专题01 平行线性质与判定10类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以“三线八角识别-判定与性质应用-模型拓展”为主线，通过10类热考题型系统构建平行线解题方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1|区分判定与性质、拐点作平行线辅助线|从核心概念到解题原则，构建基础框架| |基础题型（1-5类）|5典例+15变式|角关系推平行（同位角等）、平行求角度、实际抽象模型|由判定到性质，从理论到生活应用| |综合题型（6-8类）|3典例+8变式|角关系探究、性质判定混合推理、距离应用|性质与判定结合，深化逻辑推理| |压轴题型（9-10类及挑战）|2典例+11变式+10挑战题|拐点辅助线拆分、旋转动态分类讨论|复杂模型与动态问题，提升创新意识|

专题01 平行线性质与判定10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据已知条件判定两条直线平行 1 类型二、补全平行线的判定过程 2 类型三、选择合适的方法证明两直线平行 8 类型四、利用平行线的性质求解 12 类型五、平行线在实际生活中的应用 15 类型六、根据平行线的性质探究角的关系 19 类型七、平行线的性质与判定综合 22 类型八、平行线之间的距离 29 类型九、遇拐点作辅助线 33 类型十、旋转与平行 39 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 平行线性质与判定是初中几何核心重难点，所有题型均围绕三线八角识别、平行线判定、平行线性质、拐点模型四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是区分判定与性质，因果不可颠倒，二是折线拐点需作平行线辅助线，所有推理步骤均要标注依据， 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据已知条件判定两条直线平行 典例精讲1（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 题型归纳 1.特征：已知一组或多组角的数量关系，判定图中两条直线是否平行。 2.方法：寻找同位角、内错角、同旁内角；同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，两直线平行。 3.易错提醒：必须是两条直线被同一条截线所截形成的角，不是任意相等的角都能判定平行。 变式训练1（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中一定能说明纸条两边平行的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法一一判定即可． 【详解】解：①，（同位角相等，两直线平行）可得出纸条两边平行， ②，无法得出纸条两边平行， ③，，则，（内错角相等，两直线平行）可得出纸条两边平行， ④，无法得出纸条两边平行， 故①③可得出纸条两边平行， 故选：C 变式训练2（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，不 能说明的有：（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的判定：①同位角相等，两直线平行．②内错角相等，两直线平行．③同旁内角互补，两直线平行． 利用平行线的判定即可求解． 【详解】解：①， ， 不能说明； ②， ， 能说明； ③， ， 不能说明； ④由不能说明． 故不能说明的有3个． 故选：C． 变式训练3（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 变式训练4（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有_____．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 类型二、补全平行线的判定过程 典例精讲2（25-26七年级上·河南周口·期末）已知，直线平行吗？为什么？ 解：∵，（    ），又（已知）， ∴（    ）， ∴（    ）． (1)把上面的空填上； (2)关于本题的解答你还有没有其他的办法，请把它写出来． 【答案】(1)对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 (2) ， 又， ， ∴． 【分析】（1）数形结合即可确定依据； （2）由同位角相等，两直线平行即可得到． 【详解】（1）解：∵，（对顶角相等）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）略 题型归纳 1.特征：几何推理填空题，给出部分条件与结论，补齐缺少的条件、结论或推理依据。 2.方法：理清逻辑先后顺序，由角的关系推导直线平行，对应填写判定定理。 3.易错提醒：区分判定与性质依据，证平行只能用判定定理，不能写性质定理。 变式训练1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，平分，与相交于点，．试说明．完成推理过程： 证明：∵（已知） （_____） 平分（已知） （    ） （已知） _____（    ） （_____）． 【答案】两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，由两直线平行，同位角相等可得，再由角平分线的定义并结合题意可得，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：（已知） （两直线平行，同位角相等） 平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行）． 变式训练2（25-26七年级上·江苏盐城·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 解：∵平分， ∴＝∠______， ∵， ∴， ∴____________（____________）， ∴（______）， ∵， ∴， ∴（______）． 【答案】；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，等角或同角的补角相等，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得出，可得，根据平行线的性质得出，根据同角的补角相等，得出，根据平行线的判定定理即可得出． 【详解】解：∵平分， ∴＝， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 变式训练3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C，E三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（____________）， 所以____________（____________________）． 因为（____________）， 所以____________（____________________）， 所以________________________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以____________，____________． 又因为（已知）， 所以（____________）． 【答案】已知，EF，内错角相等两直线平行，已知，CD，同旁内角互补，两直线平行，  CD，EF，，，等量代换 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定的综合，熟练掌握平行线的相关知识是解题的关键； 通过内错角相等、同旁内角互补等条件判定直线平行，再根据平行线的性质得到角的关系，最后利用等量代换得出结论. 【详解】解：∵（已知）， ∴EF（_内错角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴CDEF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴，． ∵（已知）， （等量代换）． 类型三、选择合适的方法证明两直线平行 典例精讲3（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】 解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】略 题型归纳 1.特征：几何证明大题，自主选择判定定理，书写完整推理过程证明两线平行。 2.方法：观察图形优先识别易获取的角（同位角优先，其次内错角、同旁内角），结合对顶角、角平分线、邻补角转化角。 3.易错提醒：推理步骤要有因果，每一步推导都要有对应的已知或定理支撑，不能跳步。 变式训练1（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在，，平分，平分，，求证：． 【答案】 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵在， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键是熟知等边对等角及平行线的判定定理． 根据平分∠ABC，平分∠ACB，得出，，由等腰三角形的性质得，从而，再根据，得出，即可证明． 【详解】略 变式训练2（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则吗？为什么？ 【答案】 解：．理由如下： 因为，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以． 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意先证明，结合，得出，即可求解． 【详解】略 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】 解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】略 变式训练4（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 类型四、利用平行线的性质求解 典例精讲4（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 题型归纳 1.特征：已知两直线平行，求角度大小、角之间数量关系。 2.方法：已知平行，直接套用性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 3.易错提醒：前提必须有两直线平行这个条件，没有平行不能直接推出角相等或互补。 变式训练1（25-26七年级上·江苏淮安·期末）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气射入水中时发生了折射，沿射到水底处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质，熟记两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键． 由题中得到①，再由②，结合①②即可得到答案． 【详解】解：， ①， ②， ①②得， 故选：C． 变式训练2（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 变式训练3（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 变式训练4（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为__________． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 类型五、平行线在实际生活中的应用 典例精讲5（24-25七年级下·河北沧州·期中）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（    ） A．第一次左拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次右拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两条直线平行的性质两条直线平行，同位角相等，再根据题意得两次拐的方向不相同，但角度相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于仍在原来的方向上平行前进， ∴， ∴第一次与第二次拐的方向不相同，即第二次右拐， 故选：． 题型归纳 1.特征：结合生活场景（管道、方位角、实物测量），抽象出平行线模型计算角度。 2.方法：从实际情境剥离几何图形，识别平行线与截线，转化为三线八角基础模型求解。 3.易错提醒：读懂题意，准确找到平行线，不要凭生活直觉直接判断角度。 变式训练1（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 变式训练2（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 变式训练3（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，，    ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 变式训练4（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与反射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，先根据反射角等于入射角求出的度数，再求出的度数，最后根据平行线的性质得出即可．能灵活运用平行线的性质定理推理是解题的关键． 【详解】解：∵入射角等于反射角，， ∴， ∴， ∵入射光线与反射光线平行， ∴． 故选：B． 变式训练5．（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角得出答案； 【详解】如图所示：延长交于点， ，， ， ， ， ， ．    故答案为：． 类型六、根据平行线的性质探究角的关系 典例精讲6（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、平行线的性质定理以及角的和差关系．根据同位角相等两直线平行可得，以及两直线平行，内错角相等得，再结合两直线平行，同旁内角互补得，即可解题． 【详解】解：， ， ， 又， ， ．故选． 题型归纳 1.特征：已知直线平行，猜想并证明多个角之间的和差、等量关系。 2.方法：结合平行线性质，搭配角平分线、角的和差运算，推导角之间的关系式。 3.易错提醒：结论要严格证明，不能仅凭目测图形直接下结论。 变式训练1（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 变式训练2（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 变式训练3（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 类型七、平行线的性质与判定综合 典例精讲7（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，平分，是AC上一点，过点作交于点，点在上且满足． (1)在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质． (1)由可知，因为，根据同角的补角相等可得：，根据内错角相等，两直线平行可得； (2)根据垂直的定义可知，根据两直线平行，同位角相等，可得：，根据两直线平行，同位角相等，可得：，根据角平分线的定义可得，根据直角三角形两锐角互余，可得，再根据三角形内角和定理可得：． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 在中，， ． 题型归纳 1.特征：判定与性质混合推理，先证平行，再利用平行得到角关系；或由角关系证平行。 2.方法：梳理推理链条：角的关系⇒两线平行⇒得到新的角关系，循环推导。 3.易错提醒：因果不能颠倒，判定是角推线，性质是线推角，书写依据不能混用。 变式训练1（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ∴， ∴． (2) 解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，进而可判定； （2）由，得到，继而得到，再由内错角相等，两直线平行即可判定； （3）由，可得，则，再由直接计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式训练2（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）根据题意，可证，再由内错角相等，两直线平行即可； （2）由，则，又平分，所以，进而得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 变式训练3（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图1，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) ，理由如下： ， ． ， ， ； (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得，进而得到，从而得到； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到； （3）过点作，则，由（2）知， 则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ∵， ； （3）解：过点作，则， ， 由（2）知， 则， ， ， ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，； 综上，的度数为或．      变式训练4（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，则，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 类型八、平行线之间的距离 典例精讲8（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 题型归纳 1.特征：求两条平行线之间距离，或者利用距离相等进行证明。 2.方法：平行线间距离定义为垂线段的长度，两条平行线间所有垂线段长度都相等。 3.易错提醒：距离是线段的长度（数值），不是垂线段本身；斜线段长度不是平行线间距离。 变式训练1（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 变式训练2（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在四边形中，，，，为的中点，连接交于点，记的面积为，的面积为，若，，则___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形中线的性质、三角形面积等知识点，掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 如图：连接，根据平行线的性质可得、边上的高相等，即，再根据三角形中线的性质可得，根据图形可得、，最后代入作差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴，边上的高相等， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 故答案为：12． 变式训练3（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 类型九、遇拐点作辅助线 典例精讲9（24-25七年级下·河北唐山·期末）近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 题型归纳 1.特征：折线拐角图形（猪蹄、铅笔头模型），直线之间存在拐点，直接无法用三线八角。 2.方法：过拐点作已知直线的平行线，拆分拐角，转化为基础平行线模型。 3.易错提醒：辅助线用虚线；规范书写 “过某点作 XX∥XX”，不可直接默认平行。 变式训练1（25-26七年级上·山西长治·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 变式训练2（25-26七年级上·福建泉州·期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 变式训练3（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 变式训练4（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，得，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式训练5（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 变式训练6（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】 （1）两直线平行，内错角相等；；；；． （2）； （3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 类型十、旋转与平行 典例精讲10（22-23七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为________． 【答案】5秒或35秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，设旋转过程中，与，与是对应点，再分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设旋转过程中，与，与是对应点， 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或35秒或50秒， 故答案为：5秒或35秒或50秒． 题型归纳 1.特征：直线绕定点旋转动态问题，求旋转角度使两条直线平行，常需要分类讨论。 2.方法：画出不同位置的旋转图形，根据平行对应的角关系，计算旋转角。 3.易错提醒：动态问题有多解，容易漏掉其中一种位置情况，做完要检验。 变式训练1（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【答案】2或14 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：当第一次平行于时， ∵， ∴， ∴（秒）； 如图所示：当第二次平行于时， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴（秒）； 综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行 故答案为：2或14． 变式训练2（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 变式训练3（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【答案】（1）134； （2），证明：如图，过点 作，则直线， ，， ， ， ， ； （3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图，作，，可得，，，，再利用角度的加减即可解答． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，作，， ， ，，，， ． 3．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线． （1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； （3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 4．（25-26七年级上·山西·阶段检测）综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动如图，将两块三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 操作探究： (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)当三角板绕点A旋转到如图2所示的位置，且时，求的度数． (3)深入思考：在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】(1) ．理由如下： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出．，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，过点A作， ． ， ， ， ． （3）解：或． 理由：分以下两种情况： 若在下方， 当时，， ∵， ∴， 即当时，； 若在上方， 当时，， ∴， 即当时，． 故当或时，． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，直线与直线分别交于点E、F． (1)如图1，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 【答案】(1) ，理由如下： ，，， ， ∴； (2) 如图，过点P作， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ (3)不变，． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． （1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行； （2）过点P作，根据与的角平分线交于点，可得，进而证明； （3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的大小不变，． 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 平分， ∴， ∴． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，即得，，由（）得，再根据已知得，即得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，可得，即得，，又根据角平分线的定义得，根据已知得，即得，进而得到，解之即可求解； 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， 由（）知，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 8．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求三点的坐标； (2)如图②，若过点作交轴于点．且，分别平分．求的度数； (3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的定义，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出辅助线，掌握割补法求面积． （1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标即可； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，． （2）解：轴，， ，，， 过作，如图所示： ， ， 、分别平分、， ，， ； （3）解：存在．理由如下： 当在轴正半轴上时，如图． 设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，． ， ， ． 解得，即点的坐标为； 当在轴负半轴上时，如图作辅助线， 设点，则，，． ， ． 解得，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 9．（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）略 （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 10．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 【答案】图①：结论：；图②，结论：；图③：结论：；图④，结论：. 解：如图①，结论：，理由如下： 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图②，结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图③：结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图④，结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，过点E作，结合， 可得，再利用平行线的性质与角的和差关系证明即可. 【详解】略 11．（24-25七年级下·山东临沂·期末）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，． (1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______； (2)解决问题： ①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数； ②在①中若，则______，若，则______； (3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明． 【答案】(1)相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 (2)①，；②， (3) 时，理由如下： 当，则 【分析】本题在平面镜反射光线的背景下考查角的运算，熟练掌握平行线的判定定理与性质以及补角定义，三角形内角和为是解题的关键． （1）①根据题意利用平行线的性质进行分析即可； ②根据题意利用平行线的判定定理进行分析即可； （2）图见解析，根据题意得，再利用平行线的判定定理与性质以及补角定义，得出度数，再利用三角形内角和为进行综合分析求解； （3）先提出猜想时，再结合平行线的性质以及补角定义，三角形内角和为进行证明． 【详解】（1）解：， ， 又，， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． （2） ①如图所示 由光的反射可知且 故答案为：，； ② 度数与无关，若，；若， 故答案为：， （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线性质与判定10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据已知条件判定两条直线平行 1 类型二、补全平行线的判定过程 2 类型三、选择合适的方法证明两直线平行 5 类型四、利用平行线的性质求解 6 类型五、平行线在实际生活中的应用 7 类型六、根据平行线的性质探究角的关系 9 类型七、平行线的性质与判定综合 10 类型八、平行线之间的距离 12 类型九、遇拐点作辅助线 13 类型十、旋转与平行 15 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 平行线性质与判定是初中几何核心重难点，所有题型均围绕三线八角识别、平行线判定、平行线性质、拐点模型四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是区分判定与性质，因果不可颠倒，二是折线拐点需作平行线辅助线，所有推理步骤均要标注依据， 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据已知条件判定两条直线平行 典例精讲1（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型归纳 1.特征：已知一组或多组角的数量关系，判定图中两条直线是否平行。 2.方法：寻找同位角、内错角、同旁内角；同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，两直线平行。 3.易错提醒：必须是两条直线被同一条截线所截形成的角，不是任意相等的角都能判定平行。 变式训练1（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中一定能说明纸条两边平行的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 变式训练2（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，不 能说明的有：（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 变式训练3（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 变式训练4（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有_____．（填序号） 类型二、补全平行线的判定过程 典例精讲2（25-26七年级上·河南周口·期末）已知，直线平行吗？为什么？ 解：∵，（    ），又（已知）， ∴（    ）， ∴（    ）． (1)把上面的空填上； (2)关于本题的解答你还有没有其他的办法，请把它写出来． 题型归纳 1.特征：几何推理填空题，给出部分条件与结论，补齐缺少的条件、结论或推理依据。 2.方法：理清逻辑先后顺序，由角的关系推导直线平行，对应填写判定定理。 3.易错提醒：区分判定与性质依据，证平行只能用判定定理，不能写性质定理。 变式训练1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，平分，与相交于点，．试说明．完成推理过程： 证明：∵（已知） （_____） 平分（已知） （    ） （已知） _____（    ） （_____）． 变式训练2（25-26七年级上·江苏盐城·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 解：∵平分， ∴＝∠______， ∵， ∴， ∴____________（____________）， ∴（______）， ∵， ∴， ∴（______）． 变式训练3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C，E三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（____________）， 所以____________（____________________）． 因为（____________）， 所以____________（____________________）， 所以________________________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以____________，____________． 又因为（已知）， 所以（____________）． 类型三、选择合适的方法证明两直线平行 典例精讲3（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 题型归纳 1.特征：几何证明大题，自主选择判定定理，书写完整推理过程证明两线平行。 2.方法：观察图形优先识别易获取的角（同位角优先，其次内错角、同旁内角），结合对顶角、角平分线、邻补角转化角。 3.易错提醒：推理步骤要有因果，每一步推导都要有对应的已知或定理支撑，不能跳步。 变式训练1（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在，，平分，平分，，求证：． 变式训练2（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则吗？为什么？ 变式训练3（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 变式训练4（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 类型四、利用平行线的性质求解 典例精讲4（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知两直线平行，求角度大小、角之间数量关系。 2.方法：已知平行，直接套用性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 3.易错提醒：前提必须有两直线平行这个条件，没有平行不能直接推出角相等或互补。 变式训练1（25-26七年级上·江苏淮安·期末）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气射入水中时发生了折射，沿射到水底处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练3（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式训练4（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为__________． 类型五、平行线在实际生活中的应用 典例精讲5（24-25七年级下·河北沧州·期中）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（    ） A．第一次左拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次右拐 D．第一次左拐，第二次右拐 题型归纳 1.特征：结合生活场景（管道、方位角、实物测量），抽象出平行线模型计算角度。 2.方法：从实际情境剥离几何图形，识别平行线与截线，转化为三线八角基础模型求解。 3.易错提醒：读懂题意，准确找到平行线，不要凭生活直觉直接判断角度。 变式训练1（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式训练2（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 变式训练3（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式训练4（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与反射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式训练5．（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为________． 类型六、根据平行线的性质探究角的关系 典例精讲6（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知直线平行，猜想并证明多个角之间的和差、等量关系。 2.方法：结合平行线性质，搭配角平分线、角的和差运算，推导角之间的关系式。 3.易错提醒：结论要严格证明，不能仅凭目测图形直接下结论。 变式训练1（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 变式训练3（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为_______． 类型七、平行线的性质与判定综合 典例精讲7（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，平分，是AC上一点，过点作交于点，点在上且满足． (1)在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； (2)若于点，，求的度数． 题型归纳 1.特征：判定与性质混合推理，先证平行，再利用平行得到角关系；或由角关系证平行。 2.方法：梳理推理链条：角的关系⇒两线平行⇒得到新的角关系，循环推导。 3.易错提醒：因果不能颠倒，判定是角推线，性质是线推角，书写依据不能混用。 变式训练1（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 变式训练2（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 变式训练3（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图1，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 变式训练4（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，在四边形中，A、B分别是线段、上一点，连接、．已知，． (1)线段、平行吗？为什么？ (2)若平分，于点E，，求的度数． 类型八、平行线之间的距离 典例精讲8（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型归纳 1.特征：求两条平行线之间距离，或者利用距离相等进行证明。 2.方法：平行线间距离定义为垂线段的长度，两条平行线间所有垂线段长度都相等。 3.易错提醒：距离是线段的长度（数值），不是垂线段本身；斜线段长度不是平行线间距离。 变式训练1（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在四边形中，，，，为的中点，连接交于点，记的面积为，的面积为，若，，则___________． 变式训练3（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为______． 类型九、遇拐点作辅助线 典例精讲9（24-25七年级下·河北唐山·期末）近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：折线拐角图形（猪蹄、铅笔头模型），直线之间存在拐点，直接无法用三线八角。 2.方法：过拐点作已知直线的平行线，拆分拐角，转化为基础平行线模型。 3.易错提醒：辅助线用虚线；规范书写 “过某点作 XX∥XX”，不可直接默认平行。 变式训练1（25-26七年级上·山西长治·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级上·福建泉州·期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 变式训练3（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 变式训练4（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 变式训练5（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 变式训练6（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____．所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 类型十、旋转与平行 典例精讲10（22-23七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为________． 题型归纳 1.特征：直线绕定点旋转动态问题，求旋转角度使两条直线平行，常需要分类讨论。 2.方法：画出不同位置的旋转图形，根据平行对应的角关系，计算旋转角。 3.易错提醒：动态问题有多解，容易漏掉其中一种位置情况，做完要检验。 变式训练1（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间____秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 变式训练2（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 变式训练3（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 3．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 4．（25-26七年级上·山西·阶段检测）综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动如图，将两块三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 操作探究： (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)当三角板绕点A旋转到如图2所示的位置，且时，求的度数． (3)深入思考：在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，直线与直线分别交于点E、F． (1)如图1，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 8．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求三点的坐标； (2)如图②，若过点作交轴于点．且，分别平分．求的度数； (3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 10．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 11．（24-25七年级下·山东临沂·期末）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，． (1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______； (2)解决问题：①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数； ②在①中若，则______，若，则______； (3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $