专题01 动点与动角的动态问题（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

专题01 动点与动角的动态问题 题型一：线段上的动点求运动时间问题 题型二：几何图形中动角求角度问题 题型三：线段上的动点定值问题 题型四：几何图形中动角定值问题 题型五：几何图形中动角数量关系问题 题型六：线段与角中动态新定义问题 题型一：线段上的动点求运动时间问题 【方法技巧】用含t的代数式表示动点位置（起点坐标±速度×t），由线段相等、中点或等分点条件建立方程，解方程求t；注意按动点在线段上、延长线上分类讨论。 1．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）如图，点是线段上一点，，点分别从点同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，求的长； (2)当时，若，试说明：； (3)若点运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2) 证明：由（）可得， 当时，， ∴， 若，则， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（）由题意得，，即得，进而由得到，再把代入得到，最后根据即可求解； （）同理（）可得，进而得到，即可求证； （）由得，即得到，得到，进而即可求解； 本题考查了线段的和差问题，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵， ∴， 当时，， ∴， 若，则， 解得， ∴； （2）略 （3）解：由（）可得， 即， ∵点运动到任一时刻，总有， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】（1）①6；② 6；（2） 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键． （1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答； （2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴； ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点定义等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P未到达点和点P到达点后两种情况讨论，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒， 则， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动时间为， 依题意，分以下两种情况： ①点未到达点时， ，即， 解得， 点刚到达点时，则，则，即此时； ②当点到达点后，则点P继续运动，点P、Q相距正好等于，此时运动时间为， 综上，经过5秒或70秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， ， 点E、F分别为和的中点， ，， ， 则． 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点、运动了，此时________，________．（直接填空） (2)若，点、运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)当点、运动了，求的值． (4)若点C、D运动时，总有，是直线AB上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2 (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段的和差，关键是正确计算． （1）求出，，即可； （2）求出，，根据方程求解即可； （3）当点C、D运动了，可求得，可求得； （4）设运动时间为t，则，，，，又因，求出，，再分类讨论求出，已知，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又点的速度为， ∴， ∴； 又点的速度为， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：存在，理由如下： 设运动时间为， ∵                                                                                     ∴， ， ∵， ∴ 解得， （3）解：运动后，， ∴， ， ∴； （4）解：设运动时间为t，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ 对于，分情况讨论： 当N在之间时，，即， 又， ∴， ∴， ∴； 当在的延长线上时，，即， 所以，， 综上，的值为或1． 题型二：几何图形中动角求角度问题 【方法技巧】抓住旋转的角度与方向，用含t的代数式表示角的大小，结合角平分线、余补角关系列式求值，注意旋转后角的位置可能在内侧或外侧。 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【实践操作】三角尺中的数学 (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则_____；若，则_____； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①，； ②猜想， 理由如下： ∵，， ∴，， ∴； (2) ①解：， 理由如下： ∵，， ∴ ； ②3或21 【分析】本题考查了三角尺中角度的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （1）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （2）①根据（1）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：，； ②略 （2）解：①略 ②如图所示，当点G在上方时， ∵， ∴， ∴， 如图所示，当点G在下方时， ∴， ． 故的值为3或21． 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．请直接写出当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可） 【答案】（1）是 （2）的度数为或或 （3）当为或或时，射线是的“量尺金线” 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算、角平分线的定义、几何图形中的角度计算等知识点，根据 “量尺金线” 的定义分情况分析角之间的倍数关系是解题的关键． （1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”； （2）已知，结合“量尺金线”中“一个角是另一个角倍”的条件，分种情况讨论：，，，利用角的倍分关系列式求解即可； （3）先表示出旋转后，，，再根据“量尺金线”的倍数关系分种情况讨论：，， ，列方程求出即可． 【详解】解：（1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”； 故答案为：是； （2），若射线是的“量尺金线”，分种情况讨论： ①如图，当时，； ②如图，当时，； ③如图，当时，； 综上所述，，若射线是的“量尺金线”， 的度数为或或； （3）旋转后，，， 射线是的“量尺金线”， 分种情况讨论： ①如图，当时，，解得； ②如图，当时，，解得； ③如图，时，，解得； 综上所述，当为或或时，射线是的“量尺金线”． 4．（25-26七年级上·四川眉山·期末）【问题探究】如图1，将两个形状、大小完全相同的含角的直角三角板的直角顶点重合放置在直线上． （1）若，则________，________； （2）写出与的数量关系，并说明理由； 【类比探究】若将图1中的直角三角板绕点以度每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转的时间为秒，． （1）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； （2）在旋转的过程中，射线、、中的一条是另外两条所构成的角的平分线，求的值． 【答案】[问题探究] （1），； （2），理由： ∵， ∴， 即； [类比探究] （1），理由如下： ， ， ， 恰好平分， ， ， ； （2）秒或秒或秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差、余角的性质等； [问题探究]（1）根据角的和差得，，即可求解； （2）根据，即可求解； [类比探究]（1）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （2）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线；结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】[问题探究] （1）解：∵， ∴，， （2） [类比探究] （1）略 （2）解：①当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ②当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ③当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， （秒）； 综上所述：的值为秒或秒或秒． 题型三：线段上的动点定值问题 【方法技巧】设运动时间为t，用代数式表示相关线段（常借助中点的坐标公式），代入待判定的式子，通过化简消去t得到常数，从而证明该式为定值。 1．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】本题考查数轴中线段的动态问题．熟悉利用绝对值与平方的非负性、线段中点的性质进行计算，动点问题根据线段移动的距离结合线段的和差关系分析位置变化，利用分类讨论思想解决问题，是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到答案． （2）设直线为数轴，根据运动前后点、点和点、点的位置变化，确定线段长度的变化关系，根据运动后的长度，得到运动后的长度． （3）根据题意得到运动秒后和的长度，根据不同时间段分类讨论得到结果． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)①②线段的长度不变， 【分析】本题考查线段的和差运算，掌握线段的和差运算是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间可求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出；②不会发生变化，根据代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 点是线段的中点， ； （2）①由题意得， ， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ； ②线段的长度不变，； 由①得，； ， 线段的长度不变，． 3．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）如图，B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动1次，C是线段的中点， ，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，求线段与线段的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中的长． (3)在运动过程中，若中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，当时，； (3)不变， 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差计算，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键； （1）根据速度×时间=路程，可得答案；根据线段的和差，可得BD的长．再根据线段中点的性质，可得答案； （2）此题分两情况：①A-D的过程中，根据速度×时间等路程，可得答案；②D返回A的过程中，根据线段的和差，可得的长； （3）根据线段中点的性质，可得的长，的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动， ∴当时，． ∵，， ∴，   ∵C是线段的中点， ∴ ； （2）解：∵B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动， ∴当时，； 当时，； （3）解：不变． ∵中点为E，C是线段的中点， ∴，  ． ∴ ． 4．（25-26七年级上·河南许昌·期末）【概念学习】点C在直线上，若则称a是点C在直线上的“求真值”，记作 例如，如图，若则点M在直线上的“求真值”是记作若则故点D在直线上的“求真值”是记作 【理解与应用】 (1)已知点M在线段上，若，则若则 ． (2)如图，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1、3的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．若点C、D运动时，总有， ①求的值； ②若N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查对新定义的理解，线段的和差计算； （1）由“求真值”的定义可得 ，据此即可求解； （2）①设运动时间为t秒，由，可得，进而得到，即可求出； ②分类讨论：当点N在线段上时，可得，即可求出；当点N在线段的延长线上时，，即可求出. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. （2）解：①设运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ②当点N在线段上时，如图： ∵， ∴ ∴， ∴， 当点N在线段的延长线上时，如图： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上:或. 题型四：几何图形中动角定值问题 【方法技巧】用含t的代数式表示旋转角，借助角平分线、余角补角把所求式子中的t约去，得到与t无关的定值；注意两射线相对位置变化需分类。 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）在一次数学活动课上，小依同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小依一起求解．已知，，平分，平分． (1)如图1，当在的内部，且与重合时，的度数为______． (2)如图2，将从图1的位置开始以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒，设． ①当时，求时的t值； ②小依同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时t的取值范围． 【答案】(1)15 (2)①或；②当时，，当时，． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算、利用一元一次方程解决动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可直接得解； （2）①根据动角运动轨迹分别表示出、、，再代入建立方程求解即可； ②分类讨论，当时，当时，当时，画出相应图形，进而根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵与重合， ∴， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， 故答案为：； （2）解：①由题易知， ∴，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得或； ②当时，如图， 同①中方法可得； 当时，如图， 此时，， ∴， ， ∴； 当时， 此时， ， ∴， ， ∴； 综上所述，当时，，当时，． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1) 解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； (2)①； ②或或 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 【答案】(1) 解： 理由： ∵， ∴ 即 (2) (3)，是定值． 【分析】本题主要考查三角板的特殊角度，结合角的和差运算、角平分线定义，推导角度关系． （）通过分析的角组成，利用角的和差等量代换，推导出与的和为定值； （）先根据，结合三角板特殊角算出和的度数，再依据角平分线定义求出对应半角，最后通过角的组合计算； （）针对旋转，先分析与的数量关系，再用角平分线定义表示相关半角，通过角的和差化简推导，判断是否为定值． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴． 故是定值． 4．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末） (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 【答案】(1)150；75；角平分线 (2)解：这些角的度数是的整数倍， 理由：， 是的整数倍； (3) (4) 【分析】（1）结合图形和三角尺每个角的度数计算； （2）按照乘法分配律将变形为即可； （3）先计算，再根据平分得，根据平分得，最后计算即可； （4）将（3）中的改成重新计算即可． 【详解】（1）解：由图得，， ， ， 射线是的角平分线； （2）略 （3）解：，， ， 平分，平分， ，， ； （4）解：，， ， 平分，平分， ，， ． 题型五：几何图形中动角数量关系问题 【方法技巧】分别用含t的代数式表示两个角，通过代数运算消去t，得到不含t的数量关系（和、差或倍分）；注意旋转方向与平分、重合等临界时刻。 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)如图3，当时，三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，列代数式，整式的加减运算，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再根据角平分线的定义进行列式计算，得，根据是直角，得出，即可作答． （2）由角平分线的性质得，，则，又因为是直角，故，整理得，故，即可作答． （3）理解题意，结合三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，进行分类讨论，且逐个情况作图，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分钝角． ∴， ∵是直角， ∴， （2）解：∵平分钝角． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是直角， ∴， 即， ∴， ∴， （3）解：∵， ∴与（1）同理得， ∵三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒 ∴（秒），（秒）， 当时，如图所示： ∴，， 则， 当时，如图所示： ∴，， 则， 当时，如图所示： ∴，， 则， 综上：当时，；当时，；当时， 2．（25-26七年级上·福建三明·期末）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1，刚刚过去的体育艺术节让我们充分体会到了一种整体的图形之美，小华和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D在同一平面内，O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________°； (2)第二节腿部运动中，如图3，小华发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，求这个定值； (3)第三节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，、绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系________． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，与角平分线有关的计算： （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （3）算出运动停止时间，点，，A三点共线的时间，需要分类讨论，在点C，O，A三点共线前和点C，O，A三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：这个定值是，理由： ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴这个定值是； （3）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为， 则， ∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）数学活动课上，小明将一副三角板（和）按如图①方式摆放在同一平面内，其中边都在直线上，，． (1)求图①中的度数； (2)将两块三角板由图①开始，同时绕点B以相同的速度开始旋转，按顺时针方向旋转，按逆时针方向旋转，如图②所示．在旋转过程中始终保持旋转角，． ①当平分时，求的度数； ②试探究：在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】(1) (2)①，②当在内部时，；当在内部，． 【分析】本题考查了与三角板有关的计算题，与角平分线有关的计算，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把，代入进行计算，即可作答． （2）①理解题意，作图，结合角平分线以及几何图形的角度关系进行列式计算，即可作答． ②理解题意，进行分类讨论且逐个情况作图，运用几何图形的角度关系进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，． ∴； （2）解：①依题意，∵平分，， ∴， ∴， 设运动时间为，每秒运动速度为 依题意，得， ∵， ∴， ∴， 解得， 即； ②设运动时间为，每秒运动速度为， ∴， 当在内部时，且在内部，如图所示： 则， 则， 当在内部时，且在内部时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， 当在内部且在内部时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， 当在内部时，如图所示： 则， 则， 综上：当在内部时，；当在内部，． 题型六：线段与角中动态新定义问题 【方法技巧】先读懂新定义（内半角、倍角、等分点、衍生点等），把定义转化为线段或角的关系式，用含t的代数式建立方程求解，并考虑旋转一周中的多解。 1．（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段的和差计算； （1）先分析定义，得出当在之间时，不满足；当在点的左侧时，满足；当在点的右侧时，满足； ①将点表示的数分别为，分别求得到的距离，进而结合定义进行判断，即可求解； ②根据在点的左侧，则得出的最小值为，进而得出点表示的数，即可得出长度的最小值； （2）分情况讨论，设是上的任意一点，当在点的左侧时，得出的最小值为，的最大值为，当在点的右侧时，得出的最小值为，的最大值为，进而根据线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，进而求得的范围． 