专题17 反比例函数与一次函数综合计算（重难点培优讲义）2026-2027年人教版九年级数学上册

专题17 反比例函数与一次函数综合 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 题型03 一次函数与反比例函数的实际应用 题型04 一次函数与反比例函数的其他综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 一次函数与反比例函数基础知识 1． 一次函数：，图象为直线，单调递增/递减，经过一、二、三、四象限中部分象限． 2． 反比例函数：，图象为双曲线，分两支，象限、增减性由决定． 综合解题核心：直线与双曲线结合问题，所有关键信息均来自交点坐标． 【针对训练】 【典例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象性质，熟练掌握一次函数中、的符号对图象的影响，以及反比例函数中的符号对图象所在象限的影响是解题的关键． 根据一次函数的图象，判断出、的符号，进而判断的符号，再与反比例函数的图象特征进行比对，逐一排除矛盾选项． 【详解】解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除A． 选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除B． 选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴矛盾，排除C． 选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴一致，成立． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，熟练掌握二次函数，一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象可得，，的符号，则可判断出一次函数和反比例函数的大致图象． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限． 故选：C． 知识点二 反比例函数与一次函数交点问题 1． 求交点坐标：联立一次函数与反比例函数解析式，组成方程组求解． 方程组： 消去得：，整理为一元二次方程求解横坐标，再回代求纵坐标． 2． 交点个数判定：根据化简后一元二次方程的判别式判断： ：2个交点；：1个交点（相切）；：无交点． 【针对训练】 【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（   ） A． B．5 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出函数图象的交点坐标是解题的关键． 将交点的横坐标代入反比例函数求出纵坐标，再代入一次函数求解． 【详解】解：在反比例函数中，令，则， ∴交点坐标为． 将点代入，得 ，解得． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 知识点三 综合面积计算（必考模型） 直线与双曲线交于两点，求两点与坐标轴原点/坐标轴围成的三角形面积，通用两种方法： 1． 割补法（通用）：利用一次函数与y轴/x轴交点，将不规则三角形分割为两个规则三角形求和/求差； 2． 坐标公式法：已知两点坐标，结合坐标轴截距快速计算； 核心结论：综合面积问题，优先找一次函数坐标轴截距和两个交点横坐标． 已知两个函数图象相交，只需知道一个交点坐标，即可分别用待定系数法求解反比例、一次函数解析式；若无直接坐标，可通过几何条件、面积条件反推点坐标． 【针对训练】 【典例3】如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， ∴， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．且结合图象： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， 又，，且 即， ， ，，且 ∴ ， 依题意， ， 故选：B． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为4，则k的值为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解， 【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数上， ∴，即：，即， ∴，即：， ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， ∴， 故选：B． 典例精析 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例】在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【变式】在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况当或时，函数图象所经过的象限进行判断即可. 【详解】解：当时，的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、三象限，B符合题意； 当时，的图象经过一、二、四象限，的图象经过二、四象限，不符合题意. 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例】一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 【变式】如图，点、是反比例函数 图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 题型三：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 题型四：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例】如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用， 锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出图形，理解题意是解题的关键． 过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E，分别求出F，D，E的坐标，根据勾股定理求出的长，利用三角函数求出的值，再求出的值，即可得答案． 【详解】解：如下图，过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E， 当直线与的唯一交点为A，且直线时，最小， 整理得：，此时方程有两个相等的实数根， ， 解得：（舍去）， 直线为， 当时，，则；当时，，则；当时，，则， ， ， ， 过D作与C， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（ ） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察到每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，，3个为一组依次循环， ， ， 故选：C． 1．在同一平面直角坐标系中，函数和（，是常数）的图像大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的总和判断，分别求出和时，一次函数和反比例函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意， 故选：A． 2．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，连结CD，若四边形的面积为6，则k的值为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和交点问题，根据题意得到A、B两点关于原点成中心对称，则，，根据比例系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，A、B两点关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题．先求出点的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点， 将代入， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式． 故选：B． 5．若反比例函数 ()的图象经过点，则一次函数的图象不经过第______________象限． 【答案】三 【分析】根据题意求得反比例函数的比例系数，得出一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数 ()的图象经过点， ∴， ∴一次函数即的图象不经过第三象限， 故答案为：三 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据一次函数解析式判断所经过的系数，求得是解题的关键． 6．如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及数形结合的思想，求出点的坐标是解题的关键． 根据对称性求出点坐标，然后找出正比例函数落在反比例函数图象上方或相交时对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴由图象可得，当或时，正比例函数在反比例函数图象上方或相交，即， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 7．如图，等腰直角三角板的直角顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点 D，已知，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，三角形全等的判定和性质；过点B作轴于点E，证出，得到，求出反比例函数的表达式， 设直线的函数表达式为待定系数法求出解析式，令，计算求解即可． 【详解】解：如图：过点B作轴于点E， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线的函数表达式为 将代入 得， 解得， ∴， 令， 解得， ∵ 点D的横坐标在之间， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴． 故答案为：． 8．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，利用函数图像求不等式的解集及三角形的面积，解题的关键是理解待定系数法求函数解析式及利用图像比较函数值的大小． （1）利用待定系数求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图像求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比例函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； （2）， ， 根据图像，得或； （3）把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数及一次函数反比例函数图像共存交点围成图形面积问题，解题关键是联立两函数求出交点将三角形转换成底边在x轴y轴上的三角形． （1）根据一次函数求出点A坐标，再代入反比例函数即可得到答案； （2）根据题意确定点B的坐标，结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， 代入得：， ， 点在反比例函数的图象上， 代入得：， 反比例函数的解析式为， （2）由，得， ， 点在反比例函数的图象上， 代入得：， ， ． 10．关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数及反比例函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可． 【详解】A、从一次函数的图象知与反比例函数的图象一致，正确； B、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； C、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； D、因为，所以一次函数的图象不过原点，错误； 故选． 11．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 12．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得，解得． 13．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 14．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 15．如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 16．如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，涉及反比例函数的图象与性质，反比例系数k的几何意义，先根据函数图像上点的坐标特征得出，，于是，再由反比例函数系数k的几何意义可知，那么，进而可求出答案． 【详解】解：、在反比例函数的图象上， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， ， 当时，，随自变量的增大而增大，此时． 17．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 18．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【分析】（1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图像求解即可； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为． (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)不等式的解集为_____； (3)当的面积与面积相等时，求点的坐标； (4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或； (4)或． 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据待定系数法求出的值即可； （2）先求出直线与双曲线的两个交点的横坐标，再结合图象找出直线在双曲线上方部分对应的自变量取值范围即可； （3）过点作直线，则直线，由平行线间距离相等可知，直线与双曲线的交点为点，联立直线和双曲线，求出交点；在轴上截取，过点作直线，同理求出交点即可； （4）讨论两个临界点：①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时，设，过点作轴于点，过点作延长线于点，证明，得到，，从而得到点的坐标，求出的值；②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线的图象上，且纵坐标为3， 则，解得：， ， 点在双曲线的图象上， ， 双曲线对应的函数表达式为； （2）解：联立，整理得：， 解得：，， 即直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为和， 由图象可知，当或时，直线在双曲线上方， 即不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：的面积与面积相等， 点到直线的距离等于点到直线的距离， 如图，过点作直线，则直线， 平行线间距离相等， 直线与双曲线的交点为点， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 如图，在轴上截取，过点作直线， 令，则， ， ， ， 直线， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或或； （4）解：由旋转的性质可知，，， ①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时， 设， 过点作轴于点，过点作延长线于点，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在直线上， ， 解得：， 则当时， 与直线有交点，   ②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时， 则当时， 与直线有交点， 综上可知，与直线有交点时，的取值范围为或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 21．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 【答案】(1) (2)平移后的直线与双曲线只有一个交点 (3)或或或 【分析】（1）令直线与y轴的交点为点D，过点B作轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式； （2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论； （3）连接，先求出的面积，进而得到，再分点在轴、轴上，结合面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点E，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． ∵的面积是， ∴， 解得：． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， 即反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向下平移1个单位得到的直线的解析式为， 将代入到中，得：， 整理得：，解得，又， ∴平移后的直线与双曲线只有一个交点； （3）解：连接， 联立直线与曲线， 即，整理得， 解得， ， 设直线与轴的交点为， 令，则， ， ， ， 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 综上，或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 反比例函数与一次函数综合 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 题型03 一次函数与反比例函数的实际应用 题型04 一次函数与反比例函数的其他综合应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 一次函数与反比例函数基础知识 1． 一次函数：，图象为直线，单调递增/递减，经过一、二、三、四象限中部分象限． 2． 反比例函数：，图象为双曲线，分两支，象限、增减性由决定． 综合解题核心：直线与双曲线结合问题，所有关键信息均来自交点坐标． 【针对训练】 【典例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A．B．C．D． 知识点二 反比例函数与一次函数交点问题 1． 求交点坐标：联立一次函数与反比例函数解析式，组成方程组求解． 方程组： 消去得：，整理为一元二次方程求解横坐标，再回代求纵坐标． 2． 交点个数判定：根据化简后一元二次方程的判别式判断： ：2个交点；：1个交点（相切）；：无交点． 【针对训练】 【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（   ） A． B．5 C．2.5 D．3 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点三 综合面积计算（必考模型） 直线与双曲线交于两点，求两点与坐标轴原点/坐标轴围成的三角形面积，通用两种方法： 1． 割补法（通用）：利用一次函数与y轴/x轴交点，将不规则三角形分割为两个规则三角形求和/求差； 2． 坐标公式法：已知两点坐标，结合坐标轴截距快速计算； 核心结论：综合面积问题，优先找一次函数坐标轴截距和两个交点横坐标． 已知两个函数图象相交，只需知道一个交点坐标，即可分别用待定系数法求解反比例、一次函数解析式；若无直接坐标，可通过几何条件、面积条件反推点坐标． 【针对训练】 【典例3】如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A．10 B． C． D．15 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为4，则k的值为（ ） A．2 B． C． D．4 典例精析 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例】在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（ ） A．B．C． D． 【变式】在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（ ） A．B．C． D． 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 【典例】一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式】如图，点、是反比例函数 图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：一次函数与反比例函数的实际应用 【典例】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【变式】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 题型四：一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例】如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（ ） A．2 B． C． D．-2 1．在同一平面直角坐标系中，函数和（，是常数）的图像大致是（    ） A．B． C． D． 2．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，连结CD，若四边形的面积为6，则k的值为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 4．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．若反比例函数 ()的图象经过点，则一次函数的图象不经过第______________象限． 6．如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为________． 7．如图，等腰直角三角板的直角顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点 D，已知，则点D的坐标为______． 8．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 10．关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 11．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 12．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 13．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 14．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 15．如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 16．如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是___． 17．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 18．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为． (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)不等式的解集为_____； (3)当的面积与面积相等时，求点的坐标； (4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $