精品解析：陕西省西安市长安区第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

长安一中2026-2027学年第一学期期中质量检测 高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用斜率公式计算直线、的斜率，结合直线绕点旋转，与线段相交时斜率在两个边界外侧即可求得. 【详解】， ， 直线与线段有交点，则斜率范围为：或，即. 2. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得点关于直线和轴的对称点，根据对称性，得到点共线时，的周长取得最小值，且最小值为，进而得到答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 点关于轴的对称点为， 连接交直线于点，交轴于点， 根据对称性，可得的周长为， 当四点共线时，的周长取得最小值，且最小值为， 因为与关于直线对称，则满足， 解得，所以， 又因为点与关于轴对称，可得， 可得，所以的周长的最小值为. 3. 已知双曲线 左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率求出与关于的关系，再把过左焦点且斜率已知的直线与双曲线联立，求出点的坐标．由得为水平线，进而求出点的坐标和所求比值． 【详解】设双曲线的半焦距为． 由得 又，所以 于是 直线的方程为 联立，消去，得 因为在双曲线右支上，所以其横坐标为. 代入直线方程得，故. 因为，所以垂直于轴． 又，故平行于轴，即点的纵坐标也为． 将代入双曲线方程，得所以 由于在左支上，故 因此，从而 4. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是（） A. 点在曲线内部 B. C. D. 点的纵坐标的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入方程即可判断A；由曲线及两点间的距离公式得，当曲线上的点位于轴下方时，，此时该和式小于4，可判断B；利用基本不等式可判断C；将曲线的方程视为关于的一元二次方程，由判别式，可判断D. 【详解】已知曲线的方程为：， 令，可得，即，所以曲线与轴交于，两点， 选项A：代入， 得， 说明点在曲线外部，所以A错误； 选项B：设， ， 由曲线方程知，代入上式得：， 当曲线上的点位于轴下方时，，此时， 所以B错误； 选项C：已知曲线方程为， 由重要不等式知：，解得：， 由此得出，当且仅当时，不等式取等号， 联立，解得：， 故的最大值为，又因为，所以选项C错误； 选项D：将曲线方程视为关于的一元二次方程： ， 由于为实数，该方程必须有实数解，故判别式， ， 解得：，即， 当时，，此时，即， 因此点的纵坐标最大值为，所以选项D正确. 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义得到各线段的长度，再分别利用余弦定理得到与的关系即可求解. 【详解】 如图所示，设，则由，得， 由椭圆的定义，得，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 由于，代入得，化简得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 由于，代入得，化简得， 所以椭圆的离心率，故B正确. 6. 在平面直角坐标系中，点是直线：上一动点，定点，点为的中点，动点满足，，过点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题设先求得动点的轨迹方程为，再利用等面积法表示出，进而求解即可. 【详解】设，由，得，即， 而，点为的中点，则， 所以， 又因为，所以，即， 则动点的轨迹方程为， 由圆，圆心为，半径为， 则， 当且仅当时等号成立， 因为，且四边形的面积为， 则， 即的最小值为. 7. 过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线经过定点，结合条件求出动点的轨迹方程为，设的中点为，化简目标式为，判断动点的轨迹为直线，利用圆心到直线的距离为圆心到直线上点距离的最小值即可求得的最小值即可. 【详解】即， 由解得，则直线经过定点， 又因，则，故点的轨迹为以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则点的轨迹方程为. 因点，分别是直线：和直线：上的动点， 设的中点为，则，则， 易知动点的轨迹为与直线平行且距离相等的直线，其方程为， 因圆心到直线的距离，则， 故的最小值为. 8. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，动点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，把动点设出来，求出距离并且转化，最后利用二次函数求出最值。 【详解】由题意可得且平面， 则以点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因此，，，，， 因为在线段上，设，， 则，，即， 则， ， 当为二次函数对称轴时，即时，取得最小值， 那么. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（ ） A. 若点，则的最小值为3 B. 若点，则的最小值为3 C. 抛物线C上存在两点关于直线对称 D. 若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用抛物线定义将所求距离和转化为到准线的折线路程．对于B，将距离的平方配方求最小值．对于C，结合对称两点的连线斜率及中点位置列式．对于D，由导数求切线方程，利用切线经过准线上的点建立切点横坐标满足的方程，再求纵坐标之和的最小值． 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线为，设，则． 过作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义得， 所以． 由三角形不等式得，又在准线上， 故不小于点到准线的距离3，所以． 当时，在上，，且三点共线，在线段上， 此时，故A正确； 对于B，设，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C，假设上存在两个不同的点，关于直线对称， 则，且垂直于该直线，因此，得． 线段的中点为，它在直线上，所以， 从而，即，与两点不同矛盾，故C错误； 对于D，设两条切线的交点为，切点为． 将抛物线写为，由知，在处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 切线经过，故，即． 设两切点的横坐标分别为，则，， 且该方程的判别式，所以任意实数都对应两个不同的切点． 两切点的纵坐标之和为，当且仅当时等号成立， 此时，两切点为，，故D正确． 10. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，//．平面，，，，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】以为坐标原点，射线为轴正方向，以射线为轴正方向，过点作垂直于平面向上的射线为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由题意得各点坐标： ，，，； 等腰梯形的高为， 故，； 设，. 选项A：，， ， 故，A正确. 选项B：，. 若，由分量得，即，代入分量得，矛盾， 故不存在实数满足条件， B错误. 选项C：向量在上的投影向量为 ，C正确. 选项D：，， ， 该二次函数开口向上，对称轴为，： 当时，取得最小值12；当或时，取得最大值28， 故的取值范围为，与选项描述不符，D错误. 11. 如图，平面ABCD，，，，，，，则（ ） A. B. 平面ADE C. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，将对角线向量表示为从顶点出发的三条棱向量的和，通过计算向量模的平方求解长度. 【详解】设，，， 由题意可知，且. 根据向量加法运算可得： ， 则    ， 所以，即对角线的长为. 13. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件确定，设底面的中心为，则平面，可求得，又的方向与相同，代入计算求解. 【详解】 ， 设底面的中心为，连接，，则平面， 又，，平面，故，，， ，， 在中，，则， 又的方向与相同，所以. 14. 如图，在四面体中，，．设异面直线与所成的角为，当二面角的大小在内变化时，的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，则为二面角的平面角，设，，将用表示，则可根据的范围求出的最大值． 【详解】 取的中点，连结，则，则为二面角的平面角， 设，，， 在中，由余弦定理可得，， 所以， ， 因为，所以， 当时，有最大值，故的最大值是． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； 【答案】（1）连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 可得，所以，所以，即， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 16. 在三棱柱中，，点为的延长线上一点，且满足. （1）证明：： （2）求直线与平面所成的角. 【答案】（1）连接，因为，所以， 同理，取中点，连接， 由等腰三角形三线合一，得， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明两个等边三角形取底边的中线，即可得两条线线垂直，从而得证线面垂直，再证明线线垂直； （2）利用线面关系求线面角，利用空间距离求线面角的正弦值，利用空间向量法求线面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：依题意，可知点在以为直径的圆上，所以， ，所以， 因为平面平面， 所以平面为平面的一个法向量， 则直线与平面所成的角即直线与直线夹角的余角， 因为，所以为正三角形， 故，故直线与平面所成的角为. 解法2： 因为，可知点在以为直径的圆上，所以， 因为，所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面，平面，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 也就是点到平面的距离的， 因为，所以点到平面的距离为1， 因为为正三角形，，直线与平面所成角的正弦值是， 所以直线与平面所成角为. 解法3：因为平面，又平面，所以平面平面， 在平面内，过作，垂足， 因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，过作，可知平面， 由此可知两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴, 建立空间直角坐标系如图所示, 在等边和等边中，可求得， 则在中，， ， ， 依题意， 可知点在以为直径的圆上，则， 因为，所以， 因为平面平面，所以平面， 则为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角为. 17. 如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，是以为顶角的等腰直角三角形，现沿着对角线翻折，得到三棱锥． （1）当翻折至平面平面时， （ⅰ）求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）求三棱锥外接球的表面积； （2）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）取中点，由等腰三角形三线合一得、，结合面面垂直的性质推出，以此建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式计算异面直线与所成角的余弦值；也可通过补形构造正四棱锥，借助几何性质求解. （ii）结合两个面的三角形外接圆特征，确定三棱锥外接球的球心位置并计算半径，代入球的表面积公式得到结果. （2）设翻折角为参数，分别求解平面与平面的法向量，将二面角的余弦值表示为关于参数的函数，通过换元转化为函数最值问题求解；也可通过几何法构造二面角的平面角，结合三角函数性质推导最小值. 【小问1详解】 解法1： （ⅰ）取的中点，则，，因为平面平面，所以． 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．所以， 故直线与所成角的余弦值为． （ⅱ）设外接圆的圆心为，因为，所以即为三棱锥外接球的球心． 所以三棱锥外接球的表面积． 解法2： （ⅰ）取的中点，则，，因为平面平面，所以 延长至，使得，连接，，，则四棱锥为正四棱锥． 设直线与所成角为，则，故直线与所成角的余弦值为． （ⅱ）三棱锥外接球即为正四棱锥的外接球． 设外接球的半径为，则由射影定理可得：，所以， 所以三棱锥外接球的表面积． 【小问2详解】 解法1： 设，则， 则，，， 设平面的法向量为， 则由可得 令，则， 同理取平面的法向量为． 所以 ， 令，则，当且仅当， 时取等号， 故面与面夹角余弦值的最小值为． 解法2： 过作于，平面于，连接． 则平面，即为面与面的夹角， ， 所以，当且仅当时取等号， 故面与面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】1.翻折类立体几何问题的核心是把握“变与不变”：折痕同侧的线段长度、线线夹角保持不变，空间面面位置关系发生变化，解题需以翻折前后的不变量为突破口. 2.面面垂直场景下，作交线的垂线得到线面垂直，既是几何证明的关键步骤，也是建立空间直角坐标系的基础，是处理此类问题的核心切入点. 3.动态二面角的最值问题，向量法思路通用直接，几何法运算更简洁，二者均通过换元或三角函数性质将空间最值转化为函数值域问题，充分体现了数形结合与函数思想的应用. 18. 已知点，，曲线上的动点满足， （1）求曲线的方程； （2）是曲线在点处的切线，过作的垂线分别交轴、轴于点和，当点运动时，试求出点的轨迹方程，并指出是什么曲线； （3）根据（2）的结果，如果推广到一般，你能得出怎样的相应结论？请证明你的结论． 【答案】（1） （2）轨迹方程为，为去掉顶点的双曲线； （3）结论：对于任意双曲线，点的轨迹为去掉顶点的双曲线 证明如下：设直线：，与双曲线方程联立， 整理得，与双曲线相切于， 所以， 则，且有，即， 则，所以，， 所以过点与直线垂直的直线方程为，即， 当时，得，当时，得， 因为，代入整理可得， 故点的轨迹为去掉顶点的双曲线． 【解析】 【分析】（1）设，代入中，整理即可得到曲线的方程； （2）设直线：，联立直线与双曲线的方程，根据得到，的关系式，从而得到，，即得到过点与直线垂直的直线方程，并求出其横纵截距，，再根据在双曲线上，进而整理即可得出点的轨迹方程； （3）对任意双曲线采用（2）中的思路步骤，即可得到一般的结论． 【小问1详解】 设，， 整理得曲线的方程为． 【小问2详解】 因为排除了顶点，所以直线不可能垂直于轴，设直线：， 联立，整理得， 因为直线是双曲线在点处的切线，即直线与双曲线只有一个公共点， 所以，则， 由韦达定理可得，即， 代入方程可得，则，则， 所以过点与直线垂直的直线方程为即， 当时，得，当时，得， 因为，所以， 故点的轨迹方程为，即其为去掉顶点的双曲线． 【小问3详解】 略 19. 已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． （1）求的方程． （2）设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）设，则且， 所以，． 又，，所以，． 所以，为定值． 设，则，整理，得， 故点的轨迹为双曲线的一部分． （ii）设，，则． 易知直线的斜率存在且不为，设：． 由，消去并整理，得， 则，，．① 由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设其为． 由，，三点共线，得， 整理，得， 代入，及①， 得， 故直线过定点，该定点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）结合拼接条件和离心率求椭圆方程. （2）（i）通过联立与的方程消参，证明斜率乘积为定值，就此得到双曲线轨迹. （ii）设直线，联立双曲线，利用、对称，结合韦达定理证明直线过定点. 【小问1详解】 由：，得． 由，得，所以． 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长安一中2026-2027学年第一学期期中质量检测 高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线 左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A. B. C. 1 D. 4. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是（） A. 点在曲线内部 B. C. D. 点的纵坐标的最大值为 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点是直线：上一动点，定点，点为的中点，动点满足，，过点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 8. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，动点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为F，且P为C上的点（ ） A. 若点，则的最小值为3 B. 若点，则的最小值为3 C. 抛物线C上存在两点关于直线对称 D. 若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 10. 现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，//．平面，，，，点在线段上，则（ ） A. B. 存在实数，使得 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的取值范围为 11. 如图，平面ABCD，，，，，，，则（ ） A. B. 平面ADE C. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为_______． 13. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则______． 14. 如图，在四面体中，，．设异面直线与所成的角为，当二面角的大小在内变化时，的最大值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； 16. 在三棱柱中，，点为的延长线上一点，且满足. （1）证明：： （2）求直线与平面所成的角. 17. 如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，是以为顶角的等腰直角三角形，现沿着对角线翻折，得到三棱锥． （1）当翻折至平面平面时， （ⅰ）求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）求三棱锥外接球的表面积； （2）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 18. 已知点，，曲线上的动点满足， （1）求曲线的方程； （2）是曲线在点处的切线，过作的垂线分别交轴、轴于点和，当点运动时，试求出点的轨迹方程，并指出是什么曲线； （3）根据（2）的结果，如果推广到一般，你能得出怎样的相应结论？请证明你的结论． 19. 已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． （1）求的方程． （2）设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $