第3章 一次方程与方程组（举一反三单元测试·拔尖卷）数学新教材沪科版七年级上册

第3章 一次方程与方程组·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（     ）. A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·重庆·期末）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是86；当输入时，输出结果是122；如果输入的值是正整数，输出结果是158，那么满足条件的的值最多有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·广东广州·期末）下表分别是关于，的二元一次方程，的部分解，则的值为（     ） 的解 的解 … … … … A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·山东威海·期中）对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·浙江舟山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当．译文：甲和乙隔着一条沟放牧，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“你若给我9只羊，我的羊是你的2倍．”乙对甲说：“你若给我9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·山东菏泽·开学考试）若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 12．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若，则_______ ． 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 14．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知实数、满足，且则的值为_________． 15．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程解为_____． 16．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 18．（8分）（24-25七年级下·广东广州·期中）解方程组 (1) (2) 19．（10分）（25-26七年级下·四川宜宾·期中）已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)求k为何值时，代数式的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 20．（10分）（25-26七年级下·江苏南通·期中）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费． (1)如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ (2)若使用优惠方案前，顾客购物应付元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？ 21．（12分）（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 22．（12分）（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 23．（14分）（25-26七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一次方程与方程组·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（     ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】把两组解分别代入二元一次方程得到关于与的二元一次方程组，解方程组即可得到结果. 【详解】解：和都是二元一次方程的解， 将两组解分别代入方程，得：. 解得. 2．（25-26七年级上·重庆·期末）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是86；当输入时，输出结果是122；如果输入的值是正整数，输出结果是158，那么满足条件的的值最多有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，解一元一次方程（二）——去括号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意，逐次计算验证即可得出结果． 【详解】解：若经1次输出结果是158， 则， 解得：； 若经2次输出结果是158， 则， 解得：， 若经3次输出结果是158， 则， 解得：，不符合； 若经4次输出结果是158， 则， 解得：，不符合， 之后不可能再出现解为正整数， 故选：B． 3．（25-26七年级下·广东广州·期末）下表分别是关于，的二元一次方程，的部分解，则的值为（     ） 的解 的解 … … … … A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将表格中已知的解代入对应方程，联立求出未知参数，，，的值，再计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：将和代入得， 解得， 将和代入得， 解得， ∴． 4．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 5．（25-26六年级下·山东威海·期中）对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的运算规则，分别化简等式左右两侧，再解一元一次方程即可得到的值． 【详解】定义运算 ，且满足 ， 分别化简等式左右两边： 左边：， 右边：， 可得方程 ， 解得． 6．（25-26七年级下·浙江舟山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可． 【详解】解：将变形为, 设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：， 因为方程组的解是， 所以，解得：， 所以方程组的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 7．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的化简和一元一次方程的解法，解题的关键是设出合理的未知数；先设定大长方形的宽为x，根据题目条件建立方程，解方程求得a和b的关系，进而求得答案即可； 【详解】解：设大长方形的宽为x， 由题意得：左下方阴影部分的面积为，右上方阴影部分的面积为， ∵左下方与右上方阴影部分面积的差为， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当．译文：甲和乙隔着一条沟放牧，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“你若给我9只羊，我的羊是你的2倍．”乙对甲说：“你若给我9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别整理得到方程，即可得到正确的方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得 9．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026， ∴， ∴， 解得． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可． 【详解】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴是方程的一个解，符合题意； ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 方程组的解为：， 当当x与y互为相反数时，， 解得：，故②不符合题意； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意； ④当时，方程组的解为：， 则，④不符合题意． 所以以上四种说法中正确的有①③． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·山东菏泽·开学考试）若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的次数为、未知数系数不为，求参数的值，再解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 系数满足：，即， ∴， 将代入原方程：， 化简得， 解得． 12．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若，则_______ ． 【答案】 【分析】此题考查绝对值的非负性，偶次方的非负性，已知字母的值求代数式的值，根据非负数的性质列出方程组求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 【答案】/ 【分析】首先解方程得到，然后根据题意得到，，求出a，b后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知实数、满足，且则的值为_________． 【答案】4 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，进而得到关于的方程求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 解得：． 15．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程解为_____． 【答案】4048 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，通过整体代入思想，设，将新方程转化为关于的方程，再通过代换得到与已知方程相同的形式，利用已知解求解． 【详解】解：设，则新方程化为， 两边乘以，得：， 即 ， 设 ，则方程变为 ， 已知方程的解为， 因此， 于是，即， 由，得， 解得：． 故答案为：4048． 16．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 【答案】或4 【详解】解：解方程组，得，， 因为x、y均为正整数，且k为整数，所以必须是22和33的正公因数， 22 的正因数：1，2，11，22， 33 的正因数：1，3，11，33， 两者的正公因数是：1，11， 当时，解得，此时，，均为正整数； 当时，解得，此时，，均为正整数； 综上，或4． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（8分）（24-25七年级下·广东广州·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟知解二元一次方程组和解三元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，则， 把④代入②得：，解得， 把代入④得：， 把，代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 19．（10分）（25-26七年级下·四川宜宾·期中）已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)求k为何值时，代数式的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)当时，代数式的值与a的取值无关，始终是一个定值，定值为． 【分析】（1）把看作已知数，利用加减消元法求出解，再根据求解即可； （2）把方程组的解代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值； （3）将代入得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； ， ， ； （2）解：把方程组代入方程得：， 解得：， 则； （3）解：∵， ∴， ∵代数式的值与a的取值无关， ∴，即， 定值为． 20．（10分）（25-26七年级下·江苏南通·期中）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费． (1)如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ (2)若使用优惠方案前，顾客购物应付元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？ 【答案】(1)乙商场更省钱 (2)当时，到两家商场购物花费一样；当时，到甲商场购物花费少；当时，到乙商场购物花费少． 【分析】（1）设每件A商品x元，每件B商品y元，根据“购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，”列出方程组，即可求解； （2）分别求出在甲商场购买应付费用，在乙商场购买应付费用，然后分三种情况讨论，即可解答． 【详解】（1）解：设每件A商品x元，每件B商品y元，根据题意得： ， 解得：， 即每件A商品20元，每件B商品25元， 使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品， 在甲商场需花费元， 在乙商场需花费元， ∵， ∴乙商场更省钱； （2）解：在甲商场购买应付费用：元， 在乙商场购买应付费用：元， 若两商场购物花费一样：则， 解得：， 即当时，到两家商场购物花费一样； 若到甲商场购物花费少：， 解得：， 即当时，到甲商场购物花费少； 若到乙商场购物花费少：， 解得：， 即当时，到乙商场购物花费少； 综上所述，当时，到两家商场购物花费一样；当时，到甲商场购物花费少；当时，到乙商场购物花费少． 21．（12分）（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】(1)是 (2) (3) 以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； （2）解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； （3）略 22．（12分）（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 【答案】(1)该工厂有9吨黄桃制成罐头 (2)水果加工厂到市场的距离为47千米 【分析】（1）设该工厂有x吨黄桃制成罐头，构造方程即可求解； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头， （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 23．（14分）（25-26七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，与m为整数不符，不合题意； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $