2.4.2圆的一般方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 教学目标： 1. 数学抽象与运算：掌握圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0的形式特征，熟练运用配方法完成圆的一般方程与标准方程的互化，能快速写出圆心、半径。 2. 逻辑推理应用：熟练使用待定系数法，根据三点、圆心半径相关条件设一般方程，列三元一次方程组求解D、E、F，独立完成“三点定圆”类基础题型。 3. 直观想象提升：掌握相关点法（代入法）求解双动点轨迹方程，规范写出“设点—找坐标关系—代换—化简”完整解题流程。 4. 核心素养落地：在标准方程与一般方程互化、轨迹推导中深化数形结合思想，提升数学运算、逻辑推理、直观想象三大解析几何核心素养。 教学过程： 课程导入： 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0。可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式。请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？ 任务一 圆的一般方程 探究1、如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？ 思考：当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 结论：（1）当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. （2）二元二次方程表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. （3）圆心 半径r＝ 【例1】求下列各圆的圆心坐标和半径 （1）x2＋y2-6x=0 (2)x2＋y2+2by=0 练习1、若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径. 任务二 求圆的一般方程 【例2】求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 总结：求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列出关于D，E，F或a，b，r的方程组，解出系数得到圆的方程. 练习2、在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，D(-2，-1)四个点能否在同一个圆上？ 任务三 相关点法求轨迹方程 探究2：轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？ 【例3】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 总结：相关点法（又叫代入法）：它用于处理一个主动点与一个被动点之间的问题，只需找出这两点坐标之间的关系（用被动点坐标表示主动点坐标），然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，也即得到了所要求的轨迹方程. 练习3、已知O为坐标原点，P在圆C：（x－2）2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程. 补充练习：已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点. （1）求圆C的一般方程； （2）设点A在圆C上运动，点B（2，3），且点M满足＝2，求点M的轨迹方程. 2.4.2 圆的一般方程（答案） 教学目标： 1. 数学抽象与运算：掌握圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0的形式特征，熟练运用配方法完成圆的一般方程与标准方程的互化，能快速写出圆心、半径。 2. 逻辑推理应用：熟练使用待定系数法，根据三点、圆心半径相关条件设一般方程，列三元一次方程组求解D、E、F，独立完成“三点定圆”类基础题型。 3.直观想象提升：掌握相关点法（代入法）求解双动点轨迹方程，规范写出“设点—找坐标关系—代换—化简”完整解题流程；了解直接法求简单轨迹方程。 4.核心素养落地：在标准方程与一般方程互化、轨迹推导中深化数形结合思想，提升数学运算、逻辑推理、直观想象三大解析几何核心素养。 教学过程： 课程导入： 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0。可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式。请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？ 任务一 圆的一般方程 探究1、如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？ 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得，+=，当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. 思考：当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ ①当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点. 当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ ②当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形. 当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 表示以为圆心，以为半径的圆 结论：（1）当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. （2）二元二次方程圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. （3）圆心 半径r＝ 【例1】求下列各圆的圆心坐标和半径 （1）x2＋y2-6x=0 (2)x2＋y2+2by=0 圆心（3,0） 半径r=3 圆心（0,-b） 半径r=|b| 练习1、若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径. 解：（1）据题意知，（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为（－∞，）. （2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0化成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m， 故圆心坐标为（－m，1），半径r＝. 任务二 求圆的一般方程 【例2】求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解　方法一　设圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，-3)，半径r==5. 方法二　OM1的中点为，=1， ∴OM1的垂直平分线的方程为y-=-，即y=-x+1， 同理可得OM2的垂直平分线的方程为y=-2x+5， 联立解得即圆心为(4，-3)， 半径为=5.故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25. 总结：求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列出关于D，E，F或a，b，r的方程组，解出系数得到圆的方程. 练习2、在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，D(-2，-1)四个点能否在同一个圆上？ 解　设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则 解得 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 将点D(-2，-1)代入方程，等式不成立. 故A，B，C，D四点不在同一个圆上. 任务三 相关点法求轨迹方程 探究2：轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？ 轨迹是指点在运动过程中形成的图形，是几何问题；轨迹方程是指点的坐标所满足的关系式，是代数问题，依赖坐标系的建立.有时候可以将二者一一对应起来，如（x－1）2＋（y－2）2＝4这个轨迹方程表示以（1，2）为圆心，以2为半径的圆. 【例3】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以 ， 于是有 ，． ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即 ． ② 把①代入②得 ． 整理，得 ． 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆． 总结：代入法（又叫相关点法）：它用于处理一个主动点与一个被动点之间的问题，只需找出这两点坐标之间的关系（用被动点坐标表示主动点坐标），然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，也即得到了所要求的轨迹方程. 练习3、已知O为坐标原点，P在圆C：（x－2）2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0）， 由中点坐标公式，可得x＝，y＝. 于是x0＝2x，y0＝2y. ① ∵点P在圆C：（x－2）2＋y2＝1上运动， ∴点P的坐标满足方程（x－2）2＋y2＝1， 即（x0－2）2＋＝1. ② 把①代入②，得（2x－2）2＋（2y）2＝1， 整理，得（x－1）2＋y2＝. ∴点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝. 补充练习：已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点. （1）求圆C的一般方程； （2）设点A在圆C上运动，点B（2，3），且点M满足＝2，求点M的轨迹方程. 解：（1）设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 则圆C的一般方程为x2＋y2－4x－6y＋4＝0. （2）设M（x，y），A（xA，yA）， 则＝（x－xA，y－yA），＝（2－x，3－y）， 由＝2， 得 解得 由点A在圆C上， 得（3x－4）2＋（3y－6）2－4（3x－4）－6（3y－6）＋4＝0， 即x2＋y2－4x－6y＋12＝0， 故点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－6y＋12＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $