31.3（第2课时）相似三角形的实际应用（分层作业）数学新教材人教版九年级下册

31.3（第2课时）相似三角形的实际应用（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 6 C.拓展培优 13 1．如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 2．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 5．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 7．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 8．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 9．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 10．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．的长为 C．当时， D． 11．杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 12．如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为、，若的长为，则的长为______． 13．如图，小亮自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为．他测得蜡烛的火焰所成的像为，蜡烛到纸筒小孔端的距离为，蜡烛的火焰高度是________． 14．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 15．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 16．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    17．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 18．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 19．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，那么这个正方形的边长是多少？ 20．图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距的长为__________厘米． 21．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ） A． B． C． D． 22．熊熊同学在针孔成像问题中，根据图中的尺寸可知像的长是物长的（     ） A．3倍 B．倍 C．倍 D．不知的长度，无法计算 23．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 24．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有三分之一露出水面，则此时水面高度是（　　　　　） A． B． C． D． 25．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 26．俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（） A． B． C． D． 27．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（   ） A． B． C． D． 28．凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 29．有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________． 30．2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 31．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 32．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是________． 33．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 34．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 35．如图，表示一块锐角三角形木板，边，高．现要在其上裁出一块正方形木板，使正方形的边在上，顶点，分别在，上．裁出的正方形木板的边长是多少？ 36．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度． 37．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． 38．综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 39．【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如表： 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线传播方向不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 【项目任务】 (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①___________，②___________，③___________； (2)任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高为， ①当为时，的值为___________； ②以为自变量，为因变量；写出与的关系式：___________； ③当时，随的增大而___________（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分） 40．根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 41．如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 42．如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 43．如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 44．图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 45．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 46．如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边，上，如果满足，那么的长为_______． 47．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为____________米． 48．如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，．将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求凸透镜焦距的长． 49．综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为． 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． (1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长． 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方． (3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）． 50．综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 (1)请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） (2)若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 51．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 52．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.3（第2课时）相似三角形的实际应用（解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 14 C.拓展培优 32 1．如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长，交于点，先得出，，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∵， ∴，， ∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）， 由题意得：，，， ∴， 解得． 2．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点O到的距离为，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意得，点O到的距离为，和之间的距离为， ∴点O到的距离为， 根据题意得，， ∴， ∴． 3．如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两相似三角形高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图， 由小孔成像原理可得, ∴，， 即　， ∵到的距离是，到的距离是， ∴，，且，， ∴，即， 解得． 5．天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，再利用相似三角形的性质，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 7．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 10．投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．的长为 C．当时， D． 【答案】B 【分析】根据图可直接判断A、C选项；由， 可得， ，可判断D选项；由相似三角形的性质列式计算即可判断B选项． 【详解】解：由图可知，当时，随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，， 故C正确，不符合题意； ， ， ，故D正确，不符合题意；   ，， ， 由图可知，当时，， ， 解得， 故B错误，符合题意． 11．杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 12．如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为、，若的长为，则的长为______． 【答案】 【分析】根据判定，利用相似三角形对应高的比等于相似比列式计算． 【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为，则，， ， ， ， ． 13．如图，小亮自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为．他测得蜡烛的火焰所成的像为，蜡烛到纸筒小孔端的距离为，蜡烛的火焰高度是________． 【答案】 【分析】先根据题意得出，再利用相似三角形的性质得到，即可解答． 【详解】解：如图所示， 设蜡烛的火焰为，像为，小孔为点，蜡烛到小孔的距离为的长，纸筒长度为的长， 由题意得，，，，，，， ， ∴， ∴， ∴， 即蜡烛的火焰高度是． 14．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【答案】 【分析】根据两角分别相等得到，然后列出对应边成比例的关系式，再把已知线段长度代入比例式，最后求解得到的长． 【详解】解：，， ， 把，，代入： ． 15．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 即 解得：． 16．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 17．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 18．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 【答案】3 【分析】如图，先证明，再根据相似三角形对应边的高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，， ， ，， ， 又是中边上的高，是中边上的高， ，即， ， 即光屏上火焰所成像的高度为． 19．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，那么这个正方形的边长是多少？ 【答案】 【分析】设正方形的边长为，表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵高，四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：这个正方形的边长是． 20．图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距的长为__________厘米． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明即可求解； （2）证明即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 则； 答：的长度为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 21．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得得到，再将代入计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴，解得． 22．熊熊同学在针孔成像问题中，根据图中的尺寸可知像的长是物长的（     ） A．3倍 B．倍 C．倍 D．不知的长度，无法计算 【答案】C 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，建立像长与物长的比例关系求解． 【详解】设针孔位置为点，物体到点的距离为，像′到点的距离为由图可知，， 针孔成像原理基于相似三角形性质，对应边之比等于对应高之比， ， ． 23．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过已知条件证明，再由相似三角形对应边成比例最终求得的长度． 【详解】解：由题意得，，， ， ． ，，， ，解得． 24．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有三分之一露出水面，则此时水面高度是（　　　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作桌面的垂线，垂足为F，先利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过B作桌面的垂线，垂足为F，则， ∵，，， ∴， 由题意，，，， ∴， 又， ∴ ∴，即， 解得， 即此时水面高度是． 25．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 26．俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小杨头顶到地面的竖直高度为． 27．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长． 【详解】解：如下图过O作直线，交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别是的高， ∴， ∵， ∴ ∴． 28．凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴物体缩小为原来的． 29．有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________． 【答案】 【分析】 图1中，利用正方形对边平行得出相似三角形，通过对应边成比例列方程求解；图2中，先利用勾股定理和面积法求出斜边及斜边上的高，再利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解． 【详解】解：图1：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，， ， 解得； 图2：设正方形的边长为， 如图，过点作于点，交于点， 可知四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 解得； 综上，图1、图2中正方形桌面的边长分别为、． 30．2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 【答案】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， ∴设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 31．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 32．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是________． 【答案】/8厘米 【分析】由得到，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 33．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，延长交于点D， 由题意得， ∴，， ∴， 即 即小孔O到的距离为． 34．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 【答案】20 【分析】利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∵中边上的高为米，中边上高为米， ∴， ∴若在光源不动的情况下，小明的手，则手影． 35．如图，表示一块锐角三角形木板，边，高．现要在其上裁出一块正方形木板，使正方形的边在上，顶点，分别在，上．裁出的正方形木板的边长是多少？ 【答案】 【分析】利用正方形的性质证出，再利用相似三角形的性质列式运算即可． 【详解】解：设与的交点为， 设正方形木板的边长为，则，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形木板的边长是． 36．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】设，，先证明，进而可得x、y的关系式，再同理证明，又可以得到一个新的关于x、y的关系式，问题随之得解． 【详解】解：设，，根据题意有：， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 同理可证明：， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得：， 答：路灯的高度为． 37．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． 【答案】这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米 【分析】设米，则米，由矩形的性质可得，，过点作于点，交于点，则米，证明四边形为矩形，得出米，则米，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设米，则米， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点作于点，交于点，则米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米． 38．综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ，即； (2) (3)镜长至少为 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （3）延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且，，， ， ， ②号“E”的测量距离为； （3）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 39．【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如表： 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线传播方向不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 【项目任务】 (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①___________，②___________，③___________； (2)任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高为， ①当为时，的值为___________； ②以为自变量，为因变量；写出与的关系式：___________； ③当时，随的增大而___________（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分） 【答案】(1)，， (2)①；②；③减小 【分析】（1）先由求出，再由求出，最后代入数值算出； （2）①结合和列式计算即可；②结合和，将、代入建立等式，化简得到函数关系式；③把函数看成平移后的反比例函数，根据反比例函数性质，判断范围内的增减性． 【详解】（1）解：据图可知，，，， 则四边形为矩形， 可知，， 可得， ， ， ， ， ， ，， ， ，即，， 解得，， ， ． （2）①解：当，即， 由（1）可知，，即， 解得， 可得， 由（1）可知， 则，即， 解得； ②解：当， 由（1）可知，，即， 解得， 可得， 同（1）可知， 则，即， 解得； ③解：已知， 可以看成向右平移个单位， ， 则当，随的增大而减小． 40．根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 【答案】 【分析】先根据光的反射定律，得出，再证明，结合两个三角形相似的性质，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角， ∴的余角等于的余角，即， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 同理，由光的反射定律可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∴． 41．如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】过点P作于点F，交于点E，证明得，即可求出，移动后过点作于点，交于点，，同理，则，即，求出，即可求解． 【详解】如图，过点P作于点F，交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 移动后如图，过点作于点，交于点， ∵投影的长度缩短了， ∴， 同理， ∴，即， ∴， 经检验，是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒向右平移了． 42．如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，根据比例性质得出即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 43．如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选A． 44．图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 【答案】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，再通过构造相似三角形求出点与点的竖直距离，最后结合点的位置求出的高度，即可求解． 【详解】解：地面，地面， . ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 过点作交的延长线于点，则 地面，地面， ． 又， . 点的位置低于地面米，， 点离地面的高度为（米）． （米）． 45．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得，再证明，则利用相似三角形的性质得到， 然后利用得到物体的高． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵光屏上显示的缩小的实像高， 由题意可得，， ∴. 即物体的高为， 故答案为：． 46．如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边，上，如果满足，那么的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设交于点K，根据矩形的性质可推出，，结合已知设，，表示出，然后利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵， ∴设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 47．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为____________米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又（米）， （米）． 故答案为：5.2． 48．如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，．将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求凸透镜焦距的长． 【答案】厘米 【分析】利用平行可得，从而可得，进而，再根据平行得，利用相似三角形的性质，得，代入计算即可． 【详解】解：由题可知，厘米，厘米，厘米， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 厘米，， ， ，则， ， 则凸透镜焦距的长为厘米． 49．综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为． 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． (1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长． 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方． (3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）． 【答案】(1) (2)的长为． (3)；示意图：；方程： 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质． （1）根据镜面成像的概念，与关于对称，过点作直线的垂线，再在的垂线上截取即可． （2）过点作于点，交于点，设，则，．证明即可得到，解方程即可求得的长． （3）小丽能看到自己全身像的最近、最远距离分别是从镜子的下边沿刚好看到自己的脚（即Q，N，三点一线）和从镜子的上边沿刚好看到自己的头（即Q，M，三点一线）． 连接，交的延长线于点，由对顶角和轴对称的性质分别求得和的度数，即可求得的度数，在中解直角三角形即可求得的长，从而求得的值．连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，易证明为等边三角形，从而求得，的长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，易得，并求得，的长，从而可得，分别求得，，，的长，代入，即可得出关于的方程（方程表示形式不唯一，正确即可）． 【详解】（1）解：如图1，即为所求作． （2）解：如图2，过点作于点，交于点， 由题意，得，，， ∴四边形，，均为矩形． ，，，． 设，则， ，． 由题意，， ，． ， ， ，即， 解得，即的长为． （3）解：如图3，小丽和试衣镜下边沿的最远距离为，则眼睛、试衣镜下边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，则， ， ． 在中，， ，即． 如图4，小丽和试衣镜下边沿的最近距离为，则眼睛、试衣镜上边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，交于点． 点，关于直线对称， ，， ， ， 为等边三角形． 在中，， ． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，则，， ∴，四边形是矩形， ，，，． ， ， ， ， 关于的方程为．（方程表示形式不唯一，正确即可） 50．综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 (1)请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） (2)若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 【答案】(1)直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 (2)桶盖边缘点M掀起的高度是厘米 【分析】（1）过点 作于点 ，在中利用 求出，即桶盖打开后最大间隙高度，与篮球直径 比较即可判断． （2） 踏板下压 后，过作 于 ，过点 作 于点Q，利用求出 点上升量，再由，在中用勾股定理求，最后利用的比例关系求出点掀起高度． 【详解】（1）解：如图（1），过点M作于点Q，则 当脚踩踏板垃圾桶盖打开最大张角时， 在中， ∵7号篮球的直径为24.6cm 且 ∴直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 （2）解：如图（2），过点作 于点C，过点 作 于点Q， 则 ∴ ∵点A的对应点是 厘米， 在中， 厘米， 厘米， 厘米 解得：， ∵当圆珠B上升到点时，点H上升到点 过点作 于点N，则 在中， 厘米，厘米 ， 厘米 答：桶盖边缘点M掀起的高度是厘米． 51．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 52．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $