专题02 常用逻辑用语四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

**基本信息** 以“通法-题型-挑战”三阶架构系统突破常用逻辑用语，通过集合关系与量词命题两大原则统领四类核心题型，实现概念理解与解题能力的协同提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |解题通法|2大原则|集合关系判定充分必要条件；量词命题真假转化为反例或存在性证明|以集合包含关系为基础构建逻辑用语概念体系| |题型归纳|4题型（每题型1典例+3变式）|定义法/集合法/等价转化法判别条件；参数问题转化为集合关系或函数最值|从条件判别到参数求解，形成“概念理解-方法应用-变式拓展”链条| |压轴挑战|14道综合题|多条件融合与跨知识迁移|整合逻辑推理与数学运算，提升复杂问题解决能力|

专题02 常用逻辑用语四类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件与必要条件的判别 题型二、利用充分条件与必要条件求参数 题型三、根据全称量词命题的真假求参数 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 常用逻辑用语是高中数学核心重难点，所有题型均围绕充分条件与必要条件的判别、利用充分条件与必要条件求参数；根据全称量词命题的真假求参数、根据存在量词命题的真假求参数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件： 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 二是全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件与必要条件的判别 典例1 已知、，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型模版 1.特征：若，，则是的充要条件； 如果pq，且，那么称p是q的充分不必要条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的必要不充分条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件。 2.方法：（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 变式1-1设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 变式1-3给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 类型二、利用充分条件与必要条件求参数 典例2 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：命题当中含参与充分条件、必要条件结合。 2.方法：先将充要关系转化为集合包含关系（必要不充分⇨q 对应集合⊆p 对应集合），列不等式组时注意端点虚实，避免遗漏空集情况 变式2-1已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2-2已知集合，若是的充要条件，则整数（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式2-3已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 题型三、根据全称量词命题的真假求参数 典例3 已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：； 2.方法：（1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围。 变式3-1若命题“”是假命题，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3-2已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式3-3若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 典例4 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：. 2.方法：（1）首先根据存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 变式4-1命题是假命题，则的范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-2已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-3已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，命题p：，命题q：，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 5．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 7．（多选）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 8．（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 9．设集合则“”的一个充要条件是_______ 10．已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 11．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 12．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 13．已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 14．已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语四类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件与必要条件的判别 题型二、利用充分条件与必要条件求参数 题型三、根据全称量词命题的真假求参数 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 常用逻辑用语是高中数学核心重难点，所有题型均围绕充分条件与必要条件的判别、利用充分条件与必要条件求参数；根据全称量词命题的真假求参数、根据存在量词命题的真假求参数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件： 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 二是全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、充分条件与必要条件的判别 典例1 已知、，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型模版 1.特征：若，，则是的充要条件； 如果pq，且，那么称p是q的充分不必要条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的必要不充分条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件。 2.方法：（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 变式1-1设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断. 【解析】由可知，或，，此时， 即“”“”； 但当时，取，，此时， 即“” “”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式1-2（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【答案】AC 【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可. 【解析】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题； ∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题； ∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题； ∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题． 故选：AC. 变式1-3给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 【答案】②，③ 【分析】根据充分条件与必要条件的定义构建集合间的关系即可. 【解析】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解， 故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，且等号不同时成立，解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，且等号不同时成立，解得； 综上所述，实数的取值范围，符合题意. 故答案为：②，③. 类型二、利用充分条件与必要条件求参数 典例2 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 题型模版 1.特征：命题当中含参与充分条件、必要条件结合。 2.方法：先将充要关系转化为集合包含关系（必要不充分⇨q 对应集合⊆p 对应集合），列不等式组时注意端点虚实，避免遗漏空集情况 变式2-1已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值不等式的解法化简，再由充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【解析】因为：， 所以， 记； ，记为． 因为是的必要不充分条件，所以A⫋， 所以，解得． 故选：A． 变式2-2已知集合，若是的充要条件，则整数（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据集合中元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解析】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 变式2-3已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 题型三、根据全称量词命题的真假求参数 典例3 已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题“”是真命题等价于.又列出不等关系式即可求解. 【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 故选：B 题型模版 1.特征：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：； 2.方法：（1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围。 变式3-1若命题“”是假命题，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【解析】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 变式3-2已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求． 【解析】因为命题“”为假命题， 所以“”真命题， 所以， 所以当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值， 所以， 故选：A. 变式3-3若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由命题“，”为真命题等价于即可. 【解析】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 典例4 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据命题是真命题的意思求解即可. 【解析】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 题型模版 1.特征：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：. 2.方法：（1）首先根据存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 变式4-1命题是假命题，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得命题是假命题，即命题的否定是真命题可求． 【解析】由题意得，命题的否定：. ∵命题是假命题， ∴命题的否定是真命题. 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，的范围是. 故选：A. 变式4-2已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得命题，是真命题即可求解． 【解析】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 所以， 故选：C. 变式4-3已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得命题：，是假命题，即命题的否定是真命题可求． 【解析】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，命题p：，命题q：，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】由命题间的必要不充分条件判断即可. 【解析】命题p：即， 命题q：即， 所以命题能推出命题，而命题不能推出命题， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：C. 2．已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】令，， 因为p是q的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 3．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【解析】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【分析】转化为最值问题求解， 【解析】由题意得在上有解，当时，取最小值， 则，故可取的最小整数值为0， 故选：B 5．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得命题“”为假命题，可转化为该命题为真命题得即可求． 【解析】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. 6．（多选）下列说法正确的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【解析】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 7．（多选）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A，“，使得”的否定是“，都有”；对于B，由恒成立，则命题“”；对于C，存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围. 【解析】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，由恒成立，则命题“”是真命题，故B正确； 对于C，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，命题为真命题，又函数开口向上， 则无实根，则，解得， 则实数的取值范围是，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例，得到充分性不成立；B选项，解不等式得到且，从而得到B正确；C选项，根据的根都是正根求出，从而得到C正确；D选项，分与两种情况，求出，从而得到D正确. 【解析】A选项，当时，满足，但不满足，故充分性不成立，A错误； B选项，，解得且， 所以不能推出，但能推出，故是的必要不充分条件，B正确； C选项，根都是正根，则要满足，解得， 故，但， 故是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件，C正确； D选项，不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，满足题意， 当时，要满足，解得， 综上所述，不等式对一切实数恒成立，则， 因为，但， 故是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件，D正确. 故选：BCD 9．设集合则“”的一个充要条件是_______ 【答案】 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解析】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故答案为： 10．已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知，命题成立，等价于即可求解． 【解析】因为为真命题， 所以，其中， 所以， 故答案为： 11．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】由若命题、一真一假则真假，或假真列出不等关系式即可求解. 【解析】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 12．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)不存在 【分析】根据集合与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 13．已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由已知可得集合是集合的真子集，进而可得，求解即可； （2）集合是集合的真子集，分和两种情况求解即可. 【解析】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 又，， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件条件，所以集合是集合的真子集， 若时，，解得， 若时，可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 14．已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式所对应的方程的判别式即可求解； （2）讨论是否是空集，以及是的真子集列不等式组，解不等式组即可求解. 【解析】（1）因为命题：，为真命题， 所以方程的， 解得：，即. （2）又因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，应满足，解得.此时是的真子集，故满足题意. 当时，应满足，解得. 因为是的真子集， 所以且不能同时取等号，解得：， 综上实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $