10.2 直线与直线间的位置关系（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 该同步练以“直线与直线间的位置关系”为核心，通过A/B/C组及高考拓展的分层设计，构建从基础巩固到高考衔接的知识进阶路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|平行传递性、等角定理、异面直线判断与所成角计算|基础题型（填空、选择）为主，强化空间观念与概念理解| |B组|动态问题、翻折情境下位置关系分析|综合题型（多选、探究题），提升推理能力与数学思维| |C组|复杂几何体中位置关系综合应用|开放探究题，发展创新意识与问题解决能力| |拓展|高考真题再现|高考适配题型，培养应用意识与测评素养|

分层作业 10.2 直线与直线间的位置关系 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平行的传递性 题型02 等角定理的应用 题型03 异面直线的判断 题型04 求异面直线所成的角 题型05 由异面直线所成角求其它量 题型06 证明异面直线垂直 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )平行的传递性 1．若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 2．设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是__________. 3．如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 4．在如图所示的长方体中，平面上有一条直线，而平面上有一点P．试过点P作一条直线l，使得． ( 题型0 2 )等角定理的应用 5．已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 6．已知异面直线所成角的大小为，直线且，则______. 7．已知，是空间角，若，，且，则________． ( 题型0 3 )异面直线的判断 8．三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．以上都有可能 10．取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（   ）      A．16 B．24 C．32 D．48 11．（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 12．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. ( 题型0 4 )求异面直线所成的角 13．已知正方体中，点是棱的中点，设平面与上底面的交线为，则直线与直线所成角的余弦为（     ） A． B． C． D． 14．在正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 15．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 16．在正四棱台中，，高为1，则直线与所成角的余弦值为_______________． ( 题型0 5 )由异面直线所成角求其它量 17．（多选）已知a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，下列结论正确的是（    ） A．当直线与a成角时，与b成角 B．当直线与a成角时，与b成角 C．直线与a成时，与a所成角也为 D．直线与a所成角的最小值为 18．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 19．已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 20．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为______． 21．在四面体中，平面，平面，，异面直线与的夹角，则的最大值为______. 22．两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为____________. ( 题型0 6 )证明异面直线垂直 23．如图，在长方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 24．在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 25．如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：. 一、单选题 1．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥中，点E，F分别是，的中点，，且直线，所成的角为60°，则线段的长度为（   ） A． B． C．1或 D．1或 3．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ） A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．HE与CD共面 D．EF与CD异面 4．在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图所示，在正方体中，，分别是棱，的中点，给出以下结论，其中正确的结论为（    ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线异面 D．直线与直线异面 7．如图所示是一个正方体的展开图，则在原正方体中，下列结论正确的是（   ） A． B． C．与异面 D．与所成角为 三、填空题 8．如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 9．已知三棱锥满足，，，且，，，则异面直线与所成夹角的余弦值为____． 10．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为弧上的靠近点的三等分点，轴截面是正三角形，则直线与所成的角的余弦值为____________． 四、解答题 11．长方体的面上有一点P（点P不在对角线上）． (1)过P点在空间作一直线l，使直线，应如何作图?并说明理由； (2)过P点在平面内作一直线，使与成α角，这样的直线有几条?应如何作图? 12．《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    13．正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 1．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 3．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，叙述作图依据，并求线段的长． 4．在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. (1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； (2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 1．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 2．