专题 4.2 平行线 （高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题 4.2 平行线 教学目标 1.理解平行线的概念，会用符号表示两直线平行。 2.掌握平行线的基本事实I及其推论，能用三角板和直尺过直线外一点画这条直线的平行线。 3.探索并证明平行线的三个判定定理，能运用判定定理判定两直线平行。 4.掌握平行线的三个性质，并能综合运用判定和性质进行简单的推理和计算。 教学重难点 1.重点 （1）平行线的概念、画法与基本事实 （2）平行线的三个判定定理 （3）平行线的三个性质定理 2.难点 （1）区分平行线的判定与性质，正确书写推理过程 （2）综合运用判定与性质进行多步推理 （3）遇“拐点”问题添加辅助平行线 知识点01：平行线的概念与表示 1.定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 2.表示：直线与直线互相平行，记作；也可记作，读作“平行于”。 3.同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行。 4.注意：两条线段或射线平行，是指它们所在的直线互相平行；说两直线平行必须强调“在同一平面内”。 【即学即练】 1．如图，在同一平面内，直线和直线的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．不相交 D．无法确定 知识点02：平行线的画法与基本事实 1.三角板直尺画法（四步）：一落（三角板一边落在已知直线上）；二靠（直尺紧靠三角板另一边）；三推（沿直尺推动三角板，使过已知点）；四画（沿三角板过已知点的边画直线）。 2.尺规作平行线：构造一对相等的同位角，依据“同位角相等，两直线平行”作图。 3.基本事实I：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（存在且唯一）。 4.推论（平行线的传递性）：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若，，则。 【即学即练】 1．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 知识点03：平行线的判定 判定 条件（角的关系） 结论与符号语言 图例 判定1 同位角相等 两直线平行；若，则 判定2 内错角相等 两直线平行；若，则 判定3 同旁内角互补 两直线平行；若，则 补充 在同一平面内，垂直于同一条直线 两直线平行；若，，则 说明：判定是由“角的数量关系”推出“直线的位置关系”，即由角定线。 【即学即练】 1．如图，下列所给的条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 知识点04：平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图例 性质1 两直线平行，同位角相等 若，则 性质2 两直线平行，内错角相等 若，则 性质3 两直线平行，同旁内角互补 若，则 注意：只有被截的两条直线平行时，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补才成立。 【即学即练】 1．如图，，则的度数是___________度． 知识点05：平行线的判定与性质的区别与综合 1.区别：判定是由“角的数量关系”得到“直线的位置关系”（由角定线）；性质是由“直线的位置关系”得到“角的数量关系”（由线定角）。 2.联系：两者的条件和结论恰好相反，常在同一推理中交替使用。 3.综合应用思路：先由已知角的关系判定平行，再由平行得到新的角的关系，反复推导求角或证平行。 【即学即练】 1．如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型01 平行线基本事实I及推论的应用 过直线外一点只能画一条平行线（唯一性）；若，，则（传递性）。 【典例1】. （25-26七年级下·江西南昌·期末）已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 【变式1】. （25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列说法中正确的个数有（     ）． ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一直线的两条直线互相平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】. （25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 【变式3】. （25-26七年级下·广西防城港·期末）已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 题型02 同位角相等，判定两直线平行 先找出图中的同位角，再由已知推得，依据判定1得平行。 【典例2】. （25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知A，B是直线上两点，，，，求证：． 【变式1】. （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）木工师傅用图中的角尺画平行线，其中的数学道理是________． 【变式2】. （25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，得到，．这种作法的依据是______角相等，两直线平行． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，直线与平行吗？ 题型03 内错角相等，判定两直线平行 利用对顶角、角平分线、等量代换把已知角转化为相等的一对内错角。 【典例3】. （25-26七年级下·四川成都·期中）在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点B作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以B为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是______． 【变式1】. （25-26七年级下·河北保定·期末）数学课上，夕夕同学将一副直角三角板按如图所示摆放，，，测量．猜想与的位置关系，并请说明理由． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知于点A，于点B，、分别为、内的射线，且，请问与平行吗？为什么？ 【变式3】. （25-26七年级下·福建龙岩·期末）如图，在直线、、、中，，，求证： ．补充完成下列证明过程及依据． 证明：（已知）， ① （邻补角定义）， （同角的补角相等）． （已知）， ∴② （③ ）． （④ ）． 题型04 同旁内角互补，判定两直线平行 把已知条件转化为一对同旁内角的和为，依据判定3得平行。 【典例4】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线、被直线所截，交于点，，，试说明． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 【变式2】. （25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知：，求证：； 【变式3】. （25-26七年级下·北京顺义·期末）完成下面证明： 已知：如图，于点E，于点F． 求证：． 证明：， ________（________）（填推理的依据）． ， ． ________． （________）（填推理的依据）． 题型05 垂直于同一直线的两直线平行 在同一平面内，若两直线都垂直于第三条直线，则这两条直线平行；注意前提是“同一平面内”。 【典例5】. （25-26七年级下·四川成都·期末）如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面内，直线、均与直线垂直，点D、F为垂足．试判断与是否平行． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，点E、F分别在线段、上，连接，，那么与平行吗？为什么？ 【变式3】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． (3)在同一平面内，现在有2027条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 题型06 平行线的画法 三角板直尺按“一落、二靠、三推、四画”操作；尺规作图靠构造相等同位角实现。 【典例6】. （25-26七年级下·云南昆明·期末）过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列语句，利用所给画出图形． (1)过的顶点C，画出平行于的直线； (2)过的边的中点D，画出平行于的直线，交于点E． 【变式2】. （25-26七年级下·北京密云·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，线段与直线交于点． (1)按要求完成下列作图． ①过点作直线； ②过点作的垂线，垂足为． (2)线段________线段（填“>”“<”或“=”），依据是______________________________． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知，请用直尺和三角尺画出图形． (1)过点A画的垂线段，垂足为D； (2)过点A画的平行线，记作； (3)连接，判断线段中最短的是：______，理由是：________． 题型07 两直线平行，同位角相等 先由已知得两直线平行，再由性质1把平行转化为同位角相等，结合对顶角、平角求值。 【典例7】. （2026·江苏南通·中考真题）如图，直线，，则的度数为________． 【变式1】. （26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，直线，直线分别交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，，，则．请将下列过程补充完整： 解：已知， 根据_________，得_________． 因为， 所以_________（等量代换）． 又根据_________， 可得． 【变式3】. （25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 题型08 两直线平行，内错角相等 由平行得内错角相等，再配合角平分线、三角形内角和进行角的计算与推理。 【典例8】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，，连接、．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，在三角形中，点、分别在边、上，过点作，连接、，平分，，求证：． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线、被直线所截，，连接，点在直线上，点在直线上，连接，点在线段上，连接，． (1)试说明：； (2)与相等吗？为什么？ 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． (1)与是否平行？请说明理由． (2)若，，求的度数． 题型09两直线平行，同旁内角互补 由平行得同旁内角互补，建立角的和差关系；注意区分哪两条平行线被哪条直线所截。 【典例9】. （25-26七年级下·云南德宏·期末）如图，直线，是截线，若 ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，交于点O， ，若，则的度数是______度． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线，连接，点在上，过点作射线，点、在上，连接、，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】. （25-26七年级下·吉林·期末）把下面的推理过程补充完整． 如图，点E，F分别在，上，于点O，． 求证：． 证明：（已知）， ______________（______________）． （已知）， ______________（________________________）， ∴______________（________________________）， ． 题型10 平行线的判定与性质的综合运用 先判定后性质、或先性质再判定，交替推导；每一步都要写清依据（判定还是性质）。 【典例10】. （25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，已知，连接，点在的延长线上，平分． 【问题提出】 (1)如图1，若，求的度数； 【问题初探】 (2)如图2，过点作，射线在的内部，判断与的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 (3)如图3，平分，，射线在的下方，求证：． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，点E，F分别是线段上的点，连接与分别交于点G，H．已知． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【变式2】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，A，F，B三点共线，连接与相交于点E． (1)试说明：； (2)若，，，求的度数． 【变式3】. （2026七年级上·全国·专题练习）一副直角三角板和，其中，，，． (1)如图1，其中直角顶点C与F重合，点B落在上，则________°． (2)如图2，将三角尺沿的方向平移，使得点B在上．则_______°． (3)如图3，将图1中的三角尺绕点C转动，使一边恰好平分，与相交于点H，求的度数． 题型11 平行线中的“拐点”问题 过拐点作已知直线的平行线，把一个大角拆成几个角，利用两直线平行内错角相等或同旁内角互补求和。 【典例11】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）空竹在我国有悠久的历史，图1是运动员抖空竹时某一时刻的姿势，其示意图如图2所示，其中，，，请你求出的度数． 【变式1】. （24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）劳动课正式成为义务教育阶段必修课程，小明在劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作，他用铁丝弯折得到如下的形状 (1)如图1，已知，，若，求的度数； (2)若将铁丝弯折成如图2所示形状，若，说明：； (3)再拿出另外一根铁丝弯折成，与如图2中的铁丝叠放成如图3的形状，当，仍有，且，求的度数 【变式3】. （21-22七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，，点在直线，之间，连接，． (1)如图1，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是射线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数． 题型12 平行线中的旋转与动点探究 抓住旋转前后角的不变量，把“何时平行”转化为“何时满足判定条件（角相等或互补）”，列方程求角度或判断存在性。 【典例12】. （24-25七年级下·广西钦州·期末）老师让同学们借助两条平行线、和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板，中，，，． (1)若，如图摆放时，则的度数为_____； (2)若图中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，分别作和的角平分线相交于点（如图），求的度数； (3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）已知直线，在三角形纸板中， (1)【初步探究】将按如图1放置，点E和点G分别在直线，上，若，求的度数； (2)【深入探究】将按如图2放置，点E和点G分别在直线，上，交于点H．若，，试求，之间的数量关系； (3)【拓展应用】在图2中，若 ， ，将绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当两条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出结论即可）． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么； 【拓展探究】 (1)如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，的度数为 ； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 (2)如图3，在图1基础上，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，试探究：在旋转的过程中，当三角板的一条边与三角板的一条边平行时，请直接写出符合条件的的值． 【变式3】. （25-26七年级下·福建福州·期中）已知直线直线，点A，点B在直线上，点C，点D在直线上，且点C在点D的左侧．，平分． (1)如图1，点B在点A的左侧．现将射线绕点B以每秒的速度逆时针旋转t秒至 ①当且射线与射线垂直时，____秒； ②当且射线与射线平行时，____秒； (2)如图2，点B在点A的左侧．连接，若（），平分，，所在直线交于点E，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将（2）中线段向右平移，使得点B在点A的右侧，此时为钝角，其他条件不变，请求此时与的数量关系． 一、单选题 1．如图，直线、被直线、所截，，，则的度数（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线分别与直线，相交于点，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图：，且，则的度数是_____． 5．如图，已知，，则______________． 6．如图，已知，一含的直角三角板如图放置，两个顶点恰好在这组平行线上．若，则__________． 三、解答题 7．如图，已知，，试说明． 8．如图，已知直线，，连接，，点E是直线，之间的一点，连接，且，，求证：． 9．如图，点O在直线上，，与互余，F是上一点，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 10．完成下面的证明： 已知：如图，，、分别是、的角平分线，求证：． 证明：， （_________）． ． 、分别是、的角平分线， ，（_________）． ． ______________（_________）． （_________）． 1．中华武术源远流长，如图①为某运动员比赛时的照片，把图①抽象成如图②所示的图形，伸展的手臂与水平地面平行，躯干与手臂的夹角，与大腿的夹角，小腿与水平地面的夹角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，点O在上，过点O作于点G，连接，平分，过点O作，若，则下列结论：①；②平分；③；④，其中所有正确结论的序号是__________． 3．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且． (1)若边与三角板的直角边平行，且在上方时，t的值为_________． (2)若边与三角板的另一直角边平行时，求t的值为 ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 平行线 教学目标 1.理解平行线的概念，会用符号表示两直线平行。 2.掌握平行线的基本事实I及其推论，能用三角板和直尺过直线外一点画这条直线的平行线。 3.探索并证明平行线的三个判定定理，能运用判定定理判定两直线平行。 4.掌握平行线的三个性质，并能综合运用判定和性质进行简单的推理和计算。 教学重难点 1.重点 （1）平行线的概念、画法与基本事实 （2）平行线的三个判定定理 （3）平行线的三个性质定理 2.难点 （1）区分平行线的判定与性质，正确书写推理过程 （2）综合运用判定与性质进行多步推理 （3）遇“拐点”问题添加辅助平行线 知识点01：平行线的概念与表示 1.定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 2.表示：直线与直线互相平行，记作；也可记作，读作“平行于”。 3.同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行。 4.注意：两条线段或射线平行，是指它们所在的直线互相平行；说两直线平行必须强调“在同一平面内”。 【即学即练】 1．如图，在同一平面内，直线和直线的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．不相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线的位置关系判定解答即可； 【详解】解：根据题意，得两直线相交； 知识点02：平行线的画法与基本事实 1.三角板直尺画法（四步）：一落（三角板一边落在已知直线上）；二靠（直尺紧靠三角板另一边）；三推（沿直尺推动三角板，使过已知点）；四画（沿三角板过已知点的边画直线）。 2.尺规作平行线：构造一对相等的同位角，依据“同位角相等，两直线平行”作图。 3.基本事实I：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（存在且唯一）。 4.推论（平行线的传递性）：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若，，则。 【即学即练】 1．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 知识点03：平行线的判定 判定 条件（角的关系） 结论与符号语言 图例 判定1 同位角相等 两直线平行；若，则 判定2 内错角相等 两直线平行；若，则 判定3 同旁内角互补 两直线平行；若，则 补充 在同一平面内，垂直于同一条直线 两直线平行；若，，则 说明：判定是由“角的数量关系”推出“直线的位置关系”，即由角定线。 【即学即练】 1．如图，下列所给的条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不能得到直线，不符合题意； B、，不能得到直线，不符合题意； C、，不能得到直线，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，能判断直线，符合题意. 知识点04：平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图例 性质1 两直线平行，同位角相等 若，则 性质2 两直线平行，内错角相等 若，则 性质3 两直线平行，同旁内角互补 若，则 注意：只有被截的两条直线平行时，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补才成立。 【即学即练】 1．如图，，则的度数是___________度． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 知识点05：平行线的判定与性质的区别与综合 1.区别：判定是由“角的数量关系”得到“直线的位置关系”（由角定线）；性质是由“直线的位置关系”得到“角的数量关系”（由线定角）。 2.联系：两者的条件和结论恰好相反，常在同一推理中交替使用。 3.综合应用思路：先由已知角的关系判定平行，再由平行得到新的角的关系，反复推导求角或证平行。 【即学即练】 1．如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（）由平行线的判定可证，得到，进而得到，即可求证； （）利用平行线的性质解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 题型01 平行线基本事实I及推论的应用 过直线外一点只能画一条平行线（唯一性）；若，，则（传递性）。 【典例1】. （25-26七年级下·江西南昌·期末）已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ∵，， ∴. 【变式1】. （25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列说法中正确的个数有（     ）． ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一直线的两条直线互相平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平面几何中垂线、平行公理、平行线推论、点到直线距离的相关概念，逐一判断每个说法的正误即可得到结果． 【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，说法正确； ②只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误； ③平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行线的基本推论，说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度才叫做点到直线的距离，原说法混淆了垂线段和距离的概念，错误； 综上，正确的说法有①③，共有2个． 【变式2】. （25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【详解】解：是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式3】. （25-26七年级下·广西防城港·期末）已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】平行线的基本性质，即平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且题目中三条直线两两互不重合， 又∵，， ∴． 题型02 同位角相等，判定两直线平行 先找出图中的同位角，再由已知推得，依据判定1得平行。 【典例2】. （25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知A，B是直线上两点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【分析】先得出，进而可得，再根据同位角相等，两直线平行即可得证． 【详解】略． 【变式1】. （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）木工师傅用图中的角尺画平行线，其中的数学道理是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】结合图示，根据“同位角相等，两直线平行”可得答案． 【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 【变式2】. （25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，得到，．这种作法的依据是______角相等，两直线平行． 【答案】同位 【分析】明确平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：已知，得出， 因此，这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，直线与平行吗？ 【答案】直线与平行 【分析】由平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如图， ，， ， ． 题型03 内错角相等，判定两直线平行 利用对顶角、角平分线、等量代换把已知角转化为相等的一对内错角。 【典例3】. （25-26七年级下·四川成都·期中）在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点B作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以B为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴根据内错角相等，两直线平行，得出． 【变式1】. （25-26七年级下·河北保定·期末）数学课上，夕夕同学将一副直角三角板按如图所示摆放，，，测量．猜想与的位置关系，并请说明理由． 【答案】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【详解】略． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知于点A，于点B，、分别为、内的射线，且，请问与平行吗？为什么？ 【答案】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据垂线的定义得到，则可证明，据此可证明． 【详解】略 【变式3】. （25-26七年级下·福建龙岩·期末）如图，在直线、、、中，，，求证： ．补充完成下列证明过程及依据． 证明：（已知）， ① （邻补角定义）， （同角的补角相等）． （已知）， ∴② （③ ）． （④ ）． 【答案】；；等式的基本事实；内错角相等，两直线平行 【分析】由已知及邻补角的定义得到同角的补角相等，即，再由等式的基本事实得到，即可通过内错角相等，两直线平行判定． 【详解】证明：（已知）， （邻补角定义）， （同角的补角相等）． （已知）， ∴（等式的基本事实）． （内错角相等，两直线平行）． 题型04 同旁内角互补，判定两直线平行 把已知条件转化为一对同旁内角的和为，依据判定3得平行。 【典例4】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线、被直线所截，交于点，，，试说明． 【答案】解： ，， . ， ， ． 【分析】根据对顶角和已知条件求出度数，再结合已知条件和同旁内角互补，两直线平行，即可证明． 【详解】略 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，解答即可． 【详解】解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式2】. （25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知：，求证：； 【答案】见解析 【分析】由对顶角相等可得，再根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·北京顺义·期末）完成下面证明： 已知：如图，于点E，于点F． 求证：． 证明：， ________（________）（填推理的依据）． ， ． ________． （________）（填推理的依据）． 【答案】；垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据垂直的定义得到，，计算得到两个同旁内角的和为，再利用平行线的判定定理证明结论． 【详解】证明： ∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 题型05 垂直于同一直线的两直线平行 在同一平面内，若两直线都垂直于第三条直线，则这两条直线平行；注意前提是“同一平面内”。 【典例5】. （25-26七年级下·四川成都·期末）如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和推论依次判断即可． 【详解】解：选项A：两个横板与竖板形成的同位角都是，符合同位角相等，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项B：两个横板与竖板形成的同旁内角和为，符合同旁内角互补，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项C：“过一点，有且只有一条直线与已知直线平行”的前提是这个点在已知直线外，且该定理描述的是过定点作平行线的唯一性，并不是这个工具画出两条平行线的依据，解释不合理，符合题意； 选项D：两个横板都垂直于同一条竖板，符合同一平面内垂直于同一直线的两直线平行的原理，解释合理，不符合题意． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面内，直线、均与直线垂直，点D、F为垂足．试判断与是否平行． 【答案】 【分析】题目已知直线、均与直线垂直，利用垂直定义得出角度关系，即，，观察图形可知，这两个角是直线、被直线所截形成的同位角，根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”即可证明直线平行． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，点E、F分别在线段、上，连接，，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先根据垂直得到，再根据得到，最后根据平行公理得到． 【详解】略 【变式3】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． (3)在同一平面内，现在有2027条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 【答案】(1) 解：，理由， ∵，， ∴， ∴， (2)⊥； (3)⊥． 【分析】（）根据平行线的判定定理求解； （）根据（）的结论及平行公理推理； （）根据（）的结论及平行公理推理． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图， 由（）（）可知，，，；，， ∴与下标为偶数的直线垂直，与下标为奇数的直线平行， ∵下标为偶数， ∴⊥， 故答案为：⊥． 题型06 平行线的画法 三角板直尺按“一落、二靠、三推、四画”操作；尺规作图靠构造相等同位角实现。 【典例6】. （25-26七年级下·云南昆明·期末）过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列语句，利用所给画出图形． (1)过的顶点C，画出平行于的直线； (2)过的边的中点D，画出平行于的直线，交于点E． 【答案】(1)解：画图如下： (2)解：画图如下： 【分析】（1）利用三角尺，根据平行线的判定，画图即可； （2）先确定边的中点D，根据平行线的判定，画图即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【变式2】. （25-26七年级下·北京密云·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，线段与直线交于点． (1)按要求完成下列作图． ①过点作直线； ②过点作的垂线，垂足为． (2)线段________线段（填“>”“<”或“=”），依据是______________________________． 【答案】(1)解：①如图所示，即为所求； ②如图所示即为所求； (2)线段 线段，依据是垂线段最短． 【分析】（1）①根据题意作图即可；②根据题意作图即可； （2）根据垂线段最短即可得出结果 【详解】（1）略 （2）理由如下： ∵， ∴，依据是垂线段最短． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知，请用直尺和三角尺画出图形． (1)过点A画的垂线段，垂足为D； (2)过点A画的平行线，记作； (3)连接，判断线段中最短的是：______，理由是：________． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂线段的作法，过点画的垂线即可； （2）根据平行线的作法，过点画即可； （3）过点A作的垂线，垂足为点D，找出中最短的线段即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， 线段，，中最短的是，理由是：垂线段最短． 题型07 两直线平行，同位角相等 先由已知得两直线平行，再由性质1把平行转化为同位角相等，结合对顶角、平角求值。 【典例7】. （2026·江苏南通·中考真题）如图，直线，，则的度数为________． 【答案】/55度 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】. （26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，直线，直线分别交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据“两直线平行，同位角相等”可得，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如下图， ∵ ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，，，则．请将下列过程补充完整： 解：已知， 根据_________，得_________． 因为， 所以_________（等量代换）． 又根据_________， 可得． 【答案】已知， 根据两直线平行，同位角相等，得． 因为， 所以（等量代换）． 又根据同位角相等，两直线平行， 可得． 【分析】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行． 【详解】略． 【变式3】. （25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）先根据垂直关系得到，结合已知计算出的度数，再利用两直线平行，内错角相等，得到的结果； （）根据射线的位置分两种情况讨论（在内部、在外部），再结合平行线的性质计算对应角度． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ． （2）解：当在内部时， ， ， ； 当在外部时， ， ， 或． 题型08 两直线平行，内错角相等 由平行得内错角相等，再配合角平分线、三角形内角和进行角的计算与推理。 【典例8】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，，连接、．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线平行得内错角相等，再代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，在三角形中，点、分别在边、上，过点作，连接、，平分，，求证：． 【答案】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】由角平分线的定义得，由得，得，再证明，故可得结论． 【详解】略 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线、被直线所截，，连接，点在直线上，点在直线上，连接，点在线段上，连接，． (1)试说明：； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由等角的补角相等得出，即可得出． （2）由平行线的性质得出，，等量代换可得出． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． (1)与是否平行？请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（）先由平行得出内错角与相等，结合已知等于等量代换得到和相等，最后依据同位角相等判定平行； （）先利用角平分线求出度数，再根据两直线平行同旁内角互补算出，结合已知相等角得到，最后相加求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型09两直线平行，同旁内角互补 由平行得同旁内角互补，建立角的和差关系；注意区分哪两条平行线被哪条直线所截。 【典例9】. （25-26七年级下·云南德宏·期末）如图，直线，是截线，若 ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线， ， ， ． 【变式1】. （25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，交于点O， ，若，则的度数是______度． 【答案】 【分析】根据对顶角相等及平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线，连接，点在上，过点作射线，点、在上，连接、，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）由内错角相等，两直线平行，得出，结合题意即可得证； （2）两直线平行，同旁内角互补，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·吉林·期末）把下面的推理过程补充完整． 如图，点E，F分别在，上，于点O，． 求证：． 证明：（已知）， ______________（______________）． （已知）， ______________（________________________）， ∴______________（________________________）， ． 【答案】 证明：；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】利用平行的判定和性质，即可得到答案． 【详解】略 题型10 平行线的判定与性质的综合运用 先判定后性质、或先性质再判定，交替推导；每一步都要写清依据（判定还是性质）。 【典例10】. （25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，已知，连接，点在的延长线上，平分． 【问题提出】 (1)如图1，若，求的度数； 【问题初探】 (2)如图2，过点作，射线在的内部，判断与的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 (3)如图3，平分，，射线在的下方，求证：． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ，即， 平分， ． ， ． ， ． (3)证明： ， ， 平分，平分， ，． ， ， ， ，即， ． 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，可得； （2）由垂直定义得到，进而得到，根据角平分线定义证得，由此推出，再利用平行线的性质得到； （3）根据平行线的性质及角平分线的性质得到，进而得到，即，即可证得 ． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ． （2）略 （3）略 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，点E，F分别是线段上的点，连接与分别交于点G，H．已知． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）根据已知条件证明即可得到结论； （2）证明 ，可得 ，结合 ，进一步可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，A，F，B三点共线，连接与相交于点E． (1)试说明：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由，根据两直线平行，同位角相等得到，再结合得到，根据内错角相等两直线平行即可证明； （2）由已知得到，根据同旁内角互补，两直线平行，得到，再根据两直线平行，同位角相等得到，再由，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】. （2026七年级上·全国·专题练习）一副直角三角板和，其中，，，． (1)如图1，其中直角顶点C与F重合，点B落在上，则________°． (2)如图2，将三角尺沿的方向平移，使得点B在上．则_______°． (3)如图3，将图1中的三角尺绕点C转动，使一边恰好平分，与相交于点H，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角板度数求解即可； （2）由已知条件可得，，所以，再根据三角板的度数求解即可； （3）由题意可证，则题目可解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：如图2，由已知可得，， ， 又， ； （3）解：平分，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 题型11 平行线中的“拐点”问题 过拐点作已知直线的平行线，把一个大角拆成几个角，利用两直线平行内错角相等或同旁内角互补求和。 【典例11】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）空竹在我国有悠久的历史，图1是运动员抖空竹时某一时刻的姿势，其示意图如图2所示，其中，，，请你求出的度数． 【答案】 【分析】过点A作，则，根据平行线的性质和角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】. （24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，过点向右作， ∴（内错角相等）， ∵， ∴， ∴（内错角相等）， ∵， ∴． (2)如上图，过点向右作， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】（1）过点向右作，根据平行线内错角相等的性质，将和替换为内的角即可证明． （2）过点向右作，根据平行线同旁内角互补的性质，将拆分为和，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）劳动课正式成为义务教育阶段必修课程，小明在劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作，他用铁丝弯折得到如下的形状 (1)如图1，已知，，若，求的度数； (2)若将铁丝弯折成如图2所示形状，若，说明：； (3)再拿出另外一根铁丝弯折成，与如图2中的铁丝叠放成如图3的形状，当，仍有，且，求的度数 【答案】(1) (2)解：过D作，过C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 又， ∴； (3) 【分析】（1）由平行线的性质及已知即可求得结果； （2）过D作，过C作，由平行线的判定与性质即可证得； （3）利用（2）中得到的结论，结合已知即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）中的结论，得， ∵，， ∴． ∵，， ∴，，， ∴， 同理可得， ∴． 【变式3】. （21-22七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，，点在直线，之间，连接，． (1)如图1，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是射线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）先作，从而根据平行线的性质可得到，根据平行线的性质可得，进而得出结论； （2）先作，再设，，接着得出，再结合角平分线的意义求解． 【详解】（1）解：， 理由：过点作，如图， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：过点作，如图， 设，， 由（1）得， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 即， 解得：，即． 题型12 平行线中的旋转与动点探究 抓住旋转前后角的不变量，把“何时平行”转化为“何时满足判定条件（角相等或互补）”，列方程求角度或判断存在性。 【典例12】. （24-25七年级下·广西钦州·期末）老师让同学们借助两条平行线、和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板，中，，，． (1)若，如图摆放时，则的度数为_____； (2)若图中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，分别作和的角平分线相交于点（如图），求的度数； (3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （2）分别过点作，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，分别过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为每秒转， 分三种情况： 当时，如图，，即 此时， ∴，即，解得：； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ③当时，如图， 延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）已知直线，在三角形纸板中， (1)【初步探究】将按如图1放置，点E和点G分别在直线，上，若，求的度数； (2)【深入探究】将按如图2放置，点E和点G分别在直线，上，交于点H．若，，试求，之间的数量关系； (3)【拓展应用】在图2中，若 ， ，将绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当两条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出结论即可）． 【答案】(1) (2) (3)1或4或7或10 【分析】（1）过点作,进而根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质以及邻补角的关系转化即可； （3）分类讨论，①当时，根据平行线构造等量关系求解；②当时，三点共线，即可求解③当时，构造方程求解；④当时，三点共线，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：过点作, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴, ∴; （2）解：∵，， ∴, ∴， ∵ ∴, ∴, ∴； （3）解：①当时， 根据旋转可知， ∴, ∵ ∴, ∵, ∴, ∵绕点F以每秒的速度顺时针旋转， ∴（秒）， ②当时， ∴三点共线， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴（秒）； ③当时， 根据旋转可知， ∴, ∵, ∴ 设运动时间为秒， 则 解得：（秒）； ④当时， ∴三点共线， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴（秒）； 综上所述：或4或7或10． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么； 【拓展探究】 (1)如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，的度数为 ； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 (2)如图3，在图1基础上，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，试探究：在旋转的过程中，当三角板的一条边与三角板的一条边平行时，请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)①； ②或，理由如下： 当时，如图， ； 当时，如图， ， 综上，或； (2)的值为9或12或21或27或30． 【分析】（1）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （2）分五种情况讨论，逐一解答即可． 【详解】（1）解：①当时， ； ②略 （2）解：当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 综上，的值为9或12或21或27或30． 【变式3】. （25-26七年级下·福建福州·期中）已知直线直线，点A，点B在直线上，点C，点D在直线上，且点C在点D的左侧．，平分． (1)如图1，点B在点A的左侧．现将射线绕点B以每秒的速度逆时针旋转t秒至 ①当且射线与射线垂直时，____秒； ②当且射线与射线平行时，____秒； (2)如图2，点B在点A的左侧．连接，若（），平分，，所在直线交于点E，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将（2）中线段向右平移，使得点B在点A的右侧，此时为钝角，其他条件不变，请求此时与的数量关系． 【答案】(1)①26；②71或161 (2) (3)或 【分析】（1）①根据角平分线的定义，平行线的性质，求出的度数，垂直得到的度数，即可得出结果；②根据平行线的性质，求出的度数，即可得出结果； （2）过点作，根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可； （3）根据题意，画出图形，分两种情况，作，根据平行线的性质，结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ①当射线与射线垂直时，则， ∴； ②当，且点在上方时，则， ∴； 当，且点在下方时，则， ∴； 综上：或； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （3）解：当点在上方时，如图，作，则， ∴， ∴； 当点在下方时，如图，作，则 ， ∴． 综上：或． 一、单选题 1．如图，直线、被直线、所截，，，则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定和性质，以及对顶角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 2．如图，直线，直线分别与直线，相交于点，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直定义可知，根据角之间的关系可以求出，根据两直线平行，内错角相等可以求出． 【详解】解：如下图所示， 于点． ， ， ， ， ， ． 3．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如下图所示：由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质和补角的性质得,又，且从而求出． 【详解】解：如图所示：由折叠的性质，可得， ∴由平行线的性质可得， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 又由折叠可知， ∴． 二、填空题 4．如图：，且，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】过直线和的交点作直线，由平行线的性质求出，然后由垂直的定义得到，求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过直线和的交点作直线，可知， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，已知，，则______________． 【答案】100 【分析】根据平行线的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知，一含的直角三角板如图放置，两个顶点恰好在这组平行线上．若，则__________． 【答案】 【分析】依据直角以及角的和差可得出的度数，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ∵， ． 三、解答题 7．如图，已知，，试说明． 【答案】证明：∵，， ∴， ∴ 【分析】根据等量代换得出相等的角，根据内错角相等得出两直线平行． 【详解】证明：略． 8．如图，已知直线，，连接，，点E是直线，之间的一点，连接，且，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据同角的补角相等得到，最后通过平行线的判定和性质即可求解． 【详解】略 9．如图，点O在直线上，，与互余，F是上一点，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先由垂直的定义得到，推导出；再结合互余的条件得到，利用同角的余角相等证得，依据内错角相等，两直线平行证明； （2）根据角平分线定义求出的度数；再利用两直线平行，内错角相等得到，最后通过角的差运算求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．完成下面的证明： 已知：如图，，、分别是、的角平分线，求证：． 证明：， （_________）． ． 、分别是、的角平分线， ，（_________）． ． ______________（_________）． （_________）． 【答案】证明：， （同位角相等，两直线平行）． ． 、分别是、的角平分线， ，（角平分线定义）． ． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 【分析】先证明，得到，再结合角平分线的定义，得到，推出，即可证明结论． 【详解】略 1．中华武术源远流长，如图①为某运动员比赛时的照片，把图①抽象成如图②所示的图形，伸展的手臂与水平地面平行，躯干与手臂的夹角，与大腿的夹角，小腿与水平地面的夹角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，过点作，由平行线的判定及性质，，，再由角的和差，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， ． 2．如图，，点O在上，过点O作于点G，连接，平分，过点O作，若，则下列结论：①；②平分；③；④，其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】由得，结合，可推出，即可判断①；由平行线性质得，再通过平角可得．根据角平分线定义可得，即可判断③；由平分得，结合，得，进而可得，即可判断②；由得，结合，得；又由②知，可得出，即可判断④． 【详解】解：， ． ， ， ， ，故①正确； ，且， ． ． 平分， ，故③正确； ， ． 平分， ∴， ， 又， ， ， ∴平分，故②正确； ， ． ， ． 又， ，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③④． 3．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且． (1)若边与三角板的直角边平行，且在上方时，t的值为_________． (2)若边与三角板的另一直角边平行时，求t的值为 ． 【答案】(1)30 (2)120 【分析】（1）因为，所以需要结合旋转角度，用t表示出和的旋转角，利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等或同旁内角互补）建立关于t的方程求解． （2）因为，同样结合旋转角度，用t表示出和的旋转角，分在上方和下方两种情况，利用平行线的性质建立关于t的方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 如图，当时，延长交于点，且在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即， ； （2）解：∵， ∴，即在下方， ①当在上方时，，此时， ，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 即， （不符合题意，舍去）； ②当在下方时，， 此时，，， ∴， ，，， ∴， ∴， ， ∴， 即， ； 综上，的值为120． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $