专题3.6 角（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题3.6 角 教学目标 1.理解角的两种定义，认识平角、周角，会表示角，发展符号意识。 2.认识度、分、秒等角的度量单位，能进行度、分、秒之间的换算。 3.会比较两个角的大小，能用尺规画一个角等于已知角，掌握角平分线的定义。 4.能用角度表示方向，掌握余角、补角的定义与性质。 5.会进行角的和、差、倍、分的计算，发展运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）角的表示方法与度分秒换算 （2）角平分线的定义与有关计算 （3）余角、补角的定义与性质 2.难点 （1）度分秒的换算与角的和差计算 （2）角平分线、n等分线的有关计算 （3）三角板、旋转中的动角问题 知识点01：角的概念及表示 1.角的静态定义：由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2.角的动态定义：角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。 3.平角与周角：终边与始边成一条直线时形成的角叫做平角（180°）；终边与始边再次重合时形成的角叫做周角（360°）。 4.注意：角的大小与角的两边画出的长短无关，只与两边张开的幅度有关；没有特别说明时，角都是指小于平角的角。 5.角的表示方法： （1）用三个大写字母表示（∠AOB，顶点字母O写在中间）； （2）用一个大写字母表示（∠O，仅当以该字母为顶点的角只有一个时）； （3）用数字表示（∠1，在角内部靠近顶点加弧线标数字）； （4）用小写希腊字母表示（∠α）。 【即学即练】 1．如图，下列说法中不正确的是（　　） A．也可以用来表示 B．与是同一个角 C．以为顶点的角仅有和两个 D．不能用表示 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的概念和表示方法，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 也可以用来表示，说法正确，故不符合题意； B. 与是同一个角，说法正确，故不符合题意； C. 以为顶点的角有，，，故该选项说法不正确，故符合题意； D. 以为顶点的角不止一个，所以不能用表示，故该选项说法正确，故不符合题意． 故选：C． 知识点02：角的度量与换算 1.角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），最常用的测量工具是量角器。 2.角的换算：，，，。 3.按度数分类： 角度范围 角的名称 举例 0°＜α＜90° 锐角 45° α＝90° 直角 90° 90°＜α＜180° 钝角 120° α＝180° 平角 180° α＝360° 周角 360° 4.角的大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角；周角＝平角＝直角＝360°，平角＝直角＝180°，直角＝90°。 5.方位角：以正北、正南方向为基准，正北（南）方向与目标方向线的夹角，通常表达成北（南）偏东（西）多少度。 【即学即练】 1．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 知识点03：角的大小比较与尺规作角 1.比较角的大小的方法： （1）度量法（从"数"的角度）：用量角器量出角的度数再比较； （2）叠合法（从"形"的角度）：把一个角放到另一个角上，顶点重合、一边重合，比较另一边位置。 2.角的和与差：两个角的和、差仍然是一个角，其度数等于两角度数的和或差。 3.尺规作角（作一个角等于已知角）：作射线O'A'→以O为圆心适当长为半径作弧交OA、OB于C、D→以O'为圆心OC长为半径作弧交O'A'于C'→以C'为圆心CD长为半径作弧交前弧于D'→作射线O'B'，得∠A'O'B'。 4.注意：进行角的和差计算时，单位不一致要先换算成一致单位再计算。 【即学即练】 1．比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 知识点04：角平分线 1.定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2.性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC。 3.判定：若射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的平分线。 4.角的n等分线：从角的顶点引出的（n－1）条射线，把这个角分成n个相等的角，这（n－1）条射线叫做这个角的n等分线。 5.注意：角平分线是一条射线，且在角的内部；角平分线不一定在角内部且不一定能判定（需验证射线位置）。 【即学即练】 1．已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】分在内部和在外部两种情况讨论，先根据角的和差求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：如图所示，当在的外部时， 则， 为的平分线， ； 如图所示，当在的内部时， 则， 为的平分线， ， 综上所述，的度数为或． 知识点05：余角和补角 1.余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。 3.余角性质：同角（等角）的余角相等；补角性质：同角（等角）的补角相等。 4.注意：两个角互余或互补是数量关系，与位置无关；单独一个角不能说互余或互补；钝角没有余角。 【即学即练】 1．的角的余角等于________；的角的补角等于________． 【答案】 【分析】互余两角和为，互补两角和为，利用进行度分换算计算即可． 【详解】解：∵互余的两角的和为，且， ∴； ∵互补的两角的和为， ∴． 题型01 角的概念辨析 抓住"有公共端点的两条射线"判断角，注意平角、周角与直线、射线的区别，角的大小与边长无关。 【典例1】. （26-27七年级上·河北·单元测试）用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 【变式1】. （25-26六年级下·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【答案】C 【分析】本题考查角的定义，需根据角的静态与动态定义逐一判断各选项的正误，即可解题． 【详解】解：∵角的静态定义为有公共端点的两条射线组成的图形，动态定义为一条射线绕它的端点旋转而成的图形 ∴A选项中“有公共点”表述错误，应为“有公共端点”，故A错误，不符合题意． ∵角是由射线组成的，而非线段， ∴B选项错误，不符合题意． ∵C选项符合角的动态定义 ∴C选项正确，符合题意． ∵两条直线相交组成的图形包含四个角，不符合角的定义， ∴D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】. （25-26六年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【答案】D 【分析】本题考查平角、周角、钝角、锐角的定义，需根据各类角的概念逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵平角是由一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，且方向相反时所构成的角，它有顶点和两条边，并非一条直线， ∴A选项错误，不符合题意． ∵周角是一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角，它有顶点和重合的两条边，并非一条射线， ∴B选项错误，不符合题意． ∵小于平角的角包括锐角、直角、钝角，并非只有钝角， ∴C选项错误，不符合题意． ∵锐角的定义是大于而小于的角， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】. （25-26七年级上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（   ） A．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点 B．若，则O是的中点 C．两条射线组成的图形叫做角 D．连接两点的线段，叫做两点间的距离 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，角的定义，两点间的距离的定义，根据线段中点的定义可判断A、B；根据角的定义可判断C；根据两点间的距离的定义可判断D． 【详解】解：A、将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点，原说法正确，符合题意； B、若，则当点O在线段上时，O是的中点，原说法错误，不符合题意； C、有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误，不符合题意； D、连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 题型02 角的表示方法 顶点字母写在中间用三个大写字母；当以某字母为顶点的角只有一个时才能用一个大写字母表示；多个角共用顶点时不能用单个字母表示。 【典例2】. （25-26六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 【变式1】. （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可判断． 【详解】解：A、与的顶点和两边完全一致，是同一个角，说法正确，故选项不符合题意； B、以O为顶点的角有3个，不可用来表示，说法错误，故选项符合题意； C、位于射线和之间，表示的是，说法正确，故选项不符合题意； D、图中共有三个角，分别是，，，说法正确，故选项不符合题意． 【变式2】. （25-26七年级下·山东泰安·期中）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； C、不存在，和表示不同的角，故不符合题意； D、、和表示同一个角，故符合题意； 故选：D． 【变式3】. （25-26七年级下·山东淄博·期中）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示，否则需用三个大写字母或数字表示． 【详解】解：当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示， ∴各个选项中能用表示角度的只有D选项， D选项中用，两种方法表示同一个角 题型03 度分秒的换算 高级单位换算低级单位乘进率60，低级单位换算高级单位除以进率60，如。 【典例3】. （2026·浙江·中考真题）角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式1】. （25-26六年级下·山东烟台·期末）下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 【变式3】. （25-26六年级下·山东淄博·期中）下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换算进率，，计算各选项结果，找出换算错误的选项． 【详解】解：度分秒的换算进率为，，可得 ， A． ，换算正确； B． ，换算错误； C．，换算正确； D．，换算正确． 题型04 钟面角 分针每分钟转6°，时针每分钟转，按夹角公式或旋转度数计算。 【典例4】. （22-23七年级下·山东聊城·阶段检测）在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 【变式1】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为： （大于平角）， 最小夹角为：． 【变式2】. （25-26六年级下·山东威海·期中）小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表上时针和分针的转动规律，计算出6点55分时时针与分针分别相对于12点位置的转动角度，再计算二者的度数差得到夹角，即可解题． 【详解】解：∵钟面一圈为，共分为12个大格， ∴时针每小时转动，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 6点55分时时针和分针的转动角度： 时针转动角度：， 分针转动角度：， ∴时针与分针的夹角为． 【变式3】. （25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 题型05 方位角 以正北、正南为基准，表达成北（南）偏东（西）多少度；东北（西北、东南、西南）方向表示偏45°。 【典例5】. （26-27七年级上·陕西西安·开学考试）一艘轮船由地向南偏西的方向行驶40海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶40海里到达地，则、相距（     ）海里． A．30 B．40 C．60 D．50 【答案】B 【分析】由与长度相等，想到通过计算夹角的度数判定三角形形状，进而求解的长度． 【详解】解：如图 由题意得海里， ∵轮船从地向南偏西行驶到地， ∴在的北偏东方向， 又∵在的北偏西方向， ∴， ∴是等边三角形， ∴海里． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）救生艇位于轮船的北偏东方向，则轮船位于救生艇的（     ）方位． A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【详解】解：救生艇位于轮船的北偏东方向， 轮船位于救生艇的南偏西． 【变式2】. （25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【分析】根据方向角的定义（通常以正北或正南方向为基准）及图形中的角度关系，结合方位角的相对性进行判断即可； 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 【变式3】. （2026·河北保定·二模）如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【答案】C 【分析】利用角的和差求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． 题型06 角的大小比较 用度量法或叠合法比较；叠合法使顶点和一边重合后，另一边在内侧则角小、在外侧则角大。 【典例6】. （25-26六年级下·山东威海·期中）若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据的换算关系将两个角度统一单位，再比较大小． 【详解】解：因为， 所以， 又因为，， 所以． 【变式1】. （25-26七年级上·广东佛山·期末）已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 且， ∴． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）有三个角度，角度，角度，角度，先分别写出a，b等于多少分，再比较a，b，c的大小． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了度、分、秒的换算，角的大小比较，1度等于60分，1分等于60秒，据此可求出a，b等于多少分，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】. （26-27七年级上·北京·随堂练习）比较角的大小：和． 【答案】 【分析】此题考查了角度的比较大小、度分秒之间的转换．把转化为，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 题型07 角的和差倍分计算 先观察角的公共边与内外位置，确定用加法还是减法，单位统一后再按度分秒运算。 【典例7】. （25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握平角为．根据平角为，减去和的度数即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1】. （24-25七年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 【变式3】. （2025七年级上·全国·专题练习）已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴． 【分析】本题主要考查了角度和差， 先通过角度和差关系得到，，进而可得证． 【详解】略 题型08 与角平分线有关的计算 利用角平分线性质∠AOC＝∠BOC＝∠AOB列式，结合已知角求未知角。 【典例8】. （25-26六年级下·山东烟台·期末）如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 【变式1】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）若，，射线，分别是，的角平分线，则________． 【答案】或 【分析】根据射线的位置分两种情况讨论，即在内部和外部，利用角平分线的定义计算的度数。 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当在外部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 综上，为或． 【变式2】. （21-22七年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 题型09 与余角或补角有关的计算 一个角的余角为90°－α，补角为180°－α，结合互余、互补定义列式求值。 【典例9】. （21-22七年级下·浙江台州·开学考试）若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互为余角的两个角的和等于求出这个角，再根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：一个角的余角是， 这个角是， 这个角的补角为． 【变式1】. （26-27八年级上·四川巴中·开学考试）已知与互余，与互补，，则__________． 【答案】/120度 【分析】先根据互余的定义结合已知条件求出，再根据互补的定义求出即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，平分，在的下方，且． (1)判断与互余吗？试说明理由． (2)判断与互补吗？试说明理由． 【答案】(1)与不互余，理由如下： 如图， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不互余． (2)与互补，理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴与互补． 【分析】（1）根据条件平分，，结合角平分线性质求出的度数，再根据，即可求出，进而可求出，即可得与不互余． （2）根据（1）得的度数，再结合，即可计算出的度数，进而可判断与互补． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 题型10 同（等）角的余（补）角相等的应用 利用"同角或等角的余（补）角相等"直接判断角相等，无需逐一求度数。 【典例10】. （25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用角度和差表示出角的数量关系，利用互余的定义求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即与互余． 【变式1】. （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：与互补或与互补，理由如下： ∵点是直线上一点， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互补； ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴与互补； 综上，与互补或与互补． 【分析】（1）根据同角的余角相等及角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据互补的两个角和为，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有，； （2）略 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 【答案】(1)151； (2)相等的角有，；当时，它们仍然相等； (3)的度数会越来越大． 【分析】（1）利用直角的度数减去的度数求出的度数，再将与直角的度数相加，通过角的和差求出的度数； （2）先根据直角的定义直接得到与相等，再利用角的和差得出和均为的余角，结合同角的余角相等的性质，判断即使的度数改变，这些角仍保持相等； （3）先通过角的和差推导出与的数量关系式，再根据该关系式分析当度数越来越小时，的度数变化情况． 【详解】（1）解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：相等的角有，， ∵， ∴， ∴， 即使，和仍然是的余角， 根据同角的余角相等，它们仍然相等，和始终是直角，也仍然相等； （3）解：由， 可知当的度数越来越小时，的度数会越来越大． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·期末）已知直线和相交于点（为锐角）． (1)填空：如图1，图中有__________对相等的角（平角除外），分别是__________．判断的依据是__________． (2)如图2，作，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，射线在内部，将分成两部分，求的度数． 【答案】(1)；和，和；对顶角相等 (2) (3)或． 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义； （1）根据对顶角相等即可得解； （2）设，根据平分，表示出，再计算，即可求解； （3）结合（2）中的关系列方程即可求出x的值，再得出，根据在内部，将分成两部分，得出或，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：根据同角的补角相等可得图1中有2对相等的角（平角除外）分别是:和，和；判断的依据是对顶角相等 故答案为：2，和，和；判断的依据是对顶角相等； （2）设°，则 ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）∵ ∴ 由（2）可知： ， ∴ 解得 ∴，， ∵平分， ∴ ∴ ∵在内部，将分成两部分， ∴或 ∴或 ∴或． 题型11 三角板中的角度计算 利用三角板固定角（30°、45°、60°、90°）与叠放产生的和差关系，列式计算所求角。 【典例11】. （25-26七年级上·山西朔州·期末）将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义逐个判断即可；熟练掌握余角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，互为补角，故不合题意． B、与都是同一个角的余角，则，故不合题意； C、，互为补角，故不合题意． D、，与互余，故符合题意； 故选：D． 【变式1】. （25-26六年级下·山东泰安·期中）综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)平分， ， ， ，， ， 是的平分线， (3)， 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得、，进而得到即可说明； （3）根据、，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，，． （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式2】. （26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 【答案】(1) (2)当是或时，，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 如图，               根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，当是或时，； (3)或或或 【分析】（1）根据，即可求解； （2）分两种情况，分别画出图形，即可求解； （3）分四种情况，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）略 （3）解：若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 【变式3】. （25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起． (1)如图1若，求的度数；若，求的度数； (2)如图2若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：，理由如下， ， ． 【分析】（1）利用角的和差进行求解； （2）利用角的和差进行求解； （3）利用角的和差进行证明． 【详解】（1）解：，，， ； ， ； （2）解：， ； （3）略 题型12 旋转成动角问题 用含时间t的式子表示旋转角，结合角平分线、和差关系列方程求解，注意旋转方向与范围。 【典例12】. （25-26七年级上·河北衡水·期末）是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 【答案】(1)； (2) 是的平分线，理由如下： 设，则， ， ， ， 平分， ， ， ，即平分； (3) ，理由如下： ，， ，， 由题意得：，， ， 在内部， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差运算及旋转运动中的角的数量关系，关键是利用角的和差及平分线性质表示相关角． （1）先根据求出，再利用角平分线的定义求出和，最后通过角的差求出； （2）设，用表示出、，再根据已知条件求出，结合角平分线定义得到，进而计算，判断是否为的一半； （3）先表示出和，再根据旋转速度和时间表示出和，通过变形得到两者的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 平分， ， ； （2）略 （3）略 【变式1】. （25-26七年级上·山东济南·阶段检测）已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 【答案】(1)或 (2) (3)时，或时，，是定值． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，正确分类并画出图形是关键． （1）分两种情况：射线在内部；射线在外部，且在射线上方；即可计算； （2）设，易得，，进而可表示出及，即可求得的度数；　 （3）记转过的角度为，分四种情况：①当时，此时，；②当时，此时；③当时，且在外时，此时；④当时，且在内部或与重合时，此时；利用角的和差倍关系，用表示出有关角的度数，再求的结果即可． 【详解】（1）解：射线在内部时，如图； 因为， 所以， l； 当射线在外部，且在射线上方时，如图； 因为， 所以， 所以； 综上，为或； （2）解： 设， ∵是的四等分线，且， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：记转过的角度为，分四种情况讨论： ①当时，此时，，如图， 由题意， 所以， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，，是定值． ②当时，此时，如图， 由题意， 则 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，不是定值． ③当时，且在外时，此时，如图， 由题意， 所以 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以， 所以当时，不是定值． ④当时，且在内部或与重合时，此时，如图， 由题意， 所以， 所以 ， 所以， 所以时，为定值． 综上所述：时，或时，，是定值． 【变式2】. （25-26七年级上·河北邢台·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3)α的值为 (4)当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据内余角定义计算即可； （2）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； （3）根据旋转的性质分别用含a的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； （4）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时：当在内部时，根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角， ∵射线，在的内部，是的内余角， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：已知，绕点O顺时针方向旋转一个角度（）得到，绕点O顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得：， ∴α的值为； （4）解：根据题意可得，，三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒， 当在内部时，如图所示， ， ∴，， ∴，， 若是的内余角时， 得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 当在射线下方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在上方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在内部时，如图所示， ， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）存在，的值为21或25 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角尺的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ， ， 旋转角为：， ； （3）存在，    理由是：当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ， ， 解得：； 当在右侧时，   ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 一、单选题 1．已知，则的余角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余角定义列式计算即可． 【详解】解：的余角是． 2．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的包含关系来判断角的大小即可． 【详解】解：由图可得，，，，，故ACD正确，B错误． 3．已知一个角的度数是，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互补两个角的和是求解即可． 【详解】解：这个角的补角等于． 二、填空题 4．如图，射线表示________方向，射线表示________方向． 【答案】 北偏东 南偏西 【详解】解：射线表示北偏东方向，射线表示南偏西方向． 5．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面角的定义，分别计算时针和分针的位置，再求其夹角的度数，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键． 【详解】解：点分，时针在与正中间，即； 分针在，即； 夹角． 6．如图，射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，则的大小是______． 【答案】/80度 【详解】解：由题意得：． 三、解答题 7．如图，如果，那么是多少度？ 【答案】 （或） 【分析】根据平角的定义，结合角的四则运算进行求解即可. 【详解】解：. 8．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 9．已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图，当时，求的度数； (2)如图，平分，求的度数； (3)如图，，此时绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先由平角求出，再结合角平分线得到，最后用减去得． （2）利用角平分线的性质，将转化为，结合是直角计算． （3）分不同时间段分析的表达式，再结合角平分线求出，进而得到两者的数量关系． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ， ； （3）解：时，由题意得， ， ； 时， 由题意得， ， ； 时， ， 即； 综上所述，，． 【点睛】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的性质以及动态图形中角的数量关系分析，熟练掌握平角的性质、角平分线的定义，并结合动态情况分类讨论是解题的关键． 1．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 2．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 3．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 4．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 【答案】(1)10 (2)不变， (3)①；② 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由，分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）与（1）同理解答即可； （3）①欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理解答即可． 【详解】（1）解：分别是，的中点， ， 又 ． （2）解：不变， ，分别是，的中点， ，， ， ，，， ， ． （3）解：①分别平分和， ， ， 又， ， ， ， ②由①得：， ， ， ． 5．综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 【答案】（1）30，105；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 角 教学目标 1.理解角的两种定义，认识平角、周角，会表示角，发展符号意识。 2.认识度、分、秒等角的度量单位，能进行度、分、秒之间的换算。 3.会比较两个角的大小，能用尺规画一个角等于已知角，掌握角平分线的定义。 4.能用角度表示方向，掌握余角、补角的定义与性质。 5.会进行角的和、差、倍、分的计算，发展运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）角的表示方法与度分秒换算 （2）角平分线的定义与有关计算 （3）余角、补角的定义与性质 2.难点 （1）度分秒的换算与角的和差计算 （2）角平分线、n等分线的有关计算 （3）三角板、旋转中的动角问题 知识点01：角的概念及表示 1.角的静态定义：由两条有公共端点的 叫做角，这个公共端点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。 2.角的动态定义：角可以看成由一条射线绕着它的端点 而成的图形，起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。 3.平角与周角：终边与始边成一条直线时形成的角叫做平角（180°）；终边与始边再次重合时形成的角叫做周角（360°）。 4.注意：角的大小与角的两边画出的长短无关，只与两边张开的幅度有关；没有特别说明时，角都是指小于平角的角。 5.角的表示方法： （1）用三个大写字母表示（∠AOB，顶点字母O写在中间）； （2）用一个大写字母表示（∠O，仅当以该字母为顶点的角只有一个时）； （3）用数字表示（∠1，在角内部靠近顶点加弧线标数字）； （4）用小写希腊字母表示（∠α）。 【即学即练】 1．如图，下列说法中不正确的是（　　） A．也可以用来表示 B．与是同一个角 C．以为顶点的角仅有和两个 D．不能用表示 知识点02：角的度量与换算 1.角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），最常用的测量工具是量角器。 2.角的换算：，，，。 3.按度数分类： 角度范围 角的名称 举例 0°＜α＜90° 锐角 45° α＝90° 直角 90° 90°＜α＜180° 钝角 120° α＝180° 平角 180° α＝360° 周角 360° 4.角的大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角；周角＝平角＝直角＝360°，平角＝直角＝180°，直角＝90°。 5.方位角：以正北、正南方向为基准，正北（南）方向与目标方向线的夹角，通常表达成北（南）偏东（西）多少度。 【即学即练】 1．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点03：角的大小比较与尺规作角 1.比较角的大小的方法： （1）度量法（从"数"的角度）：用量角器量出角的 再比较； （2）叠合法（从"形"的角度）：把一个角放到另一个角上，顶点重合、一边重合，比较 。 2.角的和与差：两个角的和、差仍然是一个角，其度数等于两角度数的和或差。 3.尺规作角（作一个角等于已知角）：作射线O'A'→以O为圆心适当长为半径作弧交OA、OB于C、D→以O'为圆心OC长为半径作弧交O'A'于C'→以C'为圆心CD长为半径作弧交前弧于D'→作射线O'B'，得∠A'O'B'。 4.注意：进行角的和差计算时，单位不一致要先换算成一致单位再计算。 【即学即练】 1．比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 知识点04：角平分线 1.定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成 的角，这条射线叫做这个 。 2.性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC。 3.判定：若射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的平分线。 4.角的n等分线：从角的顶点引出的（n－1）条射线，把这个角分成n个相等的角，这（n－1）条射线叫做这个角的 。 5.注意：角平分线是一条射线，且在角的内部；角平分线不一定在角内部且不一定能判定（需验证射线位置）。 【即学即练】 1．已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 知识点05：余角和补角 1.余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角 ，简称 。 2.补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个 ，简称 。 3.余角性质：同角（等角）的余角相等；补角性质：同角（等角）的补角相等。 4.注意：两个角互余或互补是数量关系，与位置无关；单独一个角不能说互余或互补；钝角没有余角。 【即学即练】 1．的角的余角等于________；的角的补角等于________． 题型01 角的概念辨析 抓住"有公共端点的两条射线"判断角，注意平角、周角与直线、射线的区别，角的大小与边长无关。 【典例1】. （26-27七年级上·河北·单元测试）用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26六年级下·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【变式2】. （25-26六年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【变式3】. （25-26七年级上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（   ） A．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点 B．若，则O是的中点 C．两条射线组成的图形叫做角 D．连接两点的线段，叫做两点间的距离 题型02 角的表示方法 顶点字母写在中间用三个大写字母；当以某字母为顶点的角只有一个时才能用一个大写字母表示；多个角共用顶点时不能用单个字母表示。 【典例2】. （25-26六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【变式1】. （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【变式2】. （25-26七年级下·山东泰安·期中）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级下·山东淄博·期中）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 题型03 度分秒的换算 高级单位换算低级单位乘进率60，低级单位换算高级单位除以进率60，如。 【典例3】. （2026·浙江·中考真题）角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26六年级下·山东烟台·期末）下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26六年级下·山东淄博·期中）下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 题型04 钟面角 分针每分钟转6°，时针每分钟转，按夹角公式或旋转度数计算。 【典例4】. （22-23七年级下·山东聊城·阶段检测）在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26六年级下·山东威海·期中）小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 题型05 方位角 以正北、正南为基准，表达成北（南）偏东（西）多少度；东北（西北、东南、西南）方向表示偏45°。 【典例5】. （26-27七年级上·陕西西安·开学考试）一艘轮船由地向南偏西的方向行驶40海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶40海里到达地，则、相距（     ）海里． A．30 B．40 C．60 D．50 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）救生艇位于轮船的北偏东方向，则轮船位于救生艇的（     ）方位． A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．北偏东 【变式2】. （25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【变式3】. （2026·河北保定·二模）如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 题型06 角的大小比较 用度量法或叠合法比较；叠合法使顶点和一边重合后，另一边在内侧则角小、在外侧则角大。 【典例6】. （25-26六年级下·山东威海·期中）若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】. （25-26七年级上·广东佛山·期末）已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）有三个角度，角度，角度，角度，先分别写出a，b等于多少分，再比较a，b，c的大小． 【变式3】. （26-27七年级上·北京·随堂练习）比较角的大小：和． 题型07 角的和差倍分计算 先观察角的公共边与内外位置，确定用加法还是减法，单位统一后再按度分秒运算。 【典例7】. （25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25七年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【变式3】. （2025七年级上·全国·专题练习）已知：如图，，．求证：． 题型08 与角平分线有关的计算 利用角平分线性质∠AOC＝∠BOC＝∠AOB列式，结合已知角求未知角。 【典例8】. （25-26六年级下·山东烟台·期末）如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【变式1】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）若，，射线，分别是，的角平分线，则________． 【变式2】. （21-22七年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【变式3】. （25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型09 与余角或补角有关的计算 一个角的余角为90°－α，补角为180°－α，结合互余、互补定义列式求值。 【典例9】. （21-22七年级下·浙江台州·开学考试）若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27八年级上·四川巴中·开学考试）已知与互余，与互补，，则__________． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，平分，在的下方，且． (1)判断与互余吗？试说明理由． (2)判断与互补吗？试说明理由． 【变式3】. （25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 题型10 同（等）角的余（补）角相等的应用 利用"同角或等角的余（补）角相等"直接判断角相等，无需逐一求度数。 【典例10】. （25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】. （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 【变式3】. （25-26七年级上·全国·期末）已知直线和相交于点（为锐角）． (1)填空：如图1，图中有__________对相等的角（平角除外），分别是__________．判断的依据是__________． (2)如图2，作，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，射线在内部，将分成两部分，求的度数． 题型11 三角板中的角度计算 利用三角板固定角（30°、45°、60°、90°）与叠放产生的和差关系，列式计算所求角。 【典例11】. （25-26七年级上·山西朔州·期末）将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（     ） A．B． C． D． 【变式1】. （25-26六年级下·山东泰安·期中）综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【变式2】. （26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 【变式3】. （25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起． (1)如图1若，求的度数；若，求的度数； (2)如图2若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 题型12 旋转成动角问题 用含时间t的式子表示旋转角，结合角平分线、和差关系列方程求解，注意旋转方向与范围。 【典例12】. （25-26七年级上·河北衡水·期末）是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 【变式1】. （25-26七年级上·山东济南·阶段检测）已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 【变式2】. （25-26七年级上·河北邢台·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    一、单选题 1．已知，则的余角是（     ） A． B． C． D． 2．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知一个角的度数是，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，射线表示________方向，射线表示________方向． 5．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 6．如图，射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，则的大小是______． 三、解答题 7．如图，如果，那么是多少度？ 8．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 9．已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图，当时，求的度数； (2)如图，平分，求的度数； (3)如图，，此时绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请直接写出和之间的数量关系． 1．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 3．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 4．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 5．综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $