专题03 指数函数的图像与性质20类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第二册

学科网（北京）股份有限公司 专题03指数函数的图像与性质20类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数函数的图像变换 题型二、方程根与零点 题型三、单调性解抽象不等式 题型四、单调性与奇偶性解抽象不等式 题型五、奇偶性对称性单调性解不等式 题型六、奇偶性与函数解析式 题型七、抽象函数问题 题型八、基本不等式的运用 题型九、构造函数问题 题型十、换元法 题型十一、分段函数的单调性求参数 题型十二、奇偶性求参数 题型十三、指数方程 题型十四、奇偶性求值 题型十五、复合函数的单调性 题型十六、复合函数的单调性求参数 题型十七、对称性的应用 题型十八、已知值域求参数 题型十九、函数值相等问题 题型二十、利用分段函数的单调性解不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 指数函数的图像与性质是高中数学核心重难点，题型涵盖不等式、单调性、最值、值域等，解题需注意：函数奇偶性与单调性，利用奇偶性与单调性考虑函数的最值. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数函数的图像变换 典例精讲1(25-26高一上·安徽涡阳第一中学·)(多选)函数（，且）的部分图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型归纳 与指数函数有关的函数图象的作图问题， 一般用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质.变换作图法作图要注意: 1)选择哪个指数函数作为起始函数要合适; 2)平移的方向及单位长度要正确; 3)关于哪条直线对称或翻折要找准. 变式训练1-1(26-27高一·北京育英学校·期中)若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 变式训练1-2(25-26高一·湖南澧县第一中学·期末)将函数（）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的最大值为__________． 变式训练1-3 函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 题型二、方程根与零点 典例精讲2. (25-26高一下·安徽安庆怀宁县·期末)已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型归纳 数形结合法求方程的根. 变式训练2-1(25-26高一上·辽宁大连第八中学·期中)设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2 (26-27高一·广东广州天河外国语学校·期中)已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练2-3 (25-26高一下·河南开封新未来·开学考)已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三、单调性解抽象不等式 典例精讲3 (25-26高一上·北京石景山区·期末)已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 题型归纳 1.判断函数的单调性； 2.利用单调性的同增异减去掉“f”。 变式训练3-1(25-26高一上·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求关于的不等式的解集． 变式训练3-2 (25-26高一上·江西南昌新民外语学校·月考)已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 变式训练3-3 (25-26高一上·广东江门培英高级中学·期中)已知定义在上的函数为奇函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)求不等式的解集． 题型四、单调性与奇偶性解抽象不等式 典例精讲4 (26-27高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.判断函数的单调性； 2.判断函数的奇偶性 3.利用单调性的同增异减去掉“f”。 变式训练4-1(26-27高一·广东清远第一中学·期中)已知，则不等式的解集为________． 变式训练4-2(25-26高一下·贵州遵义·期末)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式训练4-3(26-27高一·北京育英学校·期中)已知 (1)判断的单调性；并证明你的结论 (2)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围. 题型五、奇偶性对称性单调性解不等式 典例精讲5已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.判断函数的奇偶性与对称性 2.判断函数的奇偶性 3.结合单调性与对称性去掉“f” 变式训练5-1 已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练5-2 已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式训练5-3 已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六、奇偶性与函数的解析式 典例精讲6 (25-26高一·江西南昌第五高级中学·期中)已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 题型归纳 1.已知函数的奇偶性构造两个式子 2.通过加减求出函数的解析式 变式训练6-1 (25-26高一·贵州毕节赫章县第一中学赫章一中·)已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 变式训练6-2 (25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·)已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且. (1)判断是否为定值，并求出定值; (2)若关于x的不等式在 上恒成立，求实数a的取值范围. 变式训练6-3 (25-26高一·广东深圳高级中学高中园·期末)已知函数（），且.其中为奇函数，为偶函数. (1)求在上的值域； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围 题型七、抽象函数问题 典例精讲7 (24-25高一上·四川泸州高级中学校·月考)设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 题型归纳 1.赋值法求出特殊值 2.常用的特殊值为0,1，-1，-x等 变式训练7-1 (25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)已知定义在上的函数不恒为0，且. (1)求的值，并判断的奇偶性. (2)对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围. 变式训练7-2 已知函数满足，，且，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 变式训练7-3 (25-26高一·山东青岛·)函数定义域为，对于，，，． (1)若，求实数的值； (2)若．证明： （ⅰ）；； （ⅱ）当时，；当时，． 题型八、基本不等式的运用 典例精讲8 (25-26高一上·江苏南京第十三中学·)已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 题型归纳 1.根据函数的性质构造等式 2.加和与乘积为定值可以考虑基本不等式，尤其基本不等式常数1的运用。 变式训练8-1 (26-27高一·广东清远第一中学·期中)已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 变式训练8-2 已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 变式训练8-3 (25-26高一·河南洛阳·期末)已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型九、构造函数问题 典例精讲9 (26-27高一上·河南南阳名校·期中)已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 题型归纳 1.结构相同的式子可以考虑通过结构构造函数 2.利用函数的单调性与奇偶性求解不等式与最值等。 变式训练9-1 (25-26高一上·浙江杭州高级中学·期末)若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 变式训练9-2 (25-26高一·湖南益阳安化县·期中)若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 变式训练9-3 (25-26高一上·内蒙古阿拉善盟额济纳旗·期末)已知实数，且满足，则的最小值为_____. 题型十、换元法 典例精讲10 (25-26高一上·山东日照·期末)已知定义在上的单调函数满足.若对，，使成立，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型归纳 1.复合函数问题采用整体换元。 2.利用换元法可以考虑函数的解析式最值等。 变式训练10-1 (25-26高一下·湖北中部·期末)已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式训练10-2 (25-26高一·江西南昌第五高级中学·期中)已知函数，且． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 变式训练10-3 (25-26高一·浙江杭州北斗联盟·期中)已知函数，. (1)求证：； (2)设函数，其中. （ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （ⅱ）若函数在上有两个零点，，且，求实数的值. 题型十一、分段函数的单调性求参数 典例精讲11 (26-27高一·广东广州天河外国语学校·期中)已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 分段函数的单调增 1.左侧函数单调增，右侧函数单调增，左侧函数端点值不高于右侧函数端点值。 2.函数单调减解法同单调增。 变式训练11-1 (25-26高一上·广西百色·期末)已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练11-2 (26-27高一上·江苏苏州实验中学·)已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练11-3 (25-26高一上·辽宁大连第八中学·期中)已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二、奇偶性求参数 典例精讲12 (25-26高一·广东广州执信中学·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 题型归纳 已知函数的奇偶性求参数 1.奇函数若定义域可以取0，则f(0)=0； 2.函数的奇偶性考虑取特殊值，0,1，-1等； 3.分段函数的奇偶性可以考虑端点值； 4.奇偶函数加减运算，奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇-奇=奇，偶-偶=偶； 奇偶函数乘除运算，只需考虑奇函数的个数，含有奇数个奇函数做乘除运算=奇；含有偶数个奇函数做乘除运算=偶； 5.利用奇偶函数的定义。 变式训练12-1 (25-26高一下·广东深圳南方科技大学附属中学·期中)已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 变式训练12-2 (25-26高一下·陕西西安第八十九中学·)若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 变式训练12-3 我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若函数满足为偶函数，求的值； (2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形？如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，解关于的方程. 题型十三、指数方程 典例精讲13 已知是方程的两个根，若，则______． 题型归纳 1.指数方程可以考虑换元法， 2.由韦达定理求出对应等式。 变式训练13-1 (26-27高一上·江苏盐城中学·)已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 变式训练13-2 (25-26高一上·福建莆田第二中学·月考)已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数t的取值范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围． 变式训练13-3 (24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 题型十四、奇偶性求值 典例精讲14 (26-27高一上·河南叶县高级中学·调研)已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 题型归纳 复杂函数，可以考虑函数的奇偶性，利用函数的奇偶性求解对应数值。 变式训练14-1 (25-26高一下·河南叶县高级中学、偃师高级中学等校·月考)已知函数，且，则（    ） A．-8 B．-5 C．5 D．8 变式训练14-2 (23-24高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·月考)若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式训练14-3 (25-26高一上·浙江温州浙南名校联盟·期中)已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型十五、复合函数的单调性 典例精讲15 (26-27高一上·天津双菱中学·期中)函数的单调递减区间为______． 题型归纳 复合函数的奇偶性 1.整体换元法 2.利用同增异减判断函数的单调性 3.优先考虑函数的定义域。 变式训练15-1 已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. (1)求函数的单调区间； (2)若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 变式训练15-2 (25-26高一上·广东广州执信中学·期末)已知函数，． (1)试判断函数与的奇偶性； (2)若，求函数的最小值． (3)求不等式的解集． 变式训练15-3 (25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)已知函数．为奇函数． (1)求的值； (2)证明在上单调递增，并求出值域； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 题型十六、复合函数的单调性求参数 典例精讲16 (23-24高一上·云南昆明第三中学·)如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 题型归纳 1.整体换元法 2.含参问题分类讨论 变式训练16-1 (25-26高一下·贵州遵义第五中学·月考)已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式训练16-2 (25-26高一上·北京第五十七中学·月考)已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是___________． 变式训练16-3 (25-26高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)函数在单调递减，则的取值范围为______. 题型十七、对称性的应用 典例精讲17 (25-26高一上·河北雄安新区·期末)函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 题型归纳 1.指数函数多个数值求值问题 2.考虑对称性，一般首位数值加和会等于定值。 变式训练17-1 (25-26高一上·山西怀仁大地学校高中部等校·期末)已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； (3)设，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 变式训练17-2 (25-26高一·贵州遵义航天高级中学·月考)函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形. （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数的不等式对任意非零实数都成立，求的取值范围. 变式训练17-3 (25-26高一·江苏泰州中学·期末)我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 题型十八、已知值域求参数 典例精讲18 (25-26高一·广东·)已知函数 (1)当时，证明：函数在定义域内单调递增； (2)是否存在实数使得函数是奇函数，若存在，请求出的所有可能取值，若不存在，请说明理由； (3)当时，存在区间，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 题型归纳 1.已知函数的值域与最值求参数 2.时刻考虑分类讨论，适当的函数可以考虑换元法。 变式训练18-1 (25-26高一上·四川泸州·期末)已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)解不等式； (3)若函数在定义域内某个区间上的值域为，则称为的优美区间．若存在优美区间，求k的取值范围，并证明：． 变式训练18-2 (25-26高一上·江苏东海高级中学·)已知函数为奇函数，且. (1)求实数的值，并用定义证明的单调性； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)函数在区间上的值域是，求的取值范围. 变式训练18-3 (25-26高一上·河北雄安新区·期末)同学甲对函数进行了一番研究，他的研究结果如下：函数为奇函数，定义域为，函数在和上单调递增，在和上单调递减，它被称为“对勾函数”. (1)同学乙对函数进行了研究，得到此函数在定义域和上单调递增，请你帮助同学乙用单调性的定义证明此结论； (2)求函数的值域； (3)令，若在上的最小值为，求的值. 题型十九、函数值相等问题 典例精讲19 (25-26高一上·河北承德·)已知函数，．若，且，，使得成立，则的最大值为______． 题型归纳 1.任意与存在的两个函数函数值相等问题。 2.任意部分的函数值的值域范围小于存在部分的函数的函数值域。 变式训练19-1 (25-26高一上·河南·期末)已知函数，，若对任意的，总存在（），使得成立，则实数的取值范围是______. 变式训练19-2 (25-26高一上·湖南邵阳大祥区邵阳第二中学·期末)已知函数，（），若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 变式训练19-3 (25-26高一上·山东济南名校联考·)已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，对，使得，求实数的取值范围． 题型二十、利用分数函数单调性解不等式 典例精讲20 (25-26高一上·贵州六盘水·期末)已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.分段函数与不等式问题 2.考虑分段函数的单调性脱去“f”； 2.画出分段函数的图像，通过函数的单调性，结合分类讨论，求解不等式。 变式训练20-1 (25-26高一下·湖南长沙长郡中学·开学考)已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式训练20-2 (25-26高一·山东聊城·期末)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式训练20-3 (25-26高一上·辽宁辽阳·期末)已知函数，且，，，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高一·浙江开化中学等五校·期中)若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·福建厦门杏南中学·期末)已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·四川宜宾第一中学校·期末)已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是__________. 4．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 5．(26-27高一上·广东深圳南山实验教育集团华侨城高级中学·期中)已知定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明. (3)若存在，使不等式有解，求实数的取值范围； (4)已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 6．(26-27高二·广东汕尾陆河县部分校·)我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 7．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意 当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 8．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学等校·期中)已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．(25-26高一上·浙江杭州杭高贡院、杭高钱江、杭高钱塘·期中)已知奇函数 (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)函数，，是否存在实数b，使得函数的最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由． 10．(25-26高一下·河北定兴第三中学·开学考)已知函数． (1)设． （i）若，求的值； （ii）当时，恒成立，求的最小值． (2)已知，且函数的最小值为4，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 专题03指数函数的图像与性质20类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数函数的图像变换 题型二、方程根与零点 题型三、单调性解抽象不等式 题型四、单调性与奇偶性解抽象不等式 题型五、奇偶性对称性单调性解不等式 题型六、奇偶性与函数解析式 题型七、抽象函数问题 题型八、基本不等式的运用 题型九、构造函数问题 题型十、换元法 题型十一、分段函数的单调性求参数 题型十二、奇偶性求参数 题型十三、指数方程 题型十四、奇偶性求值 题型十五、复合函数的单调性 题型十六、复合函数的单调性求参数 题型十七、对称性的应用 题型十八、已知值域求参数 题型十九、函数值相等问题 题型二十、利用分段函数的单调性解不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 指数函数的图像与性质是高中数学核心重难点，题型涵盖不等式、单调性、最值、值域等，解题需注意：函数奇偶性与单调性，利用奇偶性与单调性考虑函数的最值. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、指数函数的图像变换 典例精讲1(25-26高一上·安徽涡阳第一中学·)(多选)函数（，且）的部分图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先判断出为偶函数，再对分类讨论即可. 【详解】函数的定义域为，且， 则是偶函数，故D错误； ， 当时，在上单调递增，且，故A正确，B错误； 当时，在上单调递减，且，故C正确． 题型归纳 与指数函数有关的函数图象的作图问题， 一般用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质.变换作图法作图要注意: 1)选择哪个指数函数作为起始函数要合适; 2)平移的方向及单位长度要正确; 3)关于哪条直线对称或翻折要找准. 变式训练1-1(26-27高一·北京育英学校·期中)若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 变式训练1-2(25-26高一·湖南澧县第一中学·期末)将函数（）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的最大值为__________． 【答案】3 【分析】先得到变换后的函数解析式，得到对恒成立，先分和两种情况求出，再检验，时成立，即可求得的取值范围. 【详解】由题意可得，平移后的图象的函数解析式为. 因为的函数图象位于图象的上方，所以对于恒成立， 即，则对恒成立. 令， 若，则， 则对于恒成立. 因为单调递增，所以，所以. 若，则，恒成立， 故. 当时，且时，则. 由于在上单调递增，所以恒成立， 所以实数的取值范围是，故的一个取值为，的最大值为. 变式训练1-3 函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了指数函数的单调性，绝对值函数的取值范围，掌握利用函数单调性求值域的方法是解题的关键． 先求在的取值范围，再由指数函数单调性求的范围，最后得函数值域． 【详解】解：由题意，所以， 因为函数为增函数，所以， 故． 故选：C． 题型二、方程根与零点 典例精讲2. (25-26高一下·安徽安庆怀宁县·期末)已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 题型归纳 数形结合法求方程的根. 变式训练2-1(25-26高一上·辽宁大连第八中学·期中)设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设，由互不相等的实数满足， 得到，，，，由得到， 由结合得到，解得的范围，求出的范围，从而得到所求. 【详解】我们先分析函数的图像： 不妨设， 因为互不相等的实数满足， 所以，，，， 由，得，即， ， 因为，所以，解得， 则，即， ， 符合选项 D. 变式训练2-2 (26-27高一·广东广州天河外国语学校·期中)已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，再参变分离得到，求得的最大值，进而可求解. 【详解】令，因为，所以 ， 则恒成立，等价于： 恒成立， 两边同除以，得， 令，由 得， 令， 是开口向下的二次函数， 对称轴，在区间单调递减， 因此最大值为： ， 要使对所有​恒成立， 只需， 整理得： ， 解得， 故 实数a的取值范围是. 变式训练2-3 (25-26高一下·河南开封新未来·开学考)已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数判断段方程的正根情况，用判别式与韦达定理分析段方程的负根情况，再分类组合使总根个数恰好为，从而确定的取值范围. 【详解】原方程等价于： 和共有一个实数根. 当时，函数在上严格单调递增，因此在上的值域为， 方程在上有一个实根等价于， 令，则，结合题干得，不等式等价于：， 构造函数，， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故的解为，故的解为. 故当方程在上有一个实根时. 当时，考虑方程即， ，结合分类： 当， 由韦达定理，两根之和，两根之积，故有个负根； 当或； 时，方程为，根（不在区间，无负根）； 当：方程为，根（在区间，有个负根）； 当：方程无实根，无负根. 分类讨论总根个数： 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，不符合题意； 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，符合题意； 当：方程无负根，方程有个正根总根个数，符合题意； 故满足方程恰有一个实数根的取值范围为：. 题型三、单调性解抽象不等式 典例精讲3 (25-26高一上·北京石景山区·期末)已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】（） 【分析】先分析函数单调性，再转化为求的一元二次不等式进行求解. 【详解】已知函数， 对于任意实数， 有， 因为是增函数，时， ， 所以，即在上单调递增。 则，移项得：， 由函数单调递增性，得， ，， 解得： 故答案为： 题型归纳 1.判断函数的单调性； 2.利用单调性的同增异减去掉“f”。 变式训练3-1(25-26高一上·黑龙江龙东十校联盟·期中)已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程，从而求得的值. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）根据题意，， 令，则， 即，解得，或（舍去）， 所以，则. （2）因为在上单调递增， 所以不等式可以化为， 所以，所以， 所以且， 所以原不等式的解集为. 变式训练3-2 (25-26高一上·江西南昌新民外语学校·月考)已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明如下： 由（1）知，则， 函数是定义在R上的奇函数， 由于，所以是奇函数. (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数的定义列式求出值即得. （2）利用函数奇偶性定义判断并证明. （3）利用指数函数的单调性脱去函数法则“f”，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由函数是指数函数，得，解得， 所以函数的表达式为. （2）略 （3）函数在R上单调递增，不等式， 即，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为. 变式训练3-3 (25-26高一上·广东江门培英高级中学·期中)已知定义在上的函数为奇函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增. 在内任取，令， 则 由，得，， 则，所以 ，即 ， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义及函数值列式求出即可得解. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用单调性脱去法则“f”，再应用指数函数单调性解不等式组即得答案. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，得，解得， 因为，所以， 所以函数的解析式. （2）略 （3）不等式为， 由（2）知在上单调递增，且，则，即， 解得， 所以原不等式的解集为. 题型四、单调性与奇偶性解抽象不等式 典例精讲4 (26-27高一上·福建厦门大学附属科技中学·期中)已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，易得是上的奇函数且在上单调递增，然后将转化成，然后根据函数的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】令，则， ，是奇函数， ， 因为是上的增函数，是上的减函数， 是上的增函数， 等价于， ， ，即，解得或， 故实数的取值范围是. 题型归纳 1.判断函数的单调性； 2.判断函数的奇偶性 3.利用单调性的同增异减去掉“f”。 变式训练4-1(26-27高一·广东清远第一中学·期中)已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 变式训练4-2(25-26高一下·贵州遵义·期末)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断是单调递增的奇函数，再利用、奇偶性和单调性，把不等式转化为，解得. 【详解】当时，，是单调递增函数，且； 当时，，是单调递增函数，且（时）， 所以是奇函数，且在上单调递增； 则，因为是奇函数，且在上单调递增，所以，解得. 变式训练4-3(26-27高一·北京育英学校·期中)已知 (1)判断的单调性；并证明你的结论 (2)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在定义域上单调递减， 证明：令， 则， 由，， 即，， 故在定义域上单调递减. (2) 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，结合函数的奇偶性与单调性将问题转换为有解且不恒成立，结合函数的值域求的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由且，得， 则函数为奇函数. 由，可得， 所以， 由（1）知：，即有解，但不恒成立， 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得. 题型五、奇偶性对称性单调性解不等式 典例精讲5已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 题型归纳 1.判断函数的奇偶性与对称性 2.判断函数的奇偶性 3.结合单调性与对称性去掉“f” 变式训练5-1 已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断函数的奇偶性与对称性，再根据直接法判断函数的单调性，解不等式即可. 【详解】， 设， ， 由，得， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数； 则， 即，整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为，故选B． 变式训练5-2 已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，可得求解． 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，整理得， 解得或． 变式训练5-3 已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 题型六、奇偶性与函数的解析式 典例精讲6 (25-26高一·江西南昌第五高级中学·期中)已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 题型归纳 1.已知函数的奇偶性构造两个式子 2.通过加减求出函数的解析式 变式训练6-1 (25-26高一·贵州毕节赫章县第一中学赫章一中·)已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇偶函数的定义列式求解. （2）求出函数定义域，结合二次函数、指数函数单调性求出递增区间. （3）由（1）的结论化简不等式，再结合一元二次不等式的解法及指数函数单调性求解. 【详解】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或， 即或，所以原不等式的解集为. 变式训练6-2 (25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·)已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且. (1)判断是否为定值，并求出定值; (2)若关于x的不等式在 上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)是定值，其定值为 (2) 【分析】（1）用代换，结合奇偶性，解方程组可求得和，计算可得结论； （2）原不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，利用基本不等式求的最小值，即可得实数a的取值范围. 【详解】（1）由题意，①，用代换，得， 又为R上的奇函数，为R上的偶函数，所以②， 联立①②，解得，. 因此， 故是定值，其定值为. （2）由（1）知，不等式，即， 得. 当时，，，不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 又 ，当且仅当，即时，等号成立， 因此可得，所以实数a的取值范围为. 变式训练6-3 (25-26高一·广东深圳高级中学高中园·期末)已知函数（），且.其中为奇函数，为偶函数. (1)求在上的值域； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）先利用二次函数求解内层函数的最值，然后再利用指数函数的单调性求出外层的最值，即可得解. （2）结合函数的奇偶性，利用方程组法求解析式. （3）方法一：依题意，，利用换元法将原问题转化为在存在零点，然后利用二次函数根的分布列不等式求解即可. 方法二：由将原式转化为在有实根，再参数分离，判断方程在有实根即可. 【详解】（1）依题意，， 的图象是开口向上， 以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值 又函数单调递增，从而的最小值为. 当时，取得最大值3，从而的最大值为 在上的值域为. （2）因为  ①， 以代入，可得， 因为为奇函数，有：，为偶函数， 有：，于是有  ②， 联立①和②，解得：，. （3）法1：依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点，即要在存在零点， 又是开口向下的抛物线且， 则需，解得. 或，无解 综上得，所以满足题意的实数的取值范围为. 法2：依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点，即要方程在有实根 所以方程在有实根.又函数在上单调递减， 又，所以函数在上单调递减， 所以当时，即. 题型七、抽象函数问题 典例精讲7 (24-25高一上·四川泸州高级中学校·月考)设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 【答案】 【分析】令，转化为讨论的性质，利用特殊值法以及单调性的定义可得在上单调增，且.于是将不等式转化为，并结合单调性得到，最后解得. 【详解】设，则， 令，则，所以， 令，则. 设，因为时，所以， ， ， 由函数单调性的定义可知，在上单调递增. 又因为可化为 ，即， 结合，可得， 所以， 又因为在上单调递增，所以， 即，所以， 因为对恒成立， 所以，解得. 题型归纳 1.赋值法求出特殊值 2.常用的特殊值为0,1，-1，-x等 变式训练7-1 (25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)已知定义在上的函数不恒为0，且. (1)求的值，并判断的奇偶性. (2)对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】（1）令得，再令得即可判断； （2）先求出、的解析式，令，结合飘带函数、对勾函数的性质，通过单调性判断. 【详解】（1）由， 令，有，得， 令，则， 因为不恒为0，定义域为，所以， 则在上为奇函数. （2）因为，所以， 所以， 因为函数图象上不存在两点P，Q，使得PQ轴. 所以函数在定义域上严格单调， 下面讨论单调性：令，则t在上是增函数，且t＞0. 令， ①当，即或时， 若，在上单调递减， 则在上单调递减，符合； 若，在上单调递增， 则在上单调递增，符合； ②若时， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 不符合题意； 综上：a的取值范围为 变式训练7-2 已知函数满足，，且，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】交换可得，进而可得，再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，① ． 则交换可得，， 化为② 由① ② 可得③ ， ③ 中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于. 变式训练7-3 (25-26高一·山东青岛·)函数定义域为，对于，，，． (1)若，求实数的值； (2)若．证明： （ⅰ）；； （ⅱ）当时，；当时，． 【答案】(1) (2) （ⅰ）证明：，． 则， 所以， 而， 则， 所以，． （ⅱ）证法1：若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， ，， 综上，，， 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， 则； 综上，，， 证法2：任意，， ， 所以，则在上单调递增． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得， 综上所述，，． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得； 综上所述，，． 【分析】（1）由题设可得对于任意正数，，进而得到，由恒成立可得，进而得到； （2）（ⅰ）由，可得，再得到，进而求证即可； （ⅱ）证法1：结合（ⅰ）分、且可证明当时，，分、且可证明当时，； 证法2：先利用函数单调性的定义证明在上单调递增，再分情况证明即可. 【详解】（1）因为对于任意正数，，所以，所以． 当，时，． 因为，，所以，所以，所以， 综上所述，． （2）略 题型八、基本不等式的运用 典例精讲8 (25-26高一上·江苏南京第十三中学·)已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，又根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为R， 且， 所以为奇函数，又函数和在R上都单调递增， 所以在R上单调递增， 所以由，即，即 所以，即，即， 故 当且仅当，结合，即得时，等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：B. 题型归纳 1.根据函数的性质构造等式 2.加和与乘积为定值可以考虑基本不等式，尤其基本不等式常数1的运用。 变式训练8-1 (26-27高一·广东清远第一中学·期中)已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 9 【分析】由过定点，又，得，解得，即可算出定点的坐标，把点坐标代入，利用“”的妙用和基本不等式即可求出答案. 【详解】由恒过定点，对于，有，则， 解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得，， 由， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以取得最小值为9. 变式训练8-2 已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先判断的图象关于成中心对称，再判断函数的单调性，从而可得，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 变式训练8-3 (25-26高一·河南洛阳·期末)已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先研究函数的奇偶性与单调性，进而得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】由题知的定义域为，，所以函数为奇函数. 因为均为上的增函数， 所以函数为上的增函数， 所以， 所以，即，且， 所以，当且仅当时等号成立， 即，解得，， 所以，当，时，取得最小值. 故选：A 题型九、构造函数问题 典例精讲9 (26-27高一上·河南南阳名校·期中)已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由可得， 因为均为递增函数，所以也为递增函数， 所以，即， 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为 题型归纳 1.结构相同的式子可以考虑通过结构构造函数 2.利用函数的单调性与奇偶性求解不等式与最值等。 变式训练9-1 (25-26高一上·浙江杭州高级中学·期末)若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】由可得， 记， 由于函数均为单调递增函数，故为单调递增函数， 故，则，即, 故选:D 变式训练9-2 (25-26高一·湖南益阳安化县·期中)若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1的代换”结合基本不等式求出目标式的最小值. 【详解】对原等式移项整理得（1）， 令，由于在上单调递增，在上单调递减， 故在上也是单调递增，因此是上的单调增函数， （1）式即，由单调性得， 即，整理得， 所以 当且仅当时取等号，又，即时等号成立. 即的最小值为. 变式训练9-3 (25-26高一上·内蒙古阿拉善盟额济纳旗·期末)已知实数，且满足，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由可得，再设，则有，通过分析的单调性，可知，再运用消元法，即可求解的最小值. 【详解】由得， 即， 令，则有， 因为与在上均单调递增， 所以在上单调递增. 因为，故， 因此由可得， 则， 故当时，取最小值. 故答案为：. 题型十、换元法 典例精讲10 (25-26高一上·山东日照·期末)已知定义在上的单调函数满足.若对，，使成立，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】令，根据函数的单调性求出的解析式，再求出在，上的值域即可求出. 【详解】令，则， 因为是单调函数，所以是常数，则， 则， 因为是单调递增函数，且，所以， 则， 因为是上的单调递增函数，，，， 所以当时，；当时，， 因为对，，使成立， 则，， 欲使尽可能小，则，则的最小值为. 故选：C 题型归纳 1.复合函数问题采用整体换元。 2.利用换元法可以考虑函数的解析式最值等。 变式训练10-1 (25-26高一下·湖北中部·期末)已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的性质判断为常数，求出该常数得到的解析式后计算即可. 【详解】因为是上的单调函数，且对任意都有， 因此存在唯一的常数，使得，即,则可得. 令，由于与均在上单调递增，因此在上单调递增， 又，故方程有唯一实数解, 因此，. 变式训练10-2 (25-26高一·江西南昌第五高级中学·期中)已知函数，且． (1)若函数在上单调递增，求的取值范围； (2)若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，令，分、两种情况讨论，根据复合函数的单调性结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）令，因为，则，利用基本不等式求出函数的值域，分析可知函数在上的值域是的子集，即，然后对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的单调性以及可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）令，则， 令，则二次函数的图象开口向上，对称轴方程为． ①当时，在上单调递减，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递减，则， 即，该不等式组无解； ②当时，在上单调递增，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递增，则， 即，解得. 综上，的取值范围为． （2）当时，，令，因为，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，即， 故的最小值为，即函数的值域为． 若对，都，使得， 需满足函数在上的值域是的子集，即． ①当时，，对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ②当时，，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ③当时，因为，故，不符合题意． 综上，的取值范围为． 变式训练10-3 (25-26高一·浙江杭州北斗联盟·期中)已知函数，. (1)求证：； (2)设函数，其中. （ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （ⅱ）若函数在上有两个零点，，且，求实数的值. 【答案】(1) 由平方差公式可得， ，， 因此代入得， 所以； (2)（ⅰ）最小值；最大值为；（ⅱ） 【分析】（1）由条件先求，，结合证明结论； （2）（ⅰ）令，可得，结合指数函数单调性求的范围，再求二次函数在指定区间的最值； （ⅱ）方法一：根据二次方程区间根问题的处理方法，先求满足题意的的取值范围，再根据求出的值；方法二：条件可转化为与，有两个交点，结合对勾函数性质先求满足题意的的取值范围，再根据求出的值. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）当时，， 令，则， 因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数， 当时，，当时，， 所以若，则， 二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时，，， 所以当时，取最小值，最小值为， 当时，取最大值，最大值为， 所以函数在区间上的最大值为，最小值； （ⅱ） 方法一：函数在上有两个零点，可转化为方程在有两个不等根， 设， 所以，即， 解出， 设为方程在的两根， 则，因为，， ， 又，得到①， ， 两边同乘得，，， 代入整理得， 整理得②， 结合①②得，求出，满足题意. 方法二：函数在上有两个零点，， 可转化为关于的方程在有两个不等根， 故关于的方程在区间上有两个不相等的实数根， 所以与，有两个交点， 函数，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 设为方程在的两根， 则，因为，， ， 又，得到①， ， 两边同乘得，，， 代入整理得， 整理得②， 结合①②得，求出，满足题意. 题型十一、分段函数的单调性求参数 典例精讲11 (26-27高一·广东广州天河外国语学校·期中)已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为满足对任意都有，可知在R上单调递减， 则，解得，即 题型归纳 分段函数的单调增 1.左侧函数单调增，右侧函数单调增，左侧函数端点值不高于右侧函数端点值。 2.函数单调减解法同单调增。 变式训练11-1 (25-26高一上·广西百色·期末)已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由不等式判断函数在R上单调递减，再分别对指数段、二次段列递减条件，补充分界点处的衔接约束，解不等式取交集得到a的范围． 【详解】对任意都有成立，等价于是上的单调递减函数， 时，单调递减，则，解得； 时，，开口向下，对称轴， 要在递减，对称轴需在区间左侧，，解得； 时，指数极限值，时，右段的数值为， 是在上的单调递减函数，则，解得， 综上可得实数的取值范围是． 变式训练11-2 (26-27高一上·江苏苏州实验中学·)已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数在上单调递减，需要满足两个条件：各分段内函数自身单调递减，且在分段点处左侧函数值不小于右侧函数值；分别对二次函数、指数型复合函数列出不等式，求交集得到参数范围. 【详解】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是. 变式训练11-3 (25-26高一上·辽宁大连第八中学·期中)已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 题型十二、奇偶性求参数 典例精讲12 (25-26高一·广东广州执信中学·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的推广结论构造奇函数，利用奇函数满足恒成立的性质求出对称中心的坐标，进而计算. 【详解】由题意，若的对称中心为，则为奇函数，对定义域内任意均有， 即： 代入得： ， 对第二项分母变形得，因此第二项可化简为，原等式变为： ， 要使等式对任意恒成立，令，解得， 代入左边得： 因此，解得， 故. 题型归纳 已知函数的奇偶性求参数 1.奇函数若定义域可以取0，则f(0)=0； 2.函数的奇偶性考虑取特殊值，0,1，-1等； 3.分段函数的奇偶性可以考虑端点值； 4.奇偶函数加减运算，奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇-奇=奇，偶-偶=偶； 奇偶函数乘除运算，只需考虑奇函数的个数，含有奇数个奇函数做乘除运算=奇；含有偶数个奇函数做乘除运算=偶； 5.利用奇偶函数的定义。 变式训练12-1 (25-26高一下·广东深圳南方科技大学附属中学·期中)已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 【答案】(1) (2) （或） (3) 【详解】（1）已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得， 移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. （2）当时，，由（1）知，令，得， 设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. （3）由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为. 变式训练12-2 (25-26高一下·陕西西安第八十九中学·)若函数的定义域为，则其图象关于直线对称的充要条件是:对任意恒成立，已知函数． (1)若函数关于直线对称，求实数的值； (2)证明：对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称； (3)若，且函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：对任意， ， 当，即时，恒有，与取值无关， 故对任意，存在实数使得函数的图象关于直线对称 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可； （2）函数的图象关于直线对称，即，可得，令求解即可； （3）由题意得有两个不相等的实数根，利用换元法设，， 则，有两个不相等正实数根，利用及韦达定理列式求解即可. 【详解】（1）依题意为偶函数， 所以， 所以， 即对任意的实数恒成立， 所以． （2）略 （3）时，， 由题意得有两个不相等的实数根， 设，，则， 因为与一一对应， 所以新方程有两个不相等正实数根， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 变式训练12-3 我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若函数满足为偶函数，求的值； (2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形？如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，解关于的方程. 【答案】(1) (2)是，理由如下： 函数，， 则，因此函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为. (3) 【分析】（1）配方变形，利用给定定义求出值. （2）由给定函数求出，再利用给定定义求解判断. （3）利用换元法解指数方程. 【详解】（1）函数，则 显然函数是偶函数，即是偶函数， 所以. （2）略 （3）令，则， 方程化为，解得或， 当时，，即，解得； 当时，，无解， 所以原方程的解为. 题型十三、指数方程 典例精讲13 已知是方程的两个根，若，则______． 【答案】0 【详解】由题意知是方程的两个根， 令，则方程有两个正根， 则，解之得， 又是方程的两个根， 则，又，则， 解之得或（舍）， 则，又， 则，即，解得或，则或， 则，或，则. 题型归纳 1.指数方程可以考虑换元法， 2.由韦达定理求出对应等式。 变式训练13-1 (26-27高一上·江苏盐城中学·)已知实数满足，则（     ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】通过换元将指数方程转化为一元二次方程，利用完全平方公式的变形求解目标式的值. 【详解】由指数运算性质得，设，其中，则原方程可转化为 ， 即 ，由于，得， ， 因为 ， 所以. 变式训练13-2 (25-26高一上·福建莆田第二中学·月考)已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数t的取值范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，在上为单调递增 (2) (3) 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）可化为，即可解得结果； （3）转化为有实根，令，则转化为即 有正根，令，则，整理得有大于的实根，讨论，根据对勾函数的单调性可得结果． 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数， 所以，，则, 所以， 因为在上为增函数， 所以在上为单调递增． （2）因为是奇函数， 在上单调递增可得， 又因为，所以有解， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，则， 所以， 所以实数t的取值范围为． （3）关于x的方程有实根，即有实根， 所以有实根， 令，则有正根， 所以 有正根， 因为， 设，则，， 当时，， 当且时，， ， 所以或， 所以或， 综上所述：． 变式训练13-3 (24-25高一上·福建福州第三中学·期中)已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）换元解方程，再解指数方程即可. （3）探讨函数的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，解得， 所以，，即是奇函数， 所以. （2）令，则方程化为，即， 解得或，由（1）知， 当时，，即，解得，； 当时，，即，无解， 所以原方程的解为. （3）由（1）知，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，依题意得，，即， 令，因此是方程，即的两个不等的正根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 题型十四、奇偶性求值 典例精讲14 (26-27高一上·河南叶县高级中学·调研)已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】将原函数拆分为奇函数与常数的和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数的性质求解. 【详解】构造函数，其定义域为，关于原点对称， ，因此为奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数的性质得， 由于，故的最大值，最小值， 因此. 题型归纳 复杂函数，可以考虑函数的奇偶性，利用函数的奇偶性求解对应数值。 变式训练14-1 (25-26高一下·河南叶县高级中学、偃师高级中学等校·月考)已知函数，且，则（    ） A．-8 B．-5 C．5 D．8 【答案】B 【详解】设，则，所以是定义在上的奇函数， 所以，即，所以， 因为，所以. 变式训练14-2 (23-24高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·月考)若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可. 【详解】依题意，函数的定义域为R， 令，则，即为奇函数， 由于函数有最大值为M，最小值为N，则函数有最大值，最小值， 由奇函数的性质知，所以. 故选：B 变式训练14-3 (25-26高一上·浙江温州浙南名校联盟·期中)已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要解决这道题，我们可以先对函数进行化简，再分析其对称性，进而得出最大值和最小值的关系. 【详解】 所以函数关于点对称， 又在上单调递增，且，所以在上单调递减， 则在上单调递增 由，则这个区间关于点对称，所以最值关于点对称， 那么最值和为，即 故选：D 题型十五、复合函数的单调性 典例精讲15 (26-27高一上·天津双菱中学·期中)函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】本题为复合函数单调性求解问题，需先确定函数定义域，再依据复合函数“同增异减”的判定规则，逐层分析各层函数的单调性，最终结合定义域取交集得到目标单调递减区间. 【详解】即 ，解得或，因此原函数的定义域为， 令，，则， 外层在定义域上为单调递减函数； 中间层在定义域上为单调递增函数； 内层，开口向上，对称轴为，因此该函数在上单调递减，在上单调递增； 因此原函数的单调递减区间为. 题型归纳 复合函数的奇偶性 1.整体换元法 2.利用同增异减判断函数的单调性 3.优先考虑函数的定义域。 变式训练15-1 已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. (1)求函数的单调区间； (2)若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)当时， ；当时，. 【分析】（1）先判断函数的单调性，再根据“同增异减”判断复合函数的单调性； （2）分情况讨论二次函数在给定区间的最大值. 【详解】（1）因为定义在上的二次函数满足，且有最小值， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为函数在上单调递减，由“同增异减”可知， 在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）设，则 ，则， 则 . 因为的区间中点为， 当，即时， ； 当，即时， . 变式训练15-2 (25-26高一上·广东广州执信中学·期末)已知函数，． (1)试判断函数与的奇偶性； (2)若，求函数的最小值． (3)求不等式的解集． 【答案】(1)为奇函数，为偶函数； (2)1 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可； （2）化简，得，由基本不等式，可得函数的最小值为1； （3）根据的奇偶性及单调性，将不等式化为，求解可得. 【详解】（1）由题意，函数和的定义域均为R， ， 且，， 所以函数为奇函数，为偶函数. （2）， 当，即时，等号成立，所以函数的最小值为1． （3）由知,的定义域为R，且为奇函数， 因此不等式等价于， 即. 因为函数在R上均为增函数，所以函数在R上单调递增. 所以，整理得，即，解得. 故不等式的解集. 变式训练15-3 (25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)已知函数．为奇函数． (1)求的值； (2)证明在上单调递增，并求出值域； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 由（1）可得， 任取，，且， 则， 由，可得，即， 所以， 即，函数在上单调递增； 又，，则， 所以，所以； (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程，解方程即可得的值； （2）化简函数解析式，利用定义法这证明函数单调性，并判断值域； （3）根据函数的奇偶性及单调性可将不等式转化为，分离参数，结合不等式有解，可转化为. 【详解】（1）由已知，则， 由奇函数可知， 即； （2）略 （3）由已知，即， 又函数为奇函数，且在上单调递增， 即， 所以，即， 所以当时，不等式有解， 即， 设，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即. 题型十六、复合函数的单调性求参数 典例精讲16 (23-24高一上·云南昆明第三中学·)如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 题型归纳 1.整体换元法 2.含参问题分类讨论 变式训练16-1 (25-26高一下·贵州遵义第五中学·月考)已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 变式训练16-2 (25-26高一上·北京第五十七中学·月考)已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题可得，令，则在上单调递减，由复合函数的单调性可得在上单调递减，结合二次函数的图象与性质分析即可求解. 【详解】因为对，且，都有， 则， 令，则在上单调递减， 令 由于在上为增函数， 由复合函数单调性可得：在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足条件， 当时，要使在上单调递减， 则，解得：， 当时，要使在上单调递减， 则，解得：， 综上的取值范围为：; 故答案为： 变式训练16-3 (25-26高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)函数在单调递减，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性确定的单调区间，再由已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】令，其图象的开口向下，对称轴为且， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，则，可得， 所以. 故答案为： 题型十七、对称性的应用 典例精讲17 (25-26高一上·河北雄安新区·期末)函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 【答案】C 【分析】先根据解析式求得，首尾相加可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 所以， 故选：C. 题型归纳 1.指数函数多个数值求值问题 2.考虑对称性，一般首位数值加和会等于定值。 变式训练17-1 (25-26高一上·山西怀仁大地学校高中部等校·期末)已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； (3)设，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 由题意得，在上单调递增． 证明如下：任取、，且， 则， 因为，所以，即，所以， 即，故在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）化简函数的解析式为，判断出在上单调递增，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （2）化简得出，令，可得出，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出最大值的表达式； （3）推导出函数的图象的对称中心为，可计算出，利用基本不等式推导出，结合题意可得出关于的不等式，即可解出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）， 令，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，所以， 所以，， 又的图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递增， 此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则， 此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则， 此时； 当时，函数在上单调递减， 此时． 综上所述. （3）因为 ， 所以函数的图象的对称中心为． ， 因为，由基本不等式得， 所以， 要使不等式在上有解， 则，解得，故实数的取值范围为． 变式训练17-2 (25-26高一·贵州遵义航天高级中学·月考)函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形. （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数的不等式对任意非零实数都成立，求的取值范围. 【答案】(1)令， 定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数， 所以函数的图象关于点成中心对称图形； (2)（i）由推论知是奇函数，则， 即，即， 令，则，即； （ii） 【分析】（1）令，利用奇偶性的定义证明； （2）（i）由是奇函数证明；（ii）求得，再由求得，然后将问题转化为求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略； （ii）因为函数的图象过点， 所以，解得，则， 因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立，又，则， 因为， 所以， 所以对任意非零实数都成立， 即为对任意非零实数都成立， 而，所以，则的取值范围是. 变式训练17-3 (25-26高一·江苏泰州中学·期末)我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 【答案】(1) 令，定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数， 根据题中所给推广结论，可知的图象关于点成中心对称图形. (2) （i）证明：由题所给推广结论可知，是奇函数， 令，则有， 即，即， 令，则，则， 故，得证； （ii） 【分析】（1）利用奇函数的判定方法证得为奇函数，根据对称中心的定义即可判断出函数的图象关于点成中心对称图形. （2）（i）由题所给推广结论可知，是奇函数，利用奇函数的定义求证即可. （ii）由（i）可知，，求解，再由对任意非零实数x恒成立，通过基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）由（i）可知，， 故. ，解得，故，. 当时，， 故对任意非零实数x恒成立， 即对任意非零实数x恒成立，即， ， ，当且仅当，即时，等号成立，又因为， ，故， 因此，故， 即k的取值范围为 题型十八、已知值域求参数 典例精讲18 (25-26高一·广东·)已知函数 (1)当时，证明：函数在定义域内单调递增； (2)是否存在实数使得函数是奇函数，若存在，请求出的所有可能取值，若不存在，请说明理由； (3)当时，存在区间，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，，定义域为， 任取，且， 则 ， 因为，所以，又，. 所以，即，所以函数在上单调递增. (2)存在， (3) 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）方法一：利用奇函数的定义，解方程即可；方法二：分类讨论，利用奇函数的性质可得答案； （3）求得的单调性，利用单调性求得值域，列出方程，利用方程的对称性把问题转化为一元二次方程两个互异实根，利用实根分布可得答案. 【详解】（1）略 （2）方法一：因为函数是奇函数， 所以，即， 去分母整理，得到， 即，解得， 经检验，和均为定义域内的奇函数，所以. 方法二：当时，函数的定义域为， 则，即，解得. 代入，，经检验是奇函数，符合要求； 当时，由解得， 因为奇函数的定义域关于原点对称， 必定有，解得， 代入，，经检验是奇函数，符合要求； 综上所述，. （3）当时，， 注意到单调递减，因此单调递增， 故，即， 关于的方程有两个互异实根， 令，则，化简整理得方程有两个互异正根. 所以，解得， 实数的取值范围是. 题型归纳 1.已知函数的值域与最值求参数 2.时刻考虑分类讨论，适当的函数可以考虑换元法。 变式训练18-1 (25-26高一上·四川泸州·期末)已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)解不等式； (3)若函数在定义域内某个区间上的值域为，则称为的优美区间．若存在优美区间，求k的取值范围，并证明：． 【答案】(1) 是奇函数.证明如下： 由，得. 因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为. ， 所以是奇函数. (2) (3) 由（2）知是增函数，所以是增函数. 所以在区间的值域为. 因为为的优美区间，所以. 即方程有两个实数解，分别为，且. 当，即时，方程显然不成立； 当，即时，.即时，方程有唯一解，不合题意； 当且时，有两个实数解， 令，，. 因为是增函数，在上单调递减，所以有两解. 因为当时，，，当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，有两解. 即时，有两个实数解，且. 当时，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，且单调递减，有唯一解，且.      即或时，有唯一实数解，不合题意. 综上所述，k的取值范围是，且． 【分析】（1）据题意求得的解析式，根据奇偶性的定义判断并证明； （2）判断函数的单调性，根据单调性将不等式转化为，求解可得； （3）根据优美区间的定义，分析函数的单调性，确定与的关系，并将问题转化为方程有两个实数解，通过分离参数，并利用基本不等式，求得k的取值范围，并证得． 【详解】（1）略 （2）设， 则. 因为，所以，即； 因为，所以，即，即. 所以函数是增函数. ，得， 所以，即，即. 因为恒成立，所以，解得. 所以不等式的解集为. （3）略 变式训练18-2 (25-26高一上·江苏东海高级中学·)已知函数为奇函数，且. (1)求实数的值，并用定义证明的单调性； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】(1)，单调性证明如下： 任取，且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以函数为单调递增函数， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，求得，结合函数奇偶性的定义与判定，即可求解； （2）由（1）得，利用单调性的定义与判定，证得为单调递增函数，把不等式有解，转化为在有解，令，利用单调性，求得，进而求得的取值范围； （3）由（1）得到在区间上单调递增，转化为，进而得到有两个不同的正根，结合二次方程的根与系数的关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由题意在R上恒成立，函数为奇函数，可得，解得， 当时，可得，则其定义域为关于原点对称， 且，此时函数为奇函数， 所以实数的值为，即， 任取，且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以函数为单调递增函数， （2）解：由（1）知，函数为奇函数，且为单调递增函数， 又由不等式，即， 所以，即， 因为时，不等式有解， 即当时，不等式有解，即当时，不等式有解， 设，可得函数在上为单调递减函数， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：由（1）知，函数为上单调递增函数，可得在区间上单调递增， 因为函数在区间上的值域是， 可得，即且， 设，则，则方程即为有两个不同的正根， 即方程有两个不同的正根，即为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 变式训练18-3 (25-26高一上·河北雄安新区·期末)同学甲对函数进行了一番研究，他的研究结果如下：函数为奇函数，定义域为，函数在和上单调递增，在和上单调递减，它被称为“对勾函数”. (1)同学乙对函数进行了研究，得到此函数在定义域和上单调递增，请你帮助同学乙用单调性的定义证明此结论； (2)求函数的值域； (3)令，若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) 任取，且， 则， 因为，且，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以，所以在上单调递增. 同理可证得在上单调递增， 所以在和上单调递增. (2) (3)或. 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）令，则，由同学甲的研究结果即可求解； （3）化简可得，令，结合（1）可知在上单调递增，则，分别讨论和两种情况即可求解. 【详解】（1）略 （2）令，因为，所以， 则，且， 由同学甲的研究结果知，在上单调递减，在上单调递增， 则， 即的值域为. （3）因为， 所以. 令，结合（1）可知在上单调递增，所以， 所以， 若，则当时，，解得舍去）； 若，则当时，，解得，符合要求， 综上，或. 题型十九、函数值相等问题 典例精讲19 (25-26高一上·河北承德·)已知函数，．若，且，，使得成立，则的最大值为______． 【答案】6 【分析】根据的单调性求出，结合的单调性以及即可求出. 【详解】． ∵函数在上单调递增，函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增． ∴当时，，即． 因为，，使得成立， 所以， ， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为． 令，即，解得或， 则，故的最大值为． 故答案为： 题型归纳 1.任意与存在的两个函数函数值相等问题。 2.任意部分的函数值的值域范围小于存在部分的函数的函数值域。 变式训练19-1 (25-26高一上·河南·期末)已知函数，，若对任意的，总存在（），使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分别求解的值域为，的值域为，由题意得到，结合集合关系即可求解. 【详解】当时，，可知在上的值域为． 因为在上是增函数， 且，， 可知在上的值域为． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，可得解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 变式训练19-2 (25-26高一上·湖南邵阳大祥区邵阳第二中学·期末)已知函数，（），若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】计算得，，由题意得 ，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以 ， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 变式训练19-3 (25-26高一上·山东济南名校联考·)已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，对，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用函数与的奇偶性列出方程，即可得解； （2）利用函数的奇偶性与单调性，结合二次函数恒成立的知识，即可得解； （3）结合指数函数的单调性，求得，再利用换元法求得的最小值，最后根据两函数的值域关系列不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得． 又因为， 所以两式相加得，两式相减得． 综上，． （2）由，得． 因为是奇函数，所以． 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增． 所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （3）当时，， 又因为，故，所以． 当时， ． 令，则， 则． 由，使得， 只需，即， 所以实数的取值范围为． 题型二十、利用分数函数单调性解不等式 典例精讲20 (25-26高一上·贵州六盘水·期末)已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件得出关于对称，且当时函数单调递减，画出图象后转化为计算即可. 【详解】由题时，， ， 同理当时，也有， 所以关于对称，且当时函数单调递减， 作出图象如图， 则要使，则， 所以， ，. 解得. 故选：D. 题型归纳 1.分段函数与不等式问题 2.考虑分段函数的单调性脱去“f”； 2.画出分段函数的图像，通过函数的单调性，结合分类讨论，求解不等式。 变式训练20-1 (25-26高一下·湖南长沙长郡中学·开学考)已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段讨论，结合函数在区间内的值域和解析式解不等式. 【详解】函数， 当时，单调递增，则， 当时，，单调递减，， 当时，，单调递增，， 当时，单调递增，， 故当时，，此时，，满足， 当时，，此时，， 满足， 当时，，此时可得， 解得， 综上可知，的解集为. 变式训练20-2 (25-26高一·山东聊城·期末)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得的单调性，分类讨论可求不等式的解集. 【详解】当时，在上单调递增，所以， 当时，为常数函数. 若，解得，由，得， 即，解得或，又，所以； 若，解得，由题意不等式恒成立； 若，不等式无解； 若，不等式无解； 综上所述：不等式的解集为. 故选：B. 变式训练20-3 (25-26高一上·辽宁辽阳·期末)已知函数，且，，，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在上单调递增，结合指数函数、一次函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，，， 所以在上单调递增， 则由，得. 所以a的取值范围为. 故选：C. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高一·浙江开化中学等五校·期中)若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，再根据特殊值代入求解即可. 【详解】. 若，则，与矛盾. 若，则，则，成立. 若，则，代入原式得，即，解得，与题干中是正实数矛盾， 综上，与均不成立，则一定成立. 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，C不成立； 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，D不成立. 2．(25-26高一上·福建厦门杏南中学·期末)已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，对原不等式进行等价化简，并根据条件求出函数在上的解析式，进而将不等式分类求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以对任意，都有，且. 于是 即. 因为当时，当时，，则， 故有， 由得或， 解得或. 综上，不等式的解集为. 故选：B 3．(24-25高一上·四川宜宾第一中学校·期末)已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数与指数函数单调性即可求解. 【详解】（i）当 时： 时，函数 开口向上，对称轴 ，在定义域内可取得最小值 ； 时，函数在定义域内单调递减， 则，因此整个函数最小值为0，符合题意； （ii）当 时： 时，对称轴 ，在 单调递减，最小值为 ； 时，，函数 在定义域内单调递增，则， 函数有最小值要求左段最小值不大于右段下界，即， 整理得 ，解得 ，结合 得 . 综上，的取值范围是 . 4．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 【答案】17 【分析】设，则.分析与的取值，列得相应的不等式，即可求得的最小值. 【详解】设（常数），是R上的单调函数，所以唯一确定，是常数. 故. 易知是增函数. 由，得，所以. 所以. ，，所以； ，，所以，所以. 因为，，，…， ，使得成立， 所以. 所以，所以. 所以n的最小值为. 5．(26-27高一上·广东深圳南山实验教育集团华侨城高级中学·期中)已知定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明. (3)若存在，使不等式有解，求实数的取值范围； (4)已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)参数为. (2)函数在上单调递减.证明如下. 任取，且.因为，所以指数函数在上单调递增，从而. 由（1）得. 因为，，，所以分子、分母均为正.因此，故在上单调递减. (3)取值范围为. (4)最大值为. 【分析】（1）利用奇函数在原点的函数值及相反自变量的函数值求参数. （2）结合指数函数的单调性，用定义作差判断. （3）利用函数单调性去掉外层函数，配方确定不等式有解的条件. （4）先求出并建立与的关系，再分离参数，用基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，且，得. 由得，化简得，解得. 此时分母恒为正，且，符合题意. （2）略 （3）由（2）知在上单调递减， 则等价于， 即在上能成立. 因为，则可得. 即实数的取值范围为. （4）令，当时，， 由题设等式得 则，即. 当时，，同一表达式也成立. 因此，且. 所以原不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立. 因，当且仅当时等号成立. 由可得，解得，故等号可以取到. 因此，即的最大值为. 6．(26-27高二·广东汕尾陆河县部分校·)我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)否，理由如下： 令，依题意，，即， 将代入化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”； (2)2 (3) 【分析】（1）取特殊值可得方程无解，即不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）根据“阶搭配函数”定义求得值域间的包含关系，再由不等式性质可得结论； （3）将问题转化为值域包含关系问题，再由二次函数性质得出不等式关系，解不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）成立，即， 依题意，当时，单调递减，该函数的值域为， 当时，单调递减，该函数的值域为， 由已知，有 由于，则， 解得，或， 又，所以，故，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2. （3）成立，即， 对任意，单调递增，该函数的值域为. 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 由已知，有，即，解得， 所以的取值范围是. 7．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意 当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 【答案】(1)（ⅰ）当时，，， 当，即时，则，即， 显然，因此， 所以当时，是P到Q的双界函数. （ⅱ） (2)2705 (3)依题意，时，， 令，则， 令，，则， 两式相加，得，即， 令，，则， 因此， 则 ，所以， 所以是A到B的双界函数. 【分析】（1）（i）根据给定条件，利用双界函数的定义计算得证；（ii）根据给定的定义，由，恒成立求解即得. （2）由给定条件可得，利用函数单调性求出在上的最小值，再利用递推关系求出在上的最小值. （3）根据给定的定义，结合赋值法及迭代法推理得证. 【详解】（1）（ⅰ）略 （ⅱ），是P到Q的双界函数， 则当，即时，恒成立， 由，得恒成立，而，， 由恒成立，得；由恒成立，得，因此， 所以实数k的取值范围为. （2）依题意，当时，，则，即， 而函数在上单调递增，则当时，在上单调递增， 当时，， 当时，；当时，，， 又，因此函数在上的最小值为， ， 由，得，所以在上的最小值为2705. （3）略 8．(25-26高一下·湖南师范大学附属中学等校·期中)已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）由 奇函数定义，求得，通过换元，求解得出得或，再解指数不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得，通过换元， 由单调性求得，原式化为，结合单调性即可求解. （2）根据偶函数特征与函数的单调性求得的值域为.由不等式恒成立，根据的正负分情况解不等式即可求得其取值范围. 【详解】（1）（i）因为函数为上的奇函数，故，解得， 则，此时因，函数为奇函数， 则不等式，设，代入整理得， 解得或（舍），即，解得， 故原不等式的解集为. （ii）因为函数为偶函数，故， 即，因不恒为0，故，则， 则（*）， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增，故， 由（*）左式可得， 则（*）可化为， 因函数在上单调递减，则， 故. （2）根据（1）知， 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，则； 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，故， 又函数在上为偶函数，故当时，. 综上所述，的值域为. 因对于区间上的任意实数，不等式恒成立， 则当时，即，即，解得，则； 当时，即，即，显然成立； 当时，即，即，解得则. 综上所述，. 9．(25-26高一上·浙江杭州杭高贡院、杭高钱江、杭高钱塘·期中)已知奇函数 (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)函数，，是否存在实数b，使得函数的最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)1 (2) 是上的增函数，证明如下： 设任意，，， 因为 所以， ，∴，，， ， ∴是上的单调增函数． (3)存在， 【分析】（1）先利用奇函数的性质求出字母，然后检验； （2）根据函数单调性定义证明即可； （3）化简函数解析式得出，换元后，利用二次函数最值的求法，分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 检验：当时，， 因为，故满足题意. （2）略 （3） ， 令，由于，则， 即在上有最大值1， 因为二次函数开口向上，所以最大值在定义域端点处取得， 若， 此时有， 但此时，矛盾，不合题意； 若，此时有， 且此时，满足题意. 综上，存在，使函数的最大值为1. 10．(25-26高一下·河北定兴第三中学·开学考)已知函数． (1)设． （i）若，求的值； （ii）当时，恒成立，求的最小值． (2)已知，且函数的最小值为4，求的值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）求并代入求解；（ii）分析单调性、零点，确定零点和正负，由零点得，构造函数，并根据其性质求的最小值. （2）确定分段区间，分析各区间单调性，并根据最小值为4求解. 【详解】（1）（i）由，可得， 所以 （ii）由题意可知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，. 因为当时，恒成立， 所以函数有一个零点为1， 即，即 令， 因为，所以的一个零点， 且当时，，当时，， 所以，且， 所以，即的最小值为． （2）当时，，有， 当时，令，则， 其对称轴为，在上单调递减， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，由函数的连续性，可知在上单调递增， 当时，， 因此， 令，解得，符合要求，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $