专题01 平行线四大经典模型（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

专题01 平行线四大经典模型 题型一：猪蹄模型 题型二：铅笔头模型 题型三：锯齿模型 题型四：三角尺拼接模型 题型一：猪蹄模型 方法技巧:两平行线间夹一点，过该点作平行线，把中间角分成两个角；由内错角相等得中间角等于两角之和，如。 1．（25-26七年级下·湖南常德·期末）如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·云南普洱·阶段检测）如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．求的度数（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 4．（21-22七年级下·吉林长春·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 题型二：铅笔头模型 方法技巧:两平行线间折线同向开口，过各折点作平行线，把折线角分成若干组同旁内角；由同旁内角互补求出折线角之和。如 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，，，则___________ 2．（25-26七年级下·江西吉安·期末）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 3．（25-26七年级下·广西崇左·期末）综合与实践 【问题初探】 (1)数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，点在，之间且点在点右侧，求证：（提示：过点作）； 【类比探究】 (2)小聪对李老师给出的问题进行改编：如图2，，点在，之间且点在点左侧，猜想，，之间的数量关系，并加以证明； 【学以致用】 (3)如图3是超市的购物车，图4是其侧面示意图，已知，，测量得知，，直接写出的度数． 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）已知，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E． (1)在图1中，当点P运动到线段上时，的度数是______； (2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； (3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系． 题型三：锯齿模型 方法技巧:多折点呈锯齿形时，过各折点作平行线，将角按位置分组；向左开口的角之和等于向右开口的角之和，据此列式求解。如 1．（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，直线，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，直线，则，，，一定满足（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，，点E在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点P，则的度数为______． 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，若，，是，之间的两点，连接，，，，求的度数． 题型四：三角尺拼接模型 方法技巧:利用三角尺的固定角、、、及叠放位置，通过角的和差与平行线性质求未知角。 1．（北京市海淀区育英中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷）如图，将含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 3．（25-26七年级下·广东潮州·期末）问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以一副三角板为背景探究图形的位置变化．将一副三角板按照图1所示的方式放置，其中，，，． 猜想证明： (1)如图1，“笃学”小组发现，请就这一结论说明理由． (2)操作探究：“勤奋”小组通过分析图1提出问题：试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展探究：“智慧”小组受到启发：让三角形固定不动，将三角形从图2的位置绕点C逆时针转动的过程中，当三角形的一边与三角形的边平行时，求出的度数． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）将一副三角板和进行摆放，其中，，，． (1)如图1，点B在边上，转动三角板，当时，与的位置关系是____； (2)如图2，点A，D均在线段上，与交于点G，猜想的度数，并说明理由； (3)如图3，点C在上，点E在上，过点A作，求的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线四大经典模型 题型一：猪蹄模型 题型二：铅笔头模型 题型三：锯齿模型 题型四：三角尺拼接模型 题型一：猪蹄模型 方法技巧:两平行线间夹一点，过该点作平行线，把中间角分成两个角；由内错角相等得中间角等于两角之和，如。 1．（25-26七年级下·湖南常德·期末）如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据平行线的性质，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ． 2．（26-27八年级上·云南普洱·阶段检测）如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．求的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方向角和平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，过点向右作， ∴（内错角相等）， ∵， ∴， ∴（内错角相等）， ∵， ∴． (2)如上图，过点向右作， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】（1）过点向右作，根据平行线内错角相等的性质，将和替换为内的角即可证明． （2）过点向右作，根据平行线同旁内角互补的性质，将拆分为和，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．（21-22七年级下·吉林长春·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)解：与、之间的数量关系为：，理由如下： 如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与、之间的数量关系为：． (2)① ② 【分析】（1）过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质即可得相等，相等， 进一步根据角的和差计算即可得与、之间的数量关系． （2）根据“猪蹄模型”，结合（1）得：等于，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质得，根据角平分线定义求出，等量代换可得，再根据求出，再根据角平分线定义求出，再根据求出，然后根据计算即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， 根据“猪蹄模型”，结合（1）得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． 题型二：铅笔头模型 方法技巧:两平行线间折线同向开口，过各折点作平行线，把折线角分成若干组同旁内角；由同旁内角互补求出折线角之和。如 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，，，则___________ 【答案】 【分析】过点作，过点作，利用两直线平行内错角相等拆分角，结合二倍角条件，推导两角的数量关系． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ，， ，， ，，， ，， ，，，， ，， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·江西吉安·期末）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·广西崇左·期末）综合与实践 【问题初探】 (1)数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，点在，之间且点在点右侧，求证：（提示：过点作）； 【类比探究】 (2)小聪对李老师给出的问题进行改编：如图2，，点在，之间且点在点左侧，猜想，，之间的数量关系，并加以证明； 【学以致用】 (3)如图3是超市的购物车，图4是其侧面示意图，已知，，测量得知，，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 证明：如图2，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）如图1，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （2）如图2，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （3）如图4，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图4，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）已知，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E． (1)在图1中，当点P运动到线段上时，的度数是______； (2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； (3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 证明：如图，过点作，过点作， 由（1）得：， 同理可得：， ； (3)不成立， 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据角的和差即可得； （2）过点作，过点作，由（1）得，同理可得，进而求解即可； （3）过点作，过点作，先根据（1）得，再根据平行线的性质得，，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ，且点运动到线段上， ， 平分，平分， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：猜想， 证明略 （3）解：， 如图，过点作，过点作， 由（1）得：， 即， ∵， ，即， ， ， ，即， ， ， 即． 题型三：锯齿模型 方法技巧:多折点呈锯齿形时，过各折点作平行线，将角按位置分组；向左开口的角之和等于向右开口的角之和，据此列式求解。如 1．（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，直线，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C作，过B作，利用平行线的性质和判定即可得出结论． 【详解】解：过C作，过B作， ∴,, ∴， ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴， ∴， ∴, ∴． 2．（26-27八年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，直线，则，，，一定满足（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：作的平行线，， ， ， ， 又， ． 3．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，，点E在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点P，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】过点E 作，首先根据平行线的性质求出，然后结合垂直的定义求出，当射线旋转时，求出，得到A，B，M三点共线，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线旋转时，旋转的时间为（秒）， ∴射线旋转的度数为，即， ∴， ∵， ∴， ∴此时A，B，M三点共线，如图， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，若，，是，之间的两点，连接，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点、分别作，，根据平行线的性质和判定即可求解； 【详解】解：过点、分别作，，如图所示： ， ． 又， ， ．                             又， ， ． 又，， ． 题型四：三角尺拼接模型 方法技巧:利用三角尺的固定角、、、及叠放位置，通过角的和差与平行线性质求未知角。 1．（北京市海淀区育英中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷）如图，将含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角板的性质，结合平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：如图： 由三角板可得，， ∴， 根据题意可得，， ∴． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】（1）过点F作，则；由邻补角互补求出的度数，进而求出的度数，再证明，由平行线的性质即可得到答案； （2）可证明，据此可判断①；由（1）可判断②；求出的度数，进而求出的度数，据此可判断③． 【详解】解：（1）如图所示，过点F作， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由（1）可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 3．（25-26七年级下·广东潮州·期末）问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以一副三角板为背景探究图形的位置变化．将一副三角板按照图1所示的方式放置，其中，，，． 猜想证明： (1)如图1，“笃学”小组发现，请就这一结论说明理由． (2)操作探究：“勤奋”小组通过分析图1提出问题：试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展探究：“智慧”小组受到启发：让三角形固定不动，将三角形从图2的位置绕点C逆时针转动的过程中，当三角形的一边与三角形的边平行时，求出的度数． 【答案】(1)解：理由如下： ∵ ∴， 即； (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； (3)的度数为或或． 【分析】（1）根据即可得到结论； （2）根据，即可得到结论； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：①当时，如图，延长到点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图，作， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴； ③当时，如图，延长到点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：的度数为或或． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）将一副三角板和进行摆放，其中，，，． (1)如图1，点B在边上，转动三角板，当时，与的位置关系是____； (2)如图2，点A，D均在线段上，与交于点G，猜想的度数，并说明理由； (3)如图3，点C在上，点E在上，过点A作，求的度数． 【答案】(1) (2)， 理由是：过点G作， ， ， ，， ． (3) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可得出． （2）过点G作，先得出，然后由平行线的性质得出，，然后根据角的和差关系即可得出． （3）延长交于点N，过点C作，由题意得出点B，E，C，D四点在同一条直线上，先得出，由平行线的性质得出，，由角的和差关系得出，再得出，由平行线的性质得出，，最后由角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：略 （3）解：延长交于点N，过点C作， ∵点C在上，点E在上， ∴点B，E，C，D四点在同一条直线上， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ，， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $