专题01 平面及其基本性质八类题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020高二必修第三册

专题01 平面及其基本性质 题型一：平面分空间 题型二：平面基本性质及其辨析 题型三：点（线）确定平面个数 题型四：空间中点（线）共面 题型五：空间中点共线问题 题型六：空间中线共点问题 题型七：由平面基本性质做截面图 题型八：斜二测画法下相关的计算问题 题型一：平面分空间 1．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 2．空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）. 3．一个平面把空间分为 部分；两个平面把空间分为 部分；三个平面把空间分为 部分． 4．在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 题型二：平面基本性质及其辨析 5．下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 6．有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 7．正方体中，平面与平面的交线是 ． 8．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 9．如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 题型三：点（线）确定平面个数 10．空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 11．空间任意五点最多可确定 个平面． 12．一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是 ． 13．空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 14．不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：空间中点（线）共面 15．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 16．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 18．如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 19．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面． 题型五：空间中点共线问题 20．如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 21．如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.    22．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 23．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 24．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且 (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线. 题型六：空间中线共点问题 25．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 26．如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 27．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 28． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 29．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 题型七：由平面基本性质做截面图 30．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 31．如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 . 32．如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    33．如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 题型八：斜二测画法下相关的计算问题 34．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 35．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 36．在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 37．已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 38．若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 39．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面及其基本性质 题型一：平面分空间 题型二：平面基本性质及其辨析 题型三：点（线）确定平面个数 题型四：空间中点（线）共面 题型五：空间中点共线问题 题型六：空间中线共点问题 题型七：由平面基本性质做截面图 题型八：斜二测画法下相关的计算问题 题型一：平面分空间 1．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 2．空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）. 【答案】 【分析】对三个平面的位置进行分类讨论，作出相应的图形，即可得出结论. 【详解】三个平面两两平行时，这三个平面将空间分为部分； 两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交于同一条直线，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线两两平行时，如三棱柱的三个侧面所在的平面， 这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为部分. 因此，空间三个平面最多将空间分成个部分. 故答案为：. 3．一个平面把空间分为 部分；两个平面把空间分为 部分；三个平面把空间分为 部分． 【答案】 或 或或或 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可； 【详解】一个平面把空间分为部分； 两个平行平面将空间分成部分，两个相交平面可以将空间分成部分， 故两个平面将空间分成或部分； 当三个平面互相平行时，将空间分成部分，如图1所示； 当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成部分，如图2所示； 当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成部分，如图3所示； 当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成部分，如图4所示； 当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交， 即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成部分，如图5所示； 综上可得三个平面把空间分为或或或部分.            故答案为：；或；或或或 4．在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【答案】/ 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 题型二：平面基本性质及其辨析 5．下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 【答案】1 【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题. 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故答案为：1 6．有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据空间中平面的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，过不共线的三点确定一个平面；故①错误， 对于②,有三个角为直角的四边形可能是空间四边形，故②错误， 对于③，若三条直线相交于一点，则可以确定3个平面；故③错误， 对于④,两个相交平面把空间分成四个区域, ④正确， 故答案为：①②③ 7．正方体中，平面与平面的交线是 ． 【答案】 【分析】利用平面基本事实推理即得. 【详解】在正方体中，平面，平面， 且直线，直线，因此直线平面， 同理直线平面，所以平面与平面. 故答案为： 8．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项. 【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 9．如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的性质即可得解. 【详解】A，，是平面ABC与的交线， 延长BA交l于D，则平面ABC， 因为，所以，又， 是平面ABC与的交线，则对应的图示如图， . 题型三：点（线）确定平面个数 10．空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 【答案】7 【分析】同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面． 【详解】由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使确定的平面最多,则没有任何三点共线， 同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线， 由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面， 再加上4点确定的面总共是7个面． 故答案为：7. 11．空间任意五点最多可确定 个平面． 【答案】 【分析】要使平面最多，则任意三点不能共线，再根据任意三个不共线的点确定一个平面即可得解. 【详解】要使平面最多，则任意三点不能共线，设这五个点分别为， 任取三个点有共种， 又任意三个不共线的点确定一个平面， 所以空间任意五点最多可确定个平面. 故答案为：. 12．一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是 ． 【答案】或或 【分析】对直线外三点与直线的位置关系进行分类讨论，结合基本事实1及其推论可得出结果. 【详解】分以下三种情况讨论： （1）直线外三点与直线共面，此时可确定个平面； （2）直线外三点只有两点与直线共面，此时可确定个平面； （3）直线外三点任意两点都不与直线共面，此时可确定个平面. 综上所述，一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是或或. 故答案为：或或. 13．空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】根据过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而过这条直线的平面有无数个，即可得出答案. 【详解】因为过直线外一点可作一条直线与已知直线平行， 而过所作直线的平面与已知直线平行，则有无数个平面， 所以过直线外一点和这条直线平行的平面有无数个， 故选：D. 14．不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平面的基本定理求解． 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 题型四：空间中点（线）共面 15．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】D 【分析】根据题意，由线面的平行关系，即可得到结果. 【详解】因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以，且. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以，且， 所以，且， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则平面ABC，同理平面ACD. 又平面平面， 所以M在直线AC上． 故选:D. 16．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 17．如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用平行关系可得四点共面，四点共面，再根据过不共线的三点的平面具有唯一性，即可证明. 【详解】如图， 取的中点，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，，所以，四点共面， 又，，所以，四点共面， 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，故四点共面. 18．如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，，利用条件证明即可. 【详解】连接，，因为、分别是、的中点， 所以， 又、分别是、上的点，且，， ，， 、、、四点共面. 19．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】符合同一原理，可以用同一法证明三点构成一个平面． 【详解】假设面与棱交于． 平面，平面与其相交， ， 为中点，为中点， 与重合，即四点共面． 题型五：空间中点共线问题 20．如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 21．如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.    【答案】证明见解析 【分析】由基本事实3，证明点在两平面的交线上即可. 【详解】平面， 平面，同理，平面. 是平面与平面的公共点. 又平面平面， ,三点共线.    22．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，可得以及，所以，进而得出四点共面； （2）因为是平面和平面的交线，只需证明点是平面和平面的交点，即可证得，进而得到三点共线. 【详解】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以. 在中，因为，所以，所以， 所以. 所以E，F，G，H四点共面. （2）因为，所以. 由已知可得，，，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，所以平面ABC. 同理，平面ADC，平面ADC. 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点. 又平面平面，所以， 所以P，A，C三点共线. 23．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证； （2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证 【详解】（1）证明：连接，， 正方体中，E，F分别是的中点， ∴且， ∵且， ∴且， ∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面， ∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P； （2） 在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD， ∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD， 平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上， ∴P，E，H三点共线． 24．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且 (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明，进而证明问题； （2）先证明平面，平面，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论. 【详解】（1）连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面. （2），所以， 又平面平面， 同理：，平面平面， 为平面与平面的一个公共点. 又平面平面，即三点共线. 题型六：空间中线共点问题 25．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 26．如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 27．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【分析】先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 【详解】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 28． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例，得到分别平行于和，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面； （2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点. 【详解】（1）因为，分别为，的中点， 所以. 又因为， 所以. 所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 29．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面． （2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上． 【详解】（1）：：：，， ，分别为，的中点，，， ，，，四点共面． （2）、不是、的中点， ，且， 与必相交，设交点为， 平面，平面， 平面，且平面， 平面平面，， 与的交点在直线上． 题型七：由平面基本性质做截面图 30．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 31．如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长. 【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接， 则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图， 显然，，则， ，，而， 所以五边形的周长为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 32．如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【答案】画图见解析 【分析】画平面与长方体不同的表面的交线，只需找到两平面的两个公共点，两点确定交线即可. 【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面， 所以平面平面=， 同理，平面平面=，平面平面=， 所以平面与长方体表面的交线是，，. 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．    33．如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 【答案】答案见解析 【分析】由平面的基本性质作图. 【详解】如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点， 连接交于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接，， 所以五边形即为所求截面. 题型八：斜二测画法下相关的计算问题 34．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解. 【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，    原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 35．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则    确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下：    将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 36．在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，同时求出、的长，由此可得的面积． 【详解】 根据题意，中，，，， 在直观图中， ， 故的面积． 故答案为：． 37．已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】方法一：先求出的直观图的面积，再代入即得； 方法二：根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 38．若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【分析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 39．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积. 【详解】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$