5.7 三角函数的应用 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“三角函数的应用”，涵盖物理应用、生活应用及模型拟合三大核心知识点。通过衔接三角函数图像与性质，以简谐运动、温度变化等实例搭建理论到应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 资料特色在于结合物理（电流、单摆）和生活（温度、水深）实例，引导学生用数学眼光观察周期性现象，通过模型拟合培养数学思维，用函数解析式表达现实问题提升数学语言能力，分层例题与随堂巩固助力学生掌握应用方法。

5.7 三角函数的应用 知识点一　三角函数在物理中的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 知识梳理 1. 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A＞0，ω＞0. 2. A就是这个简谐运动的　振幅　，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为　初相　.  例1　已知电流I关于时间t的函数解析式为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示为I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； 解：由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2，∴ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0，即300sin＝0，又|φ|＜，∴φ＝.故所求的解析式为I＝300sin. (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少? 解：依题意知，周期T≤，即≤(ω＞0)， ∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943. [反思感悟]　处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其物理意义并与对应的三角函数知识结合解题. 知识点二　三角函数在生活中的应用 例2　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24]. (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温? 解：(1)∵f(t)＝10－2sin，t∈[0，24]，∴≤t＋≤， －1≤sin≤1，当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1，∴f(t)在[0，24]上的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，得当f(t)＞11时实验室需要降温. 故有10－2sin ＞11，即sin＜－.又0≤t≤24，∴t＋ ，解得10＜t＜18，∴在10时至18时实验室需要降温. [反思感悟]　解三角函数应用问题的基本步骤 知识点三　三角函数模型的拟合 例3　平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位：米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表所示： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)；②y＝Acos(ωt＋φ)＋b；③y＝－Asin ωt＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； (2)为保证队员安全，规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全? 解：(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 依题意，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型， ∴A＝，b＝，T＝12，∴ω＝，∴y＝cos，又函数图象过点(3，2.4)，即2.4＝cos，∴cos＝1， ∴sin φ＝－1，又－π＜φ＜0，∴φ＝－， ∴y＝cossin t＋. (2)由(1)知，y＝sin t＋，令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，∴sin t≥－， ∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 又5≤t≤18，∴5≤t≤7，或11≤t≤18，∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全. [反思感悟]　处理曲线拟合与预测问题时的步骤 (1)根据原始数据绘出散点图； (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式； (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 　 随堂巩固 　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　B　) A. 3π， B. 6π， C. 3π，3，－ D. 6π，3， 2. 如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值是(　C　) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如图所示为一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)关于时间t(单位：s)的函数解析式为θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是(　A　) A. B. 2， C. ，π D. 2，π 4. 某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度y(单位：星等)关于时间t(单位：天)的一个函数解析式为　y＝0.2sin＋3.8(答案不唯一)　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7 三角函数的应用 知识点一　三角函数在物理中的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 知识梳理 1. 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A＞0，ω＞0. 2. A就是这个简谐运动的　 　，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为　 　.  例1　已知电流I关于时间t的函数解析式为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示为I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少? [反思感悟]　处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其物理意义并与对应的三角函数知识结合解题. 知识点二　三角函数在生活中的应用 例2　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24]. (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温? [反思感悟]　解三角函数应用问题的基本步骤 知识点三　三角函数模型的拟合 例3　平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位：米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表所示： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)；②y＝Acos(ωt＋φ)＋b；③y＝－Asin ωt＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； (2)为保证队员安全，规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全? [反思感悟]　处理曲线拟合与预测问题时的步骤 (1)根据原始数据绘出散点图； (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式； (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 　 随堂巩固 　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　 　) A. 3π， B. 6π， C. 3π，3，－ D. 6π，3， 2. 如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值是(　 　) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如图所示为一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)关于时间t(单位：s)的函数解析式为θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是(　 　) A. B. 2， C. ，π D. 2，π 4. 某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度y(单位：星等)关于时间t(单位：天)的一个函数解析式为　 　.  学科网（北京）股份有限公司 $