3.5 数学探究活动(一)：正方体截面探究-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

研究方法

先进行猜想，再利用土豆或萝卜通过切割实验研究，再利用计算机进行模拟实验，证明，得出结论.

我们知道正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过三个面，最多经过六个面，所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形．对于一个几何体，不同切截方式所得截面可能出现不同的情况，下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.

一、截面是三角形

用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.

1.等腰(边)三角形

如图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF，只要B1E＝B1F，就有GE＝GF，△GEF就是等腰三角形；

只要B1E＝B1F＝B1G，就有GE＝GF＝EF，△GEF就是等边三角形.

2.锐角三角形

若一正方体被一平面截后∠GEF是直角，那么GE⊥EF，又因为GB1⊥EF，所以EF⊥面GB1E，所以EF与FB1重合，即点E与点B1重合，矛盾，所以截面不会是直角三角形；因为GF＞GB1，EF＞EB1，所以GF2＋EF2＞GE2，所以∠GFE为锐角，同理其他角也为锐角，所以截面是锐角三角形，不会是直角或钝角三角形.

3.最大面积的三角形截面

二、截面是四边形

当平面经过正方体四个面时，所得截面形状是四边形——平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；截面不能是直角梯形.

1.正方形