【详解】（1）解：∵数轴上、两点表示的数分别是、，且，则点在点的左侧， 当在之间时，不满足； 当在点的左侧时，， 设，则， ∵ ∴ ∴即 当在点的右侧时， 设，则 ∵ ∴ ∴即 ∵ ∴点表示的数为，点表示的数为， ①点表示的数分别为， ∵，则在之间，不合题意， ∵在左侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； ∵在点的右侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； 故答案为：，．     ②∵为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点， 线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”， ∴在点的左侧，则 ∴当时取得最小值，此时点表示的数为 ∴长度的最小值为 故答案为：． （2）解：当在点的左侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 当在点的右侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上所述： 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【原题呈现】如图1，已知线段，线段在线段上，且，点、分别是线段、中点． (1)若，则________； (2)小艾同学认为，若删掉（1）中“”这一条件，仍能求出的长度，请你帮他写出证明过程； 【变式拓展】定义：已知点在线段上，且点将线段分成两个部分，我们把点称为线段的“二三分界点” (3)如图2，在数轴上已知点、点、点分别表示的数、、，为线段之间的一条动线段，，点、分别是线段、中点，先以每秒个单位长度的速度向右运动，当运动到点位置时，马上以原速度返回继续向左运动，当到达点运动停止．设动线段的运动时间为，当为多少秒时，点是线段的“二三分界点”？ 【类比思考】同样地，已知射线在内部，且射线将分成两个部分，我们把射线称为的“二三分界线”； (4)如图3，已知，，，射线、、分别平分、、，将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设的旋转时间为，则当________时，是的“二三分界线”． 【答案】(1) (2) 证明：∵点、分别是线段、中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (3)秒或秒 (4)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）利用即可求得； （2）利用即可论证； （3）分和，两种情况讨论点是线段的“二三分界点”时，的值； （4）根据角平分线的不同位置分三种情况画出图形讨论是的“二三分界线”时，的值． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）解：由（2）可知，， 当运动到时，； 当运动到时，； ∴当向右运动时，，当向左运动时，， 当时， ∵：，：， 点是线段中点， ∴：， ∴， ∵点是线段的“二三分界点”，， ∴或， 即：或， 当时，，解得：， 当时，，解得：（舍）， 当时， ∵：，：， 点是线段， ∴：， ∴， ∵点是线段的“二三分界点”，， ∴或， 即：或， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍）； 综上：当为或时，点是线段的“二三分界点”； （4）解：当、在内部； ∵，，，射线、、分别平分、、，将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设的旋转时间为秒， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的“二三分界线”， ∴或， ，解得：（舍）， 或，解得：， 当在外部， ， ， ∵是的“二三分界线”， ∴或， ∴解得：； 或解得：； 当、旋转回的内部时， ∵，， ∵是的“二三分界线”， ∴或， 即：，解得：； 或，解得：（舍）． 综上： 秒或秒或秒或秒，是的“二三分界线”． 故答案为：秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、数轴上的动点问题、两点之间的距离、角平分线的定义、角的和差等知识点，关键是画出符合题意的图形． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 4．（25-26六年级上·陕西西安·自主招生）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线________（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”： (2)若，射线是射线和的“双倍和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“双倍和谐线”？ 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了新定义，角度的计算，角平分线的定义等，熟练掌握“双倍和谐线”的定义是解题的关键． （1）根据“双倍和谐线”的定义可直接得到答案； （2）根据“双倍和谐线”的定义得或，分情况讨论，即可解答； （3）根据“双倍和谐线”的定义得或，再分情况讨论，分别求出对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：不是． （2）解：∵射线是射线和的“双倍和谐线”， ∴或，且射线在的内部， 又∵， ∴或， 故答案为：或． （3）解：根据题意可得，当时，边与刻度线重合； ∵射线是射线和的“双倍和谐线”， ∴或， ①当时，且在外部时，如图， 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； ②当时，且在内部时，如图： 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； ③当时，如图： 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； 综上：或或时，射线是射线和的“双倍和谐线”． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 动点与动角的动态问题 题型一：线段上的动点求运动时间问题 题型二：几何图形中动角求角度问题 题型三：线段上的动点定值问题 题型四：几何图形中动角定值问题 题型五：几何图形中动角数量关系问题 题型六：线段与角中动态新定义问题 题型一：线段上的动点求运动时间问题 【方法技巧】用含t的代数式表示动点位置（起点坐标±速度×t），由线段相等、中点或等分点条件建立方程，解方程求t；注意按动点在线段上、延长线上分类讨论。 1．（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）如图，点是线段上一点，，点分别从点同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，求的长； (2)当时，若，试说明：； (3)若点运动到任一时刻，总有，请求出的长． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 3．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，在射线上依次有三点，，，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度； (2)若点的运动速度为，经过多长时间，两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，直接写出的值． 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点、运动了，此时________，________．（直接填空） (2)若，点、运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)当点、运动了，求的值． (4)若点C、D运动时，总有，是直线AB上一点，且，求的值． 题型二：几何图形中动角求角度问题 【方法技巧】抓住旋转的角度与方向，用含t的代数式表示角的大小，结合角平分线、余补角关系列式求值，注意旋转后角的位置可能在内侧或外侧。 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）【实践操作】三角尺中的数学 (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则_____；若，则_____； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，t为何值时． 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．请直接写出当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可） 4．（25-26七年级上·四川眉山·期末）【问题探究】如图1，将两个形状、大小完全相同的含角的直角三角板的直角顶点重合放置在直线上． （1）若，则________，________； （2）写出与的数量关系，并说明理由； 【类比探究】若将图1中的直角三角板绕点以度每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转的时间为秒，． （1）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； （2）在旋转的过程中，射线、、中的一条是另外两条所构成的角的平分线，求的值． 题型三：线段上的动点定值问题 【方法技巧】设运动时间为t，用代数式表示相关线段（常借助中点的坐标公式），代入待判定的式子，通过化简消去t得到常数，从而证明该式为定值。 1．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 3．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）如图，B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动1次，C是线段的中点， ，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，求线段与线段的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中的长． (3)在运动过程中，若中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 4．（25-26七年级上·河南许昌·期末）【概念学习】点C在直线上，若则称a是点C在直线上的“求真值”，记作 例如，如图，若则点M在直线上的“求真值”是记作若则故点D在直线上的“求真值”是记作 【理解与应用】 (1)已知点M在线段上，若，则若则 ． (2)如图，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1、3的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．若点C、D运动时，总有， ①求的值； ②若N是直线上一点，且，求的值． 题型四：几何图形中动角定值问题 【方法技巧】用含t的代数式表示旋转角，借助角平分线、余角补角把所求式子中的t约去，得到与t无关的定值；注意两射线相对位置变化需分类。 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）在一次数学活动课上，小依同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小依一起求解．已知，，平分，平分． (1)如图1，当在的内部，且与重合时，的度数为______． (2)如图2，将从图1的位置开始以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，设旋转的时间为t秒，设． ①当时，求时的t值； ②小依同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时t的取值范围． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 4．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末） (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 题型五：几何图形中动角数量关系问题 【方法技巧】分别用含t的代数式表示两个角，通过代数运算消去t，得到不含t的数量关系（和、差或倍分）；注意旋转方向与平分、重合等临界时刻。 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)如图3，当时，三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 2．（25-26七年级上·福建三明·期末）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1，刚刚过去的体育艺术节让我们充分体会到了一种整体的图形之美，小华和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D在同一平面内，O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________°； (2)第二节腿部运动中，如图3，小华发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，求这个定值； (3)第三节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，、绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系________． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）数学活动课上，小明将一副三角板（和）按如图①方式摆放在同一平面内，其中边都在直线上，，． (1)求图①中的度数； (2)将两块三角板由图①开始，同时绕点B以相同的速度开始旋转，按顺时针方向旋转，按逆时针方向旋转，如图②所示．在旋转过程中始终保持旋转角，． ①当平分时，求的度数； ②试探究：在旋转过程中，与的数量关系． 题型六：线段与角中动态新定义问题 【方法技巧】先读懂新定义（内半角、倍角、等分点、衍生点等），把定义转化为线段或角的关系式，用含t的代数式建立方程求解，并考虑旋转一周中的多解。 1．（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【原题呈现】如图1，已知线段，线段在线段上，且，点、分别是线段、中点． (1)若，则________； (2)小艾同学认为，若删掉（1）中“”这一条件，仍能求出的长度，请你帮他写出证明过程； 【变式拓展】定义：已知点在线段上，且点将线段分成两个部分，我们把点称为线段的“二三分界点” (3)如图2，在数轴上已知点、点、点分别表示的数、、，为线段之间的一条动线段，，点、分别是线段、中点，先以每秒个单位长度的速度向右运动，当运动到点位置时，马上以原速度返回继续向左运动，当到达点运动停止．设动线段的运动时间为，当为多少秒时，点是线段的“二三分界点”？ 【类比思考】同样地，已知射线在内部，且射线将分成两个部分，我们把射线称为的“二三分界线”； (4)如图3，已知，，，射线、、分别平分、、，将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设的旋转时间为，则当________时，是的“二三分界线”． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 4．（25-26六年级上·陕西西安·自主招生）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线________（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”： (2)若，射线是射线和的“双倍和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“双倍和谐线”？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $