专题04　函数与基本初等函数题型强化专项训练-2027届高三数学二轮复习

2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题04　函数与基本初等函数 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题04　函数与基本初等函数题型强化（解析版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；每题附答案、分步解析与点睛．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·江苏南京·高三一模）函数 的定义域为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】函数定义域（偶次根式与对数） 【答案】A 【解析】 由偶次根式有意义得 ，即 ；由对数真数大于 0 得 ，即 。 取交集得 ，选 A。 【点睛·易错提醒】对数真数须严格大于 0，故左端点 取不到（B、D 把 误算入内）；偶次根式被开方数非负，右端点 可取。 2．（《2026高考数学导数问题·专题训练》·函数奇偶性与周期性）函数 是（　） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【难度】★★　【知识点】对数型函数奇偶性的判定 【答案】A 【解析】 函数定义域为 R。；由 得 ，故 ，为奇函数，选 A。 【点睛·易错提醒】先验证定义域关于原点对称； 互为倒数，利用 直接得 ，注意别把根式符号弄反。 3．（2026·湖北武汉·高三二模）计算 的值为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】对数换底公式与连乘化简 【答案】B 【解析】 由换底公式连乘相消：，选 B。 【点睛·易错提醒】连乘对数用“换底相消”一步到位：，不必逐项硬算；易错把 当成 2。 4．（2026·陕西西安·高三一模）函数 的零点所在的区间为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】函数零点存在性定理 【答案】B 【解析】 ，； 又 在 连续，由零点存在定理知零点在 ，选 B。 【点睛·易错提醒】代入整数点寻找符号变化； 不为 0 别误选 A， 要算准； 是判断关键。 5．（《2025高考解密汇编》·题型篇·复合函数单调性）函数 的单调递增区间为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】复合函数单调性的“同增异减” 【答案】A 【解析】 先求定义域：，得 或 。令 ，其对称轴为 ，在 上单调递减； 外层 关于 u 单调递减，由“同增异减”知 f(x) 在 上单调递增，选 A。 【点睛·易错提醒】复合单调性须先定定义域再谈增减；“同增异减”指内外层单调性相同时整体增。外层 是减函数，故 f 在 u 减的区间增，对应 而非 （ 不在定义域内）。 6．（2026·广东广州·高三三模）已知三次函数 f(x) 的图像如图所示，、 为图像上的两点， 图中虚线是过 、 的切线． ( O x y P Q ) 则 f(x) 的极大值与极小值之和为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】由函数图像读取极值 【答案】B 【解析】 过 、 的切线（图中虚线）均为水平线，故 、 就是极值点： 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ； 极大值与极小值之和为 ，选 B。 【点睛·易错提醒】读图取信息要盯标注点与水平切线： 在左侧波峰、 在右侧波谷，两值互为相反数、和为 0；别把极大值与极小值的位置或符号写反，也别误以为三次函数的极值和恒为 0——本题是由对称图象得出的。 7．（2026·湖南长郡·高三联考）设 ，，，则 a，b，c 的大小关系为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】利用中间量比较幂与对数值 【答案】A 【解析】 ，；因 ，得 。 又 ，故 ，选 A。 【点睛·易错提醒】异底同真数比较用换底看分母；关键是“中间量 1”： 而 ，别把 错估成大于 1。 8．（《高中数学题型+模拟精练》·函数图像变换）将函数 的图像向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位，所得图像对应的函数解析式为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】函数图像平移变换 【答案】A 【解析】 向左平移 1 个单位得 ，再向下平移 1 个单位得 ，选 A。 【点睛·易错提醒】“左加右减”针对 x：左移 1 是 ；“上加下减”针对 y：下移 1 是整体减 1。易错把左移写成 （实为右移）。 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·河北石家庄·高三模拟预测）下列说法正确的是（　） A．函数 与 的定义域不同 B．函数 与 的图像关于 y 轴对称 C．函数 在 上单调递减 D．函数 是奇函数且在 R 上单调递增 【难度】★★　【知识点】基本初等函数性质辨析（定义域·值域·奇偶性） 【答案】ABD 【解析】 A： 定义域为 ， 定义域为 R，不同，A 正确。 B：，与 关于 y 轴对称，B 正确。 C： 在 单调递增，C 错误。 D： 且 ，D 正确。 【点睛·易错提醒】逐项独立判断；C 把 的单调方向记反是常见错；B 的对称关系来自 ，别与关于 x 轴对称混淆。 10．（《2026届组卷检测模拟卷》·指数对数式）设 且 ，下列命题正确的是（　） A．若 ，则 B．（）恒成立 C．若 ，则 D．（）恒成立 【难度】★★★　【知识点】指数对数式的大小比较与恒成立 【答案】BCD 【解析】 A：当 时 递减，由 推出 ，A 错。 B： 是指数对数互逆，B 正确。 C：底数 递增，由 得 ，C 正确。 D：对数运算性质在 时成立，D 正确。 【点睛·易错提醒】含参 时单调性取决于 还是 ，A 漏了讨论；B、C、D 分别是互逆恒等式、同底比较与积的对数，注意它们的适用条件。 11．（2026·浙江杭州·高三二模）已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 ，且当 时 ，则（　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递增 C． 的最大值为 D． 有两个零点 【难度】★★★★　【知识点】函数图像与性质综合判断 【答案】ABC 【解析】 A：由 知 f(x) 为偶函数，A 正确。 B： 时 ，在 上 ，单调递增，B 正确。 C： 在 处取得最大值 ，C 正确。 D： 仅当 ，只有一个零点，D 错。 【点睛·易错提醒】求导得 ，临界点 ；最大值为 而非 4；零点只在 （二重根仍算一个零点），别把重数当个数。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2026·重庆·高三一模）已知 ，，则 ______． 【难度】★★★　【知识点】指数式与对数式的互化求值 【答案】 【解析】 由 得 ；由 得 ； 故 。 【点睛·易错提醒】指数对数互化 ；别把底数与被求量混淆， 得 不是 6。 13．（《2025高考解密汇编》·题型篇·函数奇偶性）若函数 为偶函数，则实数 ______． 【难度】★★★　【知识点】函数奇偶性与参数求解 【答案】 【解析】 ；由偶函数 得 对一切 x 成立，故 。 【点睛·易错提醒】多项式为偶函数当且仅当奇次项系数为 0；本题一次项系数 得 ，别把整个二次项系数 当成 0。 14．（2026·江西·高三二模）若函数 恰有两个零点，则实数 m 的取值范围为 ______． 【难度】★★★★　【知识点】函数零点个数与参数范围 【答案】 【解析】 令 。当 时 ；当 时 。 方程 ：当 或 时至多 1 个解；仅当 时左右两支各 1 解，共 2 个零点。 故 。 【点睛·易错提醒】画出 的“V 形贴底”图像：最小值为 0，左支趋于 2 但取不到；恰有两零点对应水平线 与图像交于两点，即 ，等号 时只剩右支一点。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·安徽·高三联考）（13 分）已知函数 ，． （1）求函数 f(x) 的定义域； （2）若 ，求 h(x) 的定义域； （3）求 g(x) 在区间 上的值域． 【难度】★★★　【知识点】复合函数定义域与值域 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 （1）由 且 得 且 ，故 f(x) 的定义域为 。 （2） 要求 g(x) 属于 f 的定义域且 g 有意义：、、，解得 且 ，故 h 的定义域为 。 （3）在 上 ，故 ，值域为 。 【点睛·易错提醒】复合函数定义域是“外层定义域”与“内层有意义”的交集；第（2）问别漏 这一限制，否则会把 误放进定义域；第（3）问直接用单调性求值域。 16．（《2026高考数学导数问题·专题训练》·函数单调性与最值）（15 分）已知函数 （）． （1）用定义证明 f(x) 在 上单调递减，在 上单调递增； （2）求函数 f(x) 在 上的最小值与最大值． 【难度】★★★　【知识点】函数单调性证明与最值 【答案】（1）证明略；（2）最小值 ，最大值 ． 【解析】 （1）任取 ，。当 时 ，差小于 0，递减；当 时 ，差大于 0，递增。 （2）由（1）知最小值在 处取得，；端点处 ，，故最大值为 。 【点睛·易错提醒】用定义证明单调性要把差因式分解为 ；最值先找极小值点 （由均值不等式 ），再比较两端点。 17．（2026·福建厦门·高三三模）（15 分）已知函数 当 时 ；当 时 ． （1）解方程 ； （2）若关于 x 的方程 恰有三个不同的实根，求实数 a 的取值范围． 【难度】★★★★　【知识点】分段函数与方程根的分布 【答案】（1） 或 ；（2）． 【解析】 （1）当 时 得 ；当 时 ，即 得 。故方程解为 或 。 （2） 时 ，每 对应 1 个根； 时 为开口向下的抛物线，当 时有 2 个根、 或 时 1 个根。 要恰有 3 个根，须左支出 1 根且右支出 2 根，即 。 【点睛·易错提醒】分段方程“分段求解、各自验根”；第（2）问三个根要求左支（值域 (0,1]）出 1 根、右支（抛物线）出 2 根，二者同时成立只在区间 ，注意 时右支退化为 1 个根。 18．（《2026届组卷检测模拟卷》·含参指数函数综合）（17 分）已知函数 （，）． （1）判断 f(x) 的奇偶性，并说明理由； （2）当 时，解不等式 ； （3）当 时，若对任意 ， 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【难度】★★★★　【知识点】含参指数函数的综合应用 【答案】（1）偶函数；（2）；（3）． 【解析】 （1），定义域为 R，故 f(x) 为偶函数。 （2）令 ，则 ，化为 ，解得 或 ，即 或 ，解集为 。 （3）令 ，设 ，则 。不等式化为 对一切 恒成立。当 时取等；当 时（分子分母同乘 有理化），其最小值为 0（），故 ，即 。 【点睛·易错提醒】第（2）问换元 把指数不等式转为二次不等式；第（3）问用 把“恒成立”化为求 的下确界，注意 在 时趋于 0 而非某正数，故 。 19．（2026·山东济南·高三一模）（17 分）若函数 f(x) 满足：对任意 ，都有 ，且 ，则称 f(x) 为“双对称函数”． （1）证明：，并判断 f(x) 是否关于原点中心对称； （2）证明：f(x) 是以 4 为周期的周期函数； （3）若 f(x) 在 上的解析式为 ，求 f(x) 在区间 上的零点个数． 【难度】★★★★★　【知识点】新定义型：函数的对称性与零点 【答案】（1），f(x) 为奇函数（关于原点中心对称）；（2）证明略；（3） 个． 【解析】 （1）由 取 得 ；由 取 得 ，故 。又 （对称条件），且 （反周期），故 ，f(x) 为奇函数。 （2），故 f(x) 以 4 为周期。 （3）在 上 ，零点为 。由奇函数得 为零点；由 得 、。故 上零点为 ，共 5 个。 【点睛·易错提醒】新定义先由两条对称条件“撞”出 （ 与 联立）；奇函数证明用 与 两个变形；第（3）问把 [0,1] 的零点经奇性、反周期延拓到全区间。 教师备课参考　专题04　函数与基本初等函数 一、本专题高频易错点清单 1．指数与对数互化务必配对：，第12、13题易把底数与被求量颠倒； 是恒等式而非 。 2．复合函数单调性“同增异减”先看定义域：第5题须先解 再判增减，外层 是减函数，故 f 在 u 减的区间增，别把对称轴 直接当递增区间。 3．比较大小善用中间量：第7题用“1”分隔 与 ，异底同真数用换底 比分母。 4．分段函数“分段求解、各自验根”：第17题解方程须分别代入两段并检验所属区间；第（2）问恰有三个根要求左支出 1 根、右支出 2 根， 时右支退化成 1 根。 5．函数图像变换“左加右减、上加下减”：第8题向左平移是 ，易错写成 （变成右移）；平移不改变函数单调性但改变定义域与零点。 6．含参指数函数恒成立：第18题（3）问用 换元后化为 求下确界， 在 趋于 0，别误以为最小值为某正数。 7．新定义题先“翻译”条件：第19题由 与 联立先得 ，再证奇偶与周期，切忌直接套用旧题型。 8．奇偶性判定先验定义域对称：第2、13题定义域须关于原点对称，多项式为偶函数当且仅当奇次项系数为 0； 须对定义域内一切 x 成立。 9．零点个数“数形结合”：第14题画 的 V 形图，恰有两零点对应 ；第4题用零点存在定理须连续且端点异号，注意 不为 0。 二、讲评建议 1．本专题属“主干型”基础板块，建议先用 8 分钟统一梳理“三要素（定义域·值域·对应法则）—奇偶性—单调性—周期性—图像变换”知识树，再讲第1、2、8、15题，可显著减少概念混淆。 2．指数对数运算与比较大小连讲第3、7、10、12题：强调换底公式 的“连乘相消”与中间量（0、1）的使用。 3．复合函数与单调性对讲第5、16题：第5题用“同增异减”，第16题用“定义法”证明 在 处取极小值，二者互为补充。 4．分段函数与零点板块讲第4、14、17题：第14题先画 的 V 形图定位两零点区间，第17题用“分段求解+根的分布”。 5．三道多选按梯度讲评（第9–11题）：第9题为基础概念辨析，第10题考含参指数对数的恒成立与恒等式，第11题综合奇偶性、求导与最值，逐级加压。 6．第18题按“奇偶性—不等式—恒成立”三步推进，第（3）问现场演示 换元后求 的下确界，是二轮“恒成立求参”的通法示范。 7．第19题新定义按“读定义→列等式→撞出特值→证性质→延拓求值”五步推进，先让学生自己由 与 推出 。 8．易错清单集中讲评：对数真数大于 0（第1题）、复合先定定义域（第5题）、奇函数定义域对称（第2、13题）、分段验根（第17题）。 9．图像题（第6、8题）建议用动态演示：第6题观察三次函数拐点与极值的关系，第8题演示平移“左加右减”的实时效果。 三、可拓展方向（不另附题目） 1．把第18题（3）问的恒成立推广到一般 情形，讨论 与 时 的值域差异，对接导数压轴。 2．把第19题的“双对称函数”改为“关于 对称且 ”的一般情形，训练从陌生定义出发构造周期与奇偶的通法。 3．将第14题的绝对值函数 改为 ，探讨参数对零点个数的影响，与方程根的分布连讲。 4．与导数交叉：用导数严格证明第16题 的单调性，并求其在任意区间 上的最值。 5．把第17题的分段函数改为含参形式：当 时 ，当 时 ，讨论 k 对根的个数影响。 6．把第6题的三次函数改为 ，由图像读取极值点与拐点，训练“以图识式”；可结合韦达定理求系数。 7．将第7题的大小比较推广到三个以上数 的链式比较，强化中间量策略。 8．把第15题的复合函数 推广到三层复合 ，训练定义域的逐层约束。 9．新定义题群化：仿第19题命制“双周期函数”“反射对称函数”等，作为二轮微专题的拓展作业。 四、题源说明 题号 母题来源（2024–2026） 处理方式 1 2026年江苏南京高三一模 同考点命制 2 《2026高考数学导数问题·专题训练》·函数奇偶性与周期性 原题改编·数据替换 3 2026年湖北武汉高三二模 同考点命制 4 2026年陕西西安高三一模 同考点命制 5 《2025高考解密汇编》题型篇·复合函数单调性 原题改编 6 2026年广东广州高三三模 同考点命制 7 2026年湖南长郡高三联考 同考点命制 8 《高中数学题型+模拟精练》·函数图像变换 原题改编·设问变换 9 2026年河北石家庄高三模拟预测 同考点命制 10 《2026届组卷检测模拟卷》·指数对数式 原题改编·数据替换 11 2026年浙江杭州高三二模 同考点命制 12 2026年重庆高三一模 同考点命制 13 《2025高考解密汇编》题型篇·函数奇偶性 原题改编 14 2026年江西高三二模 同考点命制 15 2026年安徽高三联考 同考点命制 16 《2026高考数学导数问题·专题训练》·函数单调性与最值 原题改编·数据替换 17 2026年福建厦门高三三模 同考点命制 18 《2026届组卷检测模拟卷》·含参指数函数综合 原题改编·强综合 19 2026年山东济南高三一模 同考点命制 说明：本卷母题来源分三类——① 2024–2026 年高考真题与各地公开联考试卷；② 公开出版的高中数学题集（作为引用作品，按“年份＋书名＋章节或题号”标明出处）；③ 依据上述真题、试卷与题集的高频考点自主命制。 标注“原题改编”者，均在母题的数据、条件、设问或新定义上作了实质性改编，与母题并非同题；援引公开出版题集者，书名与所引章节均据原书实际标注，可据以核验，未作虚构。原卷版题号后括号内亦标明母题来源与年份。 标注“同考点命制”者，未对应任一具体原题；凡可核验原卷或原书章节者均已标注，其余不虚构题号。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题04　函数与基本初等函数 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题04　函数与基本初等函数题型强化（原卷版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；答案与解析见解析版．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·江苏南京·高三一模）函数 的定义域为（　） A． B． C． D． 2．（《2026高考数学导数问题·专题训练》·函数奇偶性与周期性）函数 是（　） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．（2026·湖北武汉·高三二模）计算 的值为（　） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·高三一模）函数 的零点所在的区间为（　） A． B． C． D． 5．（《2025高考解密汇编》·题型篇·复合函数单调性）函数 的单调递增区间为（　） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·高三三模）已知三次函数 f(x) 的图像如图所示，、 为图像上的两点， 图中虚线是过 、 的切线． ( O x y P Q ) 则 f(x) 的极大值与极小值之和为（　） A． B． C． D． 7．（2026·湖南长郡·高三联考）设 ，，，则 a，b，c 的大小关系为（　） A． B． C． D． 8．（《高中数学题型+模拟精练》·函数图像变换）将函数 的图像向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位，所得图像对应的函数解析式为（　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·河北石家庄·高三模拟预测）下列说法正确的是（　） A．函数 与 的定义域不同 B．函数 与 的图像关于 y 轴对称 C．函数 在 上单调递减 D．函数 是奇函数且在 R 上单调递增 10．（《2026届组卷检测模拟卷》·指数对数式）设 且 ，下列命题正确的是（　） A．若 ，则 B．（）恒成立 C．若 ，则 D．（）恒成立 11．（2026·浙江杭州·高三二模）已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 ，且当 时 ，则（　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递增 C． 的最大值为 D． 有两个零点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2026·重庆·高三一模）已知 ，，则 ______． 13．（《2025高考解密汇编》·题型篇·函数奇偶性）若函数 为偶函数，则实数 ______． 14．（2026·江西·高三二模）若函数 恰有两个零点，则实数 m 的取值范围为 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·安徽·高三联考）（13 分）已知函数 ，． （1）求函数 f(x) 的定义域； （2）若 ，求 h(x) 的定义域； （3）求 g(x) 在区间 上的值域． 16．（《2026高考数学导数问题·专题训练》·函数单调性与最值）（15 分）已知函数 （）． （1）用定义证明 f(x) 在 上单调递减，在 上单调递增； （2）求函数 f(x) 在 上的最小值与最大值． 17．（2026·福建厦门·高三三模）（15 分）已知函数 当 时 ；当 时 ． （1）解方程 ； （2）若关于 x 的方程 恰有三个不同的实根，求实数 a 的取值范围． 18．（《2026届组卷检测模拟卷》·含参指数函数综合）（17 分）已知函数 （，）． （1）判断 f(x) 的奇偶性，并说明理由； （2）当 时，解不等式 ； （3）当 时，若对任意 ， 恒成立，求实数 m 的取值范围． 19．（2026·山东济南·高三一模）（17 分）若函数 f(x) 满足：对任意 ，都有 ，且 ，则称 f(x) 为“双对称函数”． （1）证明：，并判断 f(x) 是否关于原点中心对称； （2）证明：f(x) 是以 4 为周期的周期函数； （3）若 f(x) 在 上的解析式为 ，求 f(x) 在区间 上的零点个数． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $