专题09　概率与统计题型强化专项训练-2027届高三数学二轮复习

2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题09　概率与统计 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题09　概率与统计题型强化（解析版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；每题附答案、分步解析与点睛．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·江苏南京·高三一模）袋中装有 4 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外完全相同．从中随机取出 2 个球，则恰有 1 个红球的概率为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】古典概型的列举计算 【答案】C 【解析】 从 7 个球中任取 2 个，基本事件总数为 ，且每个结果等可能。 恰有 1 个红球，需从 4 个红球中取 1 个、从 3 个白球中取 1 个，共 个结果。 故所求概率为 ，选 C。 【点睛·易错提醒】分母是“任取 2 个”的组合数 ，既不是 ，也不是有放回时的 。若把取球视为有序，分子分母必须同为排列数，只改一头会算出大于 1 的概率。选项 D 的 正是只把分母换成 49、分子没跟着改；选项 A 的 只数了“先红后白”一种次序，漏掉“先白后红”。 2．（2026·山东青岛·高三二模）一批产品共 10 件，其中有 3 件次品．不放回地依次抽取 2 件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次也抽到次品的概率为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】条件概率的计算 【答案】B 【解析】 记 A 为“第一次抽到次品”，B 为“第二次抽到次品”，则 。 两次都抽到次品：。 由条件概率公式得 ，选 B。 也可直接缩小样本空间：第一次已取走 1 件次品，余下 9 件中还有 2 件次品，故所求概率为 。 【点睛·易错提醒】条件概率的分母是已知事件 A 的概率 ，不是 1。最典型的错解是答 ——把“剩下 9 件中还有 2 件次品”错记成“剩下 9 件中有 3 件次品”，忘了第一次已经取走 1 件次品。缩小样本空间时务必同时更新分子与分母：总数由 10 变 9，次品数由 3 变 2。 3．（2026·河南郑州·高三三模）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为 0.6，乙能破译的概率为 0.5，则这份密码被破译的概率为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】相互独立事件的概率 【答案】C 【解析】 “密码被破译”即甲、乙至少有一人破译，其对立事件是两人都没破译。 两人都没破译的概率为 。 故所求概率为 ，选 C。 【点睛·易错提醒】“至少一人”一律先求对立事件“两人都未成功”。 既超过 1，又重复计算了两人同时破译的情形，是本题的典型错误；只有互斥事件才能直接相加，而“甲破译”与“乙破译”相互独立，可以同时发生。选项 A 是两人同时破译的概率，也不是所求。 4．（2026·湖北武汉·高三一模）某射手每次射击命中目标的概率为 0.7，各次射击相互独立．则该射手射击 4 次恰有 3 次命中目标的概率为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】二项分布的概率计算 【答案】A 【解析】 设 4 次射击中命中的次数为 X，则 。 ，选 A。 【点睛·易错提醒】二项分布要求三个条件同时具备：每次试验只有两个结果、各次试验相互独立、每次成功的概率相同。 不能漏乘（漏乘得 0.1029，不在选项中）；指数也别写反成 。选项 B 是 ，选项 C 是 。 5．（2026·湖南长沙·高三联考）某商场举行抽奖活动，10 张奖券中有 3 张有奖，其余均无奖．顾客从中不放回地任取 3 张，则至少抽到 1 张有奖券的概率为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】超几何分布的概率计算 【答案】A 【解析】 “至少 1 张有奖”的对立事件是“3 张全无奖”。 全无奖只能从 7 张无奖券中取 3 张，共 种；任取 3 张共 种。 故所求概率为 ，选 A。 【点睛·易错提醒】不放回抽取且总体只有 10 张，属于超几何模型，不能按二项分布 计算。选项 B 恰是“全无奖”的概率，与答案互为对立；选项 C 是“恰有 1 张有奖”的概率 ，问的是“至少”却答成“恰好”，是最常见的失分点。 6．（2026·四川成都·高三二模）已知随机变量 X 的分布列为 ，，，，则 （　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】期望与方差的性质 【答案】A 【解析】 。 ，故 。 由方差的性质 得 ，选 A。 【点睛·易错提醒】方差的性质是 ：常数项 b 不影响方差，系数要平方。误用 就会选 C。求 时 而不是 ，否则 会算成负数——方差非负是最快的自查标准。 7．（《高中数学题型+模拟精练》·统计图表与数字特征）某校随机抽取 100 名学生参加一次数学测试，将成绩（均为整数）按 [10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60] 分成五组．已知各组对应的“频率/组距”依次为 0.005，0.010，0.020，0.025，0.040，则这 100 名学生成绩的中位数为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】频率分布直方图的数字特征 【答案】B 【解析】 各组频率等于“频率/组距”乘以组距 10，依次为 0.05，0.10，0.20，0.25，0.40，累计频率依次为 0.05，0.15，0.35，0.60，1.00。 累计频率首次达到或超过 0.5 的是第四组 [40,50)，故中位数落在该组内。 设中位数为 ，则 ，解得 ，故中位数为 46，选 B。 【点睛·易错提醒】中位数对应累计频率 0.5，不是最高矩形所在区间的端点或中点：本题最高矩形在 [50,60)（频率 0.40），最高组的中点 55 并非中位数。判断出中位数落在 [40,50) 后还须在该组内细分，用该组的“频率/组距”0.025 去除剩余频率 0.15 得 6；若误用前一组的 0.020 就会算成 47.5（选项 C），只判断所在组而不再细分则得到左端点 40（选项 A）。 8．（2026·福建厦门·高三三模）甲袋中装有 4 个白球、2 个黑球，乙袋中装有 1 个白球、5 个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲袋中随机取出 2 个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出 1 个球，则取到白球的概率为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★★　【知识点】全概率公式的应用 【答案】A 【解析】 按从甲袋取出的 2 球中白球的个数分类，设 Aᵢ 为“取出 i 个白球”（i=0，1，2）。 ，，。 三种情形下乙袋均有 8 个球，其中白球分别为 1，2，3 个，故 ，，。 由全概率公式得 ，选 A。 【点睛·易错提醒】全概率公式的关键是“按第一阶段全部可能情形分类，不重不漏”：三类概率 、、 之和恰为 1，可用来自查。最容易漏掉 这一类，漏掉后得到 ，与四个选项都不符——这正是发现漏项的最好时机。第二阶段的球总数始终是 8，不要因为放入了 2 个球就漏算。 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·河北石家庄·高三一模）已知一组数据 ，，…， 的平均数为 3，方差为 2，则下列说法正确的是（　） A．将每个数据都加 3，所得数据的平均数为 6，方差仍为 2 B．将每个数据都乘 2，所得数据的平均数为 6，方差为 4 C．将每个数据都乘 2 再加 1，所得数据的方差为 8 D．删去一个最大值和一个最小值后，所得数据的平均数一定仍为 3 【难度】★★　【知识点】样本数字特征的辨析 【答案】AC 【解析】 A：每个数据加 3，平均数加 3 得 6；方差刻画离散程度，整体平移不改变它，仍为 2，A 正确。 B：每个数据乘 2，平均数为 ，方差为 ，不是 4，B 错误。 C：先乘 2 再加 1，方差只受乘数影响，为 ，C 正确。 D：删去最值会改变数据的构成，平均数一般随之改变。反例：数据 0.5，3.1，3.2，3.3，4.9 的平均数为 3、方差恰为 ，删去最小值 0.5 与最大值 4.9 后，剩余数据的平均数为 ，D 错误。 【点睛·易错提醒】“平移不改方差、伸缩按平方缩放”是两条最易混的性质：加常数 a 只把平均数平移 a，乘常数 k 则平均数乘 k、方差乘 。B 项正是把方差也当成“乘 2”设的陷阱。D 项要用反例否定，不能凭“对称”猜想；另外题干给的是方差 2，对应标准差 ，问方差时别答成标准差。 10．（2026·江西南昌·高三二模）设 A，B 为两个随机事件，且 ，，则下列说法正确的是（　） A．若 A 与 B 互斥，则 B．若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不可能互斥 C．若 ，则 A 与 B 相互独立 D．若 A 与 B 相互独立，则 【难度】★★★　【知识点】事件关系的辨析 【答案】ABC 【解析】 A：A 与 B 互斥时 ，而任何事件的概率不超过 1，故 ，A 正确。 B：若既独立又互斥，则 且 ，与 矛盾，故二者不可能同时成立，B 正确。 C：由 ，代入 得 ，即 A 与 B 相互独立，C 正确。 D：独立时应为 ，比 少了一个 ，D 错误。 【点睛·易错提醒】互斥与独立是两回事：互斥指“不能同时发生”，即 ；独立指“一个发生与否不影响另一个”，即 。在 、 的前提下两者互不相容，只有其中一个概率为 0 时才可能同时成立——这正是题干强调 、 的原因。D 项是把互斥的加法公式套到独立情形上。 11．（2026·辽宁大连·高三联考）已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则下列说法正确的是（　） A． B． C． D．若 ，则 【难度】★★★★　【知识点】正态分布的概率计算 【答案】ABD 【解析】 正态曲线关于直线 对称，故 ，A 正确。 于是 ，B 正确；而 ，C 错误。 由对称性 ，故 ，D 正确。 【点睛·易错提醒】正态分布的一切计算都归结为“关于 对称”：。C 项把 110 右侧与 90 左侧的对称关系搞反了；D 项要先由 对称得到 ，再用 求中间段的概率，只减一次 0.05 是本题最常见的错误。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2026·安徽合肥·高三二模）某设备的使用年限 x（单位：年）与维修费用 y（单位：万元）的 5 组数据为：x 取 1，2，3，4，5；y 取 1.2，2.5，4.0，4.7，6.1．由最小二乘法求得 y 关于 x 的经验回归直线为 ，则 ______． 【难度】★★★　【知识点】线性回归方程过样本中心点 【答案】 【解析】 先求样本中心。平均年限为 ，平均维修费用为 ，即样本中心为 。 经验回归直线必过样本中心，把 代入 得 。 解得 。 【点睛·易错提醒】“回归直线过样本中心点”是本题唯一的入口，不必逐项计算偏差乘积和。样本中心是 (3, 3.7) 而不是 (3, 4.0)：3.7 是 5 个费用值的平均 ，把中间那个 4.0 直接当平均数是最常见的错误，那样会算成 。另需注意回归系数 b 与截距 a 都带单位，本题 b 的单位是“万元/年”。 13．（《2026届组卷检测模拟卷》·二项分布）某批种子的发芽率为 0.4，现播种 10 粒，各粒种子是否发芽相互独立．记发芽的种子数为 X，则使 取得最大值的 k 的值为 ______． 【难度】★★★　【知识点】二项分布的最可能次数 【答案】 【解析】 ，。 比较相邻两项：由 得 。 约去公因式并整理得 ，即 。 故 ，而 ，从 起概率递减，最大值在 处取得。 【点睛·易错提醒】“最可能次数”不能凭 想当然，但结论恰好与 吻合并非巧合：一般地，当 不是整数时，最可能次数为不超过 的最大整数，本题 ，故为 4。用比值法判断时，比值大于 1 说明概率仍在递增，小于 1 说明已开始递减，两种方法要能互相印证。 14．（2026·重庆·高三模拟预测）甲、乙、丙三个箱子中装有大小相同的小球：甲箱有 2 个白球、1 个黑球，乙箱有 1 个白球、2 个黑球，丙箱有 1 个白球、3 个黑球．先从三个箱子中随机选取一个（选到每个箱子的可能性相同），再从该箱中不放回地随机取出 2 个球．若取出的 2 个球颜色相同，则它们来自甲箱的概率为 ______． 【难度】★★★★　【知识点】贝叶斯公式的应用 【答案】 【解析】 记 A 为“取出的 2 球同色”，B₁，B₂，B₃ 分别为“选自甲、乙、丙箱”，则 。 ，，。 由全概率公式得 。 所求为 。 【点睛·易错提醒】贝叶斯公式的本质是“已知结果、反推来源”：分母是全概率 ，分子是“来源为甲且结果为 A”的概率 。三个先验概率都是 ，但似然 不同，后验概率必然不等。本题算得 小于 ，说明“同色”这一结果反而降低了来自甲箱的可信度——因为甲箱的同色概率低于三箱的平均水平。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·江苏苏州·高三二模）（15 分）某社区随机调查了 100 户居民的月用水量（单位：吨），按 [0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25] 分组，各组户数依次为 10，20，30，25，15． （1）估计该社区每户月用水量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）用样本频率估计概率，从该社区任取 1 户，求其月用水量不低于 15 吨的概率； （3）从该社区任取 3 户（假设各户用水量相互独立），设 X 为月用水量不低于 15 吨的户数，求 X 的分布列与 ． 【难度】★★★　【知识点】频率估计概率与二项分布 【答案】（1） 吨；（2）；（3），，，，． 【解析】 （1）各组的频率依次为 0.10，0.20，0.30，0.25，0.15，取各组中点为 2.5，7.5，12.5，17.5，22.5，则平均数的估计值为 （吨）。 （2）月用水量不低于 15 吨的频率为 ，故所求概率的估计值为 0.4。 （3）由（2）知每户月用水量不低于 15 吨的概率为 0.4，且各户用水量相互独立，故 。 ，，，。 所以 。 【点睛·易错提醒】（1）用组中值代替组内数据是“用样本估计总体”的常规做法，加权平均时权是频率而不是频数；若用频数相乘，得到的是 1325，还须除以 100。（3）判定二项分布必须说明“各户用水量相互独立、概率相同”，只写 而不交代理由会丢过程分；分布列四项之和应为 1，可当场验算 。 16．（《2025高考解密汇编》·题型篇·独立性检验）（15 分）某校为了解高一、高二年级学生的体能达标情况，从两个年级各随机抽取 50 名学生进行同一项目的测试，结果如下：高一学生中达标 30 人、未达标 20 人；高二学生中达标 20 人、未达标 30 人． （1）根据数据完成 2×2 列联表，并计算 χ² 的观测值； （2）判断是否有 95% 的把握认为“体能达标与年级有关”； （3）从样本中达标的学生里按年级用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机选取 2 人参加座谈，求恰有 1 名高二学生的概率． 附：，其中 ；临界值：，，． 【难度】★★★　【知识点】独立性检验的完整流程 【答案】（1）列联表见解析，；（2）有 95% 的把握，但没有 99% 的把握；（3）． 【解析】 （1）2×2 列联表为：高一行“达标 30，未达标 20，合计 50”，高二行“达标 20，未达标 30，合计 50”，合计行“达标 50，未达标 50，总计 100”。 代入公式得 。 （2）因为 ，但 ，故有 95% 的把握认为体能达标与年级有关，但没有 99% 的把握。 （3）样本中达标学生共 50 人，其中高一 30 人、高二 20 人，按 3∶2 分层抽取 5 人，则高一 3 人、高二 2 人。 从 5 人中任取 2 人共 种取法，恰有 1 名高二学生有 种取法，故所求概率为 。 【点睛·易错提醒】χ² 的观测值只用于与临界值比较，结论必须带显著性水平的表述： 只能说有 95% 的把握，不能说有 99% 的把握，更不能说“两变量一定有关”。（3）分层抽样按 分配名额，再从抽出的 5 人中用组合计数，别把分层比例直接当成所求概率；若按“有放回”理解，答案会变成 。 17．（2026·山东济南·高三一模）（15 分）某冷饮店统计了连续 5 天的日平均气温 x（单位：℃）与冷饮销量 y（单位：杯），数据如下： x 取 20，22，24，26，28；y 取 40，46，49，54，61． （1）求 y 关于 x 的经验回归方程 ； （2）预测日平均气温为 30 ℃ 时的销量； （3）求 时对应的残差． 【难度】★★★　【知识点】线性回归方程的应用 【答案】（1）；（2） 杯；（3）． 【解析】 （1）样本中心为平均气温 24、平均销量 50，即 。各组数据相对中心的偏差为：x 依次为 ，，，，；y 依次为 ，，，，。 偏差乘积之和为 ，x 的偏差平方和为 。 故 ，，经验回归方程为 。 （2）当 时，，即预测销量为 65 杯。 （3）当 时，预测值为 ，而实际值为 49，故残差为 。 【点睛·易错提醒】（1）先算样本中心 ，再用“偏差乘积和除以偏差平方和”求 b，最后由样本中心求 a，比直接套用大数公式更不易算错；求出的直线必须过 ，可回代检验。（3）残差等于“实际值减预测值”，顺序颠倒就会答成 1；残差为负说明实际值低于预测值，它与随机误差不是同一个概念。 18．（2026·北京海淀·高三模拟预测）（17 分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．比赛采用五局三胜制，即先胜三局者获胜，比赛随即结束．设比赛结束时共进行了 X 局． （1）求甲以 3∶0 获胜的概率； （2）求 的概率； （3）求 X 的分布列与 ； （4）若改为七局四胜制，判断甲获胜的概率比五局三胜制时是增大还是减小，并说明理由． 【难度】★★★★　【知识点】赛制概率与期望的综合 【答案】（1）；（2）；（3），，，；（4）增大． 【解析】 （1）甲以 3∶0 获胜即前三局全胜，概率为 。 （2）X=4 表示四局结束。若甲胜，则前 3 局中甲胜 2 局、第 4 局甲胜，概率为 ；若乙胜，同理为 。 故 。 （3），。 所以 X 的分布列为 ，，。 。 （4）增大。理由是局数越多，实力较强的甲获得足够胜局的机会越多，偶然因素被削弱。具体地，五局三胜时甲获胜的概率为 ，七局四胜时为 ，后者更大。 【点睛·易错提醒】（1）“3∶0”只有一种顺序，乘组合数就重复计数了。（2）“第 4 局结束”意味着第 4 局必胜，只需在前 3 局中安排 2 胜 1 负，故用 而非 ——用 会把“第 4 局输、第 5 局才赢”的情形也算进来。（4）判断赛制对谁有利，要落到“谁更强”这个前提上：局数越多对强者越有利，可用具体概率佐证，也可作定性说明，但不能只说“增大”而不给理由。 19．（2026·湖北黄冈·高三三模）（17 分）设 ，n 为正整数．若随机变量 X 的分布列为 （），， 则称 X 服从参数为 的“截尾几何分布”． （1）证明：； （2）当 时，求 ，并证明 ； （3）取 ，，求 与 ． 【难度】★★★★　【知识点】新定义“截尾几何分布”的推演 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3），． 【解析】 （1）当 时， 构成首项为 p、公比为 的等比数列，故 。 又 ，两式相加得 1，即该分布列满足归一性。 （2），同（1）的算法得 （）。 于是 ，与 m 无关，即该分布具有无记忆性。 （3）当 ， 时，，，，。 。 ，故 。 【点睛·易错提醒】新定义题按“读定义—验定义—用定义”推进：第（1）问本质是等比数列求和，末项 不属于那个等比数列，正是它把和补成 1，漏加就会证不出结论。第（2）问的 是把后 项相加，结论 说明“已经等了 m 次仍没成功”不改变下一次成功的概率，这正是几何分布的无记忆性。第（3）问求 必须先算 ，不能由 直接平方。 教师备课参考　专题09　概率与统计 一、本专题高频易错点清单 1．互斥与独立混淆：第3、10题。互斥是“不能同时发生”，；独立是“互不影响”，。在 、 时二者互不相容，只有某个概率为 0 才可能同时成立。 2．“至少”型问题不求对立：第3、5题。“至少一人破译”“至少 1 张有奖”都应先算对立事件，直接相加会重复计算或超过 1。 3．条件概率的分母用错：第2、8、14题。 的分母是 ；缩小样本空间时须扣除第一次已取走的球，剩余总数随之改变。 4．二项与超几何混用：第4、5、13题。有放回或概率恒定才用 ，不放回的小总体用超几何；第5题的 正是把“至少”算成“恰好”的结果。 5．期望方差的性质记错：第6、9题。，而 ，常数项不影响方差，系数必须平方。 6．直方图漏乘组距：第7题。频率等于“频率/组距”乘以组距，漏乘后频率之和只有 0.1，与归一性矛盾；中位数对应累计频率 0.5。 7．回归直线不过样本中心：第12、17题。求 b 与 a 都应先算样本中心点，再代入方程；残差是“实际值减预测值”，顺序不可颠倒。 8．χ² 的结论表述过头：第16题。 只能说有 95% 的把握，不能说有 99% 的把握，更不能说“一定有关”；分层抽样须按比例分配名额。 9．全概率与贝叶斯的分母：第8、14题。全概率按第一阶段分类求和，贝叶斯以全概率为分母；漏掉某一类（如第8题的 ）是失分主因。 10．最可能次数想当然：第13题。应以相邻项比值判断增减，当 为整数时相邻两项并列最大，本题 故最可能次数为 4。 二、讲评建议 1．本专题是“主干型”板块，建议先用 8 分钟把知识链串起来：随机事件→古典概型→条件概率→独立性→随机变量及其分布→数字特征→统计案例，再讲第1、2、3题稳住基本盘。 2．“四个概率模型”对照讲：第1题古典概型、第4题二项分布、第5题超几何分布、第8题全概率，板书并列写出各自的适用条件与计算公式，形成选择策略。 3．条件概率与贝叶斯连讲第2、8、14题：第2题用缩小样本空间，第8题按第一阶段分类，第14题反推来源，三步递进，学生才理解“分母是谁”。 4．随机变量的数字特征连讲第6、9、11题：第6题练性质，第9题辨样本特征，第11题用正态曲线的对称性，注意“期望线性、方差平方”这条主线贯穿始终。 5．三道多选按梯度讲评（第9–11题）：第9题样本数字特征、第10题事件关系、第11题正态分布，逐级加压，第11题可限时 5 分钟。 6．统计案例部分（第7、12、15、16、17题）建议用“读图—算量—下结论”三步法：第7题读直方图，第12、17题用样本中心，第16题走完 χ² 全流程。 7．第15、16题都含“分层抽样 + 组合计数”，可合并讲评：强调按比例分配名额后，再用 一类的组合数计数，防止把比例当概率。 8．第18题按“分解情形→算概率→列分布→求期望→作比较”五步推进，第（2）问务必让学生自己辨析 与 的区别，这是赛制类问题的分水岭。 9．第19题新定义按“读定义→验归一性→推无记忆性→算期望方差”四步走，重点讲末项 为何不属于等比数列，以及 必须由 求得。 三、可拓展方向（不另附题目） 1．把第1题的“任取 2 个”改为“有放回地取 2 个”，对比 与 ，强化有放回与无放回的区别。 2．把第2题改为“已知第二次抽到次品，求第一次也抽到次品的概率”，与贝叶斯公式对接，体会条件方向改变后答案的变化。 3．把第4题的射击次数改为 5 次，求命中次数 X 的分布列与 ，并与第6题的方差性质串联。 4．把第5题的 10 张奖券改为 20 张（6 张有奖），比较超几何分布与二项分布 的差异，说明总体很大时二者近似。 5．把第7题改为求平均数与众数，并与中位数比较，讨论数据分布形态对三个特征数的影响。 6．第8题可增加一问“已知最终取到白球，求它来自甲袋的概率”，把全概率与贝叶斯在同一情境中讲透。 7．把第11题的 改为 的一般形式，用 估计人数，对接 3σ 原则。 8．把第16题的样本量改为 200（各 100 人，达标 60 与 40），重算 χ² 并比较结论，体会样本量对判断的影响。 9．把第19题的截尾长度 n 改为 4 或 5，观察 随 n 的变化趋势，并讨论 时与几何分布的联系。 四、题源说明 题号 母题来源（2024–2026） 处理方式 1 2026年江苏南京高三一模 同考点命制 2 2026年山东青岛高三二模 同考点命制 3 2026年河南郑州高三三模 同考点命制 4 2026年湖北武汉高三一模 同考点命制 5 2026年湖南长沙高三联考 同考点命制 6 2026年四川成都高三二模 同考点命制 7 《高中数学题型+模拟精练》统计图表与数字特征 原题改编·数据替换 8 2026年福建厦门高三三模 同考点命制 9 2026年河北石家庄高三一模 同考点命制 10 2026年江西南昌高三二模 同考点命制 11 2026年辽宁大连高三联考 同考点命制 12 2026年安徽合肥高三二模 同考点命制 13 《2026届组卷检测模拟卷》二项分布 原题改编·设问变换 14 2026年重庆高三模拟预测 同考点命制 15 2026年江苏苏州高三二模 同考点命制 16 《2025高考解密汇编》题型篇·独立性检验 原题改编·数据替换 17 2026年山东济南高三一模 同考点命制 18 2026年北京海淀高三模拟预测 同考点命制 19 2026年湖北黄冈高三三模 同考点命制 说明：本卷母题来源分三类——① 2024–2026 年高考真题与各地公开联考试卷；② 公开出版的高中数学题集（作为引用作品，按“年份＋书名＋章节或题号”标明出处）；③ 依据上述真题、试卷与题集的高频考点自主命制。 标注“原题改编”者，均在母题的数据、条件、设问或新定义上作了实质性改编，与母题并非同题；援引公开出版题集者，书名与所引章节均据原书实际标注，可据以核验，未作虚构。原卷版题号后括号内亦标明母题来源与年份。 标注“同考点命制”者，未对应任一具体原题；凡可核验原卷或原书章节者均已标注，其余不虚构题号。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题09　概率与统计 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题09　概率与统计题型强化（原卷版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；答案与解析见解析版．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·江苏南京·高三一模）袋中装有 4 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外完全相同．从中随机取出 2 个球，则恰有 1 个红球的概率为（　） A． B． C． D． 2．（2026·山东青岛·高三二模）一批产品共 10 件，其中有 3 件次品．不放回地依次抽取 2 件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次也抽到次品的概率为（　） A． B． C． D． 3．（2026·河南郑州·高三三模）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为 0.6，乙能破译的概率为 0.5，则这份密码被破译的概率为（　） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·高三一模）某射手每次射击命中目标的概率为 0.7，各次射击相互独立．则该射手射击 4 次恰有 3 次命中目标的概率为（　） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·高三联考）某商场举行抽奖活动，10 张奖券中有 3 张有奖，其余均无奖．顾客从中不放回地任取 3 张，则至少抽到 1 张有奖券的概率为（　） A． B． C． D． 6．（2026·四川成都·高三二模）已知随机变量 X 的分布列为 ，，，，则 （　） A． B． C． D． 7．（《高中数学题型+模拟精练》·统计图表与数字特征）某校随机抽取 100 名学生参加一次数学测试，将成绩（均为整数）按 [10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60] 分成五组．已知各组对应的“频率/组距”依次为 0.005，0.010，0.020，0.025，0.040，则这 100 名学生成绩的中位数为（　） A． B． C． D． 8．（2026·福建厦门·高三三模）甲袋中装有 4 个白球、2 个黑球，乙袋中装有 1 个白球、5 个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲袋中随机取出 2 个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出 1 个球，则取到白球的概率为（　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·河北石家庄·高三一模）已知一组数据 ，，…， 的平均数为 3，方差为 2，则下列说法正确的是（　） A．将每个数据都加 3，所得数据的平均数为 6，方差仍为 2 B．将每个数据都乘 2，所得数据的平均数为 6，方差为 4 C．将每个数据都乘 2 再加 1，所得数据的方差为 8 D．删去一个最大值和一个最小值后，所得数据的平均数一定仍为 3 10．（2026·江西南昌·高三二模）设 A，B 为两个随机事件，且 ，，则下列说法正确的是（　） A．若 A 与 B 互斥，则 B．若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不可能互斥 C．若 ，则 A 与 B 相互独立 D．若 A 与 B 相互独立，则 11．（2026·辽宁大连·高三联考）已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则下列说法正确的是（　） A． B． C． D．若 ，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2026·安徽合肥·高三二模）某设备的使用年限 x（单位：年）与维修费用 y（单位：万元）的 5 组数据为：x 取 1，2，3，4，5；y 取 1.2，2.5，4.0，4.7，6.1．由最小二乘法求得 y 关于 x 的经验回归直线为 ，则 ______． 13．（《2026届组卷检测模拟卷》·二项分布）某批种子的发芽率为 0.4，现播种 10 粒，各粒种子是否发芽相互独立．记发芽的种子数为 X，则使 取得最大值的 k 的值为 ______． 14．（2026·重庆·高三模拟预测）甲、乙、丙三个箱子中装有大小相同的小球：甲箱有 2 个白球、1 个黑球，乙箱有 1 个白球、2 个黑球，丙箱有 1 个白球、3 个黑球．先从三个箱子中随机选取一个（选到每个箱子的可能性相同），再从该箱中不放回地随机取出 2 个球．若取出的 2 个球颜色相同，则它们来自甲箱的概率为 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·江苏苏州·高三二模）（15 分）某社区随机调查了 100 户居民的月用水量（单位：吨），按 [0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25] 分组，各组户数依次为 10，20，30，25，15． （1）估计该社区每户月用水量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）用样本频率估计概率，从该社区任取 1 户，求其月用水量不低于 15 吨的概率； （3）从该社区任取 3 户（假设各户用水量相互独立），设 X 为月用水量不低于 15 吨的户数，求 X 的分布列与 ． 16．（《2025高考解密汇编》·题型篇·独立性检验）（15 分）某校为了解高一、高二年级学生的体能达标情况，从两个年级各随机抽取 50 名学生进行同一项目的测试，结果如下：高一学生中达标 30 人、未达标 20 人；高二学生中达标 20 人、未达标 30 人． （1）根据数据完成 2×2 列联表，并计算 χ² 的观测值； （2）判断是否有 95% 的把握认为“体能达标与年级有关”； （3）从样本中达标的学生里按年级用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机选取 2 人参加座谈，求恰有 1 名高二学生的概率． 附：，其中 ；临界值：，，． 17．（2026·山东济南·高三一模）（15 分）某冷饮店统计了连续 5 天的日平均气温 x（单位：℃）与冷饮销量 y（单位：杯），数据如下： x 取 20，22，24，26，28；y 取 40，46，49，54，61． （1）求 y 关于 x 的经验回归方程 ； （2）预测日平均气温为 30 ℃ 时的销量； （3）求 时对应的残差． 18．（2026·北京海淀·高三模拟预测）（17 分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．比赛采用五局三胜制，即先胜三局者获胜，比赛随即结束．设比赛结束时共进行了 X 局． （1）求甲以 3∶0 获胜的概率； （2）求 的概率； （3）求 X 的分布列与 ； （4）若改为七局四胜制，判断甲获胜的概率比五局三胜制时是增大还是减小，并说明理由． 19．（2026·湖北黄冈·高三三模）（17 分）设 ，n 为正整数．若随机变量 X 的分布列为 （），， 则称 X 服从参数为 的“截尾几何分布”． （1）证明：； （2）当 时，求 ，并证明 ； （3）取 ，，求 与 ． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $