精品解析：四川省安岳中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026－2027年度四川省安岳中学高中2026级高一上期半期考试 数　　学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组对象，能构成集合的是（ ） A. 安岳中学所有高个子的学生 B. 数学书上的所有难题 C. 一切很大的数 D. 倒数等于它自身的实数 【答案】D 【解析】 【详解】∵ “高个子”无明确的量化标准，不满足集合元素的确定性，不能构成集合. ∵ “难题”没有统一的判定依据，不满足集合元素的确定性，不能构成集合. ∵ “很大的数”无清晰的界定范围，不满足集合元素的确定性，不能构成集合. ∵ 若实数的倒数等于它自身，则满足，整理得，解得或， 对应的对象完全确定，故D选项对象满足集合元素的确定性，能构成集合. 2. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】对于①， 是实数，故 正确. 对于②， 是元素而不是集合， 与 之间只能用 或 ，不能用表示集合之间关系的 ，故 错误. 对于③，，而 是正整数，，故 错误. 对于④，，而 是无理数，，故 正确. 对于⑤，空集不含任何元素，故 错误. 正确的关系为①与④，共 个. 3. 已知命题：，则命题的否定为（ ） A. B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题：的否定形式为. 4. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】先判断充分性： ∵ ，∴ , 又平方数非负，故 , 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得 ，故充分性成立. 再判断必要性： 若, 当时，，不满足，故必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 5. 若则的值是（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】据分段函数定义，从内到外逐层迭代计算，直到自变量大于 10 时代入直接求值. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7. 已知集合，，若命题为“是成立的一个必要不充分条件”，则使命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知集合是集合的真子集，分类讨论集合是否为空集，结合包含关系可得，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若命题为“是成立的一个必要不充分条件”，则集合是集合的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：. 选项中是集合的真子集的只有集合，故A正确，BCD错误. 8. 若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析出和的单调性，依题意列不等式组，即可解出m的范围. 【详解】在R上单调递增，在上单调递增. 要使函数是定义在R上的增函数， 只需，解得：或. 所以实数m的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数为同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【详解】A 正确. 的定义域为 ， 的定义域也为 ，两者定义域与对应法则都相同，是同一函数. B 错误. 的定义域为 ， 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一函数. C 正确. 与 的定义域都是 ，对应法则都是把自变量平方，只是自变量的字母不同，是同一函数. D 错误. 的定义域为 ， 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一函数. 10. 关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，由韦达定理可得，由此即可判断出ABD选项，由二次函数 的性质可得，结合即可判断出C选项. 【详解】因为一元二次不等式的解集为或 所以，且一元二次方程的解，， 由韦达定理有， 所以且，A正确； 不等式等价于 解得或，B错误. 因为函数 ，二次函数开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递增，且, 所以，即，C正确； 不等式等价于， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ACD. 11. 若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则存在区间M使为“弱增函数” B. 若，则存在区间M使为“弱增函数” C. 若，则为R上的“弱增函数” D. 若在区间上是“弱增函数”，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题干函数定义结合二次函数，幂函数，对勾函数性质逐项判断即可得到答案 【详解】对于A，在上为增函数，在上是增函数， 故不存在区间M使为“弱增函数”，故A错误； 对于B，由对勾函数的性质可知：在上为增函数， 在上为减函数， 故存在区间使为“弱增函数”，故B正确； 对于C，因为，易得在R上单调递增，， 易得在上是增函数，在上为减函数， 故不是R上的“弱增函数”，故C错误； 对于D，若在区间上是“弱增函数”， 则在上为增函数，所以，解得， 又在上为减函数， 易知时为增函数；故， 又由对勾函数的单调性可知，，则， 综上．故D正确， 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，．若，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，所以，则，此时，， 故，解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 则，，. 13. 已知函数，则的单调递增区间为______． 【答案】和 【解析】 【分析】先求函数定义域，可知函数为偶函数，根据复合函数单调性以及偶函数对称性分析判断即可. 【详解】令，即，解得，可得， 则函数的定义域为， 且， 所以函数为偶函数， 当时，则， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增，内单调递减， 则在内单调递增，内单调递减，可知在内单调递增，内单调递减， 所以的单调递增区间为和. 14. 若，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给因式特征先提取公因式c，接着利用常数“1”进行等价代换并结合基本不等式得到仅关于c的因式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，， 所以 . 当且仅当且即且时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求正实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时， 由及分式的符号，可得，即． 又，因此． 【小问2详解】 因为，所以． 解不等式，得，即． 由，可得． 因为，且，所以必须有． 结合，得． 16. （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求参数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知复合函数的定义域确定的定义域，再令属于该范围； （2）将定义域为转化为根号内的式子恒非负，按的符号分类求解． 【详解】（1）由的定义域为，得，从而． 令，则，即的定义域为． 要使有意义，需，解得． 所以函数的定义域为． （2）要使的定义域为，需对任意，均有 当时，左式恒为，符合题意； 当时，二次函数开口向下，不可能在上恒非负，不符合题意； 当时，二次函数开口向上，需其判别式满足解得． 综上，的取值范围为． 17. 安岳石窟现存摩崖造像10万余尊，素有“中国石刻艺术之乡”之称．近年来，当地通过数字化采集为文物建立“数字孪生体”，并依托石窟数字展示中心推动“保护—展示—利用”的良性循环．某团队承担了其中一批重点造像的数字化采集任务，并需要基于采集成果制定展示中心的年度游客接待方案． （1）该团队需要完成总量为（单位）的造像数字化采集任务，计划同时启用甲、乙两台扫描设备．甲设备每天可采集单位，乙设备每天可采集单位，满足．两台设备每天的运行总成本（单位：万元）近似满足，求两台设备运行总成本的最小值，并指出取得最小值时，的值． （2）将（1）中求得的最低日运行总成本作为展示中心的固定保护投入（单位：万元）．展示中心年旅游收入（单位：万元）为，年变动运营与保护成本（单位：万元）为，其中（单位：万人次）为年游客接待量．展示中心要求年旅游收入不低于年总成本，即． ①在（1）所求得的固定保护投入下，求年游客接待量的取值范围． ②一般地，设固定保护投入为参数，分析满足什么条件时，存在正游客接待量使展示中心不亏损，并求出相应的的解集． 【答案】（1）两台设备运行总成本的最小值为40万元，． （2）① ②当时，存在正游客接待量使展示中心不亏损，的解集为． 【解析】 【分析】（1）根据题意利用基本不等式分析求解即可； （2）①将代入满足条件的不等式中，解一元二次不等式即可； ②根据题意转化为二次不等式成立问题，建立不等式分析求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由，得到：， 当且仅当时取等号， 所以两台设备运行总成本的最小值为万元，此时． 【小问2详解】 ①由固定保护投入， 不亏损条件为，即， 整理得，解得：，即． ②要使得展示中心不亏损，则需存在，使成立，且， 即有正数解， 因为判别式， 当，得，又，故， 此时解集为， 由于，有，所以该区间中的均为正数， 当，即时，方程无实解，不符合题意， 综上所述，当时，存在正游客接待量使展示中心不亏损， 此时的解集为． 18. 已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，． （1）求证：； （2）求； （3）解不等式． 【答案】（1）证明:令可得：. （2） （3） 【解析】 【分析】利用赋值法可以解决（1）（2），证明函数的单调性，转化为代数不等式求解可解决问题（3）. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 令可得：. 另令可得：，所以. 【小问3详解】 设，则，所以. 所以. 所以在上为增函数. 又得：，解得：. 故所求不等式的解集为： 19. 若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． （1）若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； （2）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （3）求函数在内的“区间”． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）不是，理由如下： 对于区间，， 此时， 即函数在区间上的值域为，不符合“区间”的定义， 所以区间不是函数的一个“区间”； （3） 【解析】 【分析】（1）写成分段形式，然后根据二次函数的单调性写出答案； （2）直接根据“区间”的定义计算判断； （3）设函数在内的“区间”为，列方程组，解方程组即可. 【小问1详解】 由已知， 故函数的单调递增区间为和，可合并为， 若函数在区间上是严格增函数，则， 所以区间可以为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设函数在内的“区间”为， 即函数在区间上的值域为 因为函数在上单调递减， 所以，即，， 即为方程的两根， 又 所以， 因为， 所以， 即“区间”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027年度四川省安岳中学高中2026级高一上期半期考试 数　　学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组对象，能构成集合的是（ ） A. 安岳中学所有高个子的学生 B. 数学书上的所有难题 C. 一切很大的数 D. 倒数等于它自身的实数 2. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知命题：，则命题的否定为（ ） A. B. ， C. D. 4. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若则的值是（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 8 6. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若命题为“是成立的一个必要不充分条件”，则使命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数为同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则存在区间M使为“弱增函数” B. 若，则存在区间M使为“弱增函数” C. 若，则为R上的“弱增函数” D. 若在区间上是“弱增函数”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，．若，则______． 13. 已知函数，则的单调递增区间为______． 14. 若，，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求正实数的取值范围． 16. （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求参数的取值范围． 17. 安岳石窟现存摩崖造像10万余尊，素有“中国石刻艺术之乡”之称．近年来，当地通过数字化采集为文物建立“数字孪生体”，并依托石窟数字展示中心推动“保护—展示—利用”的良性循环．某团队承担了其中一批重点造像的数字化采集任务，并需要基于采集成果制定展示中心的年度游客接待方案． （1）该团队需要完成总量为（单位）的造像数字化采集任务，计划同时启用甲、乙两台扫描设备．甲设备每天可采集单位，乙设备每天可采集单位，满足．两台设备每天的运行总成本（单位：万元）近似满足，求两台设备运行总成本的最小值，并指出取得最小值时，的值． （2）将（1）中求得的最低日运行总成本作为展示中心的固定保护投入（单位：万元）．展示中心年旅游收入（单位：万元）为，年变动运营与保护成本（单位：万元）为，其中（单位：万人次）为年游客接待量．展示中心要求年旅游收入不低于年总成本，即． ①在（1）所求得的固定保护投入下，求年游客接待量的取值范围． ②一般地，设固定保护投入为参数，分析满足什么条件时，存在正游客接待量使展示中心不亏损，并求出相应的的解集． 18. 已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，． （1）求证：； （2）求； （3）解不等式． 19. 若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． （1）若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； （2）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （3）求函数在内的“区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $