第四章 相交线与平行线--猪蹄模型、铅笔头模型和锯齿模型 讲义 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

猪蹄模型、铅笔头模型和锯齿模型 猪蹄模型、铅笔头模型和锯齿模型都叫做拐点模型.含有这些模型的几何问题的解决,基本上都是通过拐点作平行线来解决的. 猪蹄模型的特征是拐点在两条平行线的内部,铅笔头模型的特征是拐点在两条平行线的外部.猪蹄模型和铅笔头模型的共同特征是都只有一个拐点,只是拐点方向不同而已. 锯齿模型的特征是在两条平行线之间至少含有两个拐点,且这些拐点的方向不一致. 猪蹄模型介绍 如图1所示,已知,则有 . 这就是猪蹄模型. 证明一: 如图2所示,过点E作直线. ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴. 证明二: 如图3所示,延长BE交CD于点F. ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴. 猪蹄模型推论 如图4所示,已知,则有. 证明: 过点E作直线. ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵, ∴. 例题讲解 例1. 如图5,,则_________. 【答案】. 【解析】本题可以直接利用猪蹄模型的结论,得到. 例2. 如图6所示,玲玲在手工课上用丝线绣成了一个“2”,若, ,则的度数为 【 】 （A） （B） （C） （D） 【答案】D. 【解析】延长DE至点F,如图7所示,猪蹄模型出现. ∵（推导过程略） ∴ ∵ ∴.（即作辅助线前的度数） 故选D. 点评 在解决有关猪蹄模型的解答题时,还是要写出模型结论的推导过程的,不能省略. 例3. 如图8,直线,则_________. 【答案】 【解析】本题图含有猪蹄模型,则有 ∵ ∴. 点评 本题图还含有后面紧接着要讲的铅笔头模型,如图10所示.希望你学过铅笔头模型之后回看本题. 铅笔头模型介绍 如图11所示,已知,则有 . 证明一: 作,如图12所示. ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ ∴. 证明二: 作,如图13所示. ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴. 铅笔头模型推论 如图14所示,已知,则有. 证明: 作,如图15所示. 接下来,由你来完成证明: 多拐点铅笔头模型 如图16所示,已知,则有. 上面是含有两个拐点的铅笔头模型.证明的方法是过两个拐点作AB的平行线,如图17所示.请你完成证明. 多拐点铅笔头模型的解题思路是:有多少个拐点,就作多少条平行线,每组平行线内的夹角和为. 结论 含有个拐点的铅笔头模型,两条平行线间的角度和为. 例题讲解 例4. 如图,,则的度数是_________. 【答案】 【解析一】本题含有铅笔头模型.如图19所示,有. ∵ ∴ ∵ ∴ ∴. 【解析二】本题含有猪蹄模型,如图20所示,请你完成求解. 例5. 如图21所示,直线,若,则的度数为_________. 【解析】延长AB至点F,如图22所示. ∵,∴ 由得. 例6. 如图23,若,求的度数. 【解析】过点E作,如图24所示,有,∴ ∴,∴ ∵ ∴,故. 例7. 如图25,,点P在射线OM上运动,. （1）当点P在A、B两点之间运动时,猜想并证明之间的数量关系; （2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）,请你直接写出之间的数量关系. 解:（1）. 证明: 作 ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴; （2）或. 提示: 当点P在射线AM上时,如图所示. 作 ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴; 当点P在线段OB上时,如图所示. 作,按照同样的方法,求得: . 综上所述,或 . 锯齿模型介绍 如图26所示,已知,点E、F都在平行线内部,则有 . 这就是锯齿模型. 证明: 过点E作,过点F作 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴. 模型说明 （1）找模型 锯齿模型的特征是在两条平行线之间至少含有两个拐点,且这些拐点的方向不一致. （2）用模型 过拐点作平行线,有几个拐点就作几条平行线. （3）巧学巧记 左拐角之和等于右拐角之和. （4）模型拓展 见下页表格. 模型 解法 拆分成1个猪蹄模型和1对内错角 拆分成2个猪蹄模型 例题讲解 例8. 如图,直线,则的度数为 【 】 （A） （B） （C） （D） 【解析】由可得:,选择答案【 D 】. 例9. 如图,已知,则的大小是_________. 【解析】由可得:. 例10. 如图,,求图中之间的数量关系. 解:过点B作,过点A作,则有 ∵ ∴ ∴ ∴. 例11. 如图,已知,求证:. 证明: 过点P作 ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 说明: 这里即为作辅助线前的. 点评: 本题也称鹰嘴模型（靴子模型）. 例12. 如图,已知,求证:. 证明: 过点P作 ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $