹣cosα） 其中 LOA＝4LBP 联立解得 图中x1与x2的比值为2：1，故D正确。 故选：D。 ■ 课堂训练（中上难度） 1．如图甲，O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、B之间来回摆动。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，则该单摆的周期为（　　） A．0.1π B．0.2π C．0.4π D．0.8π 【答案】C 【解答】解：小球在一个周期内两次经过最低点，根据摆球的受力特点可知在最低点时，细线对摆球的拉力F最大，结合乙图可得，小球的摆动周期T＝0.4πs，故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．如图甲所示是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最高点。规定向右为正方向，图乙所示是其振动图像。取π2≈10，g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．摆球摆到平衡位置O点时合力为零 B．在0.6s～0.8s时间内，小球的动能逐渐增大 C．t＝0.4s时摆球位于B点 D．此单摆的摆长约为0.16m 【答案】D 【解答】解：A、根据题意分析可知，摆球摆到平衡位置O点具有向上的向心加速度，绳拉力大于重力，合力不为零，故A错误； B、根据题意分析可知，在0.6s～0.8s时间内，图线切线的斜率逐渐减小，小球的速度减小，动能减小，故B错误； C、根据题意分析可知，由于向右为正方向，t＝0.4s时摆球位移达到正向最大，所以摆球位于C点，故C错误； D、由图可知，单摆的周期为0.8s，根据单摆周期公式 可得 L＝0.16m 故D正确。 故选：D。 3．如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O点，将小球拉开较小角度后静止释放，其运动可视为简谐运动，下列操作能使周期变小的是（　　） A．增大摆长 B．初始拉开的角度更小一点 C．在悬点O处放置一个带正电的点电荷 D．在此空间加一竖直向下的匀强电场 【答案】D 【解答】解：A.由单摆周期公式为可知，增大摆长l，周期会变大，故A错误； B.由单摆周期公式为可知，初始拉开的角度更小一点，不影响周期的大小，故B错误； C.在悬点O处放置一个带正电的点电荷，则带正电的小球受到的库仑力始终沿绳的方向，不影响回复力的大小，所以周期不变，故C错误； D.在此空间加一竖直向下的匀强电场，则小球受到的电场力方向竖直向下，与重力方向相同，即等效重力加速度增大，由单摆周期公式为可知，周期会变小，故D正确。 故选：D。 4．测量大型圆筒的内径时，技术工人用直径为d的小钢球置于圆筒内部，使其在筒横截面内做小幅摆动（如图）。测得钢球在时间t内完成全振动的次数为n，假定圆筒内壁光滑，重力加速度g已知，则圆筒的内半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：钢球在圆筒内的运动可看作单摆，摆长为，根据单摆的周期公式，有 钢球在时间t内完成全振动的次数为n，可得钢球在圆筒内运动的周期 联立得 圆筒的内半径R 故ABD错误，C正确。 故选：C。 5．如图是游乐场常见的秋千的示意图，图中绳长为L，轻绳与水平固定杆的夹角为α，在秋千做小角度自由摆动时（未坐人），座椅每次经过最低点的时间间隔可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：座椅做单摆运动，绳长为L，轻绳与水平固定杆的夹角为α，竖直方向摆长为Lsinα，故单摆周期 座椅每次经过最低点的时间间隔，故D正确，ABC错误。 故选：D。 6．如图，某同学利用一半径R较大的固定光滑圆弧槽和一直径为d（d≪R）的刚性小球来测定当地的重力加速度。已知小球的运动为简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．应从小球处于最高点开始计时 B．从不同高度释放，小球的周期不同 C．若将n次全振动误记为n﹣1次，重力加速度的测量值将偏小 D．小球经过最低点时加速度为零 【答案】C 【解答】解：A.在简谐运动中，通常选择平衡位置作为计时起点，此时速度最大，便于测量，最高点速度为零，不是最佳的计时起点，A错误； B.对于简谐运动，周期T只与系统的固有性质（如摆长、重力加速度）有关，与振幅（即释放高度）无关，因此从不同高度释放，小球的周期相同，B错误； C.根据单摆运动的周期公式，若将n次全振动误记为n﹣1次，会使小球运动周期偏大，重力加速度的测量值偏小，C正确； D.在简谐运动中，小球绕点O做圆周运动，小球在最低点时速度最大，但加速度不为零，方向指向O点，D错误。 故选：C。 7．如图所示，一根长为L的细线，上端固定于O点，下端系一可视为质点的小球，质量为m。若小球在竖直平面内做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，求： （1）该单摆的摆长； （2）小球的最大向心加速度？ 【答案】（1）该单摆的摆长为； （2）小球的最大向心加速度为。 【解答】解：（1）由图可知，单摆的周期T＝4t0 根据单摆周期公式 联立解得 （2）摆球到最低点的动能 向心加速度的最大值 解得 答：（1）该单摆的摆长为； （2）小球的最大向心加速度为。 8．一摆的摆长为1m，摆球质量0.01kg，开始时处在平衡位置。若给小球一个向右的水平冲量0.02kg•m/s，以刚打击后为t＝0时刻（　　） A．t＝0时，摆球速度为1m/s B．此次振动的周期约为1s C．若将该摆从山脚移到山顶，其周期增大 D．若将该摆固定在加速向上运动的电梯中，其周期增大 【答案】C 【解答】解：A．由动量定理有 I＝mv﹣0 解得 v＝2m/s 故A错误； B．由单摆周期公式可知，周期为 T≈1.99s 故B错误； C．若将该摆从山脚移到山顶，重力加速度将减小，根据可知，重力加速度减小，周期增大，故C正确； D．若将该摆固定在加速向上运动的电梯中，处于超重现象，电梯中的重力加速度为 g′＝g+a 得加速度变大，根据得，重力加速度增大，周期减小，故D错误。 故选：C。 9．如图所示，竖直面内的光滑圆弧槽上，两个小球甲、乙（均视为质点）同时由静止释放，其中小球甲的初位置离圆弧槽最低点O较远些，小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径。关于小球甲、乙相遇时的情景，下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙的速度相同，相遇点在O点左方 B．小球乙的速度更小，相遇点在O点 C．小球甲的速度更大，相遇点在O点右方 D．无法确定小球甲、乙的速度大小关系，因为两小球的质量关系未知 【答案】B 【解答】解：ABC．小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽半径，其运动可等效为简谐运动，简谐运动的周期公式为。周期T仅与R和g有关，与小球的初始释放位置（振幅）无关，因此甲、乙的周期相同；小球甲、乙从释放至运动到O点所用的时间均为，因此两球会同时到达O点，在O点相遇，故B正确，AC错误。 D．根据机械能守恒定律可得，解得。小球甲的初始位置离O点更远，其从释放到O点的下落高度h更大，所以相遇时小球甲的速度较大，故D错误。 故选：B。 10．如图所示，小球M用细线悬于定点O，小球N位于O点。将小球M拉离平衡位置P少许，同时将两球由静止释放，不计空气阻力。则（　　） A．球M先到达P点 B．球M、N同时到达P点 C．适当调整球M释放位置，两球可能在P点相遇 D．适当提高球N释放高度，两球可能在P点相遇 【答案】D 【解答】解：AB、由题意，设绳子的长度为L，M达到最低点P的时间等于摆动周期的，即 小球N做自由落体运动，运动的时间tM 可知小球N先达到P点，故AB错误； C、调整球M释放位置，M达到P的时间不变，故C错误； D、由于小球N达到P的时间小，所以适当提高球N释放高度，两球可能在P点相遇，故D正确。 故选：D。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 单摆 人教版（2019）· 高中物理 选择性必修第一册 教 学 内 容 导练目标 导练内容 目标1 知道单摆的组成与理想化模型，理解回复力的来源，掌握小角度条件下回复力与位移的关系，会判定单摆做简谐运动（重点）。 目标2 掌握单摆周期公式，理解周期与摆球质量、振幅无关，会分析摆长与重力加速度改变对周期的影响（难点）。 目标3 理解等效摆长与等效重力加速度，会用单摆测定重力加速度并分析相关图像与综合问题（综合应用）。 ■ 知识导学与典例导练 ▍一、单摆的组成与回复力（重点） 1．单摆的定义：用细线悬挂小球，使其在竖直平面内摆动，若细线的质量与小球相比可以忽略、球的直径与线的长度相比可以忽略、空气等阻力与重力和拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型，要尽量选用质量大、体积小的球和尽量细的线。 组成部分 理想化要求 记忆点 细线 质量远小于小球，形变量可忽略 又轻又韧的细丝线 小球 直径远小于线长，质量大、体积小 小而沉的金属球 运动环境 空气阻力远小于重力与拉力 阻力忽略不计 2．单摆回复力的来源：摆球受重力和细线拉力，沿圆弧切线方向的合力使摆球返回平衡位置。单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，即 注意：单摆的回复力不是摆球所受的合力（合力还需提供沿摆线方向的向心力），受力分析时不能把回复力当作额外的力重复计入。 3．小角度近似：在最大偏角很小的条件下，用弧度表示的偏角 θ 与其正弦近似相等，即 其中 x 为摆球偏离平衡位置的位移，l 为摆长。代入回复力表达式可得 令比例系数 这就是简谐运动的动力学表达式：回复力与位移大小成正比、方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动，这也是判定单摆做简谐运动的依据。 ▍二、单摆的周期（难点） 1．周期公式：单摆做简谐运动的周期公式由荷兰物理学家惠更斯首先提出，表达式为 即周期 T 与摆长 l 的平方根成正比，与重力加速度 g 的平方根成反比。 2．周期的影响因素：单摆的周期只由摆长 l 和重力加速度 g 决定，与摆球质量、振幅无关，因此也叫固有周期。同一单摆小角度摆动时，无论振幅大小，周期都相同，这就是单摆的等时性。 相关因素 是否影响周期 规律说明 摆球质量 m 不影响 周期与摆球质量无关 振幅 A（小角度） 不影响 体现单摆的等时性 摆长 l 影响 l 越大，T 越大，周期与摆长的平方根成正比 重力加速度 g 影响 g 越大，T 越小，周期与重力加速度的平方根成反比 3．对摆长的理解：摆长是悬点到摆球球心的距离。普通单摆的摆长等于摆线长加上摆球半径（即摆球直径的一半）；摆动方向不同时还需按等效摆长计算（如斜向悬挂的秋千，等效摆长为摆线在相应方向的投影长度）。 ▍三、单摆的综合应用 1．等效重力加速度：一般情况下，公式中 g 的值等于摆球静止在平衡位置时摆线拉力与摆球质量的比值，即 据此可把电梯、电场、斜面等情境等效为新的重力加速度，再代入周期公式判断周期变化。 典型情境 等效重力加速度的变化 周期变化 地面静止 等于 g，不变 不变 加速上升的电梯 比 g 大，增大 周期变小 加速下降的电梯 比 g 小，减小 周期变大 竖直向下电场中的正电荷 比 g 大，增大（电场力与重力同向） 周期变小 光滑斜面上的单摆 比 g 小，减小（等于 g 与倾角正弦之积） 周期变大 2．用单摆测定重力加速度：由周期公式变形可得 只要测出摆长 l 和 n 次全振动所用的时间、求出周期 T，即可算出当地的重力加速度；计时一般从摆球经过最低点开始，并注意分析摆长、周期测量带来的误差。 3．图像综合：单摆的位移—时间图像、拉力—时间图像、动能—时间图像都与周期相关。一个周期内摆球两次经过最低点，拉力、动能各出现两次峰值，读图时要结合周期与最低点、最高点的运动特征。 ▍考向一 单摆的回复力与简谐运动 单摆是实际摆的理想化模型，其回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；在最大偏角很小的条件下，回复力与位移成正比、方向指向平衡位置，符合简谐运动的动力学特征，因此单摆做简谐运动。 【例1】单摆在振动过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．摆球经过同一高度速度相同 B．摆球在最低点加速度为零 C．重力沿垂直摆线方向的分力提供回复力 D．同一单摆，在北京和南京振动的周期相同 【例2】如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点加速度为0 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 D．增大半径R，小球运动的周期不变 【例3】如图，单摆在AB之间做简谐运动，A、B为运动最高点，O为平衡位置。下列关于单摆说法正确的是（　　） A．经过O点时，向心力和回复力均不为零 B．经过A点时，向心力和回复力均为零 C．在半个周期内，合外力的冲量一定为零 D．在半个周期内，合外力做的功一定为零 ▍考向二 单摆的周期及影响因素 单摆做简谐运动的周期公式由惠更斯首先提出，周期只与摆长和重力加速度有关，与摆球质量、振幅无关（等时性）；比较周期时抓住摆长（悬点到球心的距离）与重力加速度的变化。 【例4】如图所示单摆摆线上端固定，下端悬挂一个小钢球。将小球拉离平衡位置一个小角度θ（θ＜5°）释放。欲增大该单摆的周期T，可行的方案是（　　） A．增大摆角θ B．换用质量更大的小钢球 C．换用更长的摆线 D．换用直径更小的小钢球 【例5】如图所示，甲、乙、丙、丁四个单摆在同一地点做简谐振动，其中周期最长的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例6】如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其运动的周期变大，可以（　　） A．减小单摆振幅 B．缩短单摆摆长 C．增大摆球质量 D．减小斜面倾角 ▍考向三 单摆的综合应用 对电梯、电场、斜面等情境，用摆球静止在平衡位置时摆线拉力与质量之比确定等效重力加速度，结合等效摆长代入周期公式；利用周期公式可测定重力加速度，并结合振动图像、拉力图像综合判断。 【例7】如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4，关于周期大小关系的判断，正确的是（　　） A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＜T3＜T4 C．T1＜T2＝T3＜T4 D．T1＞T2＝T3＞T4 【例8】某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 【例9】如图1所示，一单摆悬挂在O点，在O点正下方P点有一个钉子，将小球（可视为质点）拉到A点后静止释放，小球在竖直平面内做简谐运动，摆球的振动图像如图2所示。已知摆球摆角始终不超过5°，重力加速度g取10m/s2，不计一切阻力和能量损失，下列说法中正确的是（　　） A．该单摆的周期为0.4πs B．OP间的距离为1.6m C．t＝0.2πs时小球动能最大 D．图中x1与x2的比值为2：1 ■ 课堂训练（中上难度） 1．如图甲，O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、B之间来回摆动。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，则该单摆的周期为（　　） A．0.1π B．0.2π C．0.4π D．0.8π 2．如图甲所示是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最高点。规定向右为正方向，图乙所示是其振动图像。取π2≈10，g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．摆球摆到平衡位置O点时合力为零 B．在0.6s～0.8s时间内，小球的动能逐渐增大 C．t＝0.4s时摆球位于B点 D．此单摆的摆长约为0.16m 3．如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O点，将小球拉开较小角度后静止释放，其运动可视为简谐运动，下列操作能使周期变小的是（　　） A．增大摆长 B．初始拉开的角度更小一点 C．在悬点O处放置一个带正电的点电荷 D．在此空间加一竖直向下的匀强电场 4．测量大型圆筒的内径时，技术工人用直径为d的小钢球置于圆筒内部，使其在筒横截面内做小幅摆动（如图）。测得钢球在时间t内完成全振动的次数为n，假定圆筒内壁光滑，重力加速度g已知，则圆筒的内半径R为（　　） A． B． C． D． 5．如图是游乐场常见的秋千的示意图，图中绳长为L，轻绳与水平固定杆的夹角为α，在秋千做小角度自由摆动时（未坐人），座椅每次经过最低点的时间间隔可表示为（　　） A． B． C． D． 6．如图，某同学利用一半径R较大的固定光滑圆弧槽和一直径为d（d≪R）的刚性小球来测定当地的重力加速度。已知小球的运动为简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．应从小球处于最高点开始计时 B．从不同高度释放，小球的周期不同 C．若将n次全振动误记为n﹣1次，重力加速度的测量值将偏小 D．小球经过最低点时加速度为零 7．如图所示，一根长为L的细线，上端固定于O点，下端系一可视为质点的小球，质量为m。若小球在竖直平面内做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，求： （1）该单摆的摆长； （2）小球的最大向心加速度？ 8．一摆的摆长为1m，摆球质量0.01kg，开始时处在平衡位置。若给小球一个向右的水平冲量0.02kg•m/s，以刚打击后为t＝0时刻（　　） A．t＝0时，摆球速度为1m/s B．此次振动的周期约为1s C．若将该摆从山脚移到山顶，其周期增大 D．若将该摆固定在加速向上运动的电梯中，其周期增大 9．如图所示，竖直面内的光滑圆弧槽上，两个小球甲、乙（均视为质点）同时由静止释放，其中小球甲的初位置离圆弧槽最低点O较远些，小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径。关于小球甲、乙相遇时的情景，下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙的速度相同，相遇点在O点左方 B．小球乙的速度更小，相遇点在O点 C．小球甲的速度更大，相遇点在O点右方 D．无法确定小球甲、乙的速度大小关系，因为两小球的质量关系未知 10．如图所示，小球M用细线悬于定点O，小球N位于O点。将小球M拉离平衡位置P少许，同时将两球由静止释放，不计空气阻力。则（　　） A．球M先到达P点 B．球M、N同时到达P点 C．适当调整球M释放位置，两球可能在P点相遇 D．适当提高球N释放高度，两球可能在P点相遇 1 学科网（北京）股份有限公司 $