31.3相似三角形的应用（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.3相似三角形的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用相似三角形测高 题型02 利用相似三角形测距离 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 利用相似三角形测高题型01 1．（26-27九年级上·山东济南·期中）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高． 3．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米，求凉亭的高度． 4．（26-27九年级上·山东东营·期中）综合与实践： 课题 测量等高的相邻两盏路灯的高度 示意图 测量过程 步骤：小亮在等高的相邻两盏垂直于地面的路灯之间行走，路灯光源为，，小亮的身高，于点，影子，在线段上． 测量数据 ，，． 请你根据以上实践报告，帮助小亮求出路灯的高度． 5．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）海宝塔，俗称北塔，坐落于银川市北塔湖（海宝公园）内，是全国重点文物保护单位．相传始建于北朝时期，现存塔体为清代乾隆年间地震后重修，造型独特，是宁夏知名的古代佛塔．湖畔中学数学兴趣小组的同学决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量北塔的高度．北塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且北塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上． (1)根据题意，证明，写出对应边成比例的关系式． (2)请你根据以上测量数据，如果设，帮助兴趣小组求出北塔的高度． 利用相似三角形测距离题型02 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）熊熊同学在针孔成像问题中，根据图中的尺寸可知像的长是物长的（     ） A．3倍 B．倍 C．倍 D．不知的长度，无法计算 7．（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，，的长为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·广东深圳·期中）中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（     ） A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈 9．（26-27九年级上·北京昌平·期中）为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米． 10．（26-27九年级上·广东深圳·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_________． 11．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河宽的长为__________． 12．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的，两地间打通一条直线隧道，工程人员为了计算，两地之间的直线距离，选择了在测量点，，处进行测量．已知点，分别在，上，测得，，，，，求两地之间的直线距离． 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点、、、在同一条直线上．如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像，此时． (1)求的值． (2)求此时虚像的高度． 2．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为，已知，． (1)求的值； (2)求点到地面的距离． 3．（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为6厘米的蜡烛进行移动，使物距厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长． 4．（26-27九年级上·北京·期中）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，求旗杆的高度； (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 1．（2026·福建泉州·二模）灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 3．（26-27九年级上·广东深圳·期中）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在处，其眼睛所在位置为点，；小明竖直站立在小军身后的处，其眼睛所在位置为点，．此时、、三点恰好共线，且小明与小军的水平距离． (1)求小军到平面镜的距离； (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点、，则需要注视到平面镜中点、的位置，求的长． 4．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4) 若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 5．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 6．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 7．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.3相似三角形的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用相似三角形测高 题型02 利用相似三角形测距离 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 利用相似三角形测高题型01 1．（26-27九年级上·山东济南·期中）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴，解得． 2．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【详解】解：，， ， ． ，，， ， ， ． 3．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米，求凉亭的高度． 【答案】凉亭的高度为米 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， 解得（米）． 4．（26-27九年级上·山东东营·期中）综合与实践： 课题 测量等高的相邻两盏路灯的高度 示意图 测量过程 步骤：小亮在等高的相邻两盏垂直于地面的路灯之间行走，路灯光源为，，小亮的身高，于点，影子，在线段上． 测量数据 ，，． 请你根据以上实践报告，帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 解得， 经检验为方程的解， ∴， 解得， 答：路灯的高度为． 5．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）海宝塔，俗称北塔，坐落于银川市北塔湖（海宝公园）内，是全国重点文物保护单位．相传始建于北朝时期，现存塔体为清代乾隆年间地震后重修，造型独特，是宁夏知名的古代佛塔．湖畔中学数学兴趣小组的同学决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量北塔的高度．北塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且北塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上． (1)根据题意，证明，写出对应边成比例的关系式． (2)请你根据以上测量数据，如果设，帮助兴趣小组求出北塔的高度． 【详解】(1)证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， 对应边成比例的关系式： （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 利用相似三角形测距离题型02 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）熊熊同学在针孔成像问题中，根据图中的尺寸可知像的长是物长的（     ） A．3倍 B．倍 C．倍 D．不知的长度，无法计算 【答案】C 【详解】设针孔位置为点，物体到点的距离为，像′到点的距离为由图可知，， 针孔成像原理基于相似三角形性质，对应边之比等于对应高之比， ， ． 7．（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，，的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长相交于点， ∵ ∴，， ∴，， ∵，，， ∴ 解得 ∴，， ∵ ∴ 解得． 8．（26-27九年级上·广东深圳·期中）中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（     ） A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 在中，（丈）， 点A到点P的距离为25丈． 9．（26-27九年级上·北京昌平·期中）为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米． 【答案】 【详解】解：由题意得米， ∵， ∴， ∴米． 10．（26-27九年级上·广东深圳·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_________． 【答案】15 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴相似比为， 根据相似三角形对应边的高线之比等于相似比可知：小孔O到的距离与小孔O到的距离之比为， ∵小孔O到的距离为， ∴小孔O到的距离为． 11．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河宽的长为__________． 【答案】24 【详解】解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故河宽的长为． 12．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的，两地间打通一条直线隧道，工程人员为了计算，两地之间的直线距离，选择了在测量点，，处进行测量．已知点，分别在，上，测得，，，，，求两地之间的直线距离． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（）， 即两地之间的直线距离为． 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点、、、在同一条直线上．如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像，此时． (1)求的值． (2)求此时虚像的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， 四边形是矩形， ， ，点、、、在同一条直线上， ， ， ； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 2．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为，已知，． (1)求的值； (2)求点到地面的距离． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴ ， ∴． 3．（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为6厘米的蜡烛进行移动，使物距厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （2）解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 4．（26-27九年级上·北京·期中）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，求旗杆的高度； (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】(1)米 (2)不能准确得到旗杆的高度．理由如下： 间隔半小时后，太阳的位置已经发生了明显的偏移，此时测得的数据已经和同一时刻对应的标杆影长不匹配了，无法得到对应的相似三角形了，因此无法准确得到旗杆的真实高度了． 【详解】（1）解：同一时刻太阳光线平行， 由题意可知： （米） （2）详解见答案． 1．（2026·福建泉州·二模）灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 【答案】 【详解】解：确定地面最远点距离：房间为长4米、宽3米矩形，中心到角落的距离为半对角线，即 （米）， 设柔光板距离吸顶灯米，柔光板半径米，灯到地面距离为米，光线从灯经柔光板边缘到地面角落，形成相似三角形，比例关系为 即， 解得， ∴柔光板距离吸顶灯至多米． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 【答案】81米 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：． 3．（26-27九年级上·广东深圳·期中）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在处，其眼睛所在位置为点，；小明竖直站立在小军身后的处，其眼睛所在位置为点，．此时、、三点恰好共线，且小明与小军的水平距离． (1)求小军到平面镜的距离； (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点、，则需要注视到平面镜中点、的位置，求的长． 【答案】(1)米； (2)米 【详解】（1）由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米 （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把，分别看作是，的高， ， ， ， 即， 米． 4．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) （2）见解析 (3)增大 (4) 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 3．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 5．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【详解】(1)证明：在四边形中，， 四边形是平行四边形， ． （2）解：由题意知，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， ． 6．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 7．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $