第03讲 基本初等函数 专项训练（6大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第03讲 基本初等函数 专项训练（6大题型32题） （原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　指数幂与对数运算 基础 第1—5题 5 题型二　指对函数图象与性质 重点 第6—11题 6 题型三　指对幂比较大小 常考 第12—17题 6 题型四　幂函数 重点 第18—22题 5 题型五　指对复合单调与值域 难点 第23—29题 7 题型六　恒成立与含参综合 难点 第30—32题 3 题型通关 · 靶向提分 题型一　指数幂与对数运算（共5小题） 【知识积累】 指数幂：，，；（，，）；（），。 根式：（ 为奇数），（ 为偶数）；，去绝对值时要看 的符号。 对数：（，，）；，，；，，。 换底：（，）；；。 易错：底数、真数范围先写； 中 才能把 提到前面；换底时分子是目标真数的对数、分母是目标底数的对数；根式化简漏绝对值。 【典例1】 1．（单选题） （26-27高三上·天津·阶段检测） 已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 【典例2】 2．（单选题） （26-27高三上·陕西渭南·阶段检测） 已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式1】 3．（解答题） （2026·甘肃天水·模拟预测） （1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 【变式2】 4．（解答题） （26-27高三上·四川达州·阶段检测） 计算： (1) (2) 【变式3】 5．（解答题） （26-27高三上·福建龙岩·阶段检测） 计算： (1) (2)已知，，求 题型二　指对函数图象与性质（共6小题） 【知识积累】 指数函数：（，）定义域 ，值域 ，过定点 ； 时在 上增， 时减； 与 的图象关于 轴对称。 对数函数：（，）定义域 ，值域 ，过定点 ； 时增， 时减； 与 互为反函数，图象关于直线 对称。 定义域：真数 、底数 且 、偶次根式被开方数 、分母 ，各条件取交集；定义域写成集合或区间。 定点与平移： 过 ； 过 ；平移不改变单调性。 易错：只写真数 而漏底数条件；定义域几个不等式不取交集；底数含参时不按 、 分类；把 当成对数函数（它是偶函数，定义域 ）。 【典例1】 6．（单选题） （25-26高三上·陕西渭南·阶段检测） 已知函数的图象关于原点对称，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【典例2】 7．（单选题） （26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测） 函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式1】 8．（填空题） （2026·四川·模拟预测） 函数的定义域为________． 【变式2】 9．（填空题） （2026·江苏南通·模拟预测） 如果函数满足，则______． 【变式3】 10．（填空题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 函数的定义域为_______. 【变式4】 11．（解答题） （26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测） 已知偶函数满足：当时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 题型三　指对幂比较大小（共6小题） 【知识积累】 同底：底数 时，指数越大幂越大、真数越大对数越大； 时相反。 同指数/同幂：比较 与 用幂函数 在 上的单调性； 增， 减。 对数与 0、1：；； 与 比较看 与 的大小（同侧）。 中间量：底数、指数都不同时，先与 、、 等比较，再在同类量之间用单调性细化；必要时用换底化为同底。 易错： 时忘记不等号反向；把 与 的大小关系直接套用；只比较一个中间量就下结论。 【典例1】 12．（单选题） （2026·重庆永川·模拟预测） 已知实数，，满足，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 13．（单选题） （2025·新疆喀什·模拟预测） 已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】 14．（单选题） （26-27高三上·天津河东·阶段检测） 已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】 15．（单选题） （26-27高三上·山东济宁·阶段检测） 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】 16．（单选题） （25-26高三上·吉林长春·阶段检测） 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4】 17．（单选题） （26-27高三上·福建·阶段检测） 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四　幂函数（共5小题） 【知识积累】 定义：形如 （ 为常数）的函数叫幂函数；系数为 ，底数是自变量，指数是常数，三项缺一不可。 五个常见幂函数：、、、、；要能说出各自的定义域、值域、奇偶性与在 上的单调性。 单调性： 时在 上增； 时在 上减。 奇偶性：设 （ 互质）。 为奇数时定义域含负值： 奇 奇为奇函数， 偶 奇为偶函数； 为偶数时， 的定义域为 ， 的定义域为 ，均既非奇也非偶。 易错：把 、 当幂函数；由“幂函数”求参时漏掉系数为 或指数为常数； 时忽略 ；判断奇偶性不看定义域。 【典例1】 18．（单选题） （2026·四川广安·模拟预测） 若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【典例2】 19．（多选题） （25-26高三下·重庆·阶段检测） 已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【变式1】 20．（填空题） （2026·四川南充·模拟预测） 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【变式2】 21．（填空题） （2026·上海·模拟预测） 已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【变式3】 22．（填空题） （2026·湖南郴州·模拟预测） 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为_______． 题型五　指对复合单调与值域（共7小题） 【知识积累】 复合单调： 遵循“同增异减”；前提是 的取值落在 的定义域内，先求定义域再谈单调区间。 指数型换元：令 （），把 化为 ； 的范围由 的范围和 的单调性确定。 对数型换元：令 或 （），先由真数 求定义域，再在定义域内求 的范围与单调性。 值域：先求内层 的取值范围，再求外层 在该范围上的值域；端点开闭要与 的范围一致。 易错：不先求定义域就讨论单调性；换元后忘记 或 的区间；外层递减时把“同增异减”用反；值域端点取不到仍写闭区间。 【典例1】 23．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【典例2】 24．（多选题） （25-26高三上·河南三门峡·期末） 已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【变式1】 25．（填空题） （2026·河北沧州·一模） 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【变式2】 26．（填空题） （26-27高三上·天津河东·阶段检测） 函数的单调递减区间为__________． 【变式3】 27．（解答题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 已知函数. (1)若，求； (2)若，求的最小值并求出取得最小值时相应的的值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【变式4】 28．（解答题） （25-26高三上·江苏盐城·阶段检测） 已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【变式5】 29．（解答题） （19-20高三上·安徽滁州·期中） 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围. 题型六　恒成立与含参综合（共3小题） 【知识积累】 恒成立：，；。 存在性：，；；量词不同，转化方向相反。 双变量：，，；若第二个量词也是“任意”，则改为 。 分离参数： 恒成立 ；分离时若除以含 的式子，先确定其符号；换元后在新变量范围内求最值。 易错：恒成立与存在混用；开区间上直接代端点；换元后范围扩大或缩小；求出参数后不回代检验等号能否取到。 【典例1】 30．（解答题） （26-27高三上·陕西渭南·期中） 已知函数，其中且． (1)设．若，求的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】 31．（解答题） （26-27高三上·河南南阳·阶段检测） 已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【变式1】 32．（解答题） （26-27高三上·河北·阶段检测） 已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第03讲 基本初等函数 专项训练（6大题型32题） （解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　指数幂与对数运算 基础 第1—5题 5 题型二　指对函数图象与性质 重点 第6—11题 6 题型三　指对幂比较大小 常考 第12—17题 6 题型四　幂函数 重点 第18—22题 5 题型五　指对复合单调与值域 难点 第23—29题 7 题型六　恒成立与含参综合 难点 第30—32题 3 题型通关 · 靶向提分 题型一　指数幂与对数运算（共5小题） 【知识积累】 指数幂：，，；（，，）；（），。 根式：（ 为奇数），（ 为偶数）；，去绝对值时要看 的符号。 对数：（，，）；，，；，，。 换底：（，）；；。 易错：底数、真数范围先写； 中 才能把 提到前面；换底时分子是目标真数的对数、分母是目标底数的对数；根式化简漏绝对值。 【典例1】 1．（单选题） （26-27高三上·天津·阶段检测） 已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【详解】由，得 因为，所以 所以 所以 【典例2】 2．（单选题） （26-27高三上·陕西渭南·阶段检测） 已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由指数运算性质得出，然后利用“1”的代换构造基本不等式，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 【变式1】 3．（解答题） （2026·甘肃天水·模拟预测） （1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 【变式2】 4．（解答题） （26-27高三上·四川达州·阶段检测） 计算： (1) (2) 【答案】(1)100 (2)2 【分析】（1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 【变式3】 5．（解答题） （26-27高三上·福建龙岩·阶段检测） 计算： (1) (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 . （2）因为，，即，即， 所以. 题型二　指对函数图象与性质（共6小题） 【知识积累】 指数函数：（，）定义域 ，值域 ，过定点 ； 时在 上增， 时减； 与 的图象关于 轴对称。 对数函数：（，）定义域 ，值域 ，过定点 ； 时增， 时减； 与 互为反函数，图象关于直线 对称。 定义域：真数 、底数 且 、偶次根式被开方数 、分母 ，各条件取交集；定义域写成集合或区间。 定点与平移： 过 ； 过 ；平移不改变单调性。 易错：只写真数 而漏底数条件；定义域几个不等式不取交集；底数含参时不按 、 分类；把 当成对数函数（它是偶函数，定义域 ）。 【典例1】 6．（单选题） （25-26高三上·陕西渭南·阶段检测） 已知函数的图象关于原点对称，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数， 又函数的定义域为R，得，解得， 函数，，则是奇函数， 所以. 【典例2】 7．（单选题） （26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测） 函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 【变式1】 8．（填空题） （2026·四川·模拟预测） 函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由得且，故的定义域为 【变式2】 9．（填空题） （2026·江苏南通·模拟预测） 如果函数满足，则______． 【答案】 （或） 【分析】令，可得，代入求值即可. 【详解】令，则，所以， 则 【变式3】 10．（填空题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 函数的定义域为_______. 【答案】 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为. 【变式4】 11．（解答题） （26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测） 已知偶函数满足：当时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质求解析式即可； （2）利用偶函数的对称性及区间单调性得，即可求解集. 【详解】（1）当时，，则，而为偶函数， 所以，则， 所以； （2）由题可知，偶函数在上单调递增，且， 所以， 故不等式的解集为. 题型三　指对幂比较大小（共6小题） 【知识积累】 同底：底数 时，指数越大幂越大、真数越大对数越大； 时相反。 同指数/同幂：比较 与 用幂函数 在 上的单调性； 增， 减。 对数与 0、1：；； 与 比较看 与 的大小（同侧）。 中间量：底数、指数都不同时，先与 、、 等比较，再在同类量之间用单调性细化；必要时用换底化为同底。 易错： 时忘记不等号反向；把 与 的大小关系直接套用；只比较一个中间量就下结论。 【典例1】 12．（单选题） （2026·重庆永川·模拟预测） 已知实数，，满足，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数和指数函数的性质，结合对数、指数的运算性质进行运算判断即可. 【详解】因为，所以，即. 所以，即，因为，所以. 所以，故. 【典例2】 13．（单选题） （2025·新疆喀什·模拟预测） 已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质，易知，再对其作商，结合及基本不等式进行大小比较即可. 【详解】由对数函数的性质可知，，同理， 因为，所以， 又因为，所以， 因此，. 【变式1】 14．（单选题） （26-27高三上·天津河东·阶段检测） 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 【变式2】 15．（单选题） （26-27高三上·山东济宁·阶段检测） 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 且，所以. 【变式3】 16．（单选题） （25-26高三上·吉林长春·阶段检测） 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及1，为桥梁，可比较三个数的大小. 【详解】， ， ， 只需比较，的大小， ， ， 又， ， 所以. 【变式4】 17．（单选题） （26-27高三上·福建·阶段检测） 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用指数函数和幂函数单调性可判断，再通过对数换底统一底数比较大于1的对数式的大小，最后综合排序即可. 【详解】易知指数函数在上单调递减， 又，可得， 因为幂函数在上单调递增，因此， 所以可得，因此； 又 ， 又对数函数在上单调递增， 且，因此，即， 综上可得. 题型四　幂函数（共5小题） 【知识积累】 定义：形如 （ 为常数）的函数叫幂函数；系数为 ，底数是自变量，指数是常数，三项缺一不可。 五个常见幂函数：、、、、；要能说出各自的定义域、值域、奇偶性与在 上的单调性。 单调性： 时在 上增； 时在 上减。 奇偶性：设 （ 互质）。 为奇数时定义域含负值： 奇 奇为奇函数， 偶 奇为偶函数； 为偶数时， 的定义域为 ， 的定义域为 ，均既非奇也非偶。 易错：把 、 当幂函数；由“幂函数”求参时漏掉系数为 或指数为常数； 时忽略 ；判断奇偶性不看定义域。 【典例1】 18．（单选题） （2026·四川广安·模拟预测） 若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 【典例2】 19．（多选题） （25-26高三下·重庆·阶段检测） 已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 【变式1】 20．（填空题） （2026·四川南充·模拟预测） 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 【变式2】 21．（填空题） （2026·上海·模拟预测） 已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 【变式3】 22．（填空题） （2026·湖南郴州·模拟预测） 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为_______． 【答案】 【分析】设，根据求出的值，可确定函数的解析式，再令，分析该函数的单调性，再结合求解即可. 【详解】根据题意，设，则，解得，故， 令，该函数的定义域为， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，由可得，故， 故满足的的最大值与最小值分别为、， 故满足的的最大值与最小值的差为. 题型五　指对复合单调与值域（共7小题） 【知识积累】 复合单调： 遵循“同增异减”；前提是 的取值落在 的定义域内，先求定义域再谈单调区间。 指数型换元：令 （），把 化为 ； 的范围由 的范围和 的单调性确定。 对数型换元：令 或 （），先由真数 求定义域，再在定义域内求 的范围与单调性。 值域：先求内层 的取值范围，再求外层 在该范围上的值域；端点开闭要与 的范围一致。 易错：不先求定义域就讨论单调性；换元后忘记 或 的区间；外层递减时把“同增异减”用反；值域端点取不到仍写闭区间。 【典例1】 23．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】先确定定义域是否关于原点对称，再由奇函数定义进行判断 【详解】由题意得，函数的定义域需满足，解得或. 令，其定义域满足或，解得， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数，故AB错误； 令，其定义域满足或，解得， 关于原点对称，又， ， 所以是奇函数，C正确，D错误. 【典例2】 24．（多选题） （25-26高三上·河南三门峡·期末） 已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A，根据函数的单调性可判断BCD. 【详解】根据题意，设     对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 故选：ABD 【变式1】 25．（填空题） （2026·河北沧州·一模） 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】 26．（填空题） （26-27高三上·天津河东·阶段检测） 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 【变式3】 27．（解答题） （26-27高三上·广东深圳·阶段检测） 已知函数. (1)若，求； (2)若，求的最小值并求出取得最小值时相应的的值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)7 (2)最小值为，此时 (3)4 【分析】（1）将的平方展开，建立与的关系． （2）令，把转化为关于的二次式，配方求最小值，再解指数方程确定取等时的． （3）利用分离参数，将恒成立问题转化为求的最小值，并核对取等条件． 【详解】（1）因为，所以． 当时，． （2）由（1）中的恒等式得． 令，因为、，由基本不等式得，当且仅当时等号成立． 于是，当且仅当时等号成立． 此时，令，则，解得或，均满足，故或． 因此的最小值为，在时取得． （3）令，由（2）得，且可在时取得，再由（1）中的恒等式得． 所以原不等式等价于，由于，可化为． 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，对应． 因此，要使原不等式对任意恒成立，必须且只需，故的最大值为4． 【变式4】 28．（解答题） （25-26高三上·江苏盐城·阶段检测） 已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 【变式5】 29．（解答题） （19-20高三上·安徽滁州·期中） 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)由幂函数概念及偶函数性质求解析式 (2)由(1)知，再由在上恒成立，即的最小值恒大于等于0，应用函数思想分类讨论，求a的范围 【详解】（1）由为幂函数知，得或 为偶函数 ∴当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去 所以 （2），令在上的最小值为 ①当，即时，，所以 又，所以a不存在； ②当，即时， 所以.又，所以 ③当，即时， 所以.又 所以. 综上可知，a的取值范围为 【点睛】本题考查了幂函数，并综合了偶函数、及根据不等式恒成立求参数范围，应用了分类讨论、函数的思想，属于较难的题 题型六　恒成立与含参综合（共3小题） 【知识积累】 恒成立：，；。 存在性：，；；量词不同，转化方向相反。 双变量：，，；若第二个量词也是“任意”，则改为 。 分离参数： 恒成立 ；分离时若除以含 的式子，先确定其符号；换元后在新变量范围内求最值。 易错：恒成立与存在混用；开区间上直接代端点；换元后范围扩大或缩小；求出参数后不回代检验等号能否取到。 【典例1】 30．（解答题） （26-27高三上·陕西渭南·期中） 已知函数，其中且． (1)设．若，求的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，根据求出的值，代入即可得出的值； （2）根据指数函数的单调性缩小的取值范围，将原式转化为，即可求出的取值范围. 【详解】（1）时，， 由得， . （2）当时，根据指数函数的性质，此时在单调递增， 即当时，的值域为，不符合条件； 当时，根据指数函数的性质，此时在单调递减， 当时，恒成立， 所以， 解得， ， ， 即实数的取值范围. 【典例2】 31．（解答题） （26-27高三上·河南南阳·阶段检测） 已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明：． 因为，所以． 又，所以，所以， 即，所以，即． 故． (2) 【分析】（1）计算出，并根据单调性比较出大小； （2）由基本不等式得到，从而得到，求出答案 【详解】（1）略 （2）． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以． 综上，的取值范围为． 【变式1】 32．（解答题） （26-27高三上·河北·阶段检测） 已知函数在区间上的最大值与最小值之差为． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)最小值为，；最大值为， 【分析】（1）根据题意求得，利用函数的单调性可得，求解即可； （2）利用换元法可求得函数的最值，进而可求得最值时对应的的值． 【详解】（1）当时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，解得或. 因为，所以， 当时，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 则，方程无解. 综上，； 因为在上单调递增，且，所以， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，，所以， 令，，则， 所以当时取得最小值为，则， 当时取得最大值为，则. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $