专题22 圆周角的综合应用（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题22 圆周角的综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01圆周角的定义 题型02圆周角定理求角度 题型03同弧或等弧所对的圆周角关系 题型04直径所对的圆周角90°的应用 题型05利用圆内接四边形的性质求角 题型06利用圆内接四边形的性质求线段长度 题型07利用圆内接四边形的性质进行证明 题型08确定圆的条件 题型09尺规作外接圆 题型10 求外接圆的半径 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 圆周角及圆周角定理 1.圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： ①圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； ②圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； ③圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数。 圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 【针对训练】 1．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 知识点二 圆内接四边形及其性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. ∠1=∠2 【针对训练】 3．如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 典例精析 题型01圆周角的定义 【典例】下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02圆周角定理求角度 【典例】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 题型03同弧或等弧所对的圆周角关系 【典例】如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． 证明：． 【变式】如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型04直径所对的圆周角90°的应用 【典例】如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 题型05利用圆内接四边形的性质求角 【典例】如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型06利用圆内接四边形的性质求线段长度 【典例】如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为______．    【变式】如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 题型07利用圆内接四边形的性质进行证明 【典例】如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 【变式】如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E． (1)求证：点D为的中点；(2)求证：． 题型08确定圆的条件 【典例】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【变式】如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第________块． 题型09尺规作外接圆 【典例】如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补． 作法：①作边的垂直平分线；②作边的垂直平分线，直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作；④连接并延长，交于点，连接． (1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）． (2)求证：即为所求作的三角形．    【变式】已知如图． （1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆； （2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点． 题型10 求外接圆的半径 【典例】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A．2 B．10 C．4 D．5 【变式】如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（    ） A． B． C． D．4 1．下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，内接于⊙中，垂足为，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 5．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，E为延长线上一点．若，的度数（     ） A． B． C． D． 7．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． 9．如图，是的直径，点C在圆上，，则________． 10．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 11．如图，A，B是上的两点，且，C是上不与点A，B重合的一点，则的度数是______． 12．如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 13．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为，则弦长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，，，，是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 15．如图，点、、在上，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 18．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 19．如图，为的直径，，为上的点，若，则的度数为_____．（用含的式子表示） 20．如图，是的弦，，点在上运动（点不与点、重合），且，则的半径为________． 21．如图，，是半径为的的两条弦，，，于，于． （1）________； （2）点在上运动，则的最小值为________． 22．如图1，在直角坐标系中，以原点O为圆心，半径为10作圆，交x轴于点A，B（点A在点B的左边）．点C为直径上一动点，过点C作弦（点D在点E上方），连接，过点D作交圆O于另一点，记为点F．直线交x轴于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)已知点C横坐标是6，求直线与x轴交点G的坐标． 23．如图，内接于，，，是的中点，则的长的最大值是（     ） A．4 B． C． D． 24．如图，在半径为6的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长是（     ） A． B． C． D． 25．在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 26．如图，的两顶点A，B在上，点C在圆外，，边交于点D，经过圆心交于点E，则的度数为___________． 27．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 28．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 29．已知：为的直径，点C、D为上两点，连接、、、，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为弧上一点，连接，，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的半径的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 圆周角的综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01圆周角的定义 题型02圆周角定理求角度 题型03同弧或等弧所对的圆周角关系 题型04直径所对的圆周角90°的应用 题型05利用圆内接四边形的性质求角 题型06利用圆内接四边形的性质求线段长度 题型07利用圆内接四边形的性质进行证明 题型08确定圆的条件 题型09尺规作外接圆 题型10 求外接圆的半径 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 圆周角及圆周角定理 1.圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： ①圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； ②圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； ③圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数。 圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 【针对训练】 1．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 2．如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理，直径垂直弦可平分弦所对的弧，得到；再由圆周角定理，结合的度数求出所对的圆心角的度数；最后根据等弧所对的圆心角相等，得到的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵直径垂直于弦， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 知识点二 圆内接四边形及其性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. ∠1=∠2 【针对训练】 1．如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，先根据圆周角定理得到，再根据四边形是的内接四边形可得即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， 故选：． 典例精析 题型01圆周角的定义 【典例】下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式】如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 题型02圆周角定理求角度 【典例】如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，，求出和，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式】如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 【答案】/30度 【详解】解：由题意得，， ． 题型03同弧或等弧所对的圆周角关系 【典例】如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． 证明：． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． 为直径，， ． ∵ ， 在和中， ， ． 【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可得，进而证明即可求解； 【详解】略 【变式】如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 题型04直径所对的圆周角90°的应用 【典例】如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 【变式】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 题型05利用圆内接四边形的性质求角 【典例】如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 【变式】如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 题型06利用圆内接四边形的性质求线段长度 【典例】如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为______．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式】如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 题型07利用圆内接四边形的性质进行证明 【典例】如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的判定定理；根据四边形内接于，可得，根据已知条件得出，即可得证． 【详解】略 【变式】如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连结，如图： 为半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴点D为AB的中点． (2) 方法一：证明：∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 方法二：证明：连结，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质： （1）连接，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论； （2）方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论； 方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论； 熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 题型08确定圆的条件 【典例】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 【变式】如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第________块． 【答案】① 【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径． 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键． 题型09尺规作外接圆 【典例】如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补． 作法：①作边的垂直平分线； ②作边的垂直平分线，直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，连接．    (1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）． (2)求证：即为所求作的三角形． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求；    (2) 证明：∵是的直径， ∴是直角， ∴是直角三角形， ∵是的内接四边形， ∴， ∴即为所求作三角形． 【分析】（1）根据题意画出的垂直平分线，交于点，以为圆心，长为半径作，连接并延长，交于点，连接即可求解； （2）根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式】已知如图． （1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆； （2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点． 【答案】 （1）如图所示：点O和圆O即为所作； （2）如图所示：D、C、E即为四等分点． 【分析】（1）在上任意取一点E（A、B除外），连接AE，BE，作线段AE，BE的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可； （2）连接AB，作AB的垂直平分线交于点C，连接AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交于点D、E即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解圆的相关性质，掌握垂直平分线的作法． 题型10 求外接圆的半径 【典例】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A．2 B．10 C．4 D．5 【答案】D 【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设OA交BC于T． ∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC， ∴AO⊥BC，BT＝TC＝4， ∴AE＝， 在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式】如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接，    根据作图可得是过三点的圆的圆心，网格可得则，得出是等腰直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接，设的垂直平分线交网格线于点，连接， 根据作图可得是过三点的圆的圆心， 根据网格可得 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∵ 小正方形的边长为2， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 1．下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角， 只有选项C符合题意． 2．如图，内接于⊙中，垂足为，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴， ∴， ∴． 3．如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 6．如图，四边形是的内接四边形，E为延长线上一点．若，的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴, ∵， ， ， ． 7．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 8．如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． 【答案】35 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴在中，． 9．如图，是的直径，点C在圆上，，则________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵是的直径，点C在圆上， ∴， ∵， ∴． 10．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 11．如图，A，B是上的两点，且，C是上不与点A，B重合的一点，则的度数是______． 【答案】或 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质分两种情况进行解答即可． 【详解】解：如图， 当点C位于点的位置时，， 当点C位于点的位置时，， 即的度数是或． 12．如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 【答案】 证明：∵是直径， ∴，即， ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点． 由是直径得到，则，．再由角平分线得到，那么，即可得到． 【详解】略 13．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为，则弦长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，进而证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 为等边三角形， ． 14．如图，，，，是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角和圆心角的性质，连接，由题意可知，则，与又是同弧所对的圆周角和圆心角，则可求得的度数． 【详解】解：连接，如下图， ，，，是上的四个点，， ． 又，且， ． 故选：C． 15．如图，点、、在上，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆周角定理即可证判断A；取中点，连接，根据弧、弦、圆心角的关系即全等三角形的判定和性质可判断B、C；在优弧上任取一点，连接，根据圆内接四边形的性质可判断D． 【详解】解：与分别是所对的圆心角和圆周角， ， ， ， ，选项B正确； 取中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，选项A错误； ∵， ∴， ∴，同理可得， 即，选项C错误； 在优弧上任取一点，连接， 可知， ∵， ∴，选项D错误． 16．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到点F在以为直径的半圆上运动，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为，则当点F与点重合时，线段最小，最小值为，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， 如图，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为， ∴当点F与点重合时，线段最小，最小值为， 在中，，， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值大于，故A选项符合题意． 18．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 19．如图，为的直径，，为上的点，若，则的度数为_____．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】连接得，利用同弧所对圆周角相等得出，再计算即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ． 20．如图，是的弦，，点在上运动（点不与点、重合），且，则的半径为________． 【答案】 【分析】连接，，根据圆周角定理得出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出半径长度． 【详解】解：连接，，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，即的半径为4． 21．如图，，是半径为的的两条弦，，，于，于． （1）________； （2）点在上运动，则的最小值为________． 【答案】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出即可． （2）作于H点，由于关于对称，因而,即当在一条直线上时，最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：（1）连接， ∵,是直径，于E，于F， ∴， ∴，， ∴． （2）作于H点，连接， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴的最小值为． 22．如图1，在直角坐标系中，以原点O为圆心，半径为10作圆，交x轴于点A，B（点A在点B的左边）．点C为直径上一动点，过点C作弦（点D在点E上方），连接，过点D作交圆O于另一点，记为点F．直线交x轴于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)已知点C横坐标是6，求直线与x轴交点G的坐标． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴； ∵，为直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由垂径定理得，则得，再由平行线的性质即可求得结果； （2）连接，由可得，再由得，即有，则可证明，得，即有，即可得结论； （3）连接，根据题意可得，利用勾股定理求出的长，则可求出点D，点E的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线的解析式，求出点F的坐标，即可求出直线的解析式，进而可得点G的坐标． 【详解】（1）解：∵是直径，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵点C横坐标是6， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴； ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 设， ∵，即， ∴， 解得， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴． 23．如图，内接于，，，是的中点，则的长的最大值是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，取的中点E，连接，，过点E作于点G，由圆周角定理及等边三角形性质求出半径，根据垂径定理推论确定点D在以为直径的圆上，转化为求点B到该圆上点的最大距离． 【详解】解：连接，，，取的中点E，连接，，过点E作于点G，如图： ， ． ， 是等边三角形， ． 是的中点， ，即． 点D在以为直径的上，且半径． 当点D在的延长线上时，取得最大值，最大值为． 在中，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ． 在中，． 的最大值为． 24．如图，在半径为6的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由D是的中点得出，再根据等腰三角形三线合一得出，，由此证得是的中位线，即可得出，再利用证得和全等，得出由此根据半径的长求出的长，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，设交于点F， ∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F是的中点， 又∵是直径， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 又∵半径为6， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得，． 25．在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度；添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【详解】解：翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆， ∵，， ∴，， 过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得， ， 连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动在以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 26．如图，的两顶点A，B在上，点C在圆外，，边交于点D，经过圆心交于点E，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，进而得到的度数，再用减去的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数是， ∴的度数为． 27．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可． 【详解】解：连接，，，，， 设， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， 则是的直径， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， 则在中，， 在中，， 即 解得或（舍） 代入可得， ∴半径为． 28．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 【答案】 【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 29．已知：为的直径，点C、D为上两点，连接、、、，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为弧上一点，连接，，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即平分； (2)证明：如图，连接、、， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴； (3)12 【分析】（1）连接，证明得到，再由圆周角定理得，即可证明； （2）连接、、，证明得到，则，进而可得，再由圆周角定理得，由为的直径，得到，则，即可证明； （3）连接，连接并延长交于点，由（1）知，则，根据等腰三角形三线合一的性质得，，再由中位线的性质得，然后在和中，由勾股定理构造方程求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，连接并延长交于点， 由（1）知， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得或（舍去）， 即的半径的长为12． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $