微专题立体几何动点、存在性探究（空间向量）导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：立体几何动点、存在性探究（空间向量） 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·空间向量与立体几何 ｜ 定位：课后微拓展 / 二轮补漏专项 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论（参数化三步、三处易错、锐钝判断）｜破·典型题型（单动点、角度定值、双动点）｜结·方法总结｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本节教材按「建立坐标系、写出坐标、求法向量、代入公式」的顺序编排，例题中的动点位置大多已经给定；棱上取点的动点问题只出现在习题里，如求线面角的最大值、判断某个位置能否使线面平行。新高考解答题的第(3)问常以此设问：题干只说明「棱上是否存在一点」，坐标系与参数都要由学生自行设定，最后还要判断解出的点是否真的落在棱上。教材对此未作展开，本讲即从这里切入。 考查形式：解答题 12 分左右，三问递进：①证明平行或垂直（4—5 分）；②求线面角或二面角（5—6 分）；③判断棱上是否存在一点，求参数值或说明理由（4—6 分，多作压轴）。选填题主要考两处：二面角余弦的取值范围、参数 λ 的临界值。失分集中在三处：建系时未说明三线两两垂直，参数解出后未回验 ，二面角直接取法向量夹角而未判锐钝。这三处不影响式子的书写，却决定结论能否成立。 第二部分　记·模型与结论 一、动点的参数化：一个 λ 定三个坐标 棱上取点按向量的表示写成 ，其中 。 时 与 重合， 时与 重合， 时点 在棱内。坐标由两端点的坐标加权平均给出： 坐标中的 λ 一路保留，方向向量、法向量、数量积都含 λ，到列方程时才作为未知量参与运算。中途代成具体数值，就失去了列方程的依据。 二、存在性三步：假设、列方程、验范围 ①假设存在，把动点写成含 λ 的坐标；②把平行、垂直、角为定值三类条件译成关于 λ 的方程；③解方程，检验 λ 是否落在 内。前两步决定式子是否正确，第三步决定结论是否成立。三类条件按判定定理与向量公式翻译，其中 表示平面的法向量： 线面角与二面角的条件两边都含模长，平方后才成为一元二次方程，因此常多出一个根，需按几何意义筛除。 三、方程的次数与两个根 坐标与方向向量对 λ 都是一次的，数量积因而是一次式；求角时两边含模长，平方后升为二次式，所以常有两个根。两个根对应两种位置：一在棱内、一在端点，或一在棱内、一在棱外。 端点的根多对应动点与顶点重合、条件退化为恒等式的情形；区间外的根对应的点不在棱上。舍去的根要写出并说明理由，否则阅卷时无法判断是筛过还是漏过。 四、「不存在」的两种情形 第一种：方程有解，但解在区间外。如解得 ，而棱上只允许 ，结论为不存在。 第二种：方程无解。数量积恒等于一个与 λ 无关的非零常数；或解得 ，而 的最大值为 。 两种情形都要写出理由。「由 ，点 不在棱 上，故不存在」与「由 知 不能取到」都是可给分的写法。只写「不存在」，不得分。 五、三处易错 ① 建系前未证三线两两垂直。底面是正方形时，由 与 底面可推出 、；底面是菱形时没有现成的直角，需另作一条与棱垂直的直线并说明理由。这三句是坐标成立的依据，缺一句则整段坐标失去依据。 ② 解出参数未回验。 满足方程，但对应的点不在棱上。 ③ 二面角直接取法向量夹角。两个法向量的夹角与二面角相等或互补：一条指向二面角内部、一条指向外部时相等，两条同指向内或同指向外时互补。式子里看不出属于哪一种，需结合图形或在垂直于棱的截面内量角判断。 六、四种底板与建系位置 ① 底面是正方形或矩形：三条坐标轴直接取棱所在直线，各点坐标均为整数。 ② 底面是菱形或平行四边形：以一条棱所在直线为 轴，在底面内过端点作该棱的垂线为 轴，顶点坐标会出现 、 一类数，边长与角须先算准。 ③ 侧面垂直于底面：在该侧面内作交线的高，垂足即原点。这一步须先用面面垂直的性质定理证明，不写则属建系无依据。 ④ 三棱锥且一条侧棱垂直于底面：以垂足为原点，底面内两条互相垂直的直线为 、 轴。底面没有直角时，先看题干是否给出 ，没有则需自行作垂线并说明。 七、二面角锐钝的判断 ① 由法向量的指向判断：一条指向二面角内部、一条指向外部，法向量夹角即为二面角；两条同指向内或同指向外，二者互补。判断指向时可取二面角内部一点 ，考察 的符号， 为棱上一点。 ② 在垂直于棱的截面内量角：以棱上一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线的夹角即二面角的平面角。所得为几何角，不带符号，可用于核对向量法的结果。题干已写明「锐二面角」或「钝二面角」时，符号已定。 卷面写三步：先算 ，再按图形定锐钝，最后写「故二面角的余弦值为……」，符号与取舍一并交代。 第三部分　破·典型题型 题型一　单动点：一个 λ 翻译三种条件 【解题技巧】棱上取点先写 ，把 λ 留在坐标里；平行、垂直用数量积，角用正弦或余弦公式。解出 λ 后须回验是否落在 内，这一步决定结论是否完整。 【教学提醒】板演分三块：建系依据写一次，坐标列一行，各问只写方向向量与法向量。第(1)问用几何法更快，第(2)(3)问用向量法，两种方法都应提一句，便于学生判断何时转换。 【典例 1-1】（原创改编） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 是棱 上的点。 （1）证明： 平面 ； （2）若 为棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）是否存在点 （异于 、），使 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 【错解展示】第(3)问把 、、 投影到平面 内，用投影线的斜率判断垂直：，，由 得 ，解得 ，与正确答案 不符。 【错因剖析】斜率之积为 只适用于同一平面内的两条直线。、、 三点确实共面，但投影到 平面后， 方向的分量被舍去，投影垂直与空间垂直并不等价：、 的 分量分别为 与 ，它们在数量积中的乘积 一般不为零，投影判据漏掉的正是这一项。 空间中的垂直只有数量积一条判据。把 的坐标写成含 λ 的三元组， 是关于 λ 的一元二次方程，解出后按「异于 、」筛根即可。 解析：建系：由底面 是正方形得 ；由 平面 ， 平面 、 平面 得 、。以 为原点，以 、、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，三条坐标轴两两垂直，建系成立。 各顶点坐标依次为 、、、、。 （1），，，于是 ，，即 、。 与 交于点 ，同在平面 内，由线面垂直的判定定理得 平面 。几何法同此：正方形对角线互相垂直， 底面得 ，两条相交直线已足够。 （2）设直线 与平面 所成角为 。 为 中点时 ，。设平面 的法向量 ，，，由 、 得 。 由 得 ；由 得 。取 ，得 。 于是 ，所求正弦值为 。 （3）由题意 异于 、，故 。设 ，由 得 ，于是 ，。 由 得 ，即 ，展开整理得 ，即 。 解得 或 。 时 与 重合，与「异于 、」矛盾，舍去； 落在 内。故存在这样的点 ，。 回验： 时 ，，，数量积 ，垂直成立。 【高考卷面答题规范】卷面分四步：①写出建系依据（正方形给出 ， 底面给出 、），再交代原点与三条坐标轴；②列出五个顶点的坐标；③第(2)问先写「设平面 的法向量为 」，把方程组及求解过程写出后再取法向量，直接写「易得 」要扣步骤分；④第(3)问先设 并注明 ，写出数量积为零的方程，解出两根后补一句「 时 与 重合，不合题意，舍去」，最后作答。 参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，。 【学情易错提醒】 时 与 重合，、 即正方形的边 、，仍满足 。题干限定「异于 、」，此根才舍去；若只说「棱 上一点」，两个值都成立。端点是否可取，是本题的失分点。 【变式 1-1】（原创改编） 如图，四棱锥 的底面 是菱形，，， 平面 ， 是棱 上的点（异于 、）。 （1）证明：平面 平面 ； （2）若 为棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 【错解展示】第(3)问设 后，只算了一个数量积：，见它对任意 λ 都成立，于是答「棱 上每一点都满足， 的位置不能确定」。 【错因剖析】一条垂直推不出线面垂直。 对任意 λ 都成立，原因清楚：菱形对角线给出 ， 底面给出 ，故 平面 ，而 始终落在平面 内。这一条不含 λ，无法用来确定点的位置。 判定定理要求两条相交直线：再取平面 内的 ，由 得 ，。只写 一条就作答，等于把恒等式当作条件，结论会写成整条棱上的点都满足。 解析：建系：底面是菱形，， 与 不垂直，底面内没有现成的直角。以 为原点，以 所在直线为 轴，在平面 内过 作 的垂线为 轴（取指向 的一侧），以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系。依据： 平面 ，故 、 轴； 轴与 由作法互相垂直。三条直线两两垂直，建系成立。 由 、 得 ；，故 ；又 ，。 （1），，，则 ，，即 、，故 平面 。又 平面 ，由面面垂直的判定定理得平面 平面 。 （2）设直线 与平面 所成角为 。 为 中点时 ，。设平面 的法向量 ，，，由 、 得 。 由 得 ；由 取 得 ，故 ，，。 于是 。 （3）设平面 的法向量 ，，，由 、 得 。 由 得 ；由 得 。取 ，得 。 设 ，由题意 ，则 ，。判 平面 需两条相交直线： 恒成立（ 平面 ， 在其内），不含 λ；再由 得 。此时 、，故 平面 。 落在 内，且 满足 ，即 不在平面 内，垂直关系非退化。故存在这样的点 ，。 【高考卷面答题规范】建系一段的写法要与底面形状匹配：底面是正方形可以直接写 ，底面是菱形则须补一句「过 作 的垂线为 轴」，并把 的坐标由 与 推出，不能照图直写 。第(3)问判线面垂直要写足两条相交直线：先说明 这一条为何恒成立，再由 定出 λ。 参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，。 【学情易错提醒】本题底面是菱形，第(1)问若引用「菱形对角线互相垂直」这一结论，还须交代 （由 底面得到），两条相交直线缺一不可。只写 就下结论，判定定理只用了一半。 题型二　单动点：角度为定值，先定锐钝再解方程 【解题技巧】二面角要带符号：两个法向量的夹角与二面角相等或互补，先定锐钝，再决定取正或取负。定值条件写成含 λ 的方程，解出的根同样回验 。 【教学提醒】第(2)问先让学生由图判断锐钝再动笔，第(3)问把解出的 λ 与判断作对照。 由 增到 时二面角由 减到 ，可让学生取端点值自行验证。 【典例 2-1】（原创改编（新高考卷型）） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧面 是正三角形，平面 平面 ， 是棱 上的点（异于 、）。 （1）证明： 平面 ； （2）若 为棱 的中点，求二面角 的余弦值； （3）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 【错解展示】第(2)问取平面 的法向量 、底面法向量 ，算出 ，直接把负值写成答案；第(3)问把条件写成 ，解出两个 λ 都算「存在」。 【错因剖析】法向量的取法不唯一， 与 都是平面 的法向量，两者相差一个负号，夹角随之变为补角。因此法向量夹角的余弦不是答案，答案取决于二面角的平面角。 判断依据在图上：、 的 坐标均为正，两点在棱 的同侧，二面角的平面角为锐角，余弦为正。第(3)问的定值条件应写成 ，不能加绝对值：加绝对值等于允许钝角分支，而本题 λ 由 增至 时二面角由 减至 ，全程为锐角，多出的根来自平方，不是解的个数问题。 解析：建系：取 的中点 ，连接 。侧面 是正三角形，故 ，。由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 且 ，根据面面垂直的性质定理得 平面 。于是 ， 垂直于底面内过 的任一直线。以 为原点，以 、过 平行于 的直线、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系；正方形给出 ，三条直线两两垂直，建系成立。 各顶点坐标依次为 、、、、。 （1），，，则 ，，即 、，故 平面 。几何法：平面 平面 ，交线为 ， 平面 且 ，由面面垂直的性质定理直接得 平面 。 （2） 为 中点时 ，，。设平面 的法向量 ，由 、 得 。 由 得 ；由 得 。取 ，得 ，。底面 的法向量取 ，则 。 判断锐钝：、 的 坐标均为正，两点在棱 的同侧，截面内两条射线分别指向 与 ，夹角为锐角，余弦为正，故二面角 的余弦值为 。 （3）设 ，由题意 。由 得 ，。设平面 的法向量 ，由 得 ，由 得 。取 ，得 ，。 于是 。 时分子为正，截面内两射线的夹角为锐角，故二面角 的余弦即为该式。 令 ，两边平方得 ，化简得 ，即 。解得 或 ，其中 ，舍去；。 故存在这样的点 ，。回验： 时 ，，，二面角为 ，与题设一致。 【高考卷面答题规范】第(1)问若走面面垂直的性质，要把三个条件写全：平面 平面 、交线为 、 平面 且 。第(2)问给出法向量的余弦之后，须补一句锐钝判断，如「由图知二面角为锐角，故余弦值为 」，否则符号无从确认。第(3)问写方程时用 ，不加绝对值，并把负根舍去的理由写出。 参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，。 【学情易错提醒】本题易错在两处：一是把法向量夹角当作二面角，符号取反；二是建系时把 取作 的中点却未说明 底面，坐标失去依据。另外， 这类写法本身不错，同一平面有无数个法向量，取定之后符号须与锐钝判断一致。 【变式 2-1】（原创改编） 如图，三棱锥 中， 平面 ，，， 是棱 上的点。 （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； （3）直线 与平面 所成角能否为 ？说明理由。 【错解展示】第(3)问由 与 得 ，再代回 ，得 ，解出 或 ，两个值都不在 内，于是认为题目有误，空着不作答。 【错因剖析】这一步缺的是范围意识。点 到平面 的距离是定值 ，线面角的正弦只由 决定，而 在棱 上，。先求出这个范围，，不解方程即可断定 不可能。 「解方程解不下去」与「不存在」是两件事：前者是运算受阻，后者是数学结论。阅卷只看后者，因此答题须给出范围论证，把 写成一行。 解析：建系： 平面 ，故 、；又 。以 为原点，以 、、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，三条直线两两垂直，建系成立。 各顶点坐标依次为 、、、。 （1），，，则 ，，即 、，故 平面 。 （2），。设平面 的法向量 ，由 、 得 。 由 得 ；由 得 。取 ，得 ，。平面 的法向量取 ，则 。 判断锐钝：在垂直于 的截面内，两条射线分别从 的中点指向 与 ，夹角余弦为 ，二面角 为锐角，余弦值为 。 （3）设直线 与平面 所成角为 。设 ，，由 得 ，。 点 到平面 的距离为 ，与 λ 无关。于是 。 而 ，故 ，从而 。 因为 ，即 ，所以直线 与平面 所成角的最小值为 ， 不能取到。结论：不能。 【高考卷面答题规范】第(3)问的得分点不在解方程，而在两句话：一句写出「 到平面 的距离为 ，与 λ 无关」，一句写出「」，由此夹出正弦的范围，再与 比较。范围写出，结论即为必然；只写「解不出 λ」，不得分。 参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）不能，理由见解析（）。 【学情易错提醒】 的最大值在端点取到，最小值在 为 中点时取到，两端都要在卷面上写清。另需注意：题中的角是「直线 与平面 」， 在平面内，定义不受影响。 题型三　双动点：两个参数，一个二次型 【解题技巧】两条棱上各取一点，参数变为两个：、。距离、角都化成 的二次型，按一个参数配方后，再对另一个参数配方，最后回验 、 是否落在 内。 【教学提醒】双动点不必求偏导，二次型配方学生可以完成。板演把配方结果写完整：，最小值与取到位置由此读出。配方之后要提醒：两个驻点都须落在 内，最小值才能取到。 【典例 3-1】（原创改编（新高考卷型）） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，，、 分别是棱 、 上的点。 （1）若 、 分别为 、 的中点，证明： 平面 ； （2）设 ，，其中 ，，求 的最小值，并求此时 、 的值； （3）当 取最小值时，求直线 与平面 所成角的大小。 【错解展示】第(2)问由对称性猜 、 各取中点，得 ，，据此认定最小值为 ；另有学生把 算作 ，得最小值 。 【错因剖析】对称位置不是最小值点。λ 由 增至 时， 的高度下降比 快，两点距离仍在减小，真正的驻点为 、。取中点得 ，大于最小值 。 是两点间的距离，不是两段长度之差。，三个向量方向各异，写成 相当于认为 与 共线反向，而 与 是异面直线，方向不平行。 解析：建系：由底面 是正方形得 ；由 平面 得 、。以 为原点，以 、、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，三条直线两两垂直，建系成立。 各顶点坐标依次为 、、、、。 （1） 为 中点、 为 中点时，，，，，故 ，。 平面 ， 平面 （ 的 坐标为 ，不在该平面内），故 平面 。几何法： 是正方形的中心，也是 的中点，在 中 为中位线，故 。 （2）由 、 得 ；由 、 得 。于是 。 展开得 。交叉项在展开中抵消，两个参数可分别配方。 配方得 。故当 、 时取最小值 ，即 。两个驻点都落在 内，最小值可以取到。 （3）此时 ，，，其方向向量可取 。设平面 的法向量 ，，，由 、 得 、，取 。 设直线 与平面 所成角为 。，于是 ，所求角为 。 【高考卷面答题规范】第(2)问要写出目标函数的展开式与配方结果，只报最小值不给过程分；配方之后补一句「两个驻点均在 内」，说明最小值确实在棱上取到。第(3)问先写明此时 、 的坐标，再取方向向量与法向量，最后代线面角公式； 是角， 是正弦值，两者不可混写。 参考答案：（1）证明见解析；（2） 的最小值为 ，此时 ，；（3）。 【学情易错提醒】第(1)问用中位线更快，但须先点明 既是 的中点也是 的中点，否则说法无据。第(2)问的驻点恰好给出公垂线段： 同时垂直于 与 ，两条异面直线的距离即 ，可作为检验答案的旁证。 【变式 3-1】（原创改编） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧面 是正三角形，平面 平面 ，、 分别是棱 、 上的点。 （1）求二面角 的余弦值； （2）设 ，，其中 ，，求 的最小值； （3）当 取最小值时，求直线 与平面 所成角的正弦值。 【错解展示】第(2)问把 展开后得到 ，见交叉项 即停手，认为「配方无法进行」，改用代特殊值比较，取 得 ，把它当作最小值。 【错因剖析】交叉项不构成障碍，按一个参数整理即可：把式子看作 的二次函数，，对称轴为 ，配方后得 ，最小值与取到位置同时读出。 取特殊值只能给出上界，不能证明最小。 代入得 ，大于最小值 ，正落在「试一个位置」的误区里。 解析：建系：取 的中点 ，连接 。侧面 是正三角形，故 ，。由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 且 ，根据面面垂直的性质定理得 平面 。以 为原点，以 、过 平行于 的直线、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系；正方形给出 ，三条直线两两垂直，建系成立。 各顶点坐标依次为 、、、、。 （1），。设平面 的法向量 ，由 、 得 。 由 得 ；由 得 。取 ，得 ，。底面法向量取 ，。 判断锐钝： 在底面的射影为 ， 与 在棱 的同侧，截面内两条射线分别指向 与 ，夹角为锐角，故二面角 的余弦值为 。 （2）由 、 得 ；由 、 得 。于是 。 展开得 。把它看作 的二次函数，配方得 。 故当 、 时， 取最小值 ，。两个驻点都落在 内，最小值可以取到。 （3）此时 ，，，其方向向量可取 。 平面 的方程为 ，取法向量 。设直线 与平面 所成角为 ，则 ，所求正弦值为 。 【高考卷面答题规范】第(2)问的配方分两步写：先把式子整理成 的二次函数并配方，得对称轴 ；再对余下的 λ 部分配方。两步都写在卷面上，驻点与最小值才有出处。第(3)问先写出取到最小时 、 的坐标，再取方向向量，最后代线面角公式。 参考答案：（1）；（2），此时 ，；（3）。 【学情易错提醒】本题的原点不在顶点上，而在 的中点 ，五个顶点的坐标都带负号或分数，抄写时 与 最易出错。另需注意：平面 的方程为 ，法向量直接取 ，不必再列方程组。 第四部分　结·方法总结 本讲只做一件事：把「棱上是否存在一点」译成关于参数 λ 的方程，再回验 λ 是否落在棱上。三个题型的区别只在条件的类型与参数的个数。 一条主线：参数化、翻译、验范围 参数化：棱上取点写 ，，坐标中保留 λ。翻译：平行、垂直用数量积，角用正弦或余弦公式。验范围：解出的 λ 回 核对，超界的舍去，端点按题干是否允许取舍。 三类条件的翻译口径 线面平行：，同时说明 ，否则直线可能整条落在平面内。线面垂直： 且 ，比列两个数量积省算，也不会被恒等式误导。线面角与二面角：前者用 ，后者用余弦并另判锐钝。 二面角与法向量夹角的关系 两个法向量的夹角与二面角相等或互补，取哪一个不在式子里，在图上：由法向量的指向判断，或在垂直于棱的截面内量角。定值条件写成 ，不加绝对值，除非题目问的就是「所成角」或「余弦的绝对值」。 双动点：二次型配方 两个参数的目标函数是一个二次型，交叉项有时抵消，有时不抵消。不抵消时先按一个参数整理，配方得对称轴，再对余下的参数配方。配完之后补一句「两个驻点都落在 内」，最小值才算取到。 存在性答题的四句话 ①「假设存在点 ，设 ，」；②「由题意得……，即（关于 λ 的方程）」；③「解得 ，其中……不合题意，舍去」；④「所以存在（或不存在）这样的点 ，此时 」。四句齐备，过程分与结论分都在。 本讲的处理可概括为三步：设参时写明端点是否可取，解方程时两根都写出，回验时把舍根的理由写清楚。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 前四道小题考查坐标与公式的直接运用，第五道为概念辨析，第七道为完整的两问书写。 1．（单选）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 解析：由 平面 与底面为正方形，得 、、 两两垂直。以 为原点，以 、、 所在直线分别为 、、 轴建系，则 、、，，。平面 的方程为 ，法向量 。 设直线 与平面 所成角为 ，则 ，选 B。 参考答案：B 2．（单选）三棱锥 中， 平面 ，，， 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 解析：由 平面 、，得 、、 两两垂直。以 为原点建系，则 、、，，。平面 的法向量 。 设所成角为 ，，故 ，选 B。 参考答案：B 3．（单选）已知两个平面的法向量所成的角为 ，则这两个平面所成的二面角的大小为（　　） A．只能是 B．只能是 C． 或 D．不能确定，与法向量的模有关 解析：两个法向量的夹角与二面角相等或互补，取决于法向量的指向：都指向二面角内部（或都指向外部）时互补，一内一外时相等。故二面角可能为 ，也可能为 ，选 C。 若题干另加「锐二面角」，答案才是 ；加「钝二面角」则为 。 参考答案：C 4．（单选）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，，则二面角 的余弦值为（　　） A． B． C． D． 解析：建系后 、、。平面 的法向量由 、 定为 ，底面法向量取 。 。在垂直于 的截面内，两条射线分别指向 与 ，夹角余弦为 ，二面角为锐角，余弦值为 ，选 B。 参考答案：B 5．（多选）关于空间向量处理动点与存在性问题，下列说法正确的是（　　） A．若 且 ，则点 在线段 上 B．若关于 λ 的方程解出 ，而点 限定在棱 上，则这样的点 不存在 C．直线与平面所成角 满足 ，其中 是平面的法向量 D．两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的二面角 解析：A 对：λ 从 到 连续取值，点 从 移到 ，扫过的正是线段 。B 对：棱上只允许 ， 对应的点在射线 上、线段 之外。C 对：这是线面角公式的向量形式，取绝对值是因为两向量夹角可能为钝角，而线面角不超过 。 D 错：法向量夹角与二面角相等或互补，需按法向量的指向判断。故答案为 ABC。 参考答案：ABC 6．（填空）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为______。 解析：建系后 、、，，。设平面 的法向量 ，由 、 得 ，。 ，，故点 到平面 的距离 。 参考答案： 7．（解答）如图，在直三棱柱 中，，， 是棱 上的点。 （1）证明： 平面 ；（2）是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 解析：建系与依据： 给出 ；直棱柱的侧棱垂直于底面，故 、。以 为原点，以 、、 所在直线分别为 、、 轴建系，坐标依次为 、、、、。 （1），，，则 ，，即 、，故 平面 。 （2）设 ，，则 ，。设平面 的法向量 ，，，由 得 ，由 得 ，取 。 由 平面 得 ，即 ，解得 。而棱上要求 ， 不在其中，故这样的点 不存在。 另需说明 不在平面 内：平面 的方程为 ， 满足 ，平行关系非退化。 参考答案：（1）证明见解析；（2）不存在（解得 ）。 二、培优小练（15 分钟） 第一、二道考定值与最值，第三道为多选的综合判断，第五道为双动点的完整书写。 1．（单选）四棱锥 的底面 是菱形，，， 平面 ， 是棱 上一点，且 。若二面角 的大小为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：建系后 、、、、，，其中 。取 的中点 ，它也是 的中点。 菱形对角线给出 ，故 ；又 在 上， 的投影 落在 上，可验 ，即 。于是二面角 的平面角为 。 ，，计算得 ，，。 由 得 ，平方整理得 ，解得 或 。 两个根都要回原式检验： 时余弦为 ，二面角为 ； 时余弦为 ，二面角为 ，是平方引入的增根，舍去。故 ，选 A。干扰项 C 即该增根。 参考答案：A 【学情易错提醒】增根来自平方： 平方之后， 也被带入， 属这一支。二面角的余弦带符号，平方之前应先定锐钝。 2．（单选）三棱锥 中， 平面 ，，， 是棱 上一点，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． 解析：点 到平面 的距离为定值 ，故设所成角为 时 ，正弦最大即 最小。 设 ，，，，最小值 在 为 中点时取到。此时 ，选 B。 参考答案：B 【学情易错提醒】正弦最大等价于 最小，这一步依赖「 到平面 的距离为定值」。若把 移到棱 上， 落在该直线上，距离不再是常数，结论须重算。 3．（多选）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，。 是棱 上一点， 是对角线 上一点，记 ，，其中 。下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 B．存在 、，使 平面 C．存在 、，使 平面 D．当 取最小值时，直线 与平面 所成角为 解析：建系后 ，，，，最小值为 ，A 对。 B： 平面 需 ，即 ；取 得 ，又 的 坐标为 ，不在平面 （）内，故平行成立，B 对。 C： 平面 需 ，即 且 ，后者化为 ，无解，C 错。 D：、 时 ，方向向量可取 ；平面 的法向量 ，设所成角为 ，，角为 ，D 对。故答案为 ABD。 参考答案：ABD 【学情易错提醒】B 选项的 平面 有两个条件：方向向量与法向量垂直，且 不在平面内。只验前者不够， 之后还须说明 的 坐标不为零。 4．（填空）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 是棱 上一点，。当直线 与平面 所成角最大时，______。 解析：平面 的法向量 ，，则 ，与 λ 无关，故 ，其中 。 ，最小值在 处取到，此时 ，角为 ，为最大。 参考答案： 【学情易错提醒】「角最大」与「正弦最大」在这里等价，因为线面角落在 内。若换成二面角，最大值与最小值须分别讨论。 5．（解答）如图，四棱锥 的底面 是菱形，，， 平面 ，、 分别是棱 、对角线 上的点。 （1）证明：；（2）设 ，，其中 ，求 的最小值，并求此时 、 的值；（3）当 取最小值时，求直线 与平面 所成角的正弦值。 解析：建系与依据：底面是菱形，没有现成的直角。以 为原点，以 所在直线为 轴，在平面 内过 作 的垂线为 轴，以 所在直线为 轴建系。依据： 平面 ，故 、 轴； 轴与 由作法互相垂直。坐标依次为 、、、、。 （1），，则 ，故 。几何法：菱形对角线 ，又 底面得 ，故 平面 ， 平面 ，于是 。这一垂直在第(2)问中要用到： 同时垂直于 与 时，它就是两条异面直线的公垂线段，其长度即两点间距离的最小值。 （2），，。展开得 ，交叉项抵消，两个参数可分别配方：。 交叉项之所以抵消，几何上是因为 ： 在底面的投影沿 方向，与 垂直，两个参数的一次项互不牵连。正方形底板同样有 ，所以典例 3-1 的交叉项也恰好抵消。 故当 、 时， 取最小值 。两个驻点都落在 内，最小值可以取到。 （3）此时 ，，。平面 的方程为 ，取法向量 。 设直线 与平面 所成角为 ，则 ，所求正弦值为 。 这一步也可用坐标差核对：平面 为 ，两点 坐标之差为 ，它与 之比为 ，即线面角的正弦，与公式所得一致。 回验：把 、 代回，，计算 ，，说明该线段同时垂直于两条异面直线，于是 就是 与 之间的距离，与二次型算出的最小值一致。 驻点落在棱的内部，端点处 都更大，不必再比较端点值。四个角点 、、、 处， 依次为 、、、，均大于 ，最小值确在棱的内部取到。若把 移到棱 上，二次型会多出 的交叉项，按一个参数整理配方即可，思路与本题相同。 对照典例 3-1：两题的动点都取在一条侧棱与一条底面对角线上，差别只在底板。正方形底板下顶点坐标均为整数，交叉项恰好抵消，驻点为 ；菱形底板下 的坐标含 ，系数变为 与 ，驻点移至 。底板改变后系数随之改变，设参与配方的步骤不变。两题并置讲授，学生容易看清哪一部分随底板变化、哪一部分不随底板变化：变的是法向量、系数与驻点，不变的是设参、配方、验范围的顺序。 参考答案：（1）证明见解析；（2）最小值为 ，此时 ，；（3）。 【学情易错提醒】菱形底面的 轴须自行作出， 的坐标由 与 算出；若直接把 写成 或 ，后面每个数量积都会随之出错。另需注意方向： 中 由 指向 ，若写成 到 ，μ 的含义相反，驻点位置随之改变。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：立体几何动点、存在性探究（空间向量） 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·空间向量与立体几何 ｜ 定位：课后微拓展 / 二轮补漏专项 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论（参数化三步、三处易错、锐钝判断）｜破·典型题型（单动点、角度定值、双动点）｜结·方法总结｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本节教材按「建立坐标系、写出坐标、求法向量、代入公式」的顺序编排，例题中的动点位置大多已经给定；棱上取点的动点问题只出现在习题里，如求线面角的最大值、判断某个位置能否使线面平行。新高考解答题的第(3)问常以此设问：题干只说明「棱上是否存在一点」，坐标系与参数都要由学生自行设定，最后还要判断解出的点是否真的落在棱上。教材对此未作展开，本讲即从这里切入。 考查形式：解答题 12 分左右，三问递进：①证明平行或垂直（4—5 分）；②求线面角或二面角（5—6 分）；③判断棱上是否存在一点，求参数值或说明理由（4—6 分，多作压轴）。选填题主要考两处：二面角余弦的取值范围、参数 λ 的临界值。失分集中在三处：建系时未说明三线两两垂直，参数解出后未回验 ，二面角直接取法向量夹角而未判锐钝。这三处不影响式子的书写，却决定结论能否成立。 第二部分　记·模型与结论 一、动点的参数化：一个 λ 定三个坐标 棱上取点按向量的表示写成 ，其中 。 时 与 重合， 时与 重合， 时点 在棱内。坐标由两端点的坐标加权平均给出： 坐标中的 λ 一路保留，方向向量、法向量、数量积都含 λ，到列方程时才作为未知量参与运算。中途代成具体数值，就失去了列方程的依据。 二、存在性三步：假设、列方程、验范围 ①假设存在，把动点写成含 λ 的坐标；②把平行、垂直、角为定值三类条件译成关于 λ 的方程；③解方程，检验 λ 是否落在 内。前两步决定式子是否正确，第三步决定结论是否成立。三类条件按判定定理与向量公式翻译，其中 表示平面的法向量： 线面角与二面角的条件两边都含模长，平方后才成为一元二次方程，因此常多出一个根，需按几何意义筛除。 三、方程的次数与两个根 坐标与方向向量对 λ 都是一次的，数量积因而是一次式；求角时两边含模长，平方后升为二次式，所以常有两个根。两个根对应两种位置：一在棱内、一在端点，或一在棱内、一在棱外。 端点的根多对应动点与顶点重合、条件退化为恒等式的情形；区间外的根对应的点不在棱上。舍去的根要写出并说明理由，否则阅卷时无法判断是筛过还是漏过。 四、「不存在」的两种情形 第一种：方程有解，但解在区间外。如解得 ，而棱上只允许 ，结论为不存在。 第二种：方程无解。数量积恒等于一个与 λ 无关的非零常数；或解得 ，而 的最大值为 。 两种情形都要写出理由。「由 ，点 不在棱 上，故不存在」与「由 知 不能取到」都是可给分的写法。只写「不存在」，不得分。 五、三处易错 ① 建系前未证三线两两垂直。底面是正方形时，由 与 底面可推出 、；底面是菱形时没有现成的直角，需另作一条与棱垂直的直线并说明理由。这三句是坐标成立的依据，缺一句则整段坐标失去依据。 ② 解出参数未回验。 满足方程，但对应的点不在棱上。 ③ 二面角直接取法向量夹角。两个法向量的夹角与二面角相等或互补：一条指向二面角内部、一条指向外部时相等，两条同指向内或同指向外时互补。式子里看不出属于哪一种，需结合图形或在垂直于棱的截面内量角判断。 六、四种底板与建系位置 ① 底面是正方形或矩形：三条坐标轴直接取棱所在直线，各点坐标均为整数。 ② 底面是菱形或平行四边形：以一条棱所在直线为 轴，在底面内过端点作该棱的垂线为 轴，顶点坐标会出现 、 一类数，边长与角须先算准。 ③ 侧面垂直于底面：在该侧面内作交线的高，垂足即原点。这一步须先用面面垂直的性质定理证明，不写则属建系无依据。 ④ 三棱锥且一条侧棱垂直于底面：以垂足为原点，底面内两条互相垂直的直线为 、 轴。底面没有直角时，先看题干是否给出 ，没有则需自行作垂线并说明。 七、二面角锐钝的判断 ① 由法向量的指向判断：一条指向二面角内部、一条指向外部，法向量夹角即为二面角；两条同指向内或同指向外，二者互补。判断指向时可取二面角内部一点 ，考察 的符号， 为棱上一点。 ② 在垂直于棱的截面内量角：以棱上一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线的夹角即二面角的平面角。所得为几何角，不带符号，可用于核对向量法的结果。题干已写明「锐二面角」或「钝二面角」时，符号已定。 卷面写三步：先算 ，再按图形定锐钝，最后写「故二面角的余弦值为……」，符号与取舍一并交代。 第三部分　破·典型题型 题型一　单动点：一个 λ 翻译三种条件 【解题技巧】棱上取点先写 ，把 λ 留在坐标里；平行、垂直用数量积，角用正弦或余弦公式。解出 λ 后须回验是否落在 内，这一步决定结论是否完整。 【典例 1-1】（原创改编） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 是棱 上的点。 （1）证明： 平面 ； （2）若 为棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）是否存在点 （异于 、），使 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 【变式 1-1】（原创改编） 如图，四棱锥 的底面 是菱形，，， 平面 ， 是棱 上的点（异于 、）。 （1）证明：平面 平面 ； （2）若 为棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 题型二　单动点：角度为定值，先定锐钝再解方程 【解题技巧】二面角要带符号：两个法向量的夹角与二面角相等或互补，先定锐钝，再决定取正或取负。定值条件写成含 λ 的方程，解出的根同样回验 。 【典例 2-1】（原创改编（新高考卷型）） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧面 是正三角形，平面 平面 ， 是棱 上的点（异于 、）。 （1）证明： 平面 ； （2）若 为棱 的中点，求二面角 的余弦值； （3）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 【变式 2-1】（原创改编） 如图，三棱锥 中， 平面 ，，， 是棱 上的点。 （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； （3）直线 与平面 所成角能否为 ？说明理由。 题型三　双动点：两个参数，一个二次型 【解题技巧】两条棱上各取一点，参数变为两个：、。距离、角都化成 的二次型，按一个参数配方后，再对另一个参数配方，最后回验 、 是否落在 内。 【典例 3-1】（原创改编（新高考卷型）） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，，、 分别是棱 、 上的点。 （1）若 、 分别为 、 的中点，证明： 平面 ； （2）设 ，，其中 ，，求 的最小值，并求此时 、 的值； （3）当 取最小值时，求直线 与平面 所成角的大小。 【变式 3-1】（原创改编） 如图，四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧面 是正三角形，平面 平面 ，、 分别是棱 、 上的点。 （1）求二面角 的余弦值； （2）设 ，，其中 ，，求 的最小值； （3）当 取最小值时，求直线 与平面 所成角的正弦值。 第四部分　结·方法总结 本讲只做一件事：把「棱上是否存在一点」译成关于参数 λ 的方程，再回验 λ 是否落在棱上。三个题型的区别只在条件的类型与参数的个数。 一条主线：参数化、翻译、验范围 参数化：棱上取点写 ，，坐标中保留 λ。翻译：平行、垂直用数量积，角用正弦或余弦公式。验范围：解出的 λ 回 核对，超界的舍去，端点按题干是否允许取舍。 三类条件的翻译口径 线面平行：，同时说明 ，否则直线可能整条落在平面内。线面垂直： 且 ，比列两个数量积省算，也不会被恒等式误导。线面角与二面角：前者用 ，后者用余弦并另判锐钝。 二面角与法向量夹角的关系 两个法向量的夹角与二面角相等或互补，取哪一个不在式子里，在图上：由法向量的指向判断，或在垂直于棱的截面内量角。定值条件写成 ，不加绝对值，除非题目问的就是「所成角」或「余弦的绝对值」。 双动点：二次型配方 两个参数的目标函数是一个二次型，交叉项有时抵消，有时不抵消。不抵消时先按一个参数整理，配方得对称轴，再对余下的参数配方。配完之后补一句「两个驻点都落在 内」，最小值才算取到。 存在性答题的四句话 ①「假设存在点 ，设 ，」；②「由题意得……，即（关于 λ 的方程）」；③「解得 ，其中……不合题意，舍去」；④「所以存在（或不存在）这样的点 ，此时 」。四句齐备，过程分与结论分都在。 本讲的处理可概括为三步：设参时写明端点是否可取，解方程时两根都写出，回验时把舍根的理由写清楚。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 前四道小题考查坐标与公式的直接运用，第五道为概念辨析，第七道为完整的两问书写。 1．（单选）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）三棱锥 中， 平面 ，，， 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）已知两个平面的法向量所成的角为 ，则这两个平面所成的二面角的大小为（　　） A．只能是 B．只能是 C． 或 D．不能确定，与法向量的模有关 4．（单选）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，，则二面角 的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）关于空间向量处理动点与存在性问题，下列说法正确的是（　　） A．若 且 ，则点 在线段 上 B．若关于 λ 的方程解出 ，而点 限定在棱 上，则这样的点 不存在 C．直线与平面所成角 满足 ，其中 是平面的法向量 D．两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的二面角 6．（填空）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为______。 7．（解答）如图，在直三棱柱 中，，， 是棱 上的点。 （1）证明： 平面 ；（2）是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 二、培优小练（15 分钟） 第一、二道考定值与最值，第三道为多选的综合判断，第五道为双动点的完整书写。 1．（单选）四棱锥 的底面 是菱形，，， 平面 ， 是棱 上一点，且 。若二面角 的大小为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）三棱锥 中， 平面 ，，， 是棱 上一点，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，。 是棱 上一点， 是对角线 上一点，记 ，，其中 。下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 B．存在 、，使 平面 C．存在 、，使 平面 D．当 取最小值时，直线 与平面 所成角为 4．（填空）四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 是棱 上一点，。当直线 与平面 所成角最大时，______。 5．（解答）如图，四棱锥 的底面 是菱形，，， 平面 ，、 分别是棱 、对角线 上的点。 （1）证明：；（2）设 ，，其中 ，求 的最小值，并求此时 、 的值；（3）当 取最小值时，求直线 与平面 所成角的正弦值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $