31.3（第1课时）相似三角形的应用（分层作业）数学新教材人教版九年级下册
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内容正文：
31.3（第1课时）相似三角形的应用（解析版）
目 录
A.夯实基础 1
B.提升能力 18
C.拓展培优 40
1．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案．
【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得：
，
解得，
即这棵树的高度是．
2．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
∴（米）．
3．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则，
∴，
∴，
，
由题意地面知，
，即，
．
4．如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
即，
解得．
5．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，即，
解得：．
6．如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的对应边成比例，得出，据此代入数值求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．如图是一种绘图工具——缩放尺，其制作过程为：将四根直尺按如图所示方式进行安装，其中，，且点O、P、T在同一直线上，在点P和点T处分别安装绘图笔．画图时固定点O，当点P处的绘图笔画出四边形时，点T处的绘图笔便画出将四边形放大后的四边形，这种画图原理运用了我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似
【答案】D
【分析】本题主要考查相似图形的概念，根据相似图形的概念即可求解．
【详解】由题可知，四边形与四边形相似．
故选：D．
8．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中；利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点上升的高度．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：．
故选：A ．
9．元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定及其性质的运用是关键，根据题意，四边形，四边形是矩形，证明，得到，即，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
根据题意，，
∴，，，
∴四边形，四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故选：C．
10．如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．30
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的应用．易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．南通市海门区电视塔是海门标志性建筑，兼具广播电视信号发射与城市景观功能．某次社会实践中，小华想利用自己的身高来测量电视塔的高度，如图，小华身高米，测得米，米，且，，在一条直线上，则电视塔的高度为（）
A．200米 B．198米 C．180米 D．178米
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由题意可知，，因此，可利用相似三角形的判定与性质，通过建立比例关系求解电视塔的高度．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴米，
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
故选：．
12．如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（ ）
A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，找出图中的相似三角形是解题的关键．
通过证明，得到，再代入数据即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∵
∴，
∴，即，
解得米，
故选：B．
13．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻物高与影长成比例解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵，，，
∴,
解得，
故选：D．
14．为了测量旗杆的高度，同学们测得阳光下旗杆的影长为，同一时刻长度为的标杆影长为，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，设旗杆的高度为，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度为，
∵阳光下旗杆的影长为，同一时刻长度为的标杆影长为，
∴ ，
∴，
∴旗杆高度为，
故选：C．
15．图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，即可得到，从而求得的长．
【详解】解：，，
，，
是的高，是的高，
，
，
故选：B．
16．小倩想估算河对岸一棵小树的高度，已知小树旁有一块介绍牌的高度为．她拍下照片，量得照片中介绍牌和小树的高度分别为和，则这棵小树的实际高度为_________．
【答案】240
【分析】同一照片中物体实际高度与照片上对应高度的比值为定值，根据正比例关系列比例式计算即可．
【详解】解：设小树的实际高度为，
∵同一照片中，物体的实际高度与照片上测得的对应高度的比值为固定值，
∴可列比例式，
解得，
即小树的实际高度为．
17．为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米．
【答案】
【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例定理得，然后代入数据计算即可．
【详解】解：由题意得米，
∵，
∴，
∴米．
18．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________．
【答案】
【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
又∵，
∴
∴
∵的长为，
∴两地的距离为
19．如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米．
【答案】6
【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：
由题意知：，，
∴，
∴，
∴，即，
∴树的高度．
20．王莉同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高米的王莉影长为2米，同时测得旗杆的影长为米，则学校的旗杆高为__________米．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，关键是掌握“同一时刻，平行光下物体的高度与影长成正比”的原理．同一时刻太阳光线平行，人和旗杆均垂直于地面，因此人与影子、旗杆与影子分别构成两个相似的直角三角形，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可得到旗杆高度．
【详解】解：设学校旗杆的高度为米．
根据题意，得，
解得；
故答案为：．
21．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
根据平行线，得出，再根据相似三角形对应高的比等于相似比求解即可．
【详解】解：，
∴，
，
∵点P到的距离是，
∴点P到的距离是．
故答案为：．
22．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度h为________．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用．先根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
23．如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心知识点是“两角分别相等的两个三角形相似”及相似三角形对应边成比例的性质．首先根据垂直关系得到两个直角相等，结合已知的角相等，证明与相似；再利用相似三角形对应边成比例的关系，计算出凉亭的高度．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得(米)；
故答案为：．
24．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口点B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端点D观察同在井水水面和井壁上的点C，视线与井口的直径交于点E（点A，B，C，D，E在同一平面上），如果测得尺，尺，尺，那么___尺．
【答案】12
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
∵尺，尺，尺，
，
尺，
故答案为：12．
25．如图，为估算学校旗杆的高度，身高米的小明沿着旗杆在水平地面的影子由向走去．当他走到点处时，他影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，此时测得米，米，则旗杆的高度是_____米．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【详解】解：如图，由题意可得，
，
，
，
米．
即旗杆的高度是米，
故答案为：．
26．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的应用举例，如图，证明．得，设，当光源与手的距离增加1米时，即（米），米，同理求出．进而即可求出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，米，米，且，
∴，
∴，
设，
∴光源与手的距离增加1米，即（米），米，
如图，
同理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
27．某时刻教学楼在地面上的影长为．此时测得高的标杆在地面上的影长为，那么，教学楼的高度为多少米？
【答案】
教学楼的高度为16米.
【分析】根据同一时刻物体高度与影长的比值相等，列比例式求解．
【详解】解：设教学楼的高度为米，
∵同一时刻，物体高度与影长的比相等，
∴，
解得，
答：教学楼的高度为16米 ．
28．如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度．
【答案】
【分析】先求出的长，再证出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：路灯的高度为．
29．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？
【答案】136步
【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度．
【详解】解：已知，，，，
，
，
与是对顶角，
，
两边对应成比例且夹角相等，故，
，
已知步，代入得：，
之间相距136步．
30．学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）．
【答案】米
【分析】证明，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
，
米，米，米，
，
（米）．
答：树的高度约为米．
31．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D，测得，，，则树高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得出，再根据对应边成比例求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，，，
，
．
32．如图，直立于地面的三根柱子，，，其中起固定作用的两根钢筋和相交于点．已知，，则的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质进行求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
33．如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长相交于点，由得到，，可知，，进一步即可求出的长．
【详解】解：延长相交于点，
∵
∴，，
∴，，
∵，，，
∴
解得
∴，，
∵
∴
解得．
34．中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（ ）
A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈
【答案】D
【分析】先证明，根据对应边成比例求出，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
在中，（丈），
点A到点P的距离为25丈．
35．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解．
【详解】解：由题意知：，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴ ．
36．如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（ ）
A．12m B．10m C．15m D．18m
【答案】A
【分析】由镜面反射满足“入射角等于反射角”，可得，再由小明和旗杆垂直地面可得，由两组角对应相等得，然后由相似三角形对应边成比例求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，
∴，
∴即，
解得．
故选A．
37．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（ ）
A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m
【答案】A
【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解.
【详解】解：，，
，
由镜面反射，可知，
，
，
，，，
，
.
故路灯的高度为.
38．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ）
A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米
【答案】B
【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
设河宽米，则点P到北岸的距离为米，
由题意得，米，米，
∴，
∴，即，
解得，
∴河宽为米．
39．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，可得，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如下图，
根据题意，可得，且，
∴，
∴，即，
∴，解得，
即球拍击球的高度为．
40．如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ）
A．360步 B．270步 C．180步 D．90步
【答案】A
【分析】设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设正方形城池的边长为步，
由题意知，步，步，步，，
，
由正方形性质可知，，
，
，
，
即，解得（舍负）
∴正方形城池的边长为步．
41．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河宽的长为__________．
【答案】
24
【分析】根据垂直定义得出直角，结合对顶角相等证明，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可．
【详解】解： ∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故河宽的长为．
42．有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________．
【答案】
【分析】 图1中，利用正方形对边平行得出相似三角形，通过对应边成比例列方程求解；图2中，先利用勾股定理和面积法求出斜边及斜边上的高，再利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解．
【详解】解：图1：设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，，
，
解得；
图2：设正方形的边长为，
如图，过点作于点，交于点，
可知四边形是矩形，
∴，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
解得；
综上，图1、图2中正方形桌面的边长分别为、．
43．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______．
【答案】
【分析】过点作，交于点，交于点，根据，得到，，然后利用相似比等于对应高的比列式计算即可．
【详解】解：过点作，交于点，交于点，
如图，设河的宽度为米，
∵河的两岸有一段是平行的，
∴，
∴，，
∴ ，即，
∴，
即河的宽度为米．
44．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______．
【答案】
【分析】根据已知易得，可得，即可得出，证明，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：∵和表示两根立于地面的柱子，点离地面的高度为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
45．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，第一层可以放______个，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有______个．
【答案】 2 6
【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可．
【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与、交于点E、F时，，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴，
∵小长方形的宽为，
∴能分割四层小长方形，
设最底层的上一层的靠近点A的边为x，
根据三角形相似可得：，
解得，
正好能分割两个小长方形，即第一层可以放2个，
再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形，
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个．
46．如图，利用与水平地面垂直的标杆测量旗杆的高度，标杆米，测得米，米，则旗杆的高度是________米．
【答案】
【分析】证明，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
，
，
，即，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以旗杆的高度是米．
47．如图1，公园广场上有一棵树，底部可到达但顶部不可到达，数学活动小组想利用皮尺、标杆等工具测量树的高度．
(1)“龙腾”组选择图2方法进行测量，可测量数据有：，，，，则需测量的数据为 ，根据所选择的数据，求树高（结果用字母表示）；
(2)“高远”组选择图3方法进行测量，将长度分别为和的两根标杆分别放在和处，两杆之间的距离，点距离点，点，，三点共线，点距离点，点，，也三点共线，求树高．
【答案】(1)a、h、c，
(2)
【分析】（1）根据，可得据此确定需测量的数据，即可作答；
（2）先用表示出，，再证明，，根据相似的性质即可作答．
【详解】（1）解：根据图形可知，，
即有，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴需要测量的数据为：a、h、c，
∴；
（2）∵，，，
∴，，
根据图形可知，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
解得，
即：树高为．
48．道县乐福堂镇大莲塘村湘桂古道旁的凉亭因年久失修，村里正按照“修旧如旧”的原则对其进行保护修缮，以留住古道的人文记忆．如图，小明为了测量凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，求凉亭的高度．
【答案】
【分析】根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
解得：，
，
，
凉亭的高度约为．
49．某数学学习小组为测量校园内一棵大树的高度，设计了如下方案：如图，先在水平地面上的点B处竖立一根标杆，接着沿方向移动2米到达点A处（即米），人伏着地向上看，此时点A、标杆上的点D、大树顶端E恰在同一直线上，再沿方向移动1.6米到达点F处（即米），人伏着地向上看，此时点F、标杆上的点G、大树顶端E也恰在同一直线上，经测量，米，米．已知，，点B、D、G在一条直线上，点C、B、A、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据上述信息求出大树的高度．
【答案】大树的高度为15米
【分析】根据垂直关系得到直角相等，结合公共角可证明和，由“相似三角形对应边成比例”性质列出两个包含和的关系式，联立即可求出．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，，,
∴，，，
∴．
∵，
，
∴，即，变形为．
∵，，
，
∴，即，变形为．
联立，
解得．
答：大树的高度为15米．
50．如图，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上．请你求出旗杆的高度．
【答案】12米
【分析】过点作交于点，交于点，先证明四边形、是矩形，求得再证明，利用对应边成比例，即可求得，从而求得．
【详解】解：∵在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，
∴米，米，
∵米，
∴（米），
过点作交于点，交于点，如图所示：
∵，，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵米，
∴（米），
∵米，米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴（米）．
51．主题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度；
素材：标杆、皮尺等测量工具；
步骤1：如图，阳光明媚的一天，青青站在旗杆在阳光下的影子末端处，同一时刻青青的影子为，她的身高米，测得米；
步骤2：在处竖立了一根高米的标杆．发现地面上的点、标杆顶端和旗杆顶端在一条直线上，此时测得为米，为米；
说明：已知，，，点、、、、在同一条直线上，且点、之间存在障碍物，无法直接测量．
请根据以上信息，解决下列问题．
(1)设的长为米，用含的代数式表示 米；
(2)由步骤数据可得，请说明理由；
(3)求旗杆的高．
【答案】(1)
(2)，理由如下：
，，
，
．
同一时刻的太阳光线是平行的，
，
，
，
，
代入，，得，
．
(3)
【分析】（1）由点在同一条直线上，可得，代入数值计算即可；
（2）通过证明得到对应边的比例关系，代入数值即可推出；
（3）通过证明得到对应边的比例关系，利用（2）中得到的进行换算，得到，从而求得．
【详解】（1）解：点在同一条直线上，，，，
（2）略
（3）解：，，
，
，
又，
，
，
代入，，得
．
，，
．
代入得，，
解得．
52．在综合实践课上，数学活动小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
活动主题
测量旗杆的高度
活动工具
标杆、卷尺
测量示图
测量过程
【步骤一】三次测量标杆BE的长度；
【步骤二】三次测量活动小组成员嘉嘉的身高（地面到眼睛的高度)；
【步骤三】将标杆竖立在嘉嘉和旗杆之间，嘉嘉适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上；
【步骤四】小组其他同学三次测出嘉嘉到标杆的距离，旗杆到标杆的距离；
【步骤五】将以上测量数据分别记录（单位：），如下表：
测量数据
第一次
第二次
第三次
嘉嘉身高（地面到眼睛）
标杆高度
嘉嘉到标杆距离
旗杆到标杆距离
解决问题
计算旗杆的高度
结合活动报告，完成下面的问题：
(1)根据记录数据，计算旗杆的高度；
(2)反思：测量数据时为什么要进行多次操作？（写出一条即可）
【答案】(1)
(2)多次测量取平均值，可以减小测量误差，使结果更可靠．
【分析】（1）先对三组数据分别取平均值，再由“眼睛、标杆顶端、旗杆顶端三点共线”过眼睛作水平线构造相似三角形，用对应水平距离与高度差成比例求出旗杆的高度；
（2）从减小误差、提高结果可靠性的角度说明多次测量的作用．
【详解】（1）解：三次测量数据的平均值分别为
，
同理，，，．
过点 作 ，交 于点 （如图），
∵ ，，，
∴ 四边形 是矩形，
∴ ，，．
∴ ．
∵ 点 、、 在同一条视线上，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 旗杆的高度为 ．
（2）解：测量中身高、标杆长、两段水平距离都可能存在读数与操作误差，
多次测量取平均值，可以减小这些误差对结果的影响，使测得的旗杆高度更可靠．
53．在学习了“相似三角形”之后，学生们积极进行实践活动，小明和小亮所在的数学兴趣小组准备测量旗杆的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离旗杆底端处远的处竖立一根高的标杆，小明在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，在同一直线上．
方案二：如图2，小亮拿着一根长为的木棒站在离旗杆远的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸并使木棒，当观察到木棒两端恰好遮住旗杆（即，，在一条直线上，，，在一条直线上）时，点到木棒的距离为．
请你结合上述两个方案，选择其中一个方案求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为米
【分析】选择方案一：过点E作，垂足为，交于点，通过求解；若选择方案二：过点作，垂足为，交于点，利用求解即可．
【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，
由题意得：，米，米，
（米），
（米），，
又，
，
，即，
（米），
（米）
答：旗杆的高度为米；
若选择方案二：
如图，过点作，垂足为，交于点，则
，
，
，
由题意得米，米，米，
，
，
，即，
（米）
答：旗杆的高度为米．
54．小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度．
(1)如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知小欣眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度；
(2)如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使直角边与地面保持平行，并使斜边与旗杆顶点在同一直线上．已知，，目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度．
【答案】(1)旗杆的高度为
(2)旗杆的高度为10.1米
【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案．
（2）证明四边形为矩形，则，，进一步证明，则，即可求得，结合即可．
【详解】（1）解：根据光的反射的性质，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
将，，，代入上式，
得，
解得,
故旗杆的高度为；
（2）解：∵，
∴四边形为矩形，
∵目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
答：旗杆的高度为10.1米．
55．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
∵锥形瓶轴截面是轴对称图形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得.
56．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（ ）
A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米
【答案】A
【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度．
【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F，
由题意，米，米，米，
则（米），
设米，
由题意，得，
解得：，
∴（米）．
57．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．的长为
C．当时，
D．
【答案】B
【分析】根据图可直接判断A、C选项；由， 可得， ，可判断D选项；由相似三角形的性质列式计算即可判断B选项．
【详解】解：由图可知，当时，随的增大而减小，故A正确，不符合题意；
当时，， 故C正确，不符合题意；
，
， ，故D正确，不符合题意；
，，
，
由图可知，当时，，
， 解得， 故B错误，符合题意．
58．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ）
A．4cm B． C．3cm D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：延长、交于点，连接，如图：
设，则，
解得
、
故选：D．
59．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作．下面是《海岛算经》中第4道“望谷”的题目：如图，今有深谷，在谷底的上方沿谷边缘放置一个勾为6尺的角尺（，点在同一直线上），从点B处望谷底点M处时，视线经过角尺端点C处，测得为9.1尺；将角尺沿着射线方向向上平移30尺，从点处望谷底点M处时，视线经过上的点D，测得为8.5尺，则谷的深为______尺．（注：1丈尺，1尺寸）
【答案】
【分析】设尺，用含的式子表示出、，证明根据对应边成比例表示出，证明根据对应边成比例列方程求解即可．
【详解】解：设尺，则尺，尺，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴谷的深为尺．
60．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______．
【答案】81米/
【分析】由可得即，易得；同理依次求出、、、．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：；
同理：，
∴，即，
∴，解得：；
同理：，
∴，即，
∴，解得：；
同理：，
∴，即，
∴，解得：．
61．利用无人机探照灯可以测量坡面的坡度．如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离水平地面为8米．将无人机沿水平方向前进3米到达点处，探照灯的上、下边缘光线，落在斜坡，处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则的值为____________．
【答案】
【分析】连接，作于，根据题意是直角三角形，根据勾股定理求出的长，证明，根据对应线段成比例，推出，求出，推出，分别求出和，进而求出，根据，，进而求出。
【详解】如图，连接，作于，
点恰好在的正上方，
，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
62．图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米．
【答案】
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，再通过构造相似三角形求出点与点的竖直距离，最后结合点的位置求出的高度，即可求解．
【详解】解：地面，地面，
.
，，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：
过点作交的延长线于点，则
地面，地面，
．
又，
.
点的位置低于地面米，，
点离地面的高度为（米）．
（米）．
63．如图1，生活中常见的手推车由车轮、车身、车柄三部分组成，其示意图如图2，已知车身为矩形，，车柄长为，车身下边缘经过车轮的圆心O，，上边缘与相切，是车柄与所成的固定角， ，当手推车车身与地面保持水平时，车柄顶端E离地高度为______．如图3，车夫卸货时，手推车底部着地，此时车柄顶端E比车身与地面保持水平时升高了______．
【答案】 80
【分析】过点作交于点，交地面于点，过点作垂直于地面于点，延长交于点，由题意得，，，，则，再解即可求解，再由求解第一问；过点，，作，，垂直于地面，垂足为，延长交于点，过点作于点，过点作于点，则，求出，继而可得，则，设，则，则，然后证明，解直角三角形可得，由面积法得到，再对运用勾股定理建立方程，即可进行后续求解．
【详解】解：过点作交于点，交地面于点，过点作垂直于地面于点，延长交于点，
由题意得，，，，
∴，
∴
∴，
∴当手推车车身与地面保持水平时，车柄顶端E离地高度为；
过点，，作，，垂直于地面，垂足为，延长交于点
，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
，
∴
∴此时车柄顶端E比车身与地面保持水平时升高了．
64．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先作轴，再说明，可得，然后说明，可得，再结合,可得，最后根据得出答案．
【详解】解：如图所示，过点B作轴，于点F
∵，
∴，
∴,
∴，
即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
∵,
∴，
∴，
所以点E的坐标是．
故答案为：．
65．为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）．
【答案】古树的高度为米．
【分析】设古树的高度为米，根据树顶的仰角为得出，进而得出，由光线的反射原理得出，即可证明，得出，即，解方程求出的值，即可得出答案．
【详解】解：设古树的高度为米，
∵树顶的仰角为，，
∴，是等腰直角三角形，
∴米，
∵米，米，米，
∴米，
由光线的反射原理可知，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴古树的高度为米．
66．综合与实践：试衣镜的摆放
小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为．
【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方．
(1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长．
【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方．
(3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）．
【答案】(1)
(2)的长为．
(3)；示意图：；方程：
【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质．
（1）根据镜面成像的概念，与关于对称，过点作直线的垂线，再在的垂线上截取即可．
（2）过点作于点，交于点，设，则，．证明即可得到，解方程即可求得的长．
（3）小丽能看到自己全身像的最近、最远距离分别是从镜子的下边沿刚好看到自己的脚（即Q，N，三点一线）和从镜子的上边沿刚好看到自己的头（即Q，M，三点一线）．
连接，交的延长线于点，由对顶角和轴对称的性质分别求得和的度数，即可求得的度数，在中解直角三角形即可求得的长，从而求得的值．连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，易证明为等边三角形，从而求得，的长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，易得，并求得，的长，从而可得，分别求得，，，的长，代入，即可得出关于的方程（方程表示形式不唯一，正确即可）．
【详解】（1）解：如图1，即为所求作．
（2）解：如图2，过点作于点，交于点，
由题意，得，，，
∴四边形，，均为矩形．
，，，．
设，则，
，．
由题意，，
，．
，
，
，即，
解得，即的长为．
（3）解：如图3，小丽和试衣镜下边沿的最远距离为，则眼睛、试衣镜下边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，则，
，
．
在中，，
，即．
如图4，小丽和试衣镜下边沿的最近距离为，则眼睛、试衣镜上边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，交于点．
点，关于直线对称，
，，
，
，
为等边三角形．
在中，，
．
过点作于点，过点作于点，过点作于点，则，，
∴，四边形是矩形，
，，，．
，
，
，
，
关于的方程为．（方程表示形式不唯一，正确即可）
67．汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计）
【答案】米
【分析】证明，得出，求出米，证明，得出，代入数据求出结果即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
根据光的反射定律可知：，
∴，
∴，
∴，
解得：米，
∴
（米），
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：米，
答：汉武帝雕像的高度米．
68．我国魏晋时期著名数学家刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：
如图，要测量海岛上一座山峰A的高度，立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，点D、B、H成一线．从退行123步到点F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从退行127步到点G，从点G看点A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度及点H、B间的距离．（古制中，1步尺，1里丈尺步．结果用里和步来表示）
【答案】步，步．
【分析】根据求解过程可知，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例；先证明得到，再证明得到，进而推出，代值计算求出（步），再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴（步），
又∵，
∴（步）．
69．2020年4月23日，习近平主席在陕西调研，专门来到大雁塔，指出要加大文物保护力度，弘扬中华优秀传统文化．周末，小红和小丽也来到大雁塔，参观游览的同时想通过所学习的数学知识测量大雁塔和大雁塔旁的一棵古树之间的距离（古树和塔底部均不可到达）．如图所示，她们首先在查阅资料得知大雁塔 的高约为 米，古树 的高为 米；然后按如下方式进行测量：小红面向古树站在 处，在她的正前方2米处立标杆 ，点B、N、F、D共线，此时小红的眼睛M点、标杆的顶部E点和古树的顶部C点在一条直线上，然后小红原地转身 后，利用自制的测倾器测得塔的顶部A的仰角为．已知，小红的眼睛离地面的距离 米，标杆 米，请你利用以上测量数据，帮助她们求出大雁塔与古树之间的距离．（ ，结果精确到1米）
【答案】大雁塔与古树之间的距离为米
【分析】如图：作 于H，延长 交 于J，交 于K．由平行线等分线段定理可得（米）；在 中解直角三角形可得 ；最后根据线段的和差即可解答。
【详解】解：如图：作 于H，延长 交 于J，交 于K．则 米， 米， 米， 米， 米．
∵ ，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴（米），即（米），
在 中，（米），
∴（米），
∴（米）．
答：大雁塔与古树之间的距离 为米．
70．悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数）
【答案】
【分析】根据，，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∵，
∴，，
∴，，
即，，
∴
解得：，
即悟颖塔的高度为．
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31.3（第1课时）相似三角形的应用（原卷版）
目 录
A.夯实基础 1
B.提升能力 8
C.拓展培优 16
1．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一种绘图工具——缩放尺，其制作过程为：将四根直尺按如图所示方式进行安装，其中，，且点O、P、T在同一直线上，在点P和点T处分别安装绘图笔．画图时固定点O，当点P处的绘图笔画出四边形时，点T处的绘图笔便画出将四边形放大后的四边形，这种画图原理运用了我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似
8．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了（ ）米．
A． B． C． D．
9．元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为( )
A． B． C． D．
10．如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（ ）．
A． B． C．3 D．30
11．南通市海门区电视塔是海门标志性建筑，兼具广播电视信号发射与城市景观功能．某次社会实践中，小华想利用自己的身高来测量电视塔的高度，如图，小华身高米，测得米，米，且，，在一条直线上，则电视塔的高度为（）
A．200米 B．198米 C．180米 D．178米
12．如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（ ）
A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米
13．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（ ）
A． B． C． D．
14．为了测量旗杆的高度，同学们测得阳光下旗杆的影长为，同一时刻长度为的标杆影长为，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
15．图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
16．小倩想估算河对岸一棵小树的高度，已知小树旁有一块介绍牌的高度为．她拍下照片，量得照片中介绍牌和小树的高度分别为和，则这棵小树的实际高度为_________．
17．为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米．
18．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________．
19．如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米．
20．王莉同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高米的王莉影长为2米，同时测得旗杆的影长为米，则学校的旗杆高为__________米．
21．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m．
22．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度h为________．
23．如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米．
24．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口点B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端点D观察同在井水水面和井壁上的点C，视线与井口的直径交于点E（点A，B，C，D，E在同一平面上），如果测得尺，尺，尺，那么___尺．
25．如图，为估算学校旗杆的高度，身高米的小明沿着旗杆在水平地面的影子由向走去．当他走到点处时，他影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，此时测得米，米，则旗杆的高度是_____米．
26．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）．
27．某时刻教学楼在地面上的影长为．此时测得高的标杆在地面上的影长为，那么，教学楼的高度为多少米？
28．如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度．
29．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？
30．学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）．
31．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D，测得，，，则树高为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，直立于地面的三根柱子，，，其中起固定作用的两根钢筋和相交于点．已知，，则的高度为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，，的长为（ ）
A． B． C． D．
34．中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（ ）
A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈
35．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
36．如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（ ）
A．12m B．10m C．15m D．18m
37．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（ ）
A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m
38．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ）
A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米
39．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（ ）
A． B． C． D．
40．如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ）
A．360步 B．270步 C．180步 D．90步
41．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河宽的长为__________．
42．有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________．
43．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______．
44．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______．
45．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，第一层可以放______个，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有______个．
46．如图，利用与水平地面垂直的标杆测量旗杆的高度，标杆米，测得米，米，则旗杆的高度是________米．
47．如图1，公园广场上有一棵树，底部可到达但顶部不可到达，数学活动小组想利用皮尺、标杆等工具测量树的高度．
(1)“龙腾”组选择图2方法进行测量，可测量数据有：，，，，则需测量的数据为 ，根据所选择的数据，求树高（结果用字母表示）；
(2)“高远”组选择图3方法进行测量，将长度分别为和的两根标杆分别放在和处，两杆之间的距离，点距离点，点，，三点共线，点距离点，点，，也三点共线，求树高．
48．道县乐福堂镇大莲塘村湘桂古道旁的凉亭因年久失修，村里正按照“修旧如旧”的原则对其进行保护修缮，以留住古道的人文记忆．如图，小明为了测量凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，求凉亭的高度．
49．某数学学习小组为测量校园内一棵大树的高度，设计了如下方案：如图，先在水平地面上的点B处竖立一根标杆，接着沿方向移动2米到达点A处（即米），人伏着地向上看，此时点A、标杆上的点D、大树顶端E恰在同一直线上，再沿方向移动1.6米到达点F处（即米），人伏着地向上看，此时点F、标杆上的点G、大树顶端E也恰在同一直线上，经测量，米，米．已知，，点B、D、G在一条直线上，点C、B、A、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据上述信息求出大树的高度．
50．如图，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上．请你求出旗杆的高度．
51．主题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度；
素材：标杆、皮尺等测量工具；
步骤1：如图，阳光明媚的一天，青青站在旗杆在阳光下的影子末端处，同一时刻青青的影子为，她的身高米，测得米；
步骤2：在处竖立了一根高米的标杆．发现地面上的点、标杆顶端和旗杆顶端在一条直线上，此时测得为米，为米；
说明：已知，，，点、、、、在同一条直线上，且点、之间存在障碍物，无法直接测量．
请根据以上信息，解决下列问题．
(1)设的长为米，用含的代数式表示 米；
(2)由步骤数据可得，请说明理由；
(3)求旗杆的高．
52．在综合实践课上，数学活动小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
活动主题
测量旗杆的高度
活动工具
标杆、卷尺
测量示图
测量过程
【步骤一】三次测量标杆BE的长度；
【步骤二】三次测量活动小组成员嘉嘉的身高（地面到眼睛的高度)；
【步骤三】将标杆竖立在嘉嘉和旗杆之间，嘉嘉适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上；
【步骤四】小组其他同学三次测出嘉嘉到标杆的距离，旗杆到标杆的距离；
【步骤五】将以上测量数据分别记录（单位：），如下表：
测量数据
第一次
第二次
第三次
嘉嘉身高（地面到眼睛）
标杆高度
嘉嘉到标杆距离
旗杆到标杆距离
解决问题
计算旗杆的高度
结合活动报告，完成下面的问题：
(1)根据记录数据，计算旗杆的高度；
(2)反思：测量数据时为什么要进行多次操作？（写出一条即可）
53．在学习了“相似三角形”之后，学生们积极进行实践活动，小明和小亮所在的数学兴趣小组准备测量旗杆的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离旗杆底端处远的处竖立一根高的标杆，小明在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，在同一直线上．
方案二：如图2，小亮拿着一根长为的木棒站在离旗杆远的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸并使木棒，当观察到木棒两端恰好遮住旗杆（即，，在一条直线上，，，在一条直线上）时，点到木棒的距离为．
请你结合上述两个方案，选择其中一个方案求旗杆的高度．
54．小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度．
(1)如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知小欣眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度；
(2)如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使直角边与地面保持平行，并使斜边与旗杆顶点在同一直线上．已知，，目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度．
55．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
56．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（ ）
A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米
57．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．的长为
C．当时，
D．
58．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ）
A．4cm B． C．3cm D．
59．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作．下面是《海岛算经》中第4道“望谷”的题目：如图，今有深谷，在谷底的上方沿谷边缘放置一个勾为6尺的角尺（，点在同一直线上），从点B处望谷底点M处时，视线经过角尺端点C处，测得为9.1尺；将角尺沿着射线方向向上平移30尺，从点处望谷底点M处时，视线经过上的点D，测得为8.5尺，则谷的深为______尺．（注：1丈尺，1尺寸）
60．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______．
61．利用无人机探照灯可以测量坡面的坡度．如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离水平地面为8米．将无人机沿水平方向前进3米到达点处，探照灯的上、下边缘光线，落在斜坡，处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则的值为____________．
62．图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米．
63．如图1，生活中常见的手推车由车轮、车身、车柄三部分组成，其示意图如图2，已知车身为矩形，，车柄长为，车身下边缘经过车轮的圆心O，，上边缘与相切，是车柄与所成的固定角， ，当手推车车身与地面保持水平时，车柄顶端E离地高度为______．如图3，车夫卸货时，手推车底部着地，此时车柄顶端E比车身与地面保持水平时升高了______．
64．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ____________．
65．为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）．
66．综合与实践：试衣镜的摆放
小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为．
【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方．
(1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长．
【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方．
(3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）．
67．汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计）
68．我国魏晋时期著名数学家刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：
如图，要测量海岛上一座山峰A的高度，立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，点D、B、H成一线．从退行123步到点F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从退行127步到点G，从点G看点A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度及点H、B间的距离．（古制中，1步尺，1里丈尺步．结果用里和步来表示）
69．2020年4月23日，习近平主席在陕西调研，专门来到大雁塔，指出要加大文物保护力度，弘扬中华优秀传统文化．周末，小红和小丽也来到大雁塔，参观游览的同时想通过所学习的数学知识测量大雁塔和大雁塔旁的一棵古树之间的距离（古树和塔底部均不可到达）．如图所示，她们首先在查阅资料得知大雁塔 的高约为 米，古树 的高为 米；然后按如下方式进行测量：小红面向古树站在 处，在她的正前方2米处立标杆 ，点B、N、F、D共线，此时小红的眼睛M点、标杆的顶部E点和古树的顶部C点在一条直线上，然后小红原地转身 后，利用自制的测倾器测得塔的顶部A的仰角为．已知，小红的眼睛离地面的距离 米，标杆 米，请你利用以上测量数据，帮助她们求出大雁塔与古树之间的距离．（ ，结果精确到1米）
70．悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数）
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