专题01 指对运算14类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第二册

学科网（北京）股份有限公司 专题01指对运算14类综合题型型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与的区别 题型二、指数幂的化简求值 题型三、指数幂条件求值 题型四、指数方程 题型五、条件等式 题型六、一元二次方程与指数方程 题型七、指数与基本等式结合 题型八、指数幂连等式 题型九、用字母表示对数 题型十、对数的化简求值 题型十一、对数的换底公式 题型十二、对数方程 题型十三、对数与基本不等式 题型十四、指对模型的实际应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 指对运算是高中中数学核心重点，题型均围绕指对运算、指数公式、对数公式、指对与其他知识点的结合展开，解题注意：对数时刻注意真数大于0，对数运算包含加减数乘换底，没有乘除运算. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与的区别 典例精讲1(26-27高一上·江苏徐州第三中学·调研)下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 题型归纳 是实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这额骨式子的值受n的奇偶限制，算法是先乘方再开方（都是n次），结果不一定等于,而是的n次方根的n次方，其结果恒等于 变式训练1-1(24-25高一上·湖南长沙第一中学·)如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 变式训练1-2使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为 ， 要使 成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 变式训练1-3 (25-26高一上·浙江杭州西湖区浙附玉泉·月考)化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 题型二、指数幂的化简求值 典例精讲2. (26-27高一上·黑龙江佳木斯第一中学·期中)计算__________. 【答案】/ 【详解】 题型归纳 1. 将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数. 2. 底数是小数的，要先化成分数;底数是带分数的，要先化成假分数，以便于利用指数幂的运算性质. 注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数。 变式训练2-1 (25-26高一上·河南安阳第一中学·)化简的结果为____________ 【答案】1 【分析】由根式与指数幂的关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由 . 故答案为：1 变式训练2-2 (25-26高一上·江苏南通中学·)计算___________. 【答案】3 【分析】利用根式的化简及指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】 . 故答案为：3. 变式训练2-3 (25-26高一上·天津第三中学·月考)计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 【答案】 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 题型三、指数幂条件求值 典例精讲3 (26-27高一·甘肃定西临洮中学·期中)（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】 （1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算； （2）将完全平方算出的值，再完全平方即可求出的值． 【详解】（1）原式 . （2）因为，所以， 所以，所以， 所以. 题型归纳 1. 条件求值是代数式求值中的常见题型，解决条件求值问题的一般方法是整体代入法.一般先化简代数式再将字母取值代人求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代人法”巧妙地求出代数式的值； 2.常用的变形公式如下（） 1);2); 3) ;4) . 变式训练3-1(26-27高一上·江苏宿迁沭阳如东中学·)（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）原式. （2）令，由得，所以，. 分母. 故原式. 变式训练3-2(26-27高一上·江苏连云港高级中学·)（1）已知，求以及的值； （2）求值：． 【答案】（1）,;（2）. 【分析】（1）把已知等式两边平方可得,由此求出,再把这个结果两边平方,即可求出. （2）用、对数的运算性质与负分数指数幂的运算法则逐项化简,再相加. 【详解】（1）由,两边平方得,所以. 由,两边平方得,所以. （2）由对数的性质得. 由对数运算性质得. 因为,所以. 所以原式. 变式训练3-3(25-26高一·宁夏长庆高级中学·期中)计算求值： (1) (2)若 ，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算. （2）将已知等式两侧平方，化简计算即可. 【详解】（1）因为，，，， 故原式. （2）由，等式两侧同时平方可得：， 即，故. 题型四、指数方程 典例精讲4 (26-27高一上·辽宁葫芦岛第一高级中学·)已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 题型归纳 指数方程问题常见的类型有以下两种： 1.，求解时只需令，解出的值即可； 2.F0,求解时通常用换元法。 变式训练4-1若，则________　. 【答案】1 【分析】利用二次根式的非负性求解未知数，计算所求幂的值. 【详解】因为， 且， 所以且， 即，解得， . 变式训练4-2(24-25高一上·贵州遵义航天高级中学·期中)方程的根为___________． 【答案】 【分析】利用换元法计算求解即可. 【详解】令， 因为， 所以原方程可化为， 解得或（不符合题意舍去）， 即，解得. 故答案为：. 变式训练4-3(25-26高一上·上海华东师范大学第三附属中学·期中)已知，函数过点、.若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先根据点在函数上化简得出，，再结合已知得出，最后由求值即可. 【详解】函数经过点、， 则，，解得，， 所以，又， 所以，因为，所以、， 所以，又因为，解得． 故选：B 题型五、条件等式 典例精讲5设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算求解即可. 【详解】由，，可得，因为为正数，所以，则 题型归纳 条件等式注意指数幂公式的使用 变式训练5-1(25-26高一·贵州毕节赫章县第一中学赫章一中·)若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 变式训练5-2已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同构可得，故可得正确的选项. 【详解】由可得， 由可得，故， 设， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故， 故即，故. 故选：B 变式训练5-3(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解. 【详解】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 题型六、一元二次方程与指数方程 典例精讲6 (25-26高一上·湖北黄冈黄梅县育才高级中学·月考)（1）计算； （2）已知方程的两根为，求的值. 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值，即可得答案. （2）根据韦达定理，可得，将所求化简整理，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）已知方程的两根为， 所以， 所以. 题型归纳 1.根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，整体法，带入求值； 2.解出一元无二次方程 的两个实数根，带入求解。 变式训练6-1(25-26高一上·上海顾村中学·期中)若为方程的两个根，则___________． 【答案】4 【分析】根据韦达定理得出，再应用指数幂运算律计算求解. 【详解】因为为方程的两个根， 则， 则. 故答案为：4. 变式训练6-2(25-26高一上·湖北荆州中学·期中)（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由指数的运算即可计算出结果； （2）将条件等式两边同时平方得到的值，再两边同时平方即可求出的值，代入代数式即可求得结果； （3）对条件等式各项同除，化简得到关于的二次方程，然后解二次方程求得的值. 【详解】（1）原式； （2）原方程两边同时平方得：，解得， 方程两边再平方得：，解得， 所以. （3）由可得，即， 又，令，则， 解得，即. 变式训练6-3(24-25高一上·江苏徐州·期中)若是方程的根，则（   ）. A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理，通过平方关系即可求解. 【详解】设方程的另一根为， 由韦达定理可得：，即，同时， 所以， 故选：C 题型七、指数与基本不等式结合 典例精讲7 (25-26高一上·江苏靖江高级中学·)已知关于x的实系数二次不等式的解集为，若，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集得出，再用来代替，最后利用基本不等式即可. 【详解】由题意可知，方程有两个相等的根， 则，解得， 又，则， 则， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：B 题型归纳 1.最值问题可以考虑基本不等式； 2.使用基本不等式时，注意检验等号成立的条件。 变式训练7-1(25-26高一上·河南南阳·期中)已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】结合指数运算法则与基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 变式训练7-2(25-26高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 变式训练7-3(25-26高一上·吉林友好学校·期末)已知，且，则的最小值是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 题型八、指数幂连等式 典例精讲8 (25-26高一上·江苏南京励志高级中学·)对于正整数和非零实数，有，求的值． 【答案】 【分析】由得，从而，可求的值. 【详解】，且为非零实数，． 同理可得 ，即． 又为正整数，且由题意可知， ． ． 题型归纳 1. 若连等式中有一项为常数，则把连等式分开写成都与常数相等的等式，分别借助对应运算求解； 2. 若连等式中没有常数，引人参数t,让连等式等于t,把连等式分开都写成与t相等的等式，分别借助对应运算求解； 3. 若连等式中没有常数，也可把其中一项视为常数，把连等式分开写成都与这一项相等的形式，分别借助对应运算求解。 变式训练8-1 (25-26高一上·浙江杭州第十四中学·)设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由题可知，，然后可得即可求解. 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 变式训练8-2 (24-25高二下·江苏苏州·调研)满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算化简得，逐个选项分析即可判断. 【详解】记，则， 因为，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 变式训练8-3 (24-25高一上·浙江绍兴会稽联盟·期中)在算式中，是五个非负整数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可判定只能在中取数，再结合的展开式，即可确定各字母的取值，计算即得. 【详解】因是五个非负整数，且， 若，则，矛盾，故， 所以，， 因为，所以， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾 若，则，矛盾， 故，所以，故， 若，则，与已知矛盾， 所以，， 故选：B. 题型九、用字母表示对数 典例精讲9 (26-27高一上·江苏盐城滨海县明达中学·期中)设，且，则t＝________；若，则________．（用表示） 【答案】 【详解】由、，可得，，且， 则，， 故 即，即，因，则； 由，得，又， 所以. 题型归纳 带附加条件的指数、对数问题主要是指已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些已知条件来表示所要求的式子.解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用. 变式训练9-1 (26-27高一上·江西南昌外国语学校·月考)（1）解关于的不等式． （2）已知，，试用，表示． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时解集为或；当时，解集为或；当时，解集为.（2）. 【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法对分类讨论即可； （2）利用换底公式及对数运算求解即可. 【详解】（1），即， 当时，方程为，解得； 当时，，即，解得， 当时，， ，解得或， 当时，， ，解得或， 当时，，解得； 综上，不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为. （2），可得， . 变式训练9-2 (26-27高一上·江苏宿迁中学·调研)已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示. 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 变式训练9-3 (23-24高一·海南海口海南中学·月考)已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 题型十、对数的化简求值 典例精讲10 (26-27高一上·江苏苏北五校（徐州三中、扬大附中等）·调研)计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）利用换底公式以及对数的运算性质求解即可； 【详解】（1）原式 （2）原式. （3）原式 . 题型归纳 对于同底数的对数式，化简的常用方法： 1. “收”,逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； 2. “拆”，正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)； 3. 对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“1g5+lg2=1'来解题； 4. 求含有多重对数符号的对数值，应从内向外逐层化简求值，已知含有多重对数符号的对数值求变量的值时，应从外到内，逐步脱去“log”后再求解； 5. 当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”； 变式训练10-1 (26-27高一上·江苏海头高级中学·调研)计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 变式训练10-2 (26-27高一上·江苏如东一中、宿迁一高、徐州中学、项里高中、洋河高中·月考)计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设 ，则 ，， 原式 ； （2）由，，， 设 ，则 ， 所以 ， 原式 ； （3）由，，，， 原式 ． 变式训练10-3 (25-26高一·江西南昌第五高级中学·期中)（1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，4. 【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案． 【详解】（1）解法一： 原式 ． 解法二：原式 ． （2）由题意，， 所以． ， 当且仅当（即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4． 题型十一、对数的换底公式 典例精讲11 (26-27高一·上海第二中学·期中)已知，，若，且，则__________． 【答案】/1.5 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 题型归纳 不同底数的对数式化简求值常用换底公式 变式训练11-1已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对数运算性质及基本不等式可得，然后构造函数：，利用函数单调性得，结合已知及指数函数的单调性得，即可判断大小． 【详解】 ， 构造函数：， 易知函数是上的减函数，且， 由，可知：， 又，所以，则， 又因为，所以． 变式训练11-2(25-26高二下·山东烟台·期末)已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. 变式训练11-3设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用对数的换底公式统一底数求解. 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 题型十二、对数方程 典例精讲12 (25-26高一·江西南昌第五高级中学·期中)已知，则______． 【答案】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 题型归纳 1. 对数方程问题的方法： 化同底或换元将其转化为一般方程求解，注意在将对数方程转化为一般方程的过程中，未知数范围的扩大或缩小可能会造成多解或漏解的情况，故解对数方程时必须把所求的解代人原方程进行检验. 2. 对数方程解法： 1） 解法：将对数式转化为指数式 2） 解法：转化为 3） 解法：转化为 4） 解法：将看成一个整体，转化为关于的方程。 变式训练12-1 方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数和指数的运算性质，将所求方程化为，再利用的单调性，可得是唯一解，再解此方程即可得到原方程的解． 【详解】注意到， 故，即， 等式两边除以，得， 又在上单调递减，且， 所以只能，解得． 变式训练12-2 若 且，则________． 【答案】4 【详解】因为， 所以， 因为且，所以，解得． 变式训练12-3 （1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【答案】 【分析】（1）根据对数运算性质可得； （2）根据对数定义及运算性质可得. 【详解】由，得，即 化为 ，解得或. 又∴ .∴ ， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 题型十三、对数与基本不等式 典例精讲13 (26-27高一上·江苏海安高级中学·月考)回答下列问题： (1)已知，且，求的最小值； (2)已知，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以 ， 等号成立时且，即， 故的最小值为 （2）因为，所以，所以， 即，得或， 因为，所以，所以，所以，     所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 题型归纳 1.最值问题可以考虑基本不等式； 2.使用基本不等式时，注意检验等号成立的条件。 变式训练13-1已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 变式训练13-2(26-27高一上·江苏南京外国语学校·)（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分别计算负指数幂、零次幂，利用对数运算性质合并对数项，再把偶次根式加绝对值化简，最后合并所有项； （2）利用换底公式得到，再代入对数式化简计算得到结果； （3）先根据指数幂的运算变形已知等式，得到，再利用基本不等式求最值，最后结合对数运算求出的最小值． 【详解】（1） ； （2）已知，，解得，， 则， 所以； （3）由得， ， 因为，由基本不等式得：， 当且仅当，即，时等号成立， 此时，即， 则， 所以的最小值为． 变式训练13-3(26-27高一上·江苏邗江中学·)已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算法则化简，再结合基本不等式求范围即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立 故的取值范围是 题型十四、指对模型的实际应用 典例精讲14 (26-27高一上·湖南邵阳九校联盟·)“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 题型归纳 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类: 1. 建立对数式，在此基础上进行求值，计算时要注意指数式与对数式的互化; 2. 建立指数函数应用模型，再进行求值，此时往往将等式两边同时取对数后进行计算. 变式训练14-1 国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 变式训练14-2 (25-26高一上·山东威海第四中学·期中)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（   ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】D 【详解】将4.8代入关系式得，整理可得， ∴ . 变式训练14-3 在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ . 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(26-27高一上·河南部分学校·)设，为实数，且满足，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】可以构造函数，根据函数的单调性及奇偶性求解. 【详解】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即． 2．(25-26高二下·河南南阳六校·期末)若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】结合绝对值函数的最小值性质，确定的取值，再根据的区间最值条件求解的值，再代入对数公式计算。 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 3．(25-26高一·湖南益阳安化县·期中)若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1的代换”结合基本不等式求出目标式的最小值. 【详解】对原等式移项整理得（1）， 令，由于在上单调递增，在上单调递减， 故在上也是单调递增，因此是上的单调增函数， （1）式即，由单调性得， 即，整理得， 所以 当且仅当时取等号，又，即时等号成立. 即的最小值为. 4．(25-26高一下·河北邢台卓越联盟·)若，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对不等式左边变形，求出最小值为，原不等式恒成立转化为，即可得解. 【详解】 ， 因为单调递增，且， 所以在上有零点， 则当时，，，且当时等号能同时成立， 所以有最小值， 因为，， 所以只需，解得. 5．(26-27高一上·河北黄骅中学·期中)定义集合，，，的“长度”均为（），若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为__________． 【答案】2 【分析】根据不等式进行化简，求出不等式对应的解集，根据区间长度的定义进行求解即可． 【详解】 ， 设的根为和． 设， 因为， 所以方程在内必有一实数根， 由求根公式得， ，显然， ，数轴标根，穿针引线如图所示： 解得或 即原不等式的解集为， 则构成的区间的长度之和. 6．设方程的三个根为，则________． 【答案】 【分析】先将条件转化为与有三个交点，再根据反函数的性质得到，进而代入求解即可． 【详解】因为，所以， 因为，故与有三个交点， 显然与互为反函数，则它们的交点要么落在直线上，要么成对出现， 所以设三个交点分别为，对应的横坐标依然为，其中在直线上， 显然时，，此时对应的点在下方， 时，，此时对应的点在上方， 故，故． 7．设，为实数，且满足则__________. 【答案】2 【分析】可以构造函数，根据函数的单调性及奇偶性求解. 【详解】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即. 8．(25-26高一·江苏南京师范大学附属中学·月考)已知实数，满足：，，则______. 【答案】3 【分析】由同构思想和函数单调性得，结合已知即可得解. 【详解】∵，∴， 又，∴，即， 又函数在定义域上单调递增，所以，， ∴. 9．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·月考)已知恒成立，则实数a的取值范围为______ . 【答案】 【分析】不等式分类讨论，换元后转化为在为非正，在为非负求解即可． 【详解】解：由题意，时，由于，所以， 当时，由于，所以， 令，， 所以原不等式恒成立，转化为当时，，时，， 由二次函数性质知，只需满足即可， 由可得， 又， 解得 实数a的取值范围为. 10．(25-26高一下·湖南长沙长郡中学·开学考)已知实数满足，，则__________. 【答案】 【分析】由与的交点关于对称，结合，，从而有与关于对称得到且，即可求. 【详解】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01指对运算14类综合题型型 目 录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 a与（ā'的区别 题型二、指数幂的化简求值 题型三、指数幂条件求值 题型四、指数方程 题型五、条件等式 题型六、一元二次方程与指数方程 题型七、指数与基本等式结合 题型八、指数幂连等式 题型九、用字母表示对数 题型十、对数的化简求值 题型十一、对数的换底公式 题型十二、对数方程 题型十三、对数与基本不等式 题型十四、指对模型的实际应用 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同通法归纳一明晰接心解法，助力能力迁移 指对运算是高中中数学核心重点，题型均围绕指对运算、指数公式、对数公式、指对与其他知识点的 结合展开，解题注意：对数时刻注意真数大于0，对数运算包含加减数乘换底，没有乘除运算 ◆◆ 刁题型精讲精讲典型题法，寿实解题根基 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、 a与a的区别 典例精进1(2627高一上江苏徐州第三中学.调研)下列命题中正确的个数为() ①a=a②a∈R,则la2-a-1°=1@V+y=xy ④-5=-52 A.0 B.1 C.2 D.3 题型归纳 a是实数。的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这额骨式子的值受n的奇偶限制， 算法是先乘方再开方（都是n次），结果不一定等于a而(a是。的n次方根的n次方，其结果恒等于 a。 变式训练1-1(24-25高一上·湖南长沙第一中学)如果 那么x的取值范围是() 1-X 1-x A.X≥0 B.x<1 C.0≤x<1 D.x≥0且x≠1 变式训练1-2使等式a-3a-9=(3-a)a+3成立的实数。的取值范围为 变式训练1-3(25-26高一上浙江杭州西湖区浙附玉泉.月考)化简：√4+V15+V4-15= 题型二、指数幂的化简求值 典剑精进2(2627商一上黑龙江佳木斯第一中学期中)计算1.2+2. 8 2 题型归纳 1.将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数. 2.底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，以便于利用指数幂的运算性质 注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数。 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练21(25-26高一上河南安阳第一中学化简a29a:aa:a识a的结果为 变式训练2-2(2526高一上江苏南通中学计算4-32+ 8.16+77-122 2 变式边盥23525商-上天带第三中学月专计第：吃06-46)-（代06试中字母均为正 1-1， 21 数)= 题型三、指数幂条件求值 奥描谣32627商一甘对定西临洗中学男中a)计蛇：g+机3-+程园 （2)已知v+x之-3求+的位。 、1 X 题型归纳 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，解决条件求值问题的一般方法是整体代入法.一般先化简代数式 再将字母取值代人求值但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与 已知条件相同的结构，从而通过“整体代人法”巧妙地求出代数式的值； 2.常用的变形公式如下(a>0,b>0) Dat2a-b+b=latb-p2ai+bMa-bJ-a-b 1) 11 3)多3 a+b-(a+bNa-ab+byai-b-(a-bNa+abi+b 11 童式遥912627青-上打迁软东中到a>来：a-a0m仔贸号+2 a2+a2+3 a=1'求3的值 (2)已知号 a--a MD+D半‘8=+D合此已（T)(素中派唱累Z联T丁二豐L-9Z 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 (2)求值：e3+1og625+(0.125 变式训练3-3(25-26高一，宁夏长庆高级中学期中)计算求值： 0.64.1 +162+0.252 8 (2)若 x+x之=5求x+x的值 题型四、指数方程 典例精进426-27商一上辽宁葫芦岛第一高级中学已知收+9-X+2=1，则x的值为（） A.3 B.4 C.7 D.7 题型归纳 指数方程问题常见的类型有以下两种： 1aa=a:求解时只需令fx)=gx” 解出的值即可； 2a)=0,求解时通常用换元法。 变式训练+1若+2x+1+了+6y+9=0则x晒y- 《变式训练422425高贵州避义航天高级中学期中方程2火2子=的根为一 8、 变式训练4325·26高一上上海华东师范大学第三附属中学期中已知>0：函数y=3一过点pP,5 3x+ax 3 Q9,5若39=16p9,则a=() A.2 B.4 C.8 D.16 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、条件等式 典例精进5设a,b是正数，且a°=b°，b=3a,则a=() A.2 B.2 c.3 D.3 题型归纳 条件等式注意指数幂公式的使用 变式训练5-1(25-26高一贵州毕节赫章县第一中学赫章一中)若a>1,b>0,且a°-ab=4,则a”+a= () A.2V2 B.2V3 c.25 D.8 变式训练5-2已知4+x-22*-1=0,4y+y·2'+2-16=0,则2026*+y=() A.2026 B.20262 c.20263 D.20264 变式训级5-32425商一上江苏连云港灌南县期中设a>0:a≠1，已知m=a,n=a,m'm广=0则 Xyz的值为() A.0 B.1 C.2 D.4 题型六、一元二次方程与指数方程 典例精进6(25-26高一上湖北黄冈黄梅县育才高级中学·月考)(1)计算 52292✉* 10.5 4: (2)已知方程x2-8x+4=0的两根为X1,X,(X<X》求x2+X的值。 题型归纳 1.根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，整体法，带入求值； 2解出一元无二次方程的两个实数根，带入求解。 变式训练6-125：26高一上上海顾村中学期中若&，B为方程x.5X+2=0的两个根，则2P= 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式62运6有一卡甲学a名加a 2已知。+o3求a0+2的 a2+a2-2 3 (3)已知9*+12*=16*，求 4 的值. 变式训练6-3(24-25高一上江苏徐州期中)若a是方程x2-3x+1=0的根，则a2+a2=(). 7+3/5 B. 7-3V5 A. 2 2 C.7 D.6V5 题型七、指数与基本不等式结合 典例精进7(25-26高一上江苏靖江高级中学，)已知关于x的实系数二次不等式x-2ax+b>0的解集为 |-0o,3U3,+oo,若am+b=9,则32-m+3m-2”的最小值为() A.3 B.3 c.3V3 D.9 题型归纳 1.最值问题可以考虑基本不等式： 2.使用基本不等式时，注意检验等号成立的条件。 变式训练7-1(25-26高一上河南南阳期中)已知实数a,b满足a+2b=4,则2°+4的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.16 变式训练7-22526高一上浙江杭州拱墅区源清中学期中)已知x>0,y>0,且2·4=2，则+上的最 小值为 变式训练7-3(25-26高一上吉林友好学校期末)已知a,b∈R,且2a+3b=2,则4+8°的最小值是(). A.2V6 B.4V2 c.2V2 D.4 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型八、指数幂连等式 典例精进8(25-26高一上江苏南京励志高级中学)对于正整数a,b,ca≤b≤c和非零实数x,y,z,⊙，有 a=b=c=70°，1=1+1+1，求a,b,c的值. @x y Z 题型归纳 1.若连等式中有一项为常数，则把连等式分开写成都与常数相等的等式，分别借助对应运算求解： 2.若连等式中没有常数，引人参数t,让连等式等于t,把连等式分开都写成与t相等的等式，分别借助对应运 算求解： 3.若连等式中没有常数，也可把其中一项视为常数，把连等式分开写成都与这一项相等的形式，分别借助 对应运算求解。 变式训练8-1(25-26高一上浙江杭州第十四中学)设a,b,c均为不等于1的正数，且a2=b3=c6,则abc的 值为() A.3 B.2 C.1 02 空式训练822425高二下-江苏苏州调所满足a=6=c<,12+3=01Xy,2∈R的有序实数组 x y Z a,b,c可以是() A.4,3,2 B.4,2,3 c.3,9,2 D.18,12,2 变式调缆3B42府-上衡江绍兴会箱联粗期冲在2+2+2+厂+号-21中， a,b,C,p,q是五个非负整数，且a>b>c,p>q,则b+p=() A.6 B.5 C.4 D.3 题型九、用字母表示对数 典例创精进)2627高一上江苏盐城演海县明达中学期中设2=3=，且乙+日2，则1=一：若 a b log23=m,log,2=n,og4256= (用m,n表示) 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型归纳 带附加条件的指数、对数问题主要是指已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些已知条件来表示 所要求的式子解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用 变式训练9-1(26-27高一上江西南昌外国语学校·月考)(1)解关于X的不等式 mx+1-mx+m-2<m-1m ER. (2)已知log23=a,3°=7，试用a,b表示log1256. 变式训练9-2(26-27高一上江苏宿迁中学.调研)已知log52=a,10g53=b,则18可以表示为（) A. 506 B.56 C.50+2b D.50+52b 变式训练9-3(23-24高一海南海口海南中学.月考)已知l0g189=a,18=5,则l0g245= (用a, b表示). 题型十、对数的化简求值 典例精进10(26-27高一上江苏苏北五校（徐州三中、扬大附中等）·调研)计算： 3282+27j: 2 (1) 26 (2)log2 12-log23+log log8 3(1g22+(1g5)2+ l0g210+l0gs10 题型归纳 对于同底数的对数式，化简的常用方法： 1.“收”，逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对 数式： 2.“拆”，正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）： 3.对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“1g5+g2=1'来解题： 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.求含有多重对数符号的对数值，应从内向外逐层化简求值，己知含有多重对数符号的对数值求变量的值 时，应从外到内，逐步脱去“og”后再求解： 5.当真数是形如“厅±叵”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”： 变式训练101(26-27高一上江苏海头高级中学.调研)计算： (1)log26+logo.53+In 2+In 0.5 2e3+log25+日. 8 Ig2P+(lg5P+3Ig2-3(lg2 变式训练102(26-27高一上江苏如东一中、宿迁一高、徐州中学、项里高中、洋河高中月考)计算下列各 式的值： 3 3 (1)已知14 求a2-a2 a2+a2=V6 a2-a2 227-2s3x1og2日+21g3+5+3-5g hog2s6.25+lg0.01+1he-2b3 变式训练103(25-26高一江西南昌第五高级中学期中)(1)计算 器含阳+1525+8 (2)是否存在这样的正数m,n,使得log2m+log2n=log2m+n?若存在，求出m+n的最小值，若不 存在，说明理由. 题型十一、对数的换底公式 典例精进11(26-27高一·上海第二中学.期中)已知a>1,b>1,若log。b+1og6a=2,且ab=2,则 log2(a+b)= 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型归纳 不同底数的对数式化简求值常用换底公式 变式训练111已知实数a、b满足a=10g:6+1og525,3°+4=5，则关于a、b下列判断正确的是 () A.a<b<2 B.b<a<2 C.2<a<b D.2<b<a 变式训练11-225-26高二下.山东烟台期末)已知实数Q,b满足αb=32,且log2a=log616,则a+b的值为 变式训练11-3设正实数x,y,z同时满足log4x+log8yz=1,log4y+log8zx=3, 1og4z+-1og=9则1og6z的值为 题型十二、对数方程 典例精进1225-26高一江西南昌第五高级中学·期中)已知1g23x2+2x-1=1则x 题型归纳 1.对数方程问题的方法： 化同底或换元将其转化为一般方程求解，注意在将对数方程转化为一般方程的过程中，未知数范围的 扩大或缩小可能会造成多解或漏解的情况，故解对数方程时必须把所求的解代人原方程进行检验. 2.对数方程解法： 1) log(x)=b,或1ogxW=g(x)(a>0且a≠1) 解法：将对数式转化为指数式fx=a或f(x)=a 2) logw=10gg(a>0且a≠1解法：转化为fx)=gx: 3) 1og=b解法：转化为gx=[fxP: 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4) flog}=0a>≥0且a≠1解法：将1og看成-个整体，转化为关于1og的方程。 变式训练121方程x2+x血8-X18=0正实数解为（) A.1 B.Ve C.e D.e2 变式训练12-2若a3,x+xg:0=2a2(a>0,且a≠1)，则x= 交式训练123①)已痴gX子gy三2gx-2y,则g贩的值为 (2)方程log2x十1)-log4(x十4)=1的解为 题型十三、对数与基本不等式 典例精进13(26-27高一上江苏海安高级中学，月考)回答下列问题： 已知x>1,y>1且x+2y=4,求4+1 的最小值： x-1y-1 (2)已知a>b>1,若logab+logpa= 的最大值。 a+4 题型归纳 1.最值问题可以考虑基本不等式； 2使用基本不等式时，注意检验等号成立的条件。 变式训练131已知正数a,b满足1g3+g9=g3,则乙+9的最小值为（) a b A.2 B.4 C.6 D.8 变式训练13-226-27高一上江苏南京外国语学校)(1)计算： }x2,-2-2g2-25-e3 2)已知2=66-24，求Ig6+2ab的值： (3)实数x,y满足2-4'=9，求x-y的最小值. 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练13326-27高一上江苏邗江中学)已知t>1,x=log2t,y=10g8,则2x+y的取值范围是 () A.-0,-26 B.-26,0 c.0,26 D.26,+∞ 题型十四、指对模型的实际应用 典例精进14(26-27高一上湖南邵阳九校联盟)“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在 水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好，现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为 11.2m1s,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次 的93%，若要使石片的速率低于7.84m/s,则至少需要“打水漂”的次数为() (参考数据：取ln0.7=-0.357,1n0.93=-0.073) A.4 B.5 C.6 D.7 题型归纳 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： 1.建立对数式，在此基础上进行求值，计算时要注意指数式与对数式的互化： 2.建立指数函数应用模型，再进行求值，此时往往将等式两边同时取对数后进行计算 变式训练141国际象棋棋盘有8×8共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态 空间的上限M约为358，而井字棋棋盘中有3×3共9个位置，每个位置可能有X、O或空缺共3种状态， 所以其状态空间的上限N约为3=19683≈10，则下列各数中与 最接近的是（参考数据：lg35≈1.54 )() A.31 B.119 c.1031 D.1019 变式训练142(25-26高一上山东威海第四中学期中)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助 视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为()( 10V/10≈1.3) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 变式训练143在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度v取决于它的脚趾数量n和眼睛数量m.在速度以 厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为v=kn°m°，其中k,a,b均为整数常数.所有生物都有5根脚趾 的种群满足1ogv=4+2logm;所有生物都有25只眼睛的种群满足logv=4+41ogn,这里的对数均以10 为底.问k+a+b的值是多少？() A.20 B.21 C.22 D.23 E.24 ◆◆ 同压轴挑战一女克离障压轴，突破思燥上保 1.(26-27高一上河南部分学校)设a,b为实数，且满足就，则a+b=() A.2 B.1 c.-1 D.-2 2.(25-26高二下河南南阳六校：期末若关于x的不等式a-x-b川X2-8x+12≤0恒成立，则1og,b= () A.-1 B.0 C.1 D.2 3.25:26高一湖南益阳安化县期中若3n2a-36+mna6*1=30-6+1+πh2a*30(a>0,b>0,则2+2 a b 的最小值是() A.11 B.9 C.7 D.5 4.(25-26高-下河北邪台卓越联盟)若yX,y∈o0,0小4+x21+2x-2y+y+10g,m>0则m的 取值范围是() ,+0 B.1,+o C. D.2,+o 5.(26-27高一上河北黄骅中学.期中)定义集合{xm<x<n,{x|m≤x≤n},{xm<x≤n}, {xm≤x<n}的“长度”均为n-m(m<n),若a>b,则满足不等式L+ x-a x-b ≥1的解集中各集合的 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “长度”之和为 6.设方程4-2+1Dg2X=0的三个根为X,X,X,X,<X<X,则lo32- X1X2X3 7.设x,y为实数，且满足（则x+y= 8.25:26高一江苏南京师范大学附属中学·月考已知实数x'x,满足：X+er=3'X,+X,lnX,=e则 X+e= X2 9.526高下黑龙江哈尔滨德强高级中学月考已知X0e十也≥0恒成立，则实数α的取值范围为 10.25-26高-下湖南长沙长那中学开学考)已知实数a,b满足e°+a-3=0,二-lnb-3=0,则ab-3b= 14/14