第3章 空间向量与立体几何 章末整合提升(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

　　

一、数学运算

　　本章中的数学运算主要涉及以下内容：空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离.

培优一　空间向量的线性运算

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是　　　　.

尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　                                           　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

培优二　空间向量的数量积运算

已知向量a＝（1，－3，2），b＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）.

（1）求｜2a＋b｜；

（2）若O为坐标原点，在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b？

尝试解答

 

 

 

培优三　空间角的计算

（2023·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.

（1）证明：BC⊥DA；

（2）点F满足＝，求二面角D-AB-F的正弦值.

尝试解答

培优四　空间距离的计算

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E为AB的中点.

（1）证明：D1E⊥A1D；

（2）求点E到平面ACD1的距离.

尝试解答

二、直观想象

　　本章核心素养——直观想象主要涉及以下内容：利用空间向量判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧建空间直角坐标系.

培优五　利用空间向量证明平行、垂直问题

如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：

（1）MN∥平面PAD；

（2）平面PMC⊥平面PDC.

尝试解答

培优六　空间直角坐标系的建立

如图，在三棱锥A-BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝2，AB＝CD＝4.

（1）证明：AB⊥CD；

（2）在棱AB上是否存在点F（不与端点重合），使得直线AF与平面FCD所成角的正弦值为？若存在，求出点F的位置，若不存在，请说明理由.

尝试解答

　　

1.（2025·全国Ⅰ卷17题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）设PA＝AB＝，BC＝2，AD＝1＋，且点P，B，C，D均在球O的球面上.

①证明：点O在平面ABCD内；

②求直线AC与PO所成角的余弦值.

2.〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷17题）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.