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 10.2 直线与直线间的位置关系 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平行的传递性 题型02 等角定理的应用 题型03 异面直线的判断 题型04 求异面直线所成的角 题型05 由异面直线所成角求其它量 题型06 证明异面直线垂直 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )平行的传递性 1．若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 【答案】相交或异面 【详解】设直线与交于点，因为，所以与确定一个平面， 由于，所以，若直线在平面内，则与相交； 若直线不在平面内，则与异面. 故答案为：相交或异面 2．设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是__________. 【答案】矩形 【详解】如图所示， 因为分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以，且，，且， 所以四边形为平行四边形. 又，，， 所以, 则四边形的形状是矩形. 故答案为：矩形. 3．如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 【答案】平行四边形 【详解】因为点G，F，E，H分别是 的中点，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形. 4．在如图所示的长方体中，平面上有一条直线，而平面上有一点P．试过点P作一条直线l，使得． 【答案】见解析 【详解】分别过点作，， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 再过点作的平行线即可，如下图： 使得． ( 题型0 2 )等角定理的应用 5．已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 【答案】或 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 6．已知异面直线所成角的大小为，直线且，则______. 【答案】或 【详解】由题意知，，，且异面直线，所成角为， 由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角， 所以为异面直线，所成的角或补角， 所以或. 故答案为：或. 7．已知，是空间角，若，，且，则________． 【答案】 【详解】由，是空间角，，， 可知或； 根据条件可知只能是， 所以． ( 题型0 3 )异面直线的判断 8．三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】三棱柱如图， 与直线是异面直线的直线为，，共2条. 9．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．以上都有可能 【答案】C 【详解】连接. 由、分别为和的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，又，故直线和相交. 10．取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（   ）      A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【详解】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条， 故共有对异面直线． 故选：B． 11．（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 【答案】ABC 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线和直线是异面直线，B正确； C选项，直线和直线是异面直线，C正确； D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 12．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 【答案】 【详解】三棱柱如下图所示， 根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义，可知、与直线异面， 所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条. ( 题型0 4 )求异面直线所成的角 13．已知正方体中，点是棱的中点，设平面与上底面的交线为，则直线与直线所成角的余弦为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知正方体中，平面， 平面平面，平面，所以, 如图，取的中点,连接，易证得, 直线与直线所成的角就是直线与直线所成的角， 设正方体边长为2，则，， 在三角形中，由余弦定理得 =. 14．在正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设正四面体的棱长为4，取的中点，连接， 因，分别为棱，的中点，则，且， ，又因， 在中，由余弦定理，， 因，则为与所成角或其补角， 由余弦定理，. 即异面直线与所成角的余弦值为. 15．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【答案】 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 16．在正四棱台中，，高为1，则直线与所成角的余弦值为_______________． 【答案】 【详解】在正四棱台中，， 所以. 因为高为1，所以， 过点作的垂线，垂足为，易得， 所以， 同理可得． 因为，所以为异面直线与所成角或补角， 在中，， 由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． ( 题型0 5 )由异面直线所成角求其它量 17．（多选）已知a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，下列结论正确的是（    ） A．当直线与a成角时，与b成角 B．当直线与a成角时，与b成角 C．直线与a成时，与a所成角也为 D．直线与a所成角的最小值为 【答案】ACD 【详解】由题意，直线两两垂直，故可画出正方体如图. 设正方体棱长为1，则，斜边以直线为旋转轴， 则点保持不变，点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，直线的单位方向向量为，则， 直线的单位方向向量为，则. 设点在运动过程中对应的点，其中为与的夹角，， 则，则，设与所成的角为， 则，故得，故D正确； 设与所成的角为，则， 当与所称的夹角为时，，则， 则，于是，，因，故， 即与所称的夹角为，故A正确，B错误； 对于D，直线与a成时，点可与点重合，此时，因直线平面， 平面，则，即与a所成角也为，故C正确. 故选：ACD. 18．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 19．已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 【答案】A 【详解】设翻折前的记为，，，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线与垂直，只需保证， ，由极限位置知，只需保证即可． 在中，，，，则， 由正弦定理知，，则，其中； 因为为线段上的一动点，则， 故选：A． 20．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为______． 【答案】或2 【详解】如图，过点D作DK∥CE，使得，则四边形是平行四边形，所以，且， 由异面直线所成角的定义，（或其补角）为异面直线a，b所成的角，不妨设，则，或． 先求，易知是正三角形，则 因为，所以，又，且，所以平面,而，于是平面，所以，于是. 再求，在中，由余弦定理可得，由前面推理可知，，所以. 于是或2. 故答案为：或2. 21．在四面体中，平面，平面，，异面直线与的夹角，则的最大值为______. 【答案】 【详解】在四面体中，平面，平面， 将四面体补成长方体，如下图所示： 因为，所以，异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，则，所以，， 所以，， 所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 22．两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为____________. 【答案】12或 【详解】由题意，有如下两种情况，且，，，则，， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 所以线段AB的长为12或. 故答案为：12或 ( 题型0 6 )证明异面直线垂直 23．如图，在长方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【答案】C 【详解】在长方体中，平面， 因为平面，所以， 又直线与不相交且不平行， 所以直线与异面且垂直. 24．在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【答案】A 【详解】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A 25．如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：. 【答案】见解析 【详解】如图所示：连接.∵四边形为菱形，. 又为直角三角形 ∴四边形为正方形. 连接交于点O. （或其补角）为异面直线与所成的角. ∵四边形为正方形. 【点睛】本题考查了线线垂直，意在考查学生的空间想象能力。 一、单选题 1．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连结，交于点，取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 设，则，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．已知三棱锥中，点E，F分别是，的中点，，且直线，所成的角为60°，则线段的长度为（   ） A． B． C．1或 D．1或 【答案】D 【详解】取的中点，连接、，因点E，F分别是，的中点， 则，故（或其补角）为、所成的角， ∵、所成的角为60°，∴或120° ∵，∴， 当时，； 当时，. 即或.    3．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ） A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．HE与CD共面 D．EF与CD异面 【答案】D 【详解】首先还原正方体，再根据选项判断直线与直线的位置关系． 由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 4．在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】如图，在正方体中， 对于A，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故A错误； 对于B，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故C错误； 对于D，因为直线是平面内一条直线，直线经过平面外一点和平面内一点且， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 5．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题 6．如图所示，在正方体中，，分别是棱，的中点，给出以下结论，其中正确的结论为（    ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线异面 D．直线与直线异面 【答案】CD 【详解】平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故A错； 连接，因为，所以直线和直线共面， 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故B错； 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故C正确； 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故D正确. 7．如图所示是一个正方体的展开图，则在原正方体中，下列结论正确的是（   ） A． B． C．与异面 D．与所成角为 【答案】BCD 【详解】将正方体还原后如图所示： 对于A，由图可知，与相交，故A错误； 对于B，由图可知，与为正方体面对角线，所有，故B正确； 对于C，由图可知，与异面，故C正确； 对于D，因为，所以与所成角为， 因为为等边三角形，所以，即与所成角为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 8．如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 【答案】75°或15° 【详解】因为､分别为､的中点，取中点， 所以，， 因为直线与直线所成的角为， 所以或，又因为，所以， 所以或， 所以直线和直线所成角为或. 故答案为：或. 9．已知三棱锥满足，，，且，，，则异面直线与所成夹角的余弦值为____． 【答案】 【详解】由题意可知，都是直角三角形，可补形为如图所示的长方体，    过作交的延长线于点， 所以异面直线与所成夹角为或的补角， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，， 所以异面直线与所成夹角的余弦值为． 10．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为弧上的靠近点的三等分点，轴截面是正三角形，则直线与所成的角的余弦值为____________． 【答案】/ 【详解】设底面圆的半径，则直径. ∵ 轴截面为正三角形，∴ . ∵ 为弧上靠近的三等分点，∴ ，. 在中，由余弦定理得 ， 取中点，延长交于点，连接， 易得，则， 则即为所求异面直线的夹角， 在中， 四、解答题 11．长方体的面上有一点P（点P不在对角线上）． (1)过P点在空间作一直线l，使直线，应如何作图?并说明理由； (2)过P点在平面内作一直线，使与成α角，这样的直线有几条?应如何作图? 【答案】(1) 连结，在平面内过P作直线l，使． ， ，即l为所求作的直线． (2) 在平面内，作与相交且成α角， ， 与也成α角，即为所求作的直线． 若与是异面直线，则与所成的角， 当时，这样的有且只有一条； 当时，这样的有两条． 若与共面，则与平行，角，这样的直线只有一条． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 12．《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 13．正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】1 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 1．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 2．如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 【答案】 【详解】取的中点，连接， 则，则（或其补角）就是与CN所成的角， 因为M为BC的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，，所以， 因为菱形ABCD中，，所以是等边三角形，所以， 所以，即，所以， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 所以，所以与CN的夹角为. 故答案为：. 3．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，叙述作图依据，并求线段的长． 【答案】(1) (2)， 因为在平面内，平面与平面的交线为， 所以延长，交于的延长线于点，连接； 【详解】（1）取中点，连接，如图所示： 在正方体中， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 在中，为棱，的中点， 所以，所以 所以为异面直线与所成的角， 由为棱，的中点，正方体的棱长为， 则， ， 所以在中，由余弦定理得：. 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为在平面内，平面与平面的交线为， 所以延长，交的延长线于点，连接， 如图所示，在正方体中，由，，且为棱的中点， 所以， 所以，所以， 在中， 所以. 4．在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. (1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； (2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，直线，故平面， 因为平面，直线，所以平面， 因为平面平面，所以点在直线上. (2) 【详解】（1）略 （2）连接，取的中点，连接、， 因为、、分别为、、的中点，所以，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，， ，， 则，所以，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 1．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 【答案】A 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 2．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 3．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 10.2 直线与直线间的位置关系 参考答案 ( 题型0 1 )平行的传递性 1．【答案】相交或异面 【详解】设直线与交于点，因为，所以与确定一个平面， 由于，所以，若直线在平面内，则与相交； 若直线不在平面内，则与异面. 故答案为：相交或异面 2．【答案】矩形 【详解】如图所示， 因为分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以，且，，且， 所以四边形为平行四边形. 又，，， 所以, 则四边形的形状是矩形. 故答案为：矩形. 3．【答案】平行四边形 【详解】因为点G，F，E，H分别是 的中点，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形. 4．【答案】见解析 【详解】分别过点作，， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 再过点作的平行线即可，如下图： 使得． ( 题型0 2 )等角定理的应用 5．【答案】或 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 6．【答案】或 【详解】由题意知，，，且异面直线，所成角为， 由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角， 所以为异面直线，所成的角或补角， 所以或. 故答案为：或. 7．【答案】 【详解】由，是空间角，，， 可知或； 根据条件可知只能是， 所以． ( 题型0 3 )异面直线的判断 8．【答案】B 【详解】三棱柱如图， 与直线是异面直线的直线为，，共2条. 9．【答案】C 【详解】连接. 由、分别为和的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，又，故直线和相交. 10．【答案】B 【详解】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条， 故共有对异面直线． 故选：B． 11．【答案】ABC 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线和直线是异面直线，B正确； C选项，直线和直线是异面直线，C正确； D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 12．【答案】 【详解】三棱柱如下图所示， 根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义，可知、与直线异面， 所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条. ( 题型0 4 )求异面直线所成的角 13．【答案】C 【详解】已知正方体中，平面， 平面平面，平面，所以, 如图，取的中点,连接，易证得, 直线与直线所成的角就是直线与直线所成的角， 设正方体边长为2，则，， 在三角形中，由余弦定理得 =. 14．【答案】A 【详解】如图，设正四面体的棱长为4，取的中点，连接， 因，分别为棱，的中点，则，且， ，又因， 在中，由余弦定理，， 因，则为与所成角或其补角， 由余弦定理，. 即异面直线与所成角的余弦值为. 15．【答案】 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 16．【答案】 【详解】在正四棱台中，， 所以. 因为高为1，所以， 过点作的垂线，垂足为，易得， 所以， 同理可得． 因为，所以为异面直线与所成角或补角， 在中，， 由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． ( 题型0 5 )由异面直线所成角求其它量 17．【答案】ACD 【详解】由题意，直线两两垂直，故可画出正方体如图. 设正方体棱长为1，则，斜边以直线为旋转轴， 则点保持不变，点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，直线的单位方向向量为，则， 直线的单位方向向量为，则. 设点在运动过程中对应的点，其中为与的夹角，， 则，则，设与所成的角为， 则，故得，故D正确； 设与所成的角为，则， 当与所称的夹角为时，，则， 则，于是，，因，故， 即与所称的夹角为，故A正确，B错误； 对于D，直线与a成时，点可与点重合，此时，因直线平面， 平面，则，即与a所成角也为，故C正确. 故选：ACD. 18．【答案】A 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 19．【答案】A 【详解】设翻折前的记为，，，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线与垂直，只需保证， ，由极限位置知，只需保证即可． 在中，，，，则， 由正弦定理知，，则，其中； 因为为线段上的一动点，则， 故选：A． 20．【答案】或2 【详解】如图，过点D作DK∥CE，使得，则四边形是平行四边形，所以，且， 由异面直线所成角的定义，（或其补角）为异面直线a，b所成的角，不妨设，则，或． 先求，易知是正三角形，则 因为，所以，又，且，所以平面,而，于是平面，所以，于是. 再求，在中，由余弦定理可得，由前面推理可知，，所以. 于是或2. 故答案为：或2. 21．【答案】 【详解】在四面体中，平面，平面， 将四面体补成长方体，如下图所示： 因为，所以，异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，则，所以，， 所以，， 所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 22．【答案】12或 【详解】由题意，有如下两种情况，且，，，则，， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 所以线段AB的长为12或. 故答案为：12或 ( 题型0 6 )证明异面直线垂直 23．【答案】C 【详解】在长方体中，平面， 因为平面，所以， 又直线与不相交且不平行， 所以直线与异面且垂直. 24．【答案】A 【详解】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A 25．【答案】见解析 【详解】如图所示：连接.∵四边形为菱形，. 又为直角三角形 ∴四边形为正方形. 连接交于点O. （或其补角）为异面直线与所成的角. ∵四边形为正方形. 【点睛】本题考查了线线垂直，意在考查学生的空间想象能力。 一、单选题 1．【答案】D 【详解】连结，交于点，取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 设，则，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．【答案】D 【详解】取的中点，连接、，因点E，F分别是，的中点， 则，故（或其补角）为、所成的角， ∵、所成的角为60°，∴或120° ∵，∴， 当时，； 当时，. 即或.    3．【答案】D 【详解】首先还原正方体，再根据选项判断直线与直线的位置关系． 由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 4．【答案】D 【详解】如图，在正方体中， 对于A，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故A错误； 对于B，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故C错误； 对于D，因为直线是平面内一条直线，直线经过平面外一点和平面内一点且， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 5．【答案】D 【详解】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题 6．【答案】CD 【详解】平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故A错； 连接，因为，所以直线和直线共面， 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故B错； 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故C正确； 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故D正确. 7．【答案】BCD 【详解】将正方体还原后如图所示： 对于A，由图可知，与相交，故A错误； 对于B，由图可知，与为正方体面对角线，所有，故B正确； 对于C，由图可知，与异面，故C正确； 对于D，因为，所以与所成角为， 因为为等边三角形，所以，即与所成角为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 8．【答案】75°或15° 【详解】因为､分别为､的中点，取中点， 所以，， 因为直线与直线所成的角为， 所以或，又因为，所以， 所以或， 所以直线和直线所成角为或. 故答案为：或. 9．【答案】 【详解】由题意可知，都是直角三角形，可补形为如图所示的长方体，    过作交的延长线于点， 所以异面直线与所成夹角为或的补角， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，， 所以异面直线与所成夹角的余弦值为． 10．【答案】/ 【详解】设底面圆的半径，则直径. ∵ 轴截面为正三角形，∴ . ∵ 为弧上靠近的三等分点，∴ ，. 在中，由余弦定理得 ， 取中点，延长交于点，连接， 易得，则， 则即为所求异面直线的夹角， 在中， 四、解答题 11．【答案】(1) 连结，在平面内过P作直线l，使． ， ，即l为所求作的直线． (2) 在平面内，作与相交且成α角， ， 与也成α角，即为所求作的直线． 若与是异面直线，则与所成的角， 当时，这样的有且只有一条； 当时，这样的有两条． 若与共面，则与平行，角，这样的直线只有一条． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 12．【答案】 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 13．【答案】1 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 1．【答案】C 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 2．【答案】 【详解】取的中点，连接， 则，则（或其补角）就是与CN所成的角， 因为M为BC的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，，所以， 因为菱形ABCD中，，所以是等边三角形，所以， 所以，即，所以， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 所以，所以与CN的夹角为. 故答案为：. 3．【答案】(1) (2)， 因为在平面内，平面与平面的交线为， 所以延长，交于的延长线于点，连接； 【详解】（1）取中点，连接，如图所示： 在正方体中， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 在中，为棱，的中点， 所以，所以 所以为异面直线与所成的角， 由为棱，的中点，正方体的棱长为， 则， ， 所以在中，由余弦定理得：. 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为在平面内，平面与平面的交线为， 所以延长，交的延长线于点，连接， 如图所示，在正方体中，由，，且为棱的中点， 所以， 所以，所以， 在中， 所以. 4．【答案】(1)因为平面，直线，故平面， 因为平面，直线，所以平面， 因为平面平面，所以点在直线上. (2) 【详解】（1）略 （2）连接，取的中点，连接、， 因为、、分别为、、的中点，所以，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，， ，， 则，所以，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 1．【答案】A 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 2．【答案】B 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 3．【答案】 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $