5.6函数y=Asin(ωx+φ)的图象（第1课时）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《函数y=Asin(ωx+φ)的图象（第一课时）》导学案

一、目标导航

本节课你要从一个真实的匀速圆周运动出发，自己抽象出形如 的函数，再集中研究参数 对图象的影响。学完本课，你应当能够结合筒车情境说出 、、、 各自的现实含义，并独立写出 ；能够独立完成“建立坐标系—设初始角—写出动点坐标—列出函数关系式”四步，并说明原点取在转轮中心、 轴平行于水面的理由；能够在单位圆与正弦曲线并排的图中标出 、、、、，说明 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到，并指出平移后图象的零点 与最大值点 ；能够用“同一高度来得更早”论证平移方向，而不是复述口诀。本课重点是建模过程与参数 对 图象的影响；难点是把筒车抽象为圆、把盛水筒抽象为圆上的点，以及由两个动点到达同一高度的时间差推出对应点横坐标相差 。

二、预习寻踪

阅读教材中筒车的情境，完成下列填空与推导。设转轮中心 到水面的距离为 ，转轮半径为 ，转动的角速度为 ； 时盛水筒位于 ，以 为始边、 为终边的角为 ；经过 秒后盛水筒运动到点 。

第一，由于转动是匀速的，以 为始边、 为终边的角为＿＿＿＿，由三角函数的定义，点 的纵坐标 ＿＿＿＿。

第二，点 到水面的距离等于点 相对于圆心的纵坐标再加上圆心到水面的距离，于是 ＿＿＿＿。这里 ，， 可正可负， 由安装高度决定。请你想一想：为什么 必须单独加上，而不能并入 或 ？再追问一句：若把 并入 ，则 会随安装高度改变，振幅也被改变，最高点与最低点就不再是 与 ，所以 只能作为整体平移项单独相加。

第三，当 、、 时， 化为＿＿＿＿，它的图象过点＿＿＿＿，在 处取得最大值＿＿＿＿，在 处取得最小值＿＿＿＿，周期为＿＿＿＿，零点为＿＿＿＿。

第四，先凭直觉预测： 时， 的图象由 的图象向＿＿平移＿＿个单位； 时向＿＿平移＿＿个单位。把你的预测写下来，课上用实验检验。

第五，用集合语言表达：全体平移量构成的集合为＿＿＿＿；本课实验所取的四个 值用列举法写为＿＿＿＿。比较这两个集合的写法，说一说为什么一般性结论必须用描述法。填写后再核对：列举法只能把具体值一一写出，不能表示任意实数；描述法中的代表元素是平移量，条件 才把全体情形包含进来。若把 的符号丢掉，就会把左移与右移混为一谈。

三、课堂探秘

探究一　从筒车到函数模型

假定水流稳定，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。请把筒车抽象为圆、把盛水筒抽象为圆上的点，在【作图区】以转轮中心 为原点、以与水面平行的直线为 轴建立直角坐标系，画出圆、初始位置 与经过 秒后的位置 ，标出半径 、角 与角 。

【作图区】

【推导区】写出点 的纵坐标与高度 的关系式，并注明每个字母的现实含义。设 ，则 ，，于是 ；由 得 的最大值为 ，最小值为 。检验：令 ，得 ，这正是初始位置的高度；若把 漏掉，则初始高度与图形不符。常见错误是把 的横坐标写成 ，此时用 检查会立即发现它不在圆上。

探究二　 时两图象有什么关系

在【作图区】并排画两幅图：左侧单位圆，标出圆心 、半径 、起点 与把 绕圆心逆时针旋转 得到的 ，再标出动点 ；右侧直角坐标系中

的正弦曲线，标出它过原点、在 处取得最大值 、在 处取得最小值 、零点为 、周期为 。

【作图区】

先预测：以 为起点描出的曲线，相对正弦曲线向哪个方向移动？写下你的预测与理由，再用图中关键点核对。设点 的纵坐标为 ，以 为坐标描点 ，以 为起点时描点 。

【推导区】分别写出 与 的坐标，并说明动点从 到 用了多少时间；据此比较同一纵坐标下 与 的横坐标大小，判断曲线移动的方向与距离。例如取纵坐标 ，从 出发需 或 等时刻，从 出发对应横坐标整体少 ；同一高度确实来得更早，故 在 左侧。核对时先看零点： 的零点为 ， 的零点为 ，左移方向立即显现；再看最大值点， 在 ， 在 ，横坐标同样少 。若误判为右移，零点会变成 ，与图中 在 左侧矛盾。

探究三　换个 再试一次

分别取 、、，重复上面的实验，把每条曲线与正弦曲线的位置关系记在下面。

【推导区】归纳： 时图象怎样移， 时图象怎样移，移动多少个单位；再用描述法写出全体平移量构成的集合，并说明 的符号与 各自管什么。当 时， 的图象过点 ，最大值点为 ；当 时，图象过点 ，最大值点为 。符号定方向， 定距离。用 统一检查： 时原零点 移到 ， 时移到 ，方向由符号决定，距离只取 。

四、巩固登峰

（一）基础达标

做本组题先看 被换成什么： 中 换成 ，图象左移 ； 中 换成 ，图象右移 。