一条直线穿过圆之后:弦长、切线长与最值学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

一条直线穿过圆之后：弦长、切线长与最值 人教 A 版必修第二册 · 直线和圆的方程 考查范围：点到直线的距离、垂径定理与弦长、平行与重合的充要条件、切线长反求圆心、圆上动点到直线的距离最值、含参位置关系分类、坐标法建模。 9 道题　70 分钟　独立限时完成 动笔前先问三件事：圆心坐标和半径是不是已经配成标准形式；直线方程有没有化成一般式；算出来的每一个量要不要回代范围。 班级：______　姓名：______　用时：______ 一、一张图上量出三种长度 1. 圆 被直线 截得一条弦。用三种不同办法求这条弦的长度，并把垂足坐标一起算出来，看看三种结果对不对得上。 图 1：圆心 、半径 ，直线与圆交于 、， 是圆心到直线的垂足。三种办法都要用到这张图。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 二、位置关系先判，再动笔 2. 两条直线 与 平行，求 的全部取值，逐一检验有没有重合的情形；再说清楚「」是平行的充分条件、必要条件，还是两者都是。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. 从点 向圆 引切线，切线长为 ，半径是 ，圆心落在直线 上。写出所有满足条件的圆的标准方程，并说明为什么答案不止一个。 图 2：点 与直线 ，两个候选圆心 、 与对应的两条切线段。请自己在图上补齐半径。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 三、动点把距离拉到最值 4. 圆 上有一动点 ，直线 。求 到 的距离的最大值与最小值，并写出取到最值时 的坐标。若把直线换成 ，结论怎么变？ 图 3：圆 与两条平行直线；虚线标出过圆心且与直线垂直的方向，两个黑点是相离那条直线的取等位置。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 5. 一段圆形隧道截面可用圆 的上半部分描述，路面取 轴，单位米。一辆卡车沿中线行驶，车宽 米、车高 米，能否通过？若车高换成 米呢？把临界的限高算出来。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 四、算出来的根，还得回得去 6. 光线从点 出发，经 轴反射后与圆 相切。求反射光线所在直线的斜率；如果解出两个值，说明另一个为什么不能用。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 7. 直线 与圆 。按相切、相交、相离三种情形把 分清楚；再求弦长恰为 时的 。若三种情形里有一种永远不出现，说明原因。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 8. 承接第 7 题的圆与直线族。是否存在实数 ，使截得的弦长等于 ？是否存在实数 ，使弦长等于 ？两个问题都要给理由，最好能各用代数与几何两种方式说清。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 五、把轨迹换成另一个圆 9. 圆 上是否存在点 ，使 、（）满足 ？若存在，求 的最大值，并说明取到最大值与最小值时两圆各是什么位置关系。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 收笔前把这三处补齐 ① 第 1 题的三种办法，是不是真的走了三条不同的路？把同一个直角三角形换三种说法不算。垂足坐标有没有和弦中点核对过？ ② 第 2、3、6、9 题解出的每一组值，都回代检验了吗？重合有没有排除、两解有没有漏掉、光线有没有真的打到 轴上、参数端点对应哪种相切，这几处最容易只写一半。 ③ 第 4、7、8 题里， 与 的大小先判了没有？相离与相交的距离范围写法不同，相切时弦长退化成一点，含参分类要把使分母为零或方程退化的参数单独列出来。 三问都顺下来了，再把九题的作图区从头看一遍：图上的点、线、垂足有没有和算式里的坐标对上。图与数对不上时，先别急着改数，回头查一遍直线方程是不是化成了一般式。 时间怎么分 第 1 题十二分钟，三种办法写两种就够，重心得放在「垂足与弦中点的坐标要一致」这一步。第 2、3 题各十分钟，先把 与 的大小关系写出来定位置，再套对应的公式，顺序颠倒最容易白算。第 4、7、8 题各十二分钟，含参的地方要把使分母为零、使方程二次项系数为零的那几个参数值单独拎出来看。第 5、6 题各八分钟，一个求切线长、一个求弦长，都属于公式直用，但算完要回头确认点确实在圆外、直线确实与圆相交。第 9 题十五分钟，存在性问题先设点再列式，最后一定要说明取到最值时两圆是什么位置关系。 卡住超过十五分钟就换题，别在一道题上耗掉后面两道的时间。留出五分钟做三件事：检查圆心坐标与半径有没有抄错；检查每个「相切」都写清了内切还是外切；检查所有距离都带了绝对值或平方，没有直接写负数。 最后提醒一句：这一节的题几乎都能画图，画图不是浪费时间。把圆心、半径、直线、垂足四点落在纸上，距离关系一眼可见，含参时也能先看出参数动到哪儿会变位置关系。图只画一次，题却能顺着它做完；反过来，跳过图直接套公式，算到一半发现位置关系判错，前面全要推倒。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $ 一条直线穿过圆之后：弦长、切线长与最值 人教 A 版必修第二册 · 直线和圆的方程 同一张图上其实只有四个长度：圆心到直线的距离、半弦、半径、圆外一点引出的切线段。它们被一个直角三角形拴在一起，多数题绕不开它。这九题从一张图开始，把这个三角形分别用在弦长、切线长、动点最值和含参判定上。 考查范围：点到直线的距离、垂径定理与弦长、平行与重合的充要条件、切线长反求圆心、圆上动点到直线的距离最值、含参位置关系分类、坐标法建模。 9 道题　70 分钟　基础 2 题 / 中档 5 题 / 拓展 2 题 适合：学完直线与圆的位置关系之后的一节专题课，或高二章末把几何法与代数法对照着补一遍。 动笔前先问三件事：圆心坐标和半径是不是已经配成标准形式；直线方程有没有化成一般式；算出来的每一个量要不要回代范围。这三问跳过任何一问，后面都会返工。 班级：______　姓名：______　用时：______ 一、一张图上量出三种长度 1. 圆 被直线 截得一条弦。用三种不同办法求这条弦的长度，并把垂足坐标一起算出来，看看三种结果对不对得上。 解析　先把圆心与半径读出来：，。 第一种，距离加勾股。直线已经是一般式，圆心到它的距离 圆心、垂足、弦的一个端点构成直角三角形，斜边是半径 ，一条直角边是 ，另一条就是半弦 ，弦长 。整道题三行结束，几何法是三种里最快的。 第二种，联立加弦长公式。由直线解出 ，代入圆： 展开得 ，也就是 ，两根 与 。对应 与 ，两交点是 、。两点距离 也可以用弦长公式 ，其中 、，得 ，少算一次纵坐标。 第三种，垂径加参数。过圆心作直线的垂线，方向向量取 ，单位化后是 。垂足 在直线上，且 与法向量同向、长度 ： 验一下： 与 的中点是 ， 与 的中点是 ，垂足正是弦中点，垂径定理对上了。半弦沿着直线方向 量出 ，两端点就是 ，算出来仍是 、。 图 1：圆心 、半径 、圆心到直线距离 、半弦 、弦长 ； 为垂足兼弦中点，交点为 与 。 要点　、、 这组数不是凑巧：只要圆心距 、半弦、半径 满足 ，弦长就是 。三种办法并非三道题，而是同一个直角三角形的三种读法。几何法快、代数法稳、参数法适合往空间或向量推广。题目若给的是一般方程，先配方；若给的是含参直线，先判 与 的大小再谈弦长，别一上来就联立。 二、位置关系先判，再动笔 2. 两条直线 与 平行，求 的全部取值，逐一检验有没有重合的情形；再说清楚「」是平行的充分条件、必要条件，还是两者都是。 解析　平行先看系数交叉积为零： 两根 与 。这一步只保证「方向相同」，重合也满足它，所以必须逐个回代。 ：，。、 系数完全相同，常数项 ，平行不重合 ✓。 ：，。系数比 ，常数比 不等于它，仍是平行不重合 ✓。也可以把 化为 、 化为 ，一眼看出左边成比例、右边不成比例。 两个值都不重合，答案 或 。顺带确认不存在重合解：要重合，三组系数得同时成比例，可 与 的常数比都对不上，而这两个值已是平行条件的全部解。 关于充分必要性： 代回去确实平行，所以是充分条件；但平行还可以由 得到，所以不是必要条件。合起来是充分不必要。若把题目改成「 或 」，就变成充要条件了。 这类题最常见的失分不是解错方程，是解完不验重合。用一般式判平行时， 只排除了相交，重合仍在这个集合里；再验一次常数项，才算把「平行」和「重合」分开。斜率法还有个坑： 时 的斜率不存在，用斜率乘积会漏解，系数交叉积没这个毛病。 3. 从点 向圆 引切线，切线长为 ，半径是 ，圆心落在直线 上。写出所有满足条件的圆的标准方程，并说明为什么答案不止一个。 解析　设圆心 ，由圆心所在直线得 。切点、圆心、点 构成直角三角形，直角在切点处，于是 这里 是切线长。于是 。代入 ： 或 ，对应圆心 与 。两个圆分别是 两个圆心到 的距离都是 ，都超过半径 ，切线长都是 ，两个解都成立。这一步别省： 的两个值来自「圆心落在直线上」，那条件只管位置，不管点 在不在圆外。 图 2：点 到两个候选圆心 、 的距离都是 ，半径都是 ，切线长都是 ；两个圆心都在直线 上。 为什么会有两个？条件给的是「圆心到 的距离等于 」，这是一个以 为圆心、半径 的圆；它和直线 相交，一般交两点。把题设看成「圆与直线求交」，多解就是自然的。若把切线长改成 （ 在圆上）， 的圆与这条直线可能相切或相离，答案就变成一个或没有。反问题的答案个数，要在动笔前先估一下，别解出一个就收笔。 另一条容易走岔的路：直接设切线方程、用圆心到切线距离为 去解。那样要引入切线斜率，还要处理斜率不存在的情形，比 绕远得多。凡见到「切线长」，先想这个直角三角形。 三、动点把距离拉到最值 4. 圆 上有一动点 ，直线 。求 到 的距离的最大值与最小值，并写出取到最值时 的坐标。若把直线换成 ，结论怎么变？ 解析　圆心 ，半径 ，圆心到 的距离 ，直线与圆相离。圆上一点到直线的距离，等于圆心到直线的有向距离再加上沿法向的偏移，偏移量的范围是 ，于是距离范围是 。 取到最值的点在过圆心、垂直于 的那条直线上，方向就是法向量 的单位向量 。因为 ，圆心在直线的负侧，往正侧走才靠近直线，所以 代入验：，在圆上；到 的距离 。另一点到 的距离 ，也对。 把直线移成 ，圆心距变成 ，直线与圆相交，圆上有两个点正落在直线上，距离能取到 。这时公式 的下端是负数，不能直接用，正确范围是 解方程组 、 能拿到两个交点，它们就是最小值点；最大值点仍在法向的另一侧。 图 3：圆 与两条平行直线；相离那条给出距离 与 ，取等点为 与 ；相交那条使最小距离变成 。 「先判 与 」在这里不是形式，它决定公式长什么样。相离时下端是 ，相交时下端被 截断；直接套 会写出负距离。圆上点满足 ，所以 的两个端点由 给出；换成 ，内部 能取到 ，最小值就不再是 而是 。 5. 一段圆形隧道截面可用圆 的上半部分描述，路面取 轴，单位米。一辆卡车沿中线行驶，车宽 米、车高 米，能否通过？若车高换成 米呢？把临界的限高算出来。 解析　车沿中线走，左右各占 米，车顶两个角点的横坐标是 。车身是矩形，最靠外的就是这两个上角，只要它们在圆内（或圆上），整辆车就在截面内。 车高 米时： 角点在圆内，能通过。车高 米时： 右上角出界，不能通过。 限高由 定出： 单位是米。这个数落在 与 之间：。取一位小数就是 米，答案写成 更妥当，近似值只在最后一步用一次。 坐标法建模的三步在这里很清楚：把路面放成 轴、圆心放原点，写出圆的方程；把车宽换成角点横坐标；把「能通过」翻译成「角点在圆内」。三步里最容易错的是第二步——有人用整个车宽 当横坐标，算出的限高偏小，会把能通过的车判成不能过。中线行驶意味着左右对称，只取半宽。 再追一句实际意义：限高比隧道拱顶的 米矮了约四分之一米，差的就是车宽带来的那一段。车越宽，能用的高度越矮；把车宽改成 米，限高降到 米，也就是 米上下。工程上还要留安全间隙，题目里的「恰好等于」对应的是擦边通过，真实判断要留余量。这一层不用写进答卷，但做题时知道「临界值不是可用值」，不容易把 直接当成可通行高度。 四、算出来的根，还得回得去 6. 光线从点 出发，经 轴反射后与圆 相切。求反射光线所在直线的斜率；如果解出两个值，说明另一个为什么不能用。 解析　反射用对称点处理。 关于 轴的对称点是 ，反射光线所在直线必过 。设斜率为 ： 圆心 到这条直线的距离等于半径 ： 平方得 ，即 ，两个根 与 。 代数上两个都对，几何上只能用第二个。 时直线是 ，它与 轴平行，根本没有交点，也就没有「反射点」——光线必须先打到 轴上再折回来，这条线构不成反射光线。舍去。 时，直线写成 （把 两边乘 整理）。验：圆心 到它距离 ✓。它与 轴交于 ，反射点 。入射光线从 到该点，斜率 ；反射光线斜率 ，两者互为相反数，正好是关于 轴反射该有的样子。切点可进一步算成 ，在圆上也在直线上，位置在圆的右下侧，和光线从右下方射来的走向一致。 答案 。 这类题的「多出来的根」几乎都出在「代数条件只刻画了相切，没刻画光线走过的路径」。除了与坐标轴无交点，还可能遇到切点在反射点背面、或入射方向反了。解完之后把反射点、切点、光源三者在图上按顺序摆一遍，比再算一遍可靠。对称点法本身没错，错在把它的解当成了全部答案。 7. 直线 与圆 。按相切、相交、相离三种情形把 分清楚；再求弦长恰为 时的 。若三种情形里有一种永远不出现，说明原因。 解析　圆心 ，半径 。圆心到直线的距离 因为 ，所以 恒成立。于是： 时 ，直线 与圆相切，切点 。 时 ，相交，两个交点。 相离（）这一支不存在。几何上看更直接：直线 无论 取什么，都过定点 ，而这个点恰好在圆上（）。过圆上一点的直线不可能与圆相离，最少也相切。 弦长用 ： 令 ： 。两个值关于 对称，这也不意外：把 换成 ，直线关于 轴翻折，圆关于 轴对称，弦长不变。 注意 时弦长为 ，公式仍成立（相切看作弦退化成一点）； 越来越大时 越来越接近 ，但永远取不到 ，原因见下一题。分类题写答案时，最好把 单独列一行，别把它塞进「相交」的通式里； 在 时的处理也要写一句，直接把 当 会丢掉负根。 8. 承接第 7 题的圆与直线族。是否存在实数 ，使截得的弦长等于 ？是否存在实数 ，使弦长等于 ？两个问题都要给理由，最好能各用代数与几何两种方式说清。 解析　沿用 。 第一问，： 矛盾，无实数解。几何解释更有说服力：弦长等于 就是直径，直线必须过圆心 ；把这个点代进 得 ，圆心不在直线族里的任何一条上。而直线族恒过圆上的点 ，所以每条直线都是从圆上一点出发的弦，长度严格小于直径。两种说法指向同一件事：这个直线族「够不着」圆心。 也可以从 看： 需要 ，而 恒成立，取不到 。当 越来越大， 越来越小、 越来越接近 ，是接近而不是达到。 第二问，： 两个解。几何上，弦长从 时的 起随 增大而增大，一直逼近 却始终小于 ，中间每个长度都会被取到两次（正负各一次）， 在这个范围内，存在性没问题。圆的对称性把 与 配成一对，这就是两个解的来源。 「是否存在」这类问法，判分看的是理由而不是数值。只解出 却没说第一问为什么无解，等于漏了一半。反过来，若只写「直线不过圆心」，对第二问就没给出可验的参数。代数给数值、几何给解释，两问都能答完整。把 换成任何 ，都恰有两个 ；换成 或负数，解集为空。顺手把这个范围写出来，比只答一问更能说明看懂了直线族。 五、把轨迹换成另一个圆 9. 圆 上是否存在点 ，使 、（）满足 ？若存在，求 的最大值，并说明取到最大值与最小值时两圆各是什么位置关系。 解析　先把「直角」翻译成轨迹。 等价于 在以 为直径的圆上，这个圆的圆心是原点、半径 ，方程 。于是问题变成：圆 与圆 有没有公共点。 圆心距 圆 的半径是 ，圆 的半径是 。两圆有公共点的充要条件 右边给 ，左边给 ，即 ；结合 ： 最大值为 。 端点各有说法。 时 ，两圆外切，只有一个公共点，对应唯一一个 ； 时 ，两圆内切，也只有一个公共点。中间的 两圆相交于两点，满足条件的 有两个。 时圆 太小、 时圆 太大把圆 整个含进去且不相切，都没有公共点。 这个端点值得单独看一眼：两圆心距 ，半径差也是 ，内切点只能落在连心线上，按比例就是 。这个点既在圆 上又在圆 上，说明内切那一瞬间 确实存在， 成直角，端点取得到。 把轨迹换成圆，是这一节最有用的一招。见到「张成直角」「到两定点距离之比为常数」「到两定点距离平方和为定值」，先想能不能写成一个圆的方程；写成之后，原题就从「动点存在性」降级成「两圆位置关系」，只用比圆心距与半径和差。若直接用向量 展开，会得到 ，其实绕回同一个圆，但中途容易把符号算错。 收尾：圆的题，三处最容易省掉的步骤 第一处，配方与一般式。题目给 这类方程时，圆心和半径都藏在配方里，直接拿系数去算距离必错。直线也一样， 要写成 才能套点到直线距离公式；第 2 题用系数交叉积判平行，正是为了避开斜率不存在的分支。这两步不产生分数，却决定了后面每一步。 第二处， 与 的大小先判。第 4 题相离时距离范围是 ，相交时下端被 截断；第 7 题 恒成立，相离那一支直接不存在；第 8 题弦长能否取到直径，等价于 能否取到 。这些结论不是算出来的，是判出来的。卷面上写一句「因 ，直线与圆相交」，比闷头联立更省时间，也更容易发现题目里的陷阱。含参数时，把 写成参数的函数，先看它的取值范围，再分情形。 第三处，算完的根要回代几何情境。第 2 题要验重合，第 3 题要验点在圆外、并接受两个解，第 6 题要舍掉与 轴无交点的那条直线，第 9 题要把 的两个端点解释成外切与内切。代数方程只认系数，不认「光线要先打到轴上」「直线族恒过圆上一点」这些额外条件；多出来的根、少了的解，几乎都出在这道回代上。养成一个习惯：每解出一个参数值，在图上把它对应的那条线或那个圆摆一遍，看位置是否说得通。 还有一条经验值得留着：能用直角三角形就别联立。 与 这两个式子，把弦长、切线长、半径、圆心距全串起来了；第 1、3、7、8 题用的都是它们的不同侧面。联立法不是不能用，而是更适合题目本来就给了交点坐标、或需要求交点具体位置的场合。两种方法各留一道验算，答案对得上再收笔，比只做一遍稳妥得多。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $