第4章 相交线和平行线（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级上册
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第4章相交线和平行线（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟试卷满分：120分)
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。)
3
4
5
6
个
8
10
11
12
C
D
B
C
C
D
C
C
B
A
B
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.）
13.45°/45度
14.20
15.125/125度
16.55°/55度
17.17.①②④
18.①④
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.【答案】(1)答案详见解析
(2)答案详见解析
【解析】(1)证明：DE‖AB,
.∠ADE=∠DAB,
.:∠ABC+∠ADE=180°，
.∴.∠ABC+∠DAB=180°，
∴.BC‖AD
(2)证明：∠ADE=45°，DE‖AB,
.∠DAB=∠ADE=45°，
BC AD
∴.∠ABC=180°-∠DAB=180°-45°=135°，
.∠EDC=∠ABC=135°，
.∴.∠ADC=∠EDC-∠ADE=135°-45°=90°，
.BC‖AD,
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∴.∠BCD=180°-∠ADC=180°-90°=90°，
即BC⊥CD
20.【答案】(1)答案详见解析
(2)125°
【解析】(1)平行，理由如下：
因为∠E+∠BOC=180°，∠AOE=∠BOC,
所以∠E+∠AOE=180°，
所以AB‖EF,
因为AB‖CD,
所以EF‖CD:
(2)解：因为AB‖EF,∠AOG=35°，
所以∠OGE=∠AOG=35°，
因为∠BOE与∠OGE互余，
所以∠BOE+∠OGE=90°，
所以∠B0E=90°-∠OGE=90°-35°=55°，
所以∠A0E=180°-∠B0E=180°-55°=125°.
21.【答案】105°
【解析】解：过B作BM‖DE,过C作CN‖DE,
M------B
-------W
E-D
由题意可知，∠ABM=90°
.∠ABC=150°，∠ABM=90°
.∠MBC=∠ABC-∠ABM=150°-90°=60°，
.BM‖DE,CN‖DE
.BM CN,
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∴∠MBC=∠BCN=60,
.CN‖DE,∠CDE=45°
.∠NCD=∠CDE=45°.
∴.∠BCD=∠BCN+∠NCD=60°+45°=105°.
22.【答案】(1)答案详见解析
(2)31°
【解析】(1)解：EM‖GN,理由如下：
,AB与CD均平行于地面，
∴.AB‖CD,
.∠AEM=∠EMD
.∠AEM=∠GND=65,
.∠EMD=∠GND,
.EM‖GN:
(2)解：如图，作QH‖CD,
AE F
G/B
M
N
则∠HQC=∠C=17°，∠HQN=∠GND=65°，
∴.∠CQN=∠HQN-ㄥHQC=48°，
.CQ平分∠FQN
∴.∠FQC=∠CQN=48°，
.∠FQH=∠FQC-∠HQC=31°，
.AB CD
∴HQ‖AB,
∴.∠BFQ=∠FQH=31°.
23.【答案】(1)答案详见解析
(2)答案详见解析
(3)答案详见解析
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【解析】(1)∠EPF=∠PEA+∠PFC,
理由：AB‖CD,PM‖AB
..AB PM CD,
∴.∠1=∠PEA,∠2=∠PFC,
.∠EPF=∠1+∠2，
.∠EPF=∠PEA+∠PFC.
(2)∠PFC=∠EPF+∠PEA,
理由：PN‖AB,
.∠PEA=∠NPE,
.∠FPN=∠EPF+∠NPE,
∴.∠FPN=∠EPF+∠PEA,
.PN‖AB,AB‖CD
PN‖CD,
∴.∠FPN=∠PFC,
∴.∠PFC=∠EPF+∠PEA.
(3)证明：GH‖AB,AB‖CD,
∴.GH‖AB|CD,
∴.∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG,
又，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,
∠HGE=∠EG=3AP,∠HGF=∠CFG=3∠CP,
由(2)可知，∠PFC=∠EPF+∠PEA,
∠HGF=∠FPE+∠AEP,
∠BGE=∠HGF-∠HGE=∠EPE+∠AP-∠HGE=∠EPF+号∠ABp-∠HGE=<EPE+∠A
24.【答案】(1)150°
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(2)答案详见解析
(3)在第9秒或第27秒时，边MN与射线OC恰好平行.
【解析】(1)解：.∠AOC=60°，
.∠B0C=180°-60°=120°，
又，OM平分∠BOC,
∠C0M=号∠B0C=609
.∠CON=∠COM+90°=150°.
(2)∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：
.∠MON=90°，∠AOC=60°
,∴.∠AON=90-∠AOM,∠AON=60°-∠NOC,
∴.90°-∠AOM=60°-∠NOC,
.∴.∠AOM-∠NOC=30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°
(3)解：.∠OMN=30°，
∴.∠ONM=90°-30°=60°，
.,∠AOC=60°=∠MNO,
∴当ON在直线AB上时，MN‖OC,如图所示，此时旋转角为90°或270°，
NB
·每秒顺时针旋转10°，
∴，在第9秒或第27秒时，边MN与射线OC恰好平行.
25.【答案】(1)∠DAC;两直线平行，内错角相等；平角的定义
(2)答案详见解析
(3)100°
【解析】(1)解：如图1，过点A作EDBC,
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∴.∠B=∠EAB∠C=∠DAC
图1
.(两直线平行，内错角相等)，
又，∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角的定义），
∴.∠B+∠BAC+∠C=180°：
(2)解：∠BEC+∠B=∠C+180°，理由如下：
过点E作EH‖AB,
H
E
图2
.AB‖CD,
.AB‖HE‖CD,
.∠B+∠BEH=180°，∠HEC=∠C,
∴.∠B+∠BEH+∠HEC=180°+∠C,
∴.∠BEC+∠B=∠C+180°：
(3)解：作ENAB,
---N
C
O
图4
则∠BEN=∠ABE(两直线平行，内错角相等)，
,∠ABE=75°，
∠BEN=75°，
作MF‖CD,
则∠MFD+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），
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FD⊥CD,
.∠D=90°，
.∠MFD=180°-90°=90°.
.∠DFE=115°，
∴.∠EFM=∠DFE-∠MFD=115°-90°=25°，
,AB‖CD,EN‖AB,MF‖CD,
.EN MF,
∴.∠NEF=∠EFM=25°，
∴.∠BEF=∠BEN+∠NEF=75°+25°=100°.
26.【答案】(1)①答案详见解析
②∠C=100
(2)导流管道DF与河岸AB的夹角∠BDF的度数为70
【解析】(1)①证明：AE‖BF,
∴.∠A+∠B=180°，
:∠B=∠AEC,
.∠A+∠AEC=180°，
∴.CE‖AB;
②解：.'∠AEC=150°，
.∴.∠B=∠AEC=150°，
,CE‖AB,FH‖AB,
.AB‖CD‖FH,
∴.∠BFH=180°-∠B=30°，∠DFH=∠D=25°，
.∴.∠BFD=∠BFH+∠DFH=30°+25°=55°，
.FD平分∠BFC,
∴.∠CFD=∠BFD=55°，
∴.∠CFH=∠DFH+∠CFD=25°+55°=80，
'CD‖FH,
.∴.∠C=180°-∠CFH=100°；
(2),:∠ACE+∠BDF=180°，∠ACE+∠BCE=180°，
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∴.∠BDF=∠BCE,
∴.CE‖DF
∴.∠CMF+∠DFM=180°，
.'∠CMF=55°，
∴.∠DFM=180°-55°=125°，
.FM⊥FG,
∴.∠GFM=90°，
∴.∠DFG=∠DFM-∠GFM=125°-90°=35°，
.FG平分∠DFE
∴.∠DFE=2∠DFG=70°，
,EF‖AB,
.∠BDF=∠DFE=70°，
即导流管道DF与河岸AB的夹角∠BDF的度数为70°.
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第4章 相交线和平行线（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“点到直线的距离”来解释的现象是（ ）
A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线
C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条
2．如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．五线谱是记谱法，用五根等距平行线标音符构成旋律．如图所示，将一个三角尺的缩小模型摆放在五线谱上，其中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．当等于（ ）时，与平行．
A． B． C． D．
6．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（ ）
A．， B．
C． D．
7．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
11．将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若，有下列结论：①，②；③设，则，④．其中，正确的有（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，直线与相交于点O，，垂足为O，若平分，则的度数为________．
14．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________．
15．如图1是向阳小区车库门口的一种折叠道闸，图2是其示意图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C转动时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，则此时的度数是_______．
16．D是的边延长线上的一点，．过点A作的平行线交于点，平分，平分，若，则_____．
17．如图，一张长方形台球桌的桌面，，，一个球从点滚出，沿撞击于点，反弹后沿撞击于点，反弹后沿撞击于，反弹规律：入射角等于反射角，即，，，．以下结论：①；②若，则；③若反弹后沿撞击于点，，则；④若反弹后沿撞击于点，，则直线直线；其中正确的结论是_______________（填写序号）．
18．已知直线，点M在如图的位置，连接，．延长至点E，平分， 平分，直线和直线相交于点N．下列结论：
①若，，则；
②若，，则；
③；
④．
其中正确的是（填序号）________．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，求证：．
20．如图，，点在上，连接并延长至点，在点左侧作射线，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)点在射线上，连接，若与互余，，求的度数．
21．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数．
22．周末的天府公园里，天幕错落，市民露营野炊、休闲小聚，暂别城市喧嚣，尽享自在时光．如图1，在露营椅侧面结构示意图中，与均平行于地面，若．
(1)和平行吗？请说明理由．
(2)如图2，点是线段上一点，连接，，若平分，，求的度数．
23．解答以下问题
(1)（问题情景）如图1，若，点P在，之间，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，判断与，之间满足怎样的数量关系？并说明理由：
(2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，判断与，，之间有何数量关系？请说明理由：
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，求证．
24．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使得．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．
(1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使得三角尺的一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使得三角尺的一边在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转的过程中，在第几秒时，边与射线恰好平行．
25．课题探究：利用平行线进行“等角转化”
【阅读理解】已知点A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
，________．（___________________________）
又（___________________________）
(1)阅读并补充以上推理过程．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)【类比探究】
如图2，已知，点E在和之间，连接，．试探究、和之间的数量关系，并说明理由．
(3)【学以致用】
如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知，，测量得知， ，________．
26．【问题提出】
(1)如图，点在上，点在、之间，连接、、，，．
①如图1，求证：；
②如图2，连接，过点F作，若，，平分，求的度数．
【问题解决】
(2)如图3，为治理河道污染，环保工作人员在河岸直线上选取监测点、，与为两条污水导流管道，已知管道夹角满足，导流管道与河岸保持平行，为了测量管道的延伸角度，工作人员在上取一点，连接，平分，过点作交的延长线于点，经测量，，求导流管道与河岸的夹角的度数．（河岸、管道的宽度均忽略不计）
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第4章 相交线和平行线（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“点到直线的距离”来解释的现象是（ ）
A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线
C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条
【答案】C
【分析】根据两点之间，线段最短，两点确定一条直线，点到直线的距离等知识点逐一判断即可．
【详解】解：A、弯曲河道改直能用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；
B、木板上弹墨线能用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；
C、测量跳远成绩能用“点到直线的距离”来解释，符合题意；
D、两钉子固定木条能用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；
2．如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质得出的度数，结合垂直定义及角的和差关系计算．
【详解】解：，
，
，
，
．
3．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】抓住各结论的适用前提与直线位置关系的多种可能，逐一判断正误．
【详解】解：①正确．②错误，垂线段最短的适用对象是点与直线，而非直线与直线．
③正确，同一平面内该结论成立．
④错误，需限定点在已知直线外．
⑤错误，两两不重合的三条直线交点个数有、、、四种可能．
正确的说法共个．
4．五线谱是记谱法，用五根等距平行线标音符构成旋律．如图所示，将一个三角尺的缩小模型摆放在五线谱上，其中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，再根据角的和差得到，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∵，
∴ ．
5．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．当等于（ ）时，与平行．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：，
，即．
，，
，
当 时，．
6．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导时与的数量关系，再逐项验证．
【详解】解：，，
，
点在直线上，
，
，
要使，则需要，即；
A、若，，满足，，不符合题意；
B、若，即，，不符合题意；
C、若，则，整理得，，不符合题意；
D、若，无法推出（仅当 时成立），不能判定，符合题意．
7．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行内错角相等，求出的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相等求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
8．如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得到，结合和即可求得．
【详解】解：如图所示，
水杯的截面图为矩形，
，，
，
，
，
，，
．
9．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点E、F分别作的平行线，设，因为，所以所作直线也平行于，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等性质，依据角平分线的定义，将平分平分的条件转化为角的倍分关系，分别将用α和β表示．结合已知条件，将得到的两个角的表达式代入，求出，即可求解的度数．
【详解】解：过点E作，过点F作，设，
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，结合角的和差关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：纸条的两对边平行，
（两直线平行同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补），故①②正确；
直角三角尺的直角顶点在上，
，，故④正确；
，
，故③正确．
故选A．
11．将一副直角三角板如图放置，点C在线段上，点D在直线上，F在线段上（不与A，B重合），已知，，．若，则的度数用可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和三角板的度数求得，过点作，分别表示出，进而可得，进而根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
过点作，
∴，
∴
∴
12．如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若，有下列结论：①，②；③设，则，④．其中，正确的有（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】求出，，可判断①正确；求出，可判断②正确；过点作，可求出，从而，然后根据角平分线的定义可判断③错误；由③知，求出，进而可判断④正确．
【详解】解：平分，
，
，
，
，故①正确；
，
，
平分，
，
，故②正确；
如图，过点作，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，故③错误；
，
，
平分，
，
由③知，
，
，
点在直线上，
，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，直线与相交于点O，，垂足为O，若平分，则的度数为________．
【答案】/45度
【分析】由垂线的定义和角平分线的定义求出的度数，再由对顶角相等可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴ ．
14．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________．
【答案】
【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．如图1是向阳小区车库门口的一种折叠道闸，图2是其示意图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C转动时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，则此时的度数是_______．
【答案】/125度
【分析】根据平行线性质和垂直定义进行角度转换，求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
16．D是的边延长线上的一点，．过点A作的平行线交于点，平分，平分，若，则_____．
【答案】/55度
【分析】过点F作，由，得．利用平行线内错角相等，将拆分为．由角平分线的性质，得，，因此．由，得，即．代入，得，即可求出答案．
【详解】解：过点F作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分，平分，
∴，．
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
17．如图，一张长方形台球桌的桌面，，，一个球从点滚出，沿撞击于点，反弹后沿撞击于点，反弹后沿撞击于，反弹规律：入射角等于反射角，即，，，．以下结论：①；②若，则；③若反弹后沿撞击于点，，则；④若反弹后沿撞击于点，，则直线直线；其中正确的结论是_______________（填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据，，，得到，得到，结合题意推出，可判断①；根据垂直的定义求出，根据题意推出，根据平行线的性质可判断②；过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到，推出，得到，求出，再求出，可判断③；推出，进而得到，推出，结合，可判断④．
【详解】解： ，，，
，
，
，，
，
，即，
，故①正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
，故②正确；
如图，过点作，则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
18．已知直线，点M在如图的位置，连接，．延长至点E，平分， 平分，直线和直线相交于点N．下列结论：
①若，，则；
②若，，则；
③；
④．
其中正确的是（填序号）________．
【答案】①④
【分析】过点作，根据平行线的性质得到，，进而得出，可判断①；过点作，根据平行线的性质得到，，进而得出，再利用角平分线和邻补角的定义求出，可判断②；根据角平分线的定义得到，，设，，分别表示出和，进一步计算可判断③④，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
若，，
则，故①正确；
如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
若，，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵平分， 平分，
∴，，
设，，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
，故④正确；
综上，正确的是①④．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，求证：．
【答案】(1)证明：，
，
，
，
．
(2)证明：，，
，
，
，
∴，
，
∵，
，
即．
【分析】由平行线的性质和判定，结合角度的等量代换即可证明结论．
【详解】（1）略．
（2）略．
20．如图，，点在上，连接并延长至点，在点左侧作射线，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)点在射线上，连接，若与互余，，求的度数．
【答案】(1)平行，理由如下：
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以；
(2)
【分析】（1）首先得到，推出，进而利用平行公理求解即可；
（2）首先利用平行线的性质求出，然后利用互余定义求出，进而求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：因为，，
所以，
因为与互余，
所以，
所以，
所以．
21．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数．
【答案】
【分析】过作，过作，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，，代入计算即可．
【详解】解：过作，过作，
由题意可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．周末的天府公园里，天幕错落，市民露营野炊、休闲小聚，暂别城市喧嚣，尽享自在时光．如图1，在露营椅侧面结构示意图中，与均平行于地面，若．
(1)和平行吗？请说明理由．
(2)如图2，点是线段上一点，连接，，若平分，，求的度数．
【答案】(1)解：，理由如下：
∵与均平行于地面，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）由平行线的性质可得，再结合题意得出，即可得证；
（2）作，则，，求出，由角平分线的定义得出，从而可得，结合题意可得，从而得解．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，作，
则，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．解答以下问题
(1)（问题情景）如图1，若，点P在，之间，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，判断与，之间满足怎样的数量关系？并说明理由：
(2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，判断与，，之间有何数量关系？请说明理由：
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，求证．
【答案】(1)，
理由：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
(2)，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
(3)
证明：∵，，
∴，
∴，，
又∵的平分线和的平分线交于点G，
∴，，
由（2）可知，，
∴，
∴．
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出，，由得出结论；
（2）首先根据平行线的性质得到，然后根据平行线的性质得到，进而可得到；
（3）首先根据两直线平行线内错角相等得到，，然后根据角平分线的概念得到，，最后结合（2）的结论求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
24．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使得．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．
(1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使得三角尺的一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使得三角尺的一边在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转的过程中，在第几秒时，边与射线恰好平行．
【答案】(1)
(2)，理由如下：
，，
，，
，
，
故与之间的数量关系为：
(3)在第9秒或第27秒时，边与射线恰好平行．
【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义，求出的度数，再根据角的和差关系即可得出结果；
（2）根据角的和差关系，得到，，即可得出结论；
（3）易得，进而得到当在直线上时，，进行求解即可.
【详解】（1）解：，
，
又∵平分，
，
．
（2）略．
（3）解：，
，
，
∴当在直线上时，，如图所示，此时旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴在第9秒或第27秒时，边与射线恰好平行．
25．课题探究：利用平行线进行“等角转化”
【阅读理解】已知点A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
，________．（___________________________）
又（___________________________）
(1)阅读并补充以上推理过程．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)【类比探究】
如图2，已知，点E在和之间，连接，．试探究、和之间的数量关系，并说明理由．
(3)【学以致用】
如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知，，测量得知， ，________．
【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；平角的定义
(2)解：，理由如下：
过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可；
（2）过点E作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可．
【详解】（1）解：如图1，过点A作，
，．（两直线平行，内错角相等），
又（平角的定义），
；
（2）解：略
（3）解：作，
则（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
作，
则（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
26．【问题提出】
(1)如图，点在上，点在、之间，连接、、，，．
①如图1，求证：；
②如图2，连接，过点F作，若，，平分，求的度数．
【问题解决】
(2)如图3，为治理河道污染，环保工作人员在河岸直线上选取监测点、，与为两条污水导流管道，已知管道夹角满足，导流管道与河岸保持平行，为了测量管道的延伸角度，工作人员在上取一点，连接，平分，过点作交的延长线于点，经测量，，求导流管道与河岸的夹角的度数．（河岸、管道的宽度均忽略不计）
【答案】(1)①证明： ，
，
，
，
;
②；
(2)导流管道与河岸的夹角的度数为
【分析】（1）①根据平行线的性质可得，进而推出，即可得证；②由题意得，，根据平行线的性质可得，，进而求出，再根据角平分线的定义得到，进而求出，最后根据，即可求解；
（2）根据，，推出，根据平行线的性质可得，结合垂直的定义可求出，根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）①略
②解：，
，
，，
，
，，
，
平分，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
即导流管道与河岸的夹角的度数为．
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