精品解析：四川省德阳中学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

四川省德阳中学校高2026级高一上期半期考试试题 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 集合的真子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. 5 D. 4 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数满足，则 D. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 11. 已知，，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用列举法表示集合______． 13. 设函数是定义在上的奇函数，且，则______. 14. 设a，b，c且，则当取最大值时，的最大值为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集U=R,已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 17. 已知命题，，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 18. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时， （1）求在上的解析式; （2）根据定义证明在上单调递减; （3）求在上的值域. 19. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省德阳中学校高2026级高一上期半期考试试题 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定方法可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”. 故选：D. 2. 集合的真子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【详解】∵集合含有3个元素， ∴集合的真子集个数为. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，然后可求解出解集. 【详解】，即为，即， 故或，故解集为或． 故选：D． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则，所以，故A为假命题； 对于B，若，则，且，所以，故B为假命题； 对于C，若，当时，，故C为假命题； 对于D，若，则，所以，故D为真命题． 5. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】能推出，但不一定能推出， 是的充分不必要条件 6. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为2， 故选A. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合一次函数，二次函数的单调性列出不等式组求解． 【详解】依题意得，，解得， 故实数的取值范围是． 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式可变形为或， ①，解得；②，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义结合图像逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，A正确； 对于B，，2 在中找不到元素与之对应，不符合函数的定义，B错误； 对于C，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，C正确； 对于D，中有的元素在中对应两个值，不符合函数的定义，D错误； 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数满足，则 D. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A：， ，则，， ，， 值域是，A正确； 对于B：定义域， ，即的定义域， 对于， 得，定义域，B正确； 对于C：令，则，，， ， 所以，不是，C错误； 对于D：定义域，单调递增，， ，即，D错误. 11. 已知，，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用基本不等式可判断AB；代入后利用基本不等式可判断C；构造后代入，结合基本不等式可判断D. 【详解】已知，，关于的不等式的解集为， 由一元二次不等式的性质可知，且方程的两根分别为和， 根据韦达定理可知，，，得到， 对于A，由和基本不等式可得，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故A正确； 对于B，由和，可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，由和基本不等式，可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，由可得，即， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，符合条件，所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用列举法表示集合______． 【答案】 【解析】 【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合． 【详解】集合 所以可以取的值为，1，2，3，所以． 故答案为：． 13. 设函数是定义在上的奇函数，且，则______. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意可得，， 是定义在上的奇函数，所以， 因为， 所以， 又，所以. 14. 设a，b，c且，则当取最大值时，的最大值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】将表示为的形式，利用基本不等式求得当取最大值时，，再根据二次函数的性质求得的最大值. 【详解】a，b，c且， 即， 所以 ， 当且仅当时等号成立，此时， 所以， 根据二次函数的性质可知，当时， 取得最大值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：求一个表达式的最值，可以考虑以下两种方法，一种是利用基本不等式来求最值，利用基本不等式求最值，要注意“一正二定三相等”；一种是利用二次函数的性质来求最值，利用二次函数的性质来求最值，要注意开口方向和对称轴. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集U=R,已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 或. 或. 【小问2详解】 由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 16. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1） （2）当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【解析】 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当时， 当时， 因为时，，解得 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 17. 已知命题，，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在量词命题为真，将其转化成“，在时有解”问题，即使即得的取值范围； （2）先利用数形结合思想求出命题为真时的范围，结合（1）的结论，先考虑全是假命题时的范围，即可求出“命题和至少有一个为真命题”时的的范围. 【小问1详解】 由命题，为真，即，在时有解， 即需使，因，故得. 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 若为真命题， ①当时，显然成立； ②当时，需使，解得：， 综上，当为真命题时，. 由（1）知，当为真命题时，， 当全是假命题时，则有，即得， 故当命题和至少有一个为真命题时，的取值范围为. 18. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时， （1）求在上的解析式; （2）根据定义证明在上单调递减; （3）求在上的值域. 【答案】（1）； （2） 设， ， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可； （2）取值、作差再因式分解，最后判断符号即可； （3）先求出时的范围，再根据其为奇函数即可求出其在上的值域. 【小问1详解】 令，则，， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对于，可得，所以，所以， 因为函数是奇函数，所以，， 又， 因此，在上的值域是 . 19. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1），的最小值为1； （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）比较与的大小，即可求，进而求解； （2）分和两种情况，证明等式即可； （3）令，，由（2）知：，，然后把题意转化为都大于等于2，对任意恒成立，即可求解. 【小问1详解】 设，. 当或时，，故； 当时，，故. 因此，， 作出的函数图像： 所以， 所以的最小值为1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有. ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $