专题04 指数函数、对数函数与幂函数（6大易错点+典例分析+避错攻略+举一反三+易错通关）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题04 指数函数、对数函数与幂函数 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 对根式性质理解不到位出错 易错点2 忽略底数对指数函数性质的影响 易错点3 忽视对数式成立的条件而出错 易错点4 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 易错点5 利用换元法求值域遗忘范围 易钽点6 错判幂函数的性质 第二部分 易错题闯关 易错点1 对根式性质理解不到位出错 易错典题 【例1】(多选题)（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A：由（易错点），故A正确； 此选项求解时容易错写成 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则（易错点）， 注意对a分正、负数两种情况讨论 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 【错因分析】认为，等式子成立，从而造成错解. 知识混淆：混淆根式的性质和分数指数幂的运算律，未针对根指数n分奇数和偶数讨论求解. 概念模糊：对根式及分数指数幂的概念理解不清，导致思维存在漏洞. 望文生义：想当然认为，成立，从而造成错解. 避错攻略 【方法总结】(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同； (2) 分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变． 【知识链接】1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到: （1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时, 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 举一反三 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项：，，故A错误； 对于B选项：，故B错误； 对于C选项：，故C正确； 对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误. 故选：C 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 故选：BC. 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A选项，，A选项正确； B选项，，B选项错误； C选项，，C选项正确； D选项，，D选项正确. 故选：ACD 易错点2 忽略底数对指数函数性质的影响 易错典题 【例2】(2026山东泰安外国语学校月考)已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【.答案】 【解析】 当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时（易错点） 需对a分两种情况讨论：a>1或0<a<1， 函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时（易错点），函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 【错因分析】求解a的取值范围时，未对a与1的大小关系分类讨论. 知识混淆：a>1与0<a<1时，指数函数的单调性不同，从而导致值域也不同. 概念模糊：对分段函数的解题策略理解不够，从而造成错解. 望文生义：到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】若指数(型)函数的底数含参,则解题时要根据底数与1的大小关系进行分类讨论. 【知识链接】1 指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. 2底数对指数函数图像与性质的影响 （1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 举一反三 【变式2-1】（25-26高三·河北衡水·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由且，得为单调递减函数， 由复合函数单调性法则得， 又，解得． 故选：C． 【变式2-2】（24-25高三·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【答案】或 【解析】令，则，其对称轴为， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得. 综上，所以或. 故答案为：或 【变式2-3】（24-25·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 易错点3 忽视对数式成立的条件而出错 易错典题 【例3】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，（易错点） 忽视对数式的真数大于0而致错 解得， 【错因分析】本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错. 知识混淆：混淆一般不等式与对数不等式的解法，从而忽视了真数必须大于0这一隐含条件. 概念模糊：将对数不等式转化为普通不等式时的逻辑推导不清晰，未系统分析各对数真数是否在于0导致出错 望文生义：直接将对数不等式转化为普通不等式，而忽略了考虑真数的大小. 避错攻略 【方法总结】基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解. 【知识链接】1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 举一反三 【变式3-1】（25-26高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，故，解得， ，解得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【变式3-2】（25-26高三上·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数 设，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即函数为奇函数， 设，则， ，在上为增函数，而在上为增函数， 故在区间上为增函数， 又为增函数，所以在区间上为增函数， 不等式即为， 也即， 所以，解得. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高三上·河南·期中）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)求满足的x的取值范围. 【解析】（1）因为函数为奇函数，所以， 则， 即， 则. （2）由（1）知，， 由，解得，即函数的定义域为， 由，， 即， 即， 即， 则，解得， 又，则， 即x的取值范围为. 易错点4 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 易错典题 【例4】（25-26高三上·天津蓟州·月考）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 （易错点）， 注意在定义域范围内求单调区间 由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间是， 故选：C. 【错因分析】本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，从而导致求得的单调区间不在定义域范围内. 知识混淆：将复合函数的单调性与普通函数的单调性混淆. 概念模糊：对对数函数的单调性概念理解不够透彻，从而导致未先求定义域而致错. 望文生义：忽视定义域，凭直观求函数的单调区间，从而造成范围扩大化的错误. 避错攻略 【方法总结】因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识. 【知识链接】1.复合型函数单调性规律 若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 2.复合型函数单调性判断步骤 第一步：求函数的定义域 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 第四步：利用结论同增异减判断. 举一反三 【变式4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，，在定义域上为减函数， 又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，， 要使函数有意义，则， 又在上为减函数，在上的最小值为，即， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式4-3】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【解析】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C 易错点5 利用换元法求值域遗忘范围 易错典题 【例5】（2026江西南昌五中月考）若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 因为的值域为，在区间上单调递增 所以函数与轴有交点，即方程有实根， 所以，解得或①； 因为函数在区间单调递增， 且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正， 所以(易错点) 在区间内真数t的值不能为负数 解得②， 由①②可得，所以实数的取值范围是. 【错因分析】研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件. 知识混淆：将y=loga f(x)(a>0且a≠1)的值域与y= loga (x)的值域混淆. 概念模糊：未正确理解对数型复合函数值域的求法，从而导致思维受阻. 望文生义：遇到对数型复合函数时，想当然认为真数的范围为“真数大于0”，而忽视了真数还受真数表达式的影响，从而造成错误. 避错攻略 【方法总结】换元，将真数设为t，由x的范围求得t的范围，再求得复合函数的范围. 【知识链接】1.指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 2.对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。 （2）形如（，且）的函数的值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 举一反三 【变式5-1】（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 【变式5-2】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【解析】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·天津河西·月考）已知的值域为，则 ，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】， 【解析】因为 令，则， 由二次函数性质可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，， 所以，， 所以函数的值域为，即函数的值域为，故， 所以函数 由题意可知函数在区间上是减函数， 当时，，二次函数的对称轴为，在对称轴左侧单调递减， ，解得； 当时，，在时单调递减； 又，即； 综上，实数的取值范围是． 易错点6 错判幂函数的性质 易错典题 【例6】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称(易错题)， 忽略函数的定义域致错 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 【错因分析】对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.. 知识混淆：混淆幂指数为奇数、偶数时的性质，从而造成思维混乱. 概念模糊：幂函数幂指数不同，性质也不同，对幂函数性质理解模糊，从而造成错解. 望文生义：审题不清，从而导致思维混乱. 避错攻略 【方法总结】幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言. 【知识链接】1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 2.幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 举一反三 【变式6-1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【解析】幂函数，A选项错误； 定义域为，又因为，所以是偶函数，C选项错误； 幂函数，所以的值域为，D选项正确； 因为幂函数在上单调递增，所以，B选项错误. 故选：D. 【变式6-2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（   ） A．8 B．18 C．24 D．27 【答案】BC 【解析】由题意知，解得或； 当时，函数在上单调递增，符合题意； 当时，函数在上单调递减，不合题意； 因此， 由，可得, 因为函数在上单调递增，若，可得， 依题意可知，解得； 所以，即的值可能是18，24. 故选：BC 【变式6-3】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知幂函数在上单调递增，. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【解析】（1）由题意可知，，解得或， 又在上单调递增，所以，所以. （2）由（1）知，，所以，当时，， 即， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以时，，即函数的值域为. 一、单选题 1．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【解析】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误； 对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确； 对于：因为，所以，故错误. 故选：. 2．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 3．（25-26高三·江苏·假期作业）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【解析】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 4.（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 5．（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 要使函数（，且）的值域为， 则是函数的值域的子集，又时，， 所以，所以的范围是. 故选：D. 6．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 7．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 【答案】D 【解析】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在上是增函数，在上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故选：D 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 1、 多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. 10．（25-26高三上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 【答案】BC 【解析】对于A：因为，， 所以，则不是偶函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故B正确； 对于C：因为，所以，则，， 所以，即， 所以的值域为，故C正确； 对于D：因为，函数在上单调递增且， 又在上单调递增， 所以在R上是增函数，故D错误； 故选：BC 11.（25-26高三上·江西赣州·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D． 【答案】BCD 【解析】对于A,由 得且，所以的定义域为，故A 错误； 对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确 对于C，时，在单调递增，单调递增，在上单调递增，故C正确； 对于D， ,易得在单调递减，， 又，所以，故D正确. 故选：BCD. 2、 填空题 12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【解析】由题，整理得， 或，又， 所以，故 13．（25-26高三上·山东·期中）已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意知，得，解得或， 当时，为偶函数，不符合题意； 当时，为奇函数，符合题意． 作出其图像，如下， 由图像知，当，且递减； 当，且递减． 当，即时， 由，得， 解得，所以； 当，此时； 当，即时，根据， 所以不成立，故； 当时，即时，， 此时恒成立，所以； 综上所述：不等式的解集为. 14．（25-26高三上·北京大兴·月考）设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 . 【答案】 0（答案不唯一） / 【解析】要使的值域为，令，则能取遍内的所有值， 因此，解得或， 故若的值域为，则a的一个取值可以为0， 若值域为且在上是增函数，则需满足，解得或， 故的值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为， 故答案为：0（答案不唯一）， 3、 解答题 15．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象. (1)求函数的解析式，并求函数的值域； (2)设，解关于的不等式：. 【解析】（1）因为是上的幂函数，所以，解得或， 又是偶函数，所以，所以， 所以. 因为的值域为，函数在上单调递增， 所以的值域为. （2）由（1），即，可化为， 若，则解得或；若，解得；若，解得或； 综上，若，则不等式的解集为；若，则不等式解集为；若，则不等式的解集为. 16．（25-26高三上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. (1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. (2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. (3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）的定义域为，且， ， ， ，， 函数是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1； （2）是上的“级类周期函数”，类周期， ，， 当时，， 当时，，，， ，， 即， 当时，，，， ，， 即， 当时，，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在上严格单调递增， ，，实数的取值范围为； （3）是上的“1级类周期函数”，类周期， ， 假设存在非零实数，使得是上的“级类周期函数”， 且类周期为，即对于任意的，恒有， 中存在唯一，使为函数的最大值，， 则对于任意的，恒有成立， 即对于任意的，恒有成立， ，，， ，， ，， 由函数有界性可知，此等式不成立， 故不存在这样的值，符合题意. 17．（25-26高三上·山东东营·期末）已知函数的定义域为，对于，不等式的解集为. (1)若，，求； (2)证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意的，都有”； (3)已知，对于任意的，，不等式的解集为，不等式的解集为，当，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，，所以即为，解得，所以. （2）必要性：若“函数是偶函数”， 则“对任意的，都有”. 因为函数是偶函数，所以，若，即， 因为，所以， 即，所以，得证； 充分性：若“对任意的，都有”，则“函数是偶函数”. 因为对，不等式， 又任意的，都有，所以， 所以同理对，不等式， 又任意的，都有，所以， 所以对，，即对，， 即函数是偶函数. （3）因为，都有，即当，则， 即若，则，所以， 所以在上不存在单调递增区间， 因为，所以恒成立， 当时，显然成立，所以. 当时，恒成立，令，， 故为单调递减函数，所以，则； 当时，，令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. 综上，，即的取值范围为. 18．（2026·云南大理·二模）已知函数． (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)当时，证明：若，，则．（参考数据：，，） 【解析】（1）由题设，则，故定义域为． （2）由，则有，， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故，解得． （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， ①当，，当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，所以； ②当，，， 故，使， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以， 由①②得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数、对数函数与幂函数 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 对根式性质理解不到位出错 易错点2 忽略底数对指数函数性质的影响 易错点3 忽视对数式成立的条件而出错 易错点4 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 易错点5 利用换元法求值域遗忘范围 易钽点6 错判幂函数的性质 第二部分 易错题闯关 易错点1 对根式性质理解不到位出错 易错典题 【例1】(多选题)（25-26高三上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A：由（易错点），故A正确； 此选项求解时容易错写成 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则（易错点）， 注意对a分正、负数两种情况讨论 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 【错因分析】认为，等式子成立，从而造成错解. 知识混淆：混淆根式的性质和分数指数幂的运算律，未针对根指数n分奇数和偶数讨论求解. 概念模糊：对根式及分数指数幂的概念理解不清，导致思维存在漏洞. 望文生义：想当然认为，成立，从而造成错解. 避错攻略 【方法总结】(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同； (2) 分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变． 【知识链接】1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到: （1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时, 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 举一反三 【变式1-1】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（25-26高三上·黑龙江绥化·月考）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（25-26高三上·吉林·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 易错点2 忽略底数对指数函数性质的影响 易错典题 【例2】(2026山东泰安外国语学校月考)已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【.答案】 【解析】 当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时（易错点） 需对a分两种情况讨论：a>1或0<a<1， 函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时（易错点），函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 【错因分析】求解a的取值范围时，未对a与1的大小关系分类讨论. 知识混淆：a>1与0<a<1时，指数函数的单调性不同，从而导致值域也不同. 概念模糊：对分段函数的解题策略理解不够，从而造成错解. 望文生义：到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析. 避错攻略 【方法总结】若指数(型)函数的底数含参,则解题时要根据底数与1的大小关系进行分类讨论. 【知识链接】1 指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. 2底数对指数函数图像与性质的影响 （1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 举一反三 【变式2-1】（25-26高三·河北衡水·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高三·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【变式2-3】（24-25·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 易错点3 忽视对数式成立的条件而出错 易错典题 【例3】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，（易错点） 忽视对数式的真数大于0而致错 解得， 【错因分析】本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错. 知识混淆：混淆一般不等式与对数不等式的解法，从而忽视了真数必须大于0这一隐含条件. 概念模糊：将对数不等式转化为普通不等式时的逻辑推导不清晰，未系统分析各对数真数是否在于0导致出错 望文生义：直接将对数不等式转化为普通不等式，而忽略了考虑真数的大小. 避错攻略 【方法总结】基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解. 【知识链接】1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 举一反三 【变式3-1】（25-26高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（25-26高三上·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·河南·期中）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)求满足的x的取值范围. 易错点4 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 易错典题 【例4】（25-26高三上·天津蓟州·月考）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 （易错点）， 注意在定义域范围内求单调区间 由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间是， 故选：C. 【错因分析】本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，从而导致求得的单调区间不在定义域范围内. 知识混淆：将复合函数的单调性与普通函数的单调性混淆. 概念模糊：对对数函数的单调性概念理解不够透彻，从而导致未先求定义域而致错. 望文生义：忽视定义域，凭直观求函数的单调区间，从而造成范围扩大化的错误. 避错攻略 【方法总结】因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识. 【知识链接】1.复合型函数单调性规律 若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 2.复合型函数单调性判断步骤 第一步：求函数的定义域 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 第四步：利用结论同增异减判断. 举一反三 【变式4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 易错点5 利用换元法求值域遗忘范围 易错典题 【例5】（2026江西南昌五中月考）若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 因为的值域为，在区间上单调递增 所以函数与轴有交点，即方程有实根， 所以，解得或①； 因为函数在区间单调递增， 且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正， 所以(易错点) 在区间内真数t的值不能为负数 解得②， 由①②可得，所以实数的取值范围是. 【错因分析】研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件. 知识混淆：将y=loga f(x)(a>0且a≠1)的值域与y= loga (x)的值域混淆. 概念模糊：未正确理解对数型复合函数值域的求法，从而导致思维受阻. 望文生义：遇到对数型复合函数时，想当然认为真数的范围为“真数大于0”，而忽视了真数还受真数表达式的影响，从而造成错误. 避错攻略 【方法总结】换元，将真数设为t，由x的范围求得t的范围，再求得复合函数的范围. 【知识链接】1.指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 2.对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。 （2）形如（，且）的函数的值域 借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 举一反三 【变式5-1】（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式5-3】（多选）（25-26高三上·天津河西·月考）已知的值域为，则 ，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 易错点6 错判幂函数的性质 易错典题 【例6】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称(易错题)， 忽略函数的定义域致错 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 【错因分析】对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.. 知识混淆：混淆幂指数为奇数、偶数时的性质，从而造成思维混乱. 概念模糊：幂函数幂指数不同，性质也不同，对幂函数性质理解模糊，从而造成错解. 望文生义：审题不清，从而导致思维混乱. 避错攻略 【方法总结】幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言. 【知识链接】1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 2.幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 举一反三 【变式6-1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【变式6-2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（   ） A．8 B．18 C．24 D．27 【变式6-3】（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知幂函数在上单调递增，. (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 1、 单选题 1．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 2．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 3．（25-26高三·江苏·假期作业）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 7．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 11.（25-26高三上·江西赣州·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递增 D． 3、 填空题 12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 13．（25-26高三上·山东·期中）已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为 . 14．（25-26高三上·北京大兴·月考）设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 . 4、 解答题 15．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象. (1)求函数的解析式，并求函数的值域； (2)设，解关于的不等式：. 16．（25-26高三上·上海·期末）已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. (1)已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. (2)已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. (3)已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 17．（25-26高三上·山东东营·期末）已知函数的定义域为，对于，不等式的解集为. (1)若，，求； (2)证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意的，都有”； (3)已知，对于任意的，，不等式的解集为，不等式的解集为，当，都有，求实数的取值范围. 18．（2026·云南大理·二模）已知函数． (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)当时，证明：若，，则．（参考数据：，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $