专题04 平面与平面间的位置关系（高效培优专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题04 平面与平面间的位置关系 题型一 证明明明平行 题型二 面面平行的性质 题型三 证明面面垂直 题型四 面面垂直的性质 题型五 求二面角 题型六 由二面角求其他量 题型七 二面角的最值与范围 题型一：证明明明平行 1．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 2．如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 3．在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面． 4．如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． (1)求证：平面； (2)试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 5．如图所示，平面内两正方形与，点M、N分别在对角线、上，且，沿折成直二面角． (1)证明：折叠后平面； (2)若，在线段上是否存在一点G，使平面平面?若存在试确定点G的位置． 题型二：面面平行的性质 6．如图所示，点是平面外一点，平面，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)问：线段上是否存在定点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 7．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 8．在正三棱台中，，，点为的重心，点为棱台的底面上（包括边界）一点，若直线平面，则长的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． 10．如图，在四面体中，，，分别为棱，，上异于端点的点，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上取点（不在端点），连接，证明：若点为线段与的交点，则. 题型三：证明面面垂直 11．如图，在四棱锥 中，已知 底面，底面是正方形， · (1)求证:平面 平面 · (2)求直线 与平面 所成的角的大小. 12．已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）． (1)证明：平面平面； (2)若，，求的长及与平面所成角的余弦值． 13．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线和所成角的大小； (3)若点分别为的中点，求证：平面平面． 14．在三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，是中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求直线与直线所成角的余弦值． 15．如图，在直角梯形ABCD中，，，，点P在平面外且平面． (1)求点到平面的距离； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的余弦值． 题型四：面面垂直的性质 16．三棱柱中，平面平面，四边形是边长为的菱形，，，．求证：． 17．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.求证：； 18．如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面.求证：平面； 19．如图，在四棱锥中，底面，，，，且平面平面．证明：； 20．如图，四棱锥中，平面． (1)若，证明：平面； (2)若平面平面，点在线段上，点为中点，，证明：平面． 题型五：求二面角 21．如图，在长方体中，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)求二面角的大小. 22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面，平面平面. (1)证明：； (2)证明：； (3)若，求二面角的余弦值． 23．如图，三棱锥中，侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． (1)求证： (2)若，求二面角的大小． 24．如图，是三棱锥的高，，，，为中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 25．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，分别为线段，的中点，且. (1)证明：平面. (2)已知，分别为线段，上的点，且，. （i）证明：平面平面. （ii）求二面角的正切值. 题型六：由二面角求其他量 26．已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 28．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． (1)证明：点M在平面ADN内． (2)求点M到平面SAB的距离． (3)若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 29．如图，在三棱柱中，已知，平面，，． (1)求证：平面平面； (2)点为的重心，，二面角的大小为，若平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 30．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 题型七：二面角的最值与范围 31．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且．则二面角的正切值的最大值为________． 32．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________． 33．如图1，在三棱锥中，平面ABC，，，S为DC的中点，点P在线段BS上且．    (1)求证：平面ABP； (2)如图2，空间O点满足，，且为锐角． （i）求证：； （ii）当θ变化时，求二面角的取值范围． 34．如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． (1)设平面平面，证明：． (2)作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． (3)当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 35．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，且，，，． (1)求证：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面与平面间的位置关系 题型一 证明明明平行 题型二 面面平行的性质 题型三 证明面面垂直 题型四 面面垂直的性质 题型五 求二面角 题型六 由二面角求其他量 题型七 二面角的最值与范围 题型一：证明明明平行 1．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)连接交于点，连接，如图所示： 底面为正方形，所以为的中点， 又因为为棱的中点，所以由中位线性质可知， 又平面，平面， 所以平面； (2)因为为棱的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面； 结合（1）中平面，且，平面， 所以平面平面． 【分析】（1）连接交于点，利用中位线性质可知，再利用线面平行判定定理证明即可得出结论； （2）由平行四边形性质可知，再由面面平行判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 【答案】(1)由直线平面， 又平面， 所以直线与直线异面； (2)由，得，在正方体中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【分析】（1）利用异面直线的判定定理即可得证； （2）利用面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 3．在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面． 【答案】(1)连接，交于点，连接. ∵ 四边形为正方形， ∴ 为的中点. 又∵ 为的中点， ∴ 为的中位线，∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. (2)∵ 为的中点，为的中点，在正方体中，且， ∴ 且，即且. 又∵ 且， ∴ 且，四边形为平行四边形， ∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. 由(1)可知平面，且平面. ∵ ，均在平面内； ∴ 平面平面. 【分析】(1) 依据线面平行的判定定理，通过构造三角形中位线得到平面内与平行的直线，完成证明. (2) 依据面面平行的判定定理，证明平面内两条相交直线分别平行于平面，进而证明两平面平行. 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． (1)求证：平面； (2)试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【答案】(1)证明：连接， 正方体底面是正方形，是底面中心， 故是中点，是中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面． (2)取中点，连接，是中点，是中点， 故是中位线，， 平面，平面， 平面． 由（1）知，平面， 平面平面， 故平面平面， 故是线段的中点． 【分析】（1）找平面内一条直线与平行，连接，利用中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理证明； （2）需要在平面内找到两条相交直线都平行于平面，已知平面，再在上取中点 F，证明平面，，由面面平行判定定理证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图所示，平面内两正方形与，点M、N分别在对角线、上，且，沿折成直二面角． (1)证明：折叠后平面； (2)若，在线段上是否存在一点G，使平面平面?若存在试确定点G的位置． 【答案】(1)如图所示，设直线与交于点H，连结， ， ， ，即， ． 又平面，平面，平面． (2)存在，G在线上且 【详解】（1）略 （2）存在，过M作于点G， 则，平面，平面,平面， 又平面．且，平面, ∴平面平面． 即G在线上，且． 题型二：面面平行的性质 6．如图所示，点是平面外一点，平面，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)问：线段上是否存在定点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)∵平面，平面，平面平面， ∴， (2)存在，点为的中点. 证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵点是线段的中点，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 因为，，所以， 由（1），所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面，∴平面. 【分析】（1）由条件结合线面平行性质定理即可证明； （2）取的中点，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）略； （2）略 7．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明：因为在梯形中，， 又面，面， ∴面，因为面，面面，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2)为中点时，平面． 证明：连接，，因为，分别为，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面，，、平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，平面，所以平面. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得面，再结合线面平行的性质定理可得，从而可证平面； （2）根据线面平行的判定定理可证当为中点时，平面. 【详解】（1）略 （2）为中点时，平面，证明略. 8．在正三棱台中，，，点为的重心，点为棱台的底面上（包括边界）一点，若直线平面，则长的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作分别交、于点、，过点作交于点，过点作交于点，连接，证明出平面平面，从而可知点的轨迹为线段，连接、，分析的形状，可求出线段长的最大值和最小值，即可得出答案. 【详解】过点作分别交、于点、，过点作交于点， 过点作交于点，连接，如下图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 在正三棱台中，，，所以， 又因为，所以，故、、、四点共面， 因为，、平面，所以平面平面， 当点在线段上运动时，平面，则平面， 所以点的轨迹为线段， 连接并延长交线段于点，则为的中点，由重心几何性质可知， 在正三棱台中，，，则，， 因为，所以，所以，同理可得， 因为，所以，故， 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，，故为的中点， 因为，所以为的中点，故， 又因为，故四边形为平行四边形，所以， 又因为，，故四边形为等腰梯形， 因为，所以， 因为为的中点，所以，则有，即为的中点， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，所以， 因为，，所以四边形为平行四边形，故， 同理可得，故， 取线段的中点，则， 由图形可知，当点与点重合时，的长取最小值，且最小值为， 当点与点或点重合时，的长取最大值，且最大值为， 综上所述，线段的长的取值范围是. 9．如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． 【答案】(1)证明：在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. (2)证明：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC， 而，则， 所以，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又平面，所以平面． 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，在四面体中，，，分别为棱，，上异于端点的点，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上取点（不在端点），连接，证明：若点为线段与的交点，则. 【答案】(1)证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． (2)证明：连接，显然与相交，交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 【分析】（1）根据题意证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理即可证明； （2）连接，显然与相交，交点为，进而结合面面平行的性质定理得. 【详解】（1）略 （2）略 题型三：证明面面垂直 11．如图，在四棱锥 中，已知 底面，底面是正方形， · (1)求证:平面 平面 · (2)求直线 与平面 所成的角的大小. 【答案】(1)证明：由 底面，底面，得， 由底面是正方形，得， 由平面，可得平面， 又因平面， 故平面平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）的信息，利用几何法求出线面角的大小. 【详解】（1）略 （2）令，连接， 由（1）知平面，则是直线 与平面 所成的角， 令，由，得， 在正方形中，， 在中，则，得， 即直线 与平面 所成角的大小为. 12．已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，（）． (1)证明：平面平面； (2)若，，求的长及与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接交于，连接． 因为四边形是正方形，所以，，且为的中点， 又，所以，则，即， 因为，且平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． (2)，与平面所成角的余弦值为 【分析】（1）连接交于，连接，根据正方形的性质可证得， 从而有，进而得到平面，最后证得平面平面； （2）先由余弦定理得到的长，再使用勾股定理求出的长，最后在和中，由余弦定理求出的长，由勾股定理逆定理可知，结合（1）可得平面平面，进而得到平面，可得为直线与平面所成角，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）已知，，， 在中，由余弦定理得， 又，则， 由（1）知，则在中，． 在和中，由余弦定理得， 则，解得． 因为，，， 所以，故， 由（1）知，平面平面， 又平面平面，平面， 可得平面，又平面，所以， 因为平面， 所以平面，则为直线与平面所成角， 在中，, 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 13．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线和所成角的大小； (3)若点分别为的中点，求证：平面平面． 【答案】(1)在菱形中，，则为等边三角形，又为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. (2) (3)如图，连接，，， 在中，因为点分别为的中点，则， 在菱形中，分别为的中点，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 由（1）和（2）知，则, 又平面， 所以平面，又平面，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，故平面平面 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明； （2）根据条件，可知为直线和所成的角，再求出，在中，利用余弦定理，即可求解. （3）连接，，，根据条件，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）因为，则为直线和所成的角， 又为等边三角形，为的中点，且，所以, 由（1）知平面，又平面，所以，且， 所以，在中，， 由余弦定理得， 又，所以，故直线和所成角的大小为. （3）略 14．在三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，是中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图所示，连接，与交于点，连接，，， 因为四边形是平行四边形，所以点是中点，又点是中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)证明：连接，， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又为等边三角形，且四边形为平行四边形，所以四边形为菱形， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）连接，与交于点，证明即可证明平面； （2）由和平面平面得，再通过为等边三角形，且四边形为平行四边形得到四边形为菱形，推出，即可证明平面平面； （3）由（1）得，将求直线与直线所成角的余弦值转化为求直线与直线所成角的余弦值的绝对值，求出三边长度，利用余弦定理即可得到答案. 【详解】（1）略. （2）略. （3）由（1）得，所以要求直线与直线所成角的余弦值， 即求直线与直线所成角的余弦值的绝对值， 因为为等边三角形，点为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，所以是直角三角形， 因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，, 所以，， 所以， 所以在中，， 因为点是中点，所以， 由余弦定理可得， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 15．如图，在直角梯形ABCD中，，，，点P在平面外且平面． (1)求点到平面的距离； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)，， 即有，故， 由平面，且平面，故， 又，且、平面，故平面， 又平面，故平面平面； (3) 【分析】（1）借助线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，即的长度即为点到平面的距离，即可得解； （2）借助勾股定理的逆定理可得，再利用线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，即可得证； （3）借助二面角定义可得即为二面角的平面角，再利用三角函数计算即可得. 【详解】（1）由平面，且平面，故， 又，且，、平面， 故平面，故的长度即为点到平面的距离， 即点到平面的距离为； （2）略 （3）由（2）知平面，， 又平面，故， 又平面平面， 故即为二面角的平面角， 由平面，且平面，故， 故， 即二面角的余弦值为. 题型四：面面垂直的性质 16．三棱柱中，平面平面，四边形是边长为的菱形，，，．求证：． 【答案】因为，，，，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又四边形为菱形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． 【分析】先由边长关系用勾股定理逆定理证，结合面面垂直的性质推出平面，得；再由菱形对角线互相垂直得；根据线面垂直判定定理证平面，最后由线面垂直的性质证得． 【详解】略 17．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.求证：； 【答案】取中点，连接、， 因为，， 所以为等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以. 因为，所以. 因为，，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 【分析】取中点，连接、，由条件可得平面及，进而可得平面，再用线面垂直的性质可得线线垂直． 【详解】略 18．如图，已知三棱台的高为为的中点，，平面平面.求证：平面； 【答案】由，，， 故与全等，故， 又因为为的中点，故， 又因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面； 【分析】利用面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】略 19．如图，在四棱锥中，底面，，，，且平面平面．证明：； 【答案】取的中点，连接，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又底面，底面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以． 【详解】略 20．如图，四棱锥中，平面． (1)若，证明：平面； (2)若平面平面，点在线段上，点为中点，，证明：平面． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面 (2)因为，所以是等腰三角形，又因为是其底边的中点，所以垂直平分线段， 因为平面平面，且两平面相交于直线，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面 【分析】（1）先证明垂直于所在的平面，进而可得，再利用线面垂直判定定理求证；（2）利用等腰三角形三线合一可知，再利用面面垂直性质定理可得，再利用线面垂直判定定理求证 【详解】（1）略 （2）略 题型五：求二面角 21．如图，在长方体中，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)在长方体中，，则四边形为正方形， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. (2)假设、为共面直线， 因为直线，所以直线与点可以确定平面， 若、为共面直线，则平面， 由题意可知平面，矛盾，假设不成立，故与是异面直线. (3) 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）利用反证法，假设、为共面直线，根据直线与点确定可以确定平面，且平面，推出矛盾，结合反证法的原理可证得结论成立； （3）设，连接，推导出二面角的平面角为，求出，即可得出，即为所求. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，连接，如下图所示： 因为平面，且，、平面， 所以，， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为为棱的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 在中，，所以， 故， 即二面角的大小为. 22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面，平面平面. (1)证明：； (2)证明：； (3)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为底面是矩形，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为平面平面，平面，所以. (2)证明：因为平面，平面，所以. 矩形中，，，，则. 在中，. 在中，. 所以，所以为直角三角形，且. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理及线面平行的性质定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、勾股定理及勾股定理逆定理证明即可. （3）过点作，交于点，连接；根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及二面角的定义得到即为二面角的平面角；在中，分别求出，，即可求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，交于点，连接. 由（2）知，，因为平面，，所以平面. 又平面，所以，所以即为二面角的平面角. 因为平面，平面，所以. 在中，. 则. 因为平面，平面，所以. 在中，. 所以. 故二面角的余弦值为. 23．如图，三棱锥中，侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． (1)求证： (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)因为侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. (2) 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接、，不妨设，由二面角的定义可知二面角的平面角为，求出的长，可求出的正切值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）取线段的中点，连接、，如下图所示： 不妨设，则， 因为为的中点，所以， 因为，，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为，，由勾股定理可得， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，故. 即二面角的大小为. 24．如图，是三棱锥的高，，，，为中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)由已知得底面，而底面，所以． 由，得， 代入已知条件得． 因为，所以． 而，平面，，所以平面． (2)． 【分析】（1）由是三棱锥的高得底面，故；利用向量关系或边长计算证得，结合，根据线面垂直判定定理可证平面； （2）以为原点，结合，，两两垂直建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式计算平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）因为底面，底面，所以， 故，，两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，是线段的中点， 设，代入中点公式，解得，，故. 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令得． 设平面的法向量为，则，即， 令得． 记平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 25．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，分别为线段，的中点，且. (1)证明：平面. (2)已知，分别为线段，上的点，且，. （i）证明：平面平面. （ii）求二面角的正切值. 【答案】(1)因为分别为的中点，由三角形中位线定理得,因为底面是菱形，所以，, 又已知，由得 所以菱形是正方形,因为底面，底面 ，所以 又，且， 平面，所以 结合，所以 (2)(i)由（1）知，且已知，所以，因为底面是菱形，且，所以四边形是正方形， 在平面内，因为，所以是直角三角形， 已知，在中，， 因为是的中点，所以，且平分，即， 在中，已知，，， 由余弦定理得： 所以， 在中，已知，，， 由余弦定理得： 所以， 在中，因为，所以， 所以 在中，因为， 所以由勾股定理逆定理得， 因为平面，平面 ，平面 ， 所以，， 所以是二面角的平面角， 因为，即，所以平面平面. （ii）. 【分析】（1）利用中位线定理得，结合已知条件推出，从而证明底面是正方形，再证平面，由平行关系得证； （2）（i）先由已知垂直关系推导出底面为正方形，并在 中利用余弦定理证得；结合（1）的平面得到且，利用线面垂直证明面面垂直； (ii)利用（1）的线面垂直关系，证明点是点在平面上的射影，确定为的射影三角形；分别计算这两个三角形的面积，利用面积射影定理求出二面角的余弦值，进而求得正切值. 【详解】（1）略. （2）（i）略； (ii)由（i）知 平面，所以, 在中，，，, 因为平面，所以平面平面，且交线为, 在平面内，过点作于点, 因为平面，平面,所以，所以点与点重合, 所以平面, 所以是在平面上的射影, 设二面角的大小为，由面积射影定理得, 在中，，，, 取中点，连接，则,, , 所以, 因为为锐角，所以,所以. 所以二面角 的正切值为. 题型六：由二面角求其他量 26．已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过点作，垂足为，于，连接， 如图： ，，，又，， 、平面，平面，又平面， ，为二面角的平面角，故. 由最小角定理可知，当为与所成线面角时，最小， 此时共线，取得最小值， 在直角中，，，所以， 在直角中，，， 所以， 在直角中，. 即的最小值为. 27．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为底面是平行四边形，所以． 因为是边的中点，是边的中点，所以，则． 而平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据平行的传递性可得，即可根据线面平行的判定定理证得平面. （2）由题意以及二面角的定义可知即为二面角的平面角，解三角形求出的值，再利用点到平面的距离是点到平面距离的一半，求出和，即可解出. 【详解】（1）略. （2）因为平面，，平面，所以，， 则即为二面角的平面角，即． 因为，由余弦定理得， 即，解得，所以． 如图，过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 而，，平面，所以平面． 在中，. 因为是边的中点， 所以点到平面的距离是点到平面距离的一半， 即． 因为平面，平面，所以， 即四边形是直角梯形，由（1）知，． 在等腰三角形中，． 所以在直角梯形中， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 28．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． (1)证明：点M在平面ADN内． (2)求点M到平面SAB的距离． (3)若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为底面是平行四边形，所以且， 又为的中点，为的中点， 在中，由三角形中位线性质可得：，且， 结合、，可推出，且， 因此与共面，即四边形是平面四边形， 故点在平面内. (2)点到平面的距离为； (3)线面角的正弦值为. 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质，结合平行四边形的性质，推出平行且等于，得到四边形为平面四边形，由此说明在平面中； （2）由平面，结合是中点，取中点得到，再结合，推出到平面的距离等于长度的一半，代入直接得到距离结果； （3）先根据平面，确定就是二面角的平面角，结合已知余弦值和，解三角形求出到平面的高，再利用是中点，得到到平面的距离，最后结合的线段长度，通过线面角的定义直接计算出该角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为平面，且是平行四边形，所以， 因此平面, 即点到平面的距离为的长度，也就是， 又是的中点，根据中点的性质：点到平面的距离是点到平面距离的一半， 因此点到平面的距离为. （3）由平面，平面得，， 所以就是二面角的平面角，由题知， 因为，由余弦定理， 即，解得，所以, 过作于，因为平面，平面， 所以，结合，平面得平面， ，因为是的中点， 所以到平面的距离是到平面距离的一半，即， 由（1）知，，且平面，故， 在等腰中，，又， 因此在直角梯形中：， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 29．如图，在三棱柱中，已知，平面，，． (1)求证：平面平面； (2)点为的重心，，二面角的大小为，若平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 故平面平面. (2)（ⅰ）； （ⅱ）正弦值． 【分析】（1）通过面，又，，面，最后得到面面； （2）（ⅰ）连接延长交于点，连接,由平面，点为的重心，，可以计算出，再通过数量关系求的长； （ii)连接,作于,连接，由面，,得到面，得到，再由平面，得到，又,所以平面，从而得到平面平面，从而得到平面，那么为直线与平面所成角，再通过数量关系求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）连接延长交于点，连接, 由（1）可得 平面，平面, 所以，， 所以，二面角的一个平面角为,， 又，所以为等腰直角三角形，， 设，，，则 ，， 因为点G为的重心，所以点为中点，, 因为平面，平面平面,平面， 所以，，故，由于，所以， 因为面，面,所以， 所以，, 因为平面，平面，所以， 所以，, （ⅱ）连接,作于,连接, 因为平面，, 所以平面，平面, 所以， 因为平面，平面， 所以，又, 所以平面，平面, 所以，平面平面, 因为，平面平面,平面, 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为, 所以, 所以 . 30．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以，所以， 因为是的中点，所以为的中点． (2)证明：因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以， 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论； （3）先确定直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，从而得到，再结合余弦定理，勾股定理，正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，垂足为，设中点为，连接，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以为直线与平面所成角． 由（2）知平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角，即， 设，在中，由余弦定理得，解得， 所以，，， 又，所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为． 题型七：二面角的最值与范围 31．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且．则二面角的正切值的最大值为________． 【答案】 【分析】设，利用面面垂直的性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】取的中点为，连接， 依题意平面平面，且平面平面，平面， 由题意：，所以平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得为二面角的平面角； 设，则， 由的面积， 得 又三角形为正三角形，所以， 在中，. 当时取等号， 即二面角的正切值最大值为. 32．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________． 【答案】 【分析】设，利用面面垂直的性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 由题意：，所以 平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得为二面角的平面角； 设，则， 由的面积， 得 又三角形为正三角形，所以， 在中，. 当时取等号， 即二面角的正切值最大值为. 33．如图1，在三棱锥中，平面ABC，，，S为DC的中点，点P在线段BS上且．    (1)求证：平面ABP； (2)如图2，空间O点满足，，且为锐角． （i）求证：； （ii）当θ变化时，求二面角的取值范围． 【答案】(1)证明：连接AS， 由平面ABC，则，． 由且，可得为等腰直角三角形． 又S为DC的中点，故． 而，且，又平面，平面， 所以平面DAC，又平面，故， 又，平面，平面， 所以平面，即平面. (2)（i）证明：由（1）可知，而，， 于是，故． 同理可得，即． 而，又，，所以平面DAC， 于是，即O在平面ABS内且， 在中，由于， 且 ， 则，而，则， 因此． （ii） 【分析】（1）根据线面平行证明平面DAC，得到，即平面ABP得证； （2）（i）由勾股定理得和，故平面DAC，因，即，根据与三角形面积公式化简得，则，即可证得． （ii）方法一：根据线面垂直判定定理得平面OHS，故二面角C－AD－O的平面角γ为，则，则．记二面角P－AD－O、二面角P－AD－C的平面角分别为α，β，由条件可知．过P作于点I，过I作于点K，连接PK．由线面垂直的性质定理可得和，故为二面角P－AD－C的平面角，即且．由正弦定理，分别表示，、、,由，可得，则通过计算得到二面角P－AD－O的取值范围即可； 方法二：通过线面垂直的性质定理可知，故为二面角P－AD－O的平面角．根据平行与等量关系、线面垂直的性质定理得到四边形NHSO为正方形，故，即可得到取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）方法一：过S作交AD于点H，连接HO，    易知，， 因为，又平面OHS，平面OHS， 所以平面OHS，平面OHS，则， 故二面角的平面角为， 则，则． 记二面角、二面角P－AD－C的平面角分别为， 由条件可知． 过P作于点I，过I作于点K，连接PK．    由（1）可知平面，而平面，故， 因为，平面DAC，平面DAC，所以平面DAC， 平面DAC，则． 因为，平面PIK，平面PIK，所以平面PIK， 又平面PIK，则，因此为二面角P－AD－C的平面角， 即且． 在中，，． 由（1）可得平面，而平面中，故， 而， 故，故 由正弦定理，可知， 则， 于是， ． 在中，由可得， 则． 注意到 因为，所以， 则，则， 则二面角P－AD－O的取值范围为． 方法二：过S作交AD于点H，连接HO，易知，， 过H作交PD于点M，    因为，平面，故平面， 而平面，故，故为二面角P－AD－O的平面角． 记BD的中点为N，连接NH，随着θ变化，P带动着M的变化， 连接NO，显然H为DA的中点且． 由于N为BD的中点，所以且． 因为且，所以，， 则四边形NHSO为平行四边形． 又平面DAC，则平面DAC， 故，又，则四边形NHSO为正方形， 所以，易知M在正方形NHSO边上， 因此， 则二面角P－AD－O的取值范围为． 34．如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． (1)设平面平面，证明：． (2)作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． (3)当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以． 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． 因为平面PCD，平面平面，所以． (2)解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM． 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以． 因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO． 同理可证平面AMO． 因为，所以平面平面AMO． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点． (3) 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可得证； （2）取PC的中点，则即为平面与棱的交点.设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．通过证明平面AMO、平面AMO证得平面平面AMO，再根据面面平行的性质得到，结合F为PM的中点，即可得证； （3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，证得为二面角的平面角.根据题设条件，运用等面积法、相似等平面几何知识得到，令，，得到，利用该函数的单调性求值域即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI， 因为，，，所以平面PBC，所以． 因为，，所以平面NID，则， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由底面是平行四边形，，得,． 由等面积法可得, 由，， 所以，． 则． 令，． 在中，则． 令，，则在上单调递增， 所以，， 所以二面角的正弦值的取值范围为． 35．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，且，，，． (1)求证：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 【答案】(1)证明：在三角形中，，所以因为平面平面， 且平面平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质证明即可. （2）过点作于点，先证明为直线与平面所成的角，然后根据线段长度关系证明为直角三角形，进而得出结果. （3）过作于，过作于，连接，先证明为二面角的平面角，然后求出，进而求出范围即可. 【详解】（1）略 （2）过点作于点，因为平面， 所以，又因，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 面为平行四边形，，， 所以， 在中，，所以，而， 又因三点共线，所以，，， 因为平面，所以， 故， 因为，所以为直角三角形， 在中，. （3）过作于，过作于，连接， 则， 故，， 由小问（1）得，又，平面， 所以平面，平面，所以为直角三角形， 所以，且，， 平面，所以平面，故， 因此为二面角的平面角. 由题可得， 由等面积可得， 在中，， 则，令，则 在中， ， 令，，当时， 越大，分母就越小，故在上单调递增， 所以，， 故二面角的正弦值的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $