专题02 抽象函数模型重难点题型突破（专项训练）数学苏教版必修第一册

专题02 抽象函数模型重难点题型突破 核心提升：重难题型归纳 题型一：“一次函数”模型 题型二：“二次函数”模型 题型三：“对数函数”模型 题型四：“指数函数”模型 题型五：“幂函数”模型 题型六：抽象函数的综合 题型专练：高频重难特训 题型一：“一次函数”模型 1．（2026·高一·河南·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 令，得，，故A，C错误； 令，得，故B正确； 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 2．（2026·高一·全国·单元测试）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，令，可得， 令可得，即， 所以为奇函数，， 因为，都有，所以，且，有， 因为， 所以，在上单调递减， 所以，， 故的最小值为6． 3．（2026·高一·北京通州·期中）若，函数满足，函数，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得： ， 已知对任意，函数满足， 令，代入方程得：， 令，此时，代入原方程得：， 将代入上式，整理得：， 将代入上式，得：， 因此，. 4．若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是 A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】C 【解析】x1=x2=0，则，， 令x1=x，x2=-x， 则， 所以， 即，为奇函数，故选C. 5．（2026·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【解析】对于A，取，则， 即，得，故A正确； 对于B，取，则， 得，故是奇函数，B正确； 对于C，对任意的都有， 可得，即， 因此，故C正确； 对于D，由于， 因此的图象关于点对称，故D错误. 故选：D. 6．（2026·高一·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 题型二：“二次函数”模型 7．（2026·高二·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【答案】D 【解析】解法一：（赋值）令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以． 解法二：（赋值递推）令得，所以， 所以，累加得， 所以． 解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且， 所以． 8．（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 【答案】D 【解析】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 9．（2026·高一·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【解析】对于任意的实数，都有，， 且当时，， 对于A，令，可得，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 所以，所以不恒成立， 所以函数不满足，所以不是奇函数，所以B错误； 对于C，任取，则，令， 则， 所以， 因为时，，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，取函数，此时函数满足， 且当时，，满足， 则， 所以不能恒成立，所以D错误. 故选：C. 10．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）已知是定义在上的函数，且满足，．则（   ） A． B．为奇函数 C． D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】令，代入中， 可得，即． 令，代入中， 可得：，即， 因为，所以，所以选项A正确； 令，代入中， 可得：， 则， 则 ， 即， 令，其定义域为． ， 所以不是奇函数，选项B错误； ，，所以，选项C正确； 令，其定义域为． ，所以是偶函数，选项D正确． 故选：ACD． 题型三：“对数函数”模型 11．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意都满足，且当时，，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】C 【解析】因为定义在上的函数满足， 对于选项，令可得，解得， 所以，，A对； 对于B选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：C 12．（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 13．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【解析】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 题型四：“指数函数”模型 14．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（   ） A．1014 B．2027 C．2028 D．4054 【答案】C 【解析】对于任意实数，满足，且， 当时，， 即. 故选：C 15．（2026·高一·山东临沂·期中）若满足对任意的实数都有且，（          ） A．1009 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】D 【解析】因为满足对任意的实数都有且, 所以, 所以 . 故选:D. 16．（2026·高一·河北张家口·开学考试）已知函数的定义域为，对于任意实数满足，且，则（    ） A．1011 B．2022 C．3033 D．4044 【答案】C 【解析】函数的定义域为，对于任意实数满足，取，得， 所以. 故选：C 题型五：“幂函数”模型 17．（2026·高一·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 18．（2026·高一·河北·阶段检测）已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【解析】（1）令，则， ，为偶函数. （2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数. （3）∵,又 ∴ ∵，∴，即，又故. 19．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）令，则. ∵，∴ ∴函数为奇函数； (2)函数在上单调递减. 证明如下： 由函数为奇函数得 当时，，， 所以当时，， 设，则，∴， 于是， 所以函数在上单调递减. ∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减. (3)∵，且，∴， 又∵函数为奇函数，∴ ∵，∴，函数在上单调递减. 又当时，. ∴，即， 故的取值范围为. 20．（2026·高三·上海·阶段检测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【解析】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 题型六：抽象函数的综合 21．（2026·高三·江苏徐州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是增函数 D．是减函数 【答案】B 【解析】对于A，，则， 令，则，故错误； 故，则， 对于B，令，则，则， 同理可得， 令，则，故正确； 对于CD，令，显然满足在，，， 得，令得， 显然当时，，此时单调递减，故C错误； 此时，显然在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 22．（多选题）（2026·高一·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】CD 【解析】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则且， 又在上是增函数，所以，解得且，故D错误． 故选：CD． 23．（2026·高三·湖南常德·阶段检测）已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【解析】因为， 对于①：令，可得，故①正确； 对于②：令，可得，解得； ③令，可得，解得，故③错误； 对于④：令，可得， 且的定义域为，所以是奇函数，故④正确. 故选：D 24．（2026·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 1．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【解析】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 2．（2026·高一·山东临沂·期末）已知定义在上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】B 【解析】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：B. 3．（2026·高一·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【解析】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 4．（2026·高一·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】因为对任意实数，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，则，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，其中为奇函数， 所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知， 所以，所以， 故选：D. 5．（2026·高三·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 6．已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（    ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【解析】在中， 令，则， 因为，所以． 令，则， 所以，故A对． 令，则， 则，所以，故B对． 是减函数，故C错． ，所以是奇函数，故D对． 故选：C． 7．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为上的减函数 D．若则的取值范围为 【答案】B 【解析】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，则，所以. 又因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以是奇函数，所以B错误； 对于C，设任意且，则.由题意得，即. 因为， 所以，即. 所以函数为上的减函数，所以C正确； 对于D，由选项的分析可知，函数是奇函数，由C选项可知函数是上的减函数. 若，则. 所以，即，，解得，所以D正确. 故选：B. 8．（2026·高三·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【解析】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 9．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则 . 由 得 . 对正整数 ，由 逐次递推，得 . 所以 ，从而 . 10．（2026·高一·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B 11．（多选题）（2026·浙江台州·模拟预测）已知定义在上的函数，满足：，，，则（    ） A．函数一定为非奇非偶函数 B．函数可能为奇函数又是偶函数 C．当时，，则在上单调递增 D．当时，，则在上单调递减 【答案】BC 【解析】对于AB：令，则， 所以或， 当时， 令，则 ， 则， 所以此时既是奇函数又是偶函数； 故A错误，B正确； 对于C：当时，，则， 又， 所以，则， 设，则，则， 所以， 由于， 取，得， 所以， 则当时，，则， 所以， 则在上单调递增，故C正确； 对于D： 设，则，则， 所以， 则在上单调递增，故D错误； 故选：BC 12．（多选题）（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数对于一切实数都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．是增函数 【答案】AC 【解析】对于A，令，则， 由时，，得，，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，令，则， 当时，，， 对于任意，故C正确； 对于D，设， 则， ，即， 又在上单调递减，故D错误； 故选：AC. 13．（多选题）（2026·高三·江苏南通·开学考试）已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若对任意的实数，，则是单调增函数 【答案】BCD 【解析】时，，∴或，A错. 取，，B对. ，由B知：所以，C对. 由可知：当时，，此时，∴， 故对任意的有，所以不存在使，故对，， 当时，，故， ∴在上单调递增，D对. 故选：BCD. 14．（2026·高一·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【解析】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 抽象函数模型重难点题型突破 核心提升：重难题型归纳 题型一：“一次函数”模型 题型二：“二次函数”模型 题型三：“对数函数”模型 题型四：“指数函数”模型 题型五：“幂函数”模型 题型六：抽象函数的综合 题型专练：高频重难特训 题型一：“一次函数”模型 1．（2026·高一·河南·期中）若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·全国·单元测试）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·高一·北京通州·期中）若，函数满足，函数，则（） A． B． C． D． 4．若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是 A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 5．（2026·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 6．（2026·高一·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 题型二：“二次函数”模型 7．（2026·高二·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 8．（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 9．（2026·高一·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且对于任意的实数，，都有，，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 10．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）已知是定义在上的函数，且满足，．则（   ） A． B．为奇函数 C． D．为偶函数 题型三：“对数函数”模型 11．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意都满足，且当时，，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 12．（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 13．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 题型四：“指数函数”模型 14．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（   ） A．1014 B．2027 C．2028 D．4054 15．（2026·高一·山东临沂·期中）若满足对任意的实数都有且，（          ） A．1009 B．2018 C．2019 D．2020 16．（2026·高一·河北张家口·开学考试）已知函数的定义域为，对于任意实数满足，且，则（    ） A．1011 B．2022 C．3033 D．4044 题型五：“幂函数”模型 17．（2026·高一·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 18．（2026·高一·河北·阶段检测）已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 19．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)若，求实数a的取值范围. 20．（2026·高三·上海·阶段检测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 题型六：抽象函数的综合 21．（2026·高三·江苏徐州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是增函数 D．是减函数 22．（多选题）（2026·高一·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 23．（2026·高三·湖南常德·阶段检测）已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 24．（2026·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 1．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 2．（2026·高一·山东临沂·期末）已知定义在上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 3．（2026·高一·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 4．（2026·高一·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 5．（2026·高三·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（    ） A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数 7．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为上的减函数 D．若则的取值范围为 8．（2026·高三·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 9．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A．4052 B．4048 C． D． 10．（2026·高一·天津·阶段检测）已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（多选题）（2026·浙江台州·模拟预测）已知定义在上的函数，满足：，，，则（    ） A．函数一定为非奇非偶函数 B．函数可能为奇函数又是偶函数 C．当时，，则在上单调递增 D．当时，，则在上单调递减 12．（多选题）（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数对于一切实数都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．是增函数 13．（多选题）（2026·高三·江苏南通·开学考试）已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若对任意的实数，，则是单调增函数 14．（2026·高一·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $