陕西商洛市洛南中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

陕西省洛南中学 2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 全卷满分150分；考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．椭圆上一点到左焦点的距离为2，则点到右焦点的距离为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．已知空间点，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 5．在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．已知圆：与圆：恰有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（ ）． A． B． C． D． 8．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10．在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 11．已知曲线：，则（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过 C．曲线所围成的图形的面积为 D．当点在曲线上时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设，，向量，，，且，，则的值为______________． 13．如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点．则的长等于____________． 14．已知，则的最小值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知直线：与直线：的交点为． （1）求过点和点的直线方程； （2）求过点，且与垂直的直线方程． 16．（15分）已知圆过原点和点，圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 17．（15分）已知正方体的棱长为2，为棱上一点． （1）求证：． （2）若为中点，求三棱锥的体积． （3）是否存在点使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19．（17分）已知圆：，直线：． （1）证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹的方程． （3）已知点为圆上任一点，过点做直线与曲线相切于、两点（、不重合），求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 高二数学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D C C B A C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 选项 AB AB ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 解：（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线的方程为，即． （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点，且与垂直的直线方程为，即． 16．（本题满分15分） 解：（1）设圆的圆心坐标为．依题意，在，解得 从而圆的半径为，所以圆的方程为． （2）依题意，圆的圆心到直线的距离为4， 显然直线符合题意． 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或． 17．（本题满分15分） 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为正方体的棱长为2， 所以，，， 又为棱上一点，设，则， 所以，， 所以， 所以，即． （2）由（1）建系可知，，，， 因为为中点，所以，所以，，， 设面的法向量为， 则即，化简为， 令，则．所以， 所以点到平面的距离． （3）棱上不存在点，使得平面，理由如下： 由（1）建系可知，，，，， 因为为棱上一点，设，则 所以，，， 设面的法向量为，则即， 令，则．所以，若平面，则， 所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面． 18．（本题满分17分） （1）记的中点为，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，，平面，所以，，即，，两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为， 而，，则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 而，，所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则，而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 19．（本题满分17分） （1）证明：将直线的方程整理为，联立，解得定点坐标为．圆心到该定点的距离为（圆半径为5），定点在圆内部，因此直线恒过圆内定点，与圆恒交于两点． （2）设，，由中点公式得，即， 代入圆的方程： 化简得轨迹的方程为： （3）设轨迹的圆心为，半径，由切线长性质得，设，则，推导得：由在圆上，，得，令，则，对勾函数在处取最小值，代入得最小值为：． 学科网（北京）股份有限公司 $