5.3 一元一次方程的应用（1）（讲义，知识点&12大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

第五章 一元一次方程 5.3实际问题与一元一次方程（1） 课标要点 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本步骤（审—设—列—解—验—答），能针对配套、工程、销售、比赛积分、分段计费等常见实际问题找出等量关系并列方程求解； 3.能根据实际意义检验方程的解是否合理，发展模型观念和应用意识。 学习重难点 重点： 1.分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程； 2.掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤。 难点： 1.准确寻找问题中的等量关系，建立方程模型； 2.正确检验方程的解是否符合实际意义。 知识点 实际问题与一元一次方程 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 随学随练 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【答案】D 【分析】本题考查了列方程解应用题，设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨，根据甲卡车比乙卡车多运货12t，列出方程即可. 【详解】解：设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨， 根据题意，得：， 解得：， （吨）， 故选： ． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 【答案】 每张桌子元，每把椅子元 【分析】设每把椅子元，则每张桌子元，根据买张桌子和把椅子共花了元列一元一次方程求解． 【详解】解：设每把椅子元，则每张桌子元， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每张桌子元，每把椅子元． 知识点 实际问题与一元一次方程的易错点 ◆1、和、差、倍、分问题 把“多、少、倍、几分之几”等关键词方向判断反，导致等量关系列反。 ◆2、几何图形问题 混淆周长、面积、体积公式，或漏做单位换算，导致结果错误。 ◆3、工程问题 把总工作量当成具体数，而未按“看作1”处理，导致效率与方程列错。 ◆4、等积变形问题 误认为变形后周长（或表面）相等，而忽视体积（面积）相等才是关键。 ◆5、配套问题 倍分方向反：“1个螺钉配2个螺母”应列“螺母数＝2×螺钉数”，勿写成螺钉数＝2×螺母数。 ◆6、比例问题 不设“每一份为x”，而直接设各量，导致数量关系混乱、漏用“各份之和＝总量”。 ◆7、“盈不足”问题 未抓住“表示同一个量的不同式子相等”这一基本等量关系，盈与不足加减方向搞错。 ◆8、比赛积分问题 总场数与胜、平、负场数的关系写错（总场数＝胜＋平＋负），或漏加平局积分。 ◆9、增长（下降）率问题 公式记错或方向弄反：增长后量＝原量×(1＋增长率)，下降后量＝原量×(1－下降率)。 ◆10、银行储蓄问题 混淆本金、利息、本息和，或税后利息忘记扣除利息税。 ◆11、分段计费问题 分界点判断错误，把不同档的单价混用，分段累加漏段或多段。 ◆12、数轴上的动点运动问题 方向搞反或两点距离忘加绝对值：向右“起点＋vt”、向左“起点－vt”，距离须加绝对值并舍去负数解。 随学随练 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 4．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）要加工600个零件，师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务．已知师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数，求师傅和徒弟每小时各加工零件多少个？ 【答案】师傅每小时加工零件120个，徒弟每小时加工零件40个 【分析】根据题意可知，师傅每小时加工零件个数是徒弟的3倍，设徒弟每小时加工零件x个，则师傅每小时加工零件个，再根据“师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务”列出方程求解即可． 【详解】解：∵师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数， ∴师傅每小时加工零件个数是徒弟的3倍， 设徒弟每小时加工零件x个，则师傅每小时加工零件个， 解得：， ∴ 答：师傅每小时加工零件120个，徒弟每小时加工零件40个． 题型一 和、差、倍、分问题 ▌例1 一箩筐内有橘子、梨、苹果、若干个，已知梨的个数是橘子个数的，苹果的个数是橘子个数的，梨的个数的比苹果少2个，箩筐内有橘子多少个？ 【答案】30个. 【分析】设箩筐内有橘子x个，根据梨的个数是橘子个数的，苹果的个数是橘子个数的，梨的个数的比苹果少2个，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设箩筐内有橘子x个，根据题意得： xx•2， 解得：x＝30， 答：箩筐内有橘子30个． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意苹果、梨、橘子之间的关系． 解题贴士 这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语，仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如:“大，小，多，少，增加，减少......”，并根据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程. ▌对点练1-1（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）家具厂卖出书柜的数量是办公桌的，卖出书柜的个数比办公桌的张数少120，家具厂卖出书柜多少个，办公桌多少张？（列方程解答） 【答案】 家具厂卖出书柜30个，办公桌150张 【分析】以办公桌数量为未知量，结合书柜与办公桌的数量关系和数量差列方程求解． 【详解】解：设卖出办公桌的数量为x，则卖出书柜的数量为， 根据题意得：， 解得：， ∴书柜数量为（个）， 答：家具厂卖出书柜30个，办公桌150张． ▌对点练1-2（26-27七年级上·四川乐山·开学考试）这学期快结束了，王老师去买奖品，7本日记本比1本故事书多用了18元，已知1本故事书的价钱正好是1本日记本价钱的3倍，日记本和故事书的单价各是多少元？（用方程解） 【答案】日记本单价4.5元，故事书单价13.5元 【详解】解：设日记本单价为x元，则故事书单价为3x元， 由题意，得， 解得； 因此，故事书：（元）； 答：日记本单价4.5元，故事书单价13.5元． ▌对点练1-3（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 【答案】水果店原来运来苹果160千克，梨180千克 【分析】设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克， 根据题意，得 （千克） 答：水果店原来运来苹果160千克，梨180千克． 题型二 几何图形问题 ▌例2 （2026七年级上·全国·专题练习）有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设纸条宽为，根据纸条总长求出，再求周长即可． 【详解】解：如图，设纸条宽为，则9块图形的长依次为，由题意可得 ， 解得， 大正方形的周长为． 解题贴士 利用一元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解． ▌对点练2-1 如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】可分别设长方形地砖的长和宽，根据图中信息列出方程即可解答． 【详解】解：设长方形地砖的长为，宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得，即长方形地砖的宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得． ∴长方形地砖的长为，宽为． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·四川绵阳·期中）如图，小明将一个长方形纸纵向剪出一个宽为的长条后，再横向剪去一个宽为的长条，得到一个正方形．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的四条边相等，将边长设为，再根据图象将两个长方形的长分别表示出来，利用长方形的面积求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则宽的长方形的长为，宽的长方形的长为， ∵两次剪下的长条面积相等， ∴可列式：， 解得， ∴． ▌对点练2-3（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1)4000 (2) 【分析】（1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的3倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：当时， 此时，折成的无盖长方体盒子的体积； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 题型三 工程问题 ▌例3 一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【答案】A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 解题贴士 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． ▌对点练3-1 2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作1，先得到单人工作效率，再分别计算两部分工作量，根据工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：∵1人完成全部工作需要16小时， ∴1人1小时的工作效率为. 设先安排人工作， 则人先做1小时的工作量为 ， 增加1人后，人做2小时的工作量为 ， ∵两次工作量之和为总工作量的， ∴可得方程 ． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·四川达州·开学考试）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． ▌对点练3-3一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作．一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天．这批工人有( )人．（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 【答案】36 【分析】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人，根据甲工地的总工作量乙工地的总工作量，再结合工程问题基本公式“工作总量人数工作时间”(每人工作效率相同)推导而来． 【详解】解：假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人， 答：这批工人共有36人． 题型四 等积变形问题 ▌例4古代数学问题趣题，如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为．则瓶内溶液的体积为_____． 【答案】960 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设瓶子的底面积为，溶液的体积与空余部分的体积之和等于瓶子的容积，由此列方程求解即可． 【详解】解：设瓶子的底面积为， 则， 解得， 瓶内溶液的体积为， 故答案为：960． 解题贴士 等积变形问题： 长方体体积=长×宽×高； 圆柱的体积=πr2h（h为高，r为底面圆半径）. 变形前后体积相等. ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．现把瓶内的溶液全部倒在一个圆柱形的杯子里，杯内的溶液高度为．则圆柱形的杯子的底面积是__________． 【答案】80 【分析】本题考查了一元一次方程以及认识立体图形，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】解：设溶液的体积为， 根据题意得：， 解得， ， ， 故答案为：80． ▌对点练4-2 有一圆柱形玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为，高为，现内装蓝色溶液若干．如图②放置时，测得液面高；如图③放置时，测得液面高；则该玻璃密封器皿总容量为___________．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设该玻璃密封器皿总容量为，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． ▌对点练4-3如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为．则瓶内溶液的体积为多少． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设瓶子的底面积为，溶液的体积与空余部分的体积之和等于瓶子的容积，由此列方程求解即可． 【详解】解：设瓶子的底面积为， 则， 解得， 瓶内溶液的体积为， 答：瓶内溶液的体积为． 题型五 配套问题 ▌例5 某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 解题贴士 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例. ▌对点练5-1 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． ▌对点练5-2 （26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】 20 40 【分析】已知总工人数量为，配套要求为桌腿总数量是桌面总数量的倍，据此建立等量关系列方程求解. 【详解】解：设分配人生产桌面，则分配人生产桌腿， 根据题意，每天生产的桌面总数为，生产的桌腿总数为， 要使桌面和桌腿配套，需满足桌腿总数等于倍桌面总数， 因此列方程得， 解得， 则， 即应分配人生产桌面，人生产桌腿. ▌对点练5-3（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 题型六 比例问题 ▌例6 甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的应用与一元一次方程的求解，熟练掌握根据比例设未知数并结合数量关系列方程是解题的关键．根据甲、乙、丙三数的比例关系设未知数，再依据甲、乙两数之和与乙、丙两数之和的数量关系列方程求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三数分别为、、． ， 则乙数为 故选：A． 解题贴士 设“每一份为x”，按比例写出各个量；根据总和 / 差的等量关系列方程，求出x再算各量，结果要符合实际。 ▌对点练6-1 长方形的周长是160厘米．长和宽的比是5:3．长方形的面积是（    ）平方厘米 A．6000 B．3000 C．2000 D．1500 【答案】D 【分析】根据长和宽的比设出未知数，列方程求出长和宽，再计算面积即可． 【详解】解：设长是5x厘米，宽是3x厘米， 5x=50，3x=30， 所以长是50厘米，宽是30厘米， 面积是平方厘米， 故选：D． 【点睛】本题考查比的应用，根据题意设出未知数求出长和宽是解题的关键． ▌对点练6-2 学生90人编成三组参加义务劳动，甲组与乙组的人数之比为，乙组与丙组的人数之比为，求各组的人数． 【答案】甲组有42人，乙组有28人，丙组有20人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用各组人数之间的比例可设甲组有人，乙组有人，丙组有人，根据三组共90人，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵甲组与乙组的人数之比为，乙组与丙组的人数之比为， ∴设甲组有人，乙组有人，丙组有人， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：甲组有42人，乙组有28人，丙组有20人． ▌对点练6-3七年级同学参加绘画兴趣小组和书法兴趣小组的共有84人，参加绘画兴趣小组的人数与书法兴趣小组的人数之比为3∶4，参加绘画兴趣小组和书法兴趣小组的各有多少人？ 【答案】参加绘画兴趣小组的有36人，书法兴趣小组的有48人． 【分析】设参加书法兴趣小组的有x人，则参加绘画兴趣小组的人数是x人，根据等量关系：参加绘画兴趣小组的人数+参加书法兴趣小组的人数=84人，列方程解答即可． 【详解】解：设参加书法兴趣小组的有x人， x+x=84 解得：x=48， 84-48=36（人） 答：参加绘画兴趣小组的有36人，书法兴趣小组的有48人． 【点睛】本题主要考查比的应用及根据已知条件列出方程，解决本题的关键是找到等量关系：参加绘画兴趣小组的人数与书法兴趣小组的人数之比为3∶4． 题型七 “盈不足”问题 ▌例7 课外阅读课上，老师将一批书分给各小组，若每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，问有几个小组？若设有个小组，则依题意列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据书的总数不变列出方程即可． 【详解】解：设有个小组， ∵每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，且书的总数不变， ∴． 解题贴士 “盈不足”问题----“表示同一个量的不同式子相等”是解决此类问题中的一个基本相等关系. ▌对点练7-1 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有现有快递员（       ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】B 【分析】设该分派站现有现有快递员 人，根据“每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，”列出方程，解出即可． 【详解】解：设该分派站现有现有快递员 人，根据题意得： ， 解得： ， 答：该分派站现有现有快递员6人． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． ▌对点练7-2 为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．问：计划调配36座的新能源客车多少辆？该校七年级共有多少名学生？ 【答案】218 【分析】设计划调配36座的新能源客车x辆，则该校七年级共有（36x+2）名学生，根据该校七年级学生人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出计划调配36座的新能源客车的数量，再将其代入（36x+2）中，即可求出该校七年级学生人数． 【详解】解：设计划调配36座的新能源客车x辆，则该校七年级共有（36x+2）名学生， 根据题意得：36x+2＝22（x+4）﹣2， 解得：x＝6， ∴36x+2＝36×6+2＝218． 答：计划调配36座的新能源客车6辆，该校七年级共有218名学生． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ▌对点练7-3某制造工厂计划若干天完成一批玩具的订货任务，如果每天生产玩具20个，那么就比订货任务少生产100个；如果每天生产玩具23个，那么就可超过订货任务20个，求原计划几天完成任务？ 【答案】40 【分析】设原计划用x天完成任务，根据题意可得等量关系为：订货任务是一定的，据此列方程求解． 【详解】解：设原计划用x天完成任务，依题意有 20x+100＝23x﹣20， 3x＝120， 解得：x＝40． 答：原计划40天完成任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 题型八 比赛积分问题 ▌例8 （25-26七年级上·河北石家庄·期末）某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据“最终成绩答对的题得的分答错的题扣的分”列式求解． 【详解】解：设小华答对道题，则不答或答错道题， 由题意列式为： ， ， ， ， ； ∴小华答对道题． 解题贴士 比赛积分问题: 比赛总场数＝ 胜场数＋ 负场数＋平场数. 比赛总积分＝ 胜场积分＋ 负场积分＋平场积分. ▌对点练8-1 （2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． ▌对点练8-2 （26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． ▌对点练8-3（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）某电视台组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同、每题必答，下表记录了其中五位参赛者的得分情况，根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 m 得分 100 94 88 n 40 (1)每答对一道题得______分，每答错一道题得______分； (2)求，的值． 【答案】(1)5； (2)， 【分析】（1）由参赛者A的得分可以求出答对一题的得分=总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分； （2）根据（1）中的得分即可求出m，n． 【详解】（1）解：由A的得分可知，答对一道题得：分， 由B可知，答错一道题得分为：分． （2）解：（分）； ， 解得：． 题型九 增长（下降）率问题 ▌例9（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共450台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共519台，其中甲种机器产量要比第一季度增加，乙种机器产量要比第一季度增加．则该厂第一季度生产甲种机器_______台，乙种机器_______台． 【答案】 210 240 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题的能力，本题一要注意增产的百分数是指在原来产量的基础上增加百分之几，二要注意寻找本题的相等关系，相等关系是我们列出方程的基础．设第一季度生产甲机器台，依据题目的相等关系列出关于的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设第一季度生产甲机器台，则生产乙种机器台， 依据题意列方程得，， 解得：， 乙：（台）， 所以第一季度生产甲机器210台，生产乙机器240台． 故答案为：210；240 ． 解题贴士 解这类问题的基本等量关系式是： 原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. ▌对点练9-1 工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是_____________． 【答案】2240件，1760件 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产个零件，利用上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，则两车间共生产了4000个零件，进而得出等式求出答案，根据题意表示出甲、乙两车间生产的零件个数是解题关键． 【详解】解：设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产个零件，根据题意可得： ， 解得：， 则（件）， 故甲车间实际生产零件：（件）， 乙车间实际生产零件：（件）． 故答案为：2240件，1760件． ▌对点练9-2 小王离岗创业，销售某品牌电脑，1月份的销售量为100台，每台电脑售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每台售价比1月份降低了400元，2月份与1月份的销售总额相同，求每台电脑1月份的售价． 【答案】4400元． 【分析】设1月份每台电脑售价为x元，则2月份每台电脑的售价为（x﹣400）元，依据“2月份的销售量比1月份增加10%，每台电脑的售价比1月份降低了400元．2月份与1月份的销售总额相同”列出方程并解答． 【详解】解：设每台电脑1月份的售价为x元， 根据题意得，100（1+10%）（x﹣400）＝100x， 解得：x＝4400， 答：每台电脑1月份的售价为4400元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． ▌对点练9-3某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产17吨，其中水稻超产10%，小麦超产20%，该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？ 【答案】专业户去年实际生产水稻11吨，小麦6吨． 【分析】设专业户去年原计划生产水稻x吨，小麦y吨，根据去年原计划生产两种作物的产量及实际生产两种作物的产量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再由实际的产量与原计划的产量之间的关系，即可求出结论． 【详解】解：设专业户去年原计划生产水稻x吨，小麦（15﹣）吨， 根据题意得：（7 解得：x ∴（吨） ∴实际生产水稻10×（1+10%）＝11（吨）；实际生产小麦5×（1+20%）＝6（吨）． 答：专业户去年实际生产水稻11吨，小麦6吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型十 银行储蓄问题 ▌例10 妈妈把20000元存入银行，定期三年，年利率是4.25%，三年后用所得利息买一部价值2300元的手机，利息还剩多少钱？（　　） A．250 B．850 C．2550 【答案】A． 【分析】设利息还剩x元，根据题意列方程求解即可． 【详解解：设利息还剩x元， 根据题意得，2300+x＝20000×4.25%×3， 解得x＝250， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 解题贴士 银行储蓄问题： ①利息=本金×利率×期数； ②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）； ③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率； ⑤年利率=月利率×12． ▌对点练10-1 爸爸为小华存了一个3年期的教育储蓄（设3年期的年利率为2.7%），3年后能取5405元，他开始存入了多少元？ 【答案】5000元 【分析】设他开始存入了x元，根据本金+本金×利率×时间＝5405列出方程，解方程即可． 【详解】解：设他开始存入了x元， 根据题意得：x+x×2.7%×3＝5405， 解得：x＝5000． 答：他开始存入了5000元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． ▌对点练10-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）两年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是2.75%，到期后取出，得到本息共21100元．问：李叔叔存入的本金是多少元？ 【答案】李叔叔存人的本金是20000元 【分析】根据“利息=本金×利率×期数，本金+利息=本息”，得方程求解即可. 【详解】解：设李叔叔存入的本金是元． 根据题意，得：， 解得． 答：李叔叔存入的本金是20000元． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，掌握本金、本息和、年利率关系是解题的关键. ▌对点练10-3 若某银行三年定期储蓄的年利率是，小杰取出三年到期的本利和共元，问小杰存入的本金是多少元． 【答案】小杰存入的本金是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小杰存入的本金是x元根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小杰存入的本金是x元根据题意，得 解方程，得． 答：小杰存入的本金是元． 题型十一 分段计费问题 ▌例11（25-26八年级上·河南郑州·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，可推出该户去年一年的用电量在第二档，设该户去年一年的用电量是，分别表示出第一档和第二档的费用，二者的和为1834元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴该户去年一年的用电量在第二档， 设该户去年一年的用电量是， 由题意得，， 解得， ∴该户去年一年的用电量是， 故选：B． 解题贴士 解决计费问题的关键是弄清计费方式.常见的类型有：（1）已知用电量（用水量、上网时间等），求应缴的费用；（2）已知缴费的钱数，求用电量（用水量、上网时间等）.此外还要抓住分界点. ▌对点练11-1 （25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． ▌对点练11-2 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ 【答案】(1) (2)260度 【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的函数关系式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费138元可知在第二段，代入解析式可得用电量． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 小李家6月份用电260度． ▌对点练11-3 （25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． 题型十二 数轴上的动点运动问题 ▌例12 （25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为2或； 故选：B． 解题贴士 技巧：设时间t，右加左减写动点位置； 相遇：位置相等；相距：位置差的绝对值等于距离；舍去负数、超时的解。 ▌对点练12-1 （26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点A在数轴上表示，点B表示5．若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．当A、B两点间的距离为3时，则_________ 【答案】或 【分析】先表示出运动秒后点和点在数轴上对应的数，再根据两点距离为列出绝对值方程求解． 【详解】解：运动秒后，点在数轴上对应的数为，点对应的数为． ∵ A、B两点间的距离为， ∴ ， 化简得， 当时，解得； 当时，解得． 因此的值为或． ▌对点练12-2（26-27七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和最小时，此时距离之和的最小值为__________； (3)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (4)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 【答案】(1)点N所对应的数为1． (2)4． (3)点P所对应的数是或1.5． (4)点P，Q对应的数为或． 【分析】（1）因为数轴上右边的点对应的数比左边大，已知点N在M右侧且距离M为4个单位，所以用M对应的数加上距离即可得到N对应的数． （2）根据两点之间线段最短，如果点P在M、N之间，那么P到M、N的距离之和等于M、N两点的距离，此时距离之和最小，直接利用M、N的间距求解． （3）设点P对应的数为，根据数轴上两点距离公式，，，因为距离和为5，所以列含绝对值的方程，分在M左侧、N右侧两种情况去绝对值求解． （4）先设Q运动的时间为秒，因为P先出发5秒，所以P的运动时间为秒，根据向左运动的数的变化规律：初始数减去运动速度乘时间，分别写出秒后P、Q对应的数；再根据两点距离为2，列绝对值方程，分Q还没追上P、Q追上P之后两种情况求解，最后代入得到对应点的数． 【详解】（1）解：数轴上右侧的数比左侧大，点M对应，N在M右侧4个单位， ∴N对应的数为：． 答：点N对应的数是1． （2）解：根据数轴性质：若点P在M、N两点之间（含M、N），P到M、N的距离之和恰好等于M、N两点间的线段长度；若P在M左侧或N右侧，距离之和都会大于的长度． ∵长度为4， ∴距离之和的最小值为． （3）解：设点P对应的数为，由两点距离公式得， 分两种情况讨论： P在点M左侧（）： 方程化简为， 解得； P在点N右侧（）： 方程化简为， 解得． 综上，点P对应的数为或． （4）解：设Q出发后运动了秒． ∵P先出发5秒，已经向左走了个单位， ∴P此时对应的数为； Q从N（对应1）出发向左运动，对应的数为． 根据两点距离为2列方程，即： 当时，， 此时P对应，Q对应； 当时，， 此时P对应，Q对应． 因此结果为：点P对应、点Q对应，或点P对应、点Q对应． ▌对点练12-3 （26-27七年级上·山东济南·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，点C满足，我们就称点C是【A，B】的追随点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．，那么点C是【A，B】的追随点；，，，点D是【B，A】的追随点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的追随点的是点_____； (2)求出【N，M】的追随点H所表示的数． (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达M停止运动．当t为何值时，P、M和N中恰有一个点为其余两点的追随点？ 【答案】(1)G (2)-4或-16 (3)当t为或3或时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的追随点 【分析】（1）分别求出三点到点M和点N的距离，再根据追随点的定义判断即可得到答案； （2）设点H表示的数为h，则，再根据追随点的定义建立方程求解即可； （3）求出t的取值范围，分四种情况根据追随点的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ∴， ∴点G是【M，N】的追随点； （2）解：设点H表示的数为h，则， ∵点H是【N，M】的追随点， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴【N，M】的追随点H所表示的数是或； （3）解：点P表示的数为，当P在线段上时，，P、M和N中恰有一个点为其余两点的追随点，有以下几种情况： ①如果P是【M，N】的追随点时，则， ∴， 解得； ②如果P是【N，M】的追随点时，则， ∴， 解得； ③如果N是【M，P】的追随点时，则， ∴， 解得； ④如果M是【N，P】的追随点时，则， 所以， 解得； 综上所述：当t为或3或时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的追随点． 基础通关 1．（25-26七年级下·四川乐山·期中）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作单位1，根据“各部分工作量之和等于总工作量1”列方程，确定甲、乙的工作时间即可得到正确方程． 【详解】解：把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵工期为天，甲先单独做天，之后两队合作， ∴甲先做天的工作量为，两队合作的时间为天，合作中甲的工作量为，合作中乙的工作量为， ∵总工作量为， ∴可列方程： ． 2．（2026·河南周口·二模）某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·开学考试）一个长方形的周长为，它的长与宽的比是，这个长方形的面积是（　　）． A．20 B．80 C．160 D．360 【答案】B 【分析】先根据长方形的周长为，它的长与宽的比是计算出长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：长方形的周长为，它的长与宽的比是， 长方形的长为：，宽为：， 长方形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了比的应用，根据长方形的周长以及长与宽的比是求出长方形的长与宽，是解题的关键． 4．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．3小时 C．4小时 D．2小时 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．设还需要m小时，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设还需要m小时，根据题意，得， 解得． 故选：B． 5．七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐60人．如果增加一辆客车，每辆正好坐45人，则七年级共有学生（　　） A．240人 B．300人 C．360人 D．420人 【答案】C． 【分析】学生数为未知量，每辆车的载重学生数是已知的，应根据等量关系：每辆车坐60人所需车辆数+1＝每辆车坐45人所需车辆数﹣1列方程解答即可． 【详解】解：设七年级共有x名学生 则根据题意有：11， 解得x＝360． 答：七年级共有360名学生． 故选：C． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 6．如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形的边长都相等，，列出，再整理，即可作答． 【详解】解：依题意，得 设去掉的小正方形的边长为， ∵大正方形的边长都相等， 则， 解得：， 7．某校食堂有甲、乙、丙三种套餐，为了解哪种套餐更受欢迎，学校调查了该校的全体学生，其中喜欢甲、乙、丙三种套餐的人数比为，若选择甲套餐的有180名学生，则这个学校有__________名学生． 【答案】600 【分析】设这个学校有x名学生，可得，即可解得答案． 【详解】解：设这个学校有x名学生， 根据题意得：， 解得，， 故答案为：600． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 8．如图，底面直径为8 cm的大号量杯中液体高度为x cm，将液体全部倒入底面直径为6 cm的中号量杯中，液体高度增加了7 cm，则x＝________． 【答案】9 【分析】根据题意得，建立等量关系π（）2×大号量杯的高度＝π（）2×（7＋大号量杯的高度）． 【详解】依据题意设大号量杯的液体高度为x， 列方程得： 解得x＝9， 故大号量杯液体高度为9cm． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 素养提升 9．学校新购进一批图书，按分给六、七、八三个年级，已知六年级比八年级少分得本，七年级分的图书多少本？ 【答案】七年级分的图书本 【分析】按照所给比例设未知数即可求解． 【详解】解：设六年级分得图书本，则七年级分得本、八年级分得本， 由题意得， 解得 （本） 答：七年级分的图书100本。 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．按照比例设未知数是解题的关键． 10．某银行2年期定期储蓄年利率是，王先生有一笔2年期存款，到期后共取出10500元，则原来王先生存入多少元？ 【答案】10000元 【分析】设原来王先生存入元，根据“利息本金利率期数”，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设原来王先生存入元， 根据题意，可得 ， 解得 ． 答：原来王先生存入10000元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 11．某班共有40名学生．在该班举行的元旦联欢会上．主持人将一堆糖果分给全班每位同学，如果男生每人分3颗，女生每人分2颗，那么少2颗；如果女生每人分3颗，男生每人分2颗，那么多2颗．这个班男生和女生各有多少名？ 【答案】这个班男生有22名，则女生有18名． 【分析】设这个班男生有x名，则女生有（40﹣x）名，根据两种分发糖果的总数不变列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个班男生有x名，则女生有（40﹣x）名， 根据题意得：3x+2（40﹣x）﹣2＝3（40﹣x）+2x+2， 解得：x＝22， 则40﹣x＝18， ∴这个班男生有22名，则女生有18名． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理清题意，找准等量关系并正确列出方程是解题关键． 12．某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同.2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元，2月份与1月份的销售总额相同，求1月份的售价． 【答案】880元． 【分析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，依据“2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同”列出方程并解答． 【详解】解：设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元， 依题意得 100x＝（x﹣80）×100×（1+10%）， 解得x＝880． 答：1月份每辆车售价为880元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到“2月份每辆车的售价”和“2月份是销售总量”是解题的突破口． 13．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. 14．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测）七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 【答案】3条船，36人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班租了x条船， 根据题意得：， 解得：， ∴该班一共有教师和学生:人， 答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人． 迁移创新 15．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）学校准备利用假期维修操场，如果甲工程队单独进行维修需要8天，乙工程队单独进行维修需要12天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先修2天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为12000元，甲工程队每天的工程费比乙多2000元，操场维修完成后，学校需要支付给甲、乙两个工程队共多少钱？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天 (2)学校共支付给甲、乙两个工程队128000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是将工作总量看成单位 “1”，并根据工作时间、工作效率和工作总量的关系来求解， （1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要x天，依据题意列出方程求解即可； （2）根据甲乙各自工作时间和每天工程费求出总工程费． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天． （2）解：乙工程队的工程费为：元， 甲工程队的工程费为：元， 学校需要支付的总费用为：（元）， 答：学校共支付给甲、乙两个工程队128000元． 16．（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 17．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 18．（25-26七年级上·四川南充·期末）年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元． (1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元． (2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）． (3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？ 【答案】(1) (2) (3)小王第一周充电小时，第二周充电小时. 【分析】（1）充电小时不超过4小时，直接用时长乘单价2，算出费用 5 元． （2）充电时长大于 4 小时，前 4 小时收费，超出部分小时收费，合并化简得到代数式． （3）设第一周充电小时，第二周小时，已知，第一周代入，再分第二周是否超过 4 小时列方程，解得，第二周为 2 小时． 【详解】（1）解：∵ ， ∴按照每小时 2 元收费． ∴ 费用：（元）． （2）解：∵ ，前 4 小时每小时 2 元，超过 4 小时的部分小时每小时 1.5 元． ∴ 费用： ． （3）解：设第一周充电小时，则第二周充电小时， 由题意得 ，所以，第一周费用使用． 分情况讨论第二周充电时长： 情况一：，即第二周按 2 元每小时收费． 第二周：，，符合条件． 情况二：，第二周也用， ， ，等式不成立，此情况舍去． 答：第一周充电 8 小时，第二周充电 2 小时． 19．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 20．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【知识背景】数轴上，点A，B表示的数为a，b，则A，B两点的距离，的中点P表示的数为． 【知识运用】已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，，P为数轴上一动点． (1)________，________； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为________．若B为线段的中点，则P点对应的数为________； (3)若点A、点B同时向左运动，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点A到线段中点P的距离恰好是1？ 【答案】(1)，4 (2)1，10 (3)2秒或4秒 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求解即可； （2）根据中点公式列式、建立方程求解即可； （3）设运动时间为秒，先分别求出运动秒时，点对应的数，再根据数轴的性质建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∵点为线段的中点， ∴点对应的数为． 设点对应的数为， ∵为线段的中点， ∴，即， ∴， 即点对应的数为10． （3）解：设运动时间为秒， 运动秒时，点对应的数为，点对应的数为，线段中点对应的数为， 由题意得：， 即或， 解得或， ∴经过2秒或4秒，点到线段中点的距离恰好是1． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.3实际问题与一元一次方程（1） 课标要点 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本步骤（审—设—列—解—验—答），能针对配套、工程、销售、比赛积分、分段计费等常见实际问题找出等量关系并列方程求解； 3.能根据实际意义检验方程的解是否合理，发展模型观念和应用意识。 学习重难点 重点： 1.分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程； 2.掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤。 难点： 1.准确寻找问题中的等量关系，建立方程模型； 2.正确检验方程的解是否符合实际意义。 知识点 实际问题与一元一次方程 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 随学随练 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 知识点 实际问题与一元一次方程的易错点 ◆1、和、差、倍、分问题 把“多、少、倍、几分之几”等关键词方向判断反，导致等量关系列反。 ◆2、几何图形问题 混淆周长、面积、体积公式，或漏做单位换算，导致结果错误。 ◆3、工程问题 把总工作量当成具体数，而未按“看作1”处理，导致效率与方程列错。 ◆4、等积变形问题 误认为变形后周长（或表面）相等，而忽视体积（面积）相等才是关键。 ◆5、配套问题 倍分方向反：“1个螺钉配2个螺母”应列“螺母数＝2×螺钉数”，勿写成螺钉数＝2×螺母数。 ◆6、比例问题 不设“每一份为x”，而直接设各量，导致数量关系混乱、漏用“各份之和＝总量”。 ◆7、“盈不足”问题 未抓住“表示同一个量的不同式子相等”这一基本等量关系，盈与不足加减方向搞错。 ◆8、比赛积分问题 总场数与胜、平、负场数的关系写错（总场数＝胜＋平＋负），或漏加平局积分。 ◆9、增长（下降）率问题 公式记错或方向弄反：增长后量＝原量×(1＋增长率)，下降后量＝原量×(1－下降率)。 ◆10、银行储蓄问题 混淆本金、利息、本息和，或税后利息忘记扣除利息税。 ◆11、分段计费问题 分界点判断错误，把不同档的单价混用，分段累加漏段或多段。 ◆12、数轴上的动点运动问题 方向搞反或两点距离忘加绝对值：向右“起点＋vt”、向左“起点－vt”，距离须加绝对值并舍去负数解。 随学随练 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 4．（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）要加工600个零件，师傅先做了2个小时，徒弟接着做了9个小时，正好完成任务．已知师傅1小时加工零件个数正好等于徒弟3小时加工的零件个数，求师傅和徒弟每小时各加工零件多少个？ 题型一 和、差、倍、分问题 ▌例1 一箩筐内有橘子、梨、苹果、若干个，已知梨的个数是橘子个数的，苹果的个数是橘子个数的，梨的个数的比苹果少2个，箩筐内有橘子多少个？ 解题贴士 这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语，仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如:“大，小，多，少，增加，减少......”，并根据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程. ▌对点练1-1（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）家具厂卖出书柜的数量是办公桌的，卖出书柜的个数比办公桌的张数少120，家具厂卖出书柜多少个，办公桌多少张？（列方程解答） ▌对点练1-2（26-27七年级上·四川乐山·开学考试）这学期快结束了，王老师去买奖品，7本日记本比1本故事书多用了18元，已知1本故事书的价钱正好是1本日记本价钱的3倍，日记本和故事书的单价各是多少元？（用方程解） ▌对点练1-3（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 题型二 几何图形问题 ▌例2 （2026七年级上·全国·专题练习）有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（ ） A． B． C． D． 解题贴士 利用一元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解． ▌对点练2-1 如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练2-2 （25-26七年级上·四川绵阳·期中）如图，小明将一个长方形纸纵向剪出一个宽为的长条后，再横向剪去一个宽为的长条，得到一个正方形．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为（     ） A． B． C． D． ▌对点练2-3（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 题型三 工程问题 ▌例3 一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 解题贴士 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． ▌对点练3-1 2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·四川达州·开学考试）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 ▌对点练3-3一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作．一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天．这批工人有( )人．（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 题型四 等积变形问题 ▌例4古代数学问题趣题，如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为．则瓶内溶液的体积为_____． 解题贴士 等积变形问题： 长方体体积=长×宽×高； 圆柱的体积=πr2h（h为高，r为底面圆半径）. 变形前后体积相等. ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．现把瓶内的溶液全部倒在一个圆柱形的杯子里，杯内的溶液高度为．则圆柱形的杯子的底面积是__________． ▌对点练4-2 有一圆柱形玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为，高为，现内装蓝色溶液若干．如图②放置时，测得液面高；如图③放置时，测得液面高；则该玻璃密封器皿总容量为___________．（结果保留π） ▌对点练4-3如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为．则瓶内溶液的体积为多少． 题型五 配套问题 ▌例5 某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 解题贴士 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例. ▌对点练5-1 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． ▌对点练5-3（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 题型六 比例问题 ▌例6 甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 解题贴士 设“每一份为x”，按比例写出各个量；根据总和 / 差的等量关系列方程，求出x再算各量，结果要符合实际。 ▌对点练6-1 长方形的周长是160厘米．长和宽的比是5:3．长方形的面积是（    ）平方厘米 A．6000 B．3000 C．2000 D．1500 ▌对点练6-2 学生90人编成三组参加义务劳动，甲组与乙组的人数之比为，乙组与丙组的人数之比为，求各组的人数． ▌对点练6-3七年级同学参加绘画兴趣小组和书法兴趣小组的共有84人，参加绘画兴趣小组的人数与书法兴趣小组的人数之比为3∶4，参加绘画兴趣小组和书法兴趣小组的各有多少人？ 题型七 “盈不足”问题 ▌例7 课外阅读课上，老师将一批书分给各小组，若每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，问有几个小组？若设有个小组，则依题意列方程为（     ） A． B． C． D． 解题贴士 “盈不足”问题----“表示同一个量的不同式子相等”是解决此类问题中的一个基本相等关系. ▌对点练7-1 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有现有快递员（       ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 ▌对点练7-2 为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．问：计划调配36座的新能源客车多少辆？该校七年级共有多少名学生？ ▌对点练7-3某制造工厂计划若干天完成一批玩具的订货任务，如果每天生产玩具20个，那么就比订货任务少生产100个；如果每天生产玩具23个，那么就可超过订货任务20个，求原计划几天完成任务？ 题型八 比赛积分问题 ▌例8 （25-26七年级上·河北石家庄·期末）某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 解题贴士 比赛积分问题: 比赛总场数＝ 胜场数＋ 负场数＋平场数. 比赛总积分＝ 胜场积分＋ 负场积分＋平场积分. ▌对点练8-1 （2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． ▌对点练8-2 （26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ ▌对点练8-3（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）某电视台组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同、每题必答，下表记录了其中五位参赛者的得分情况，根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 m 得分 100 94 88 n 40 (1)每答对一道题得______分，每答错一道题得______分； (2)求，的值． 题型九 增长（下降）率问题 ▌例9（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共450台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共519台，其中甲种机器产量要比第一季度增加，乙种机器产量要比第一季度增加．则该厂第一季度生产甲种机器_______台，乙种机器_______台． 解题贴士 解这类问题的基本等量关系式是： 原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. ▌对点练9-1 工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是_____________． ▌对点练9-2 小王离岗创业，销售某品牌电脑，1月份的销售量为100台，每台电脑售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每台售价比1月份降低了400元，2月份与1月份的销售总额相同，求每台电脑1月份的售价． ▌对点练9-3某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产17吨，其中水稻超产10%，小麦超产20%，该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？ 题型十 银行储蓄问题 ▌例10 妈妈把20000元存入银行，定期三年，年利率是4.25%，三年后用所得利息买一部价值2300元的手机，利息还剩多少钱？（　　） A．250 B．850 C．2550 解题贴士 银行储蓄问题： ①利息=本金×利率×期数； ②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）； ③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率； ⑤年利率=月利率×12． ▌对点练10-1 爸爸为小华存了一个3年期的教育储蓄（设3年期的年利率为2.7%），3年后能取5405元，他开始存入了多少元？ ▌对点练10-2 （25-26七年级上·全国·课后作业）两年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是2.75%，到期后取出，得到本息共21100元．问：李叔叔存入的本金是多少元？ ▌对点练10-3 若某银行三年定期储蓄的年利率是，小杰取出三年到期的本利和共元，问小杰存入的本金是多少元． 题型十一 分段计费问题 ▌例11（25-26八年级上·河南郑州·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 解题贴士 解决计费问题的关键是弄清计费方式.常见的类型有：（1）已知用电量（用水量、上网时间等），求应缴的费用；（2）已知缴费的钱数，求用电量（用水量、上网时间等）.此外还要抓住分界点. ▌对点练11-1 （25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． ▌对点练11-2 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ ▌对点练11-3 （25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 题型十二 数轴上的动点运动问题 ▌例12 （25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 解题贴士 技巧：设时间t，右加左减写动点位置； 相遇：位置相等；相距：位置差的绝对值等于距离；舍去负数、超时的解。 ▌对点练12-1 （26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点A在数轴上表示，点B表示5．若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．当A、B两点间的距离为3时，则_________ ▌对点练12-2（26-27七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和最小时，此时距离之和的最小值为__________； (3)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (4)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． ▌对点练12-3 （26-27七年级上·山东济南·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，点C满足，我们就称点C是【A，B】的追随点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．，那么点C是【A，B】的追随点；，，，点D是【B，A】的追随点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的追随点的是点_____； (2)求出【N，M】的追随点H所表示的数． (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达M停止运动．当t为何值时，P、M和N中恰有一个点为其余两点的追随点？ 基础通关 1．（25-26七年级下·四川乐山·期中）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·二模）某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 3．（24-25七年级上·甘肃武威·开学考试）一个长方形的周长为，它的长与宽的比是，这个长方形的面积是（　　）． A．20 B．80 C．160 D．360 4．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．3小时 C．4小时 D．2小时 5．七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐60人．如果增加一辆客车，每辆正好坐45人，则七年级共有学生（　　） A．240人 B．300人 C．360人 D．420人 6．如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 7．某校食堂有甲、乙、丙三种套餐，为了解哪种套餐更受欢迎，学校调查了该校的全体学生，其中喜欢甲、乙、丙三种套餐的人数比为，若选择甲套餐的有180名学生，则这个学校有__________名学生． 8．如图，底面直径为8 cm的大号量杯中液体高度为x cm，将液体全部倒入底面直径为6 cm的中号量杯中，液体高度增加了7 cm，则x＝________． 素养提升 9．学校新购进一批图书，按分给六、七、八三个年级，已知六年级比八年级少分得本，七年级分的图书多少本？ 10．某银行2年期定期储蓄年利率是，王先生有一笔2年期存款，到期后共取出10500元，则原来王先生存入多少元？ 11．某班共有40名学生．在该班举行的元旦联欢会上．主持人将一堆糖果分给全班每位同学，如果男生每人分3颗，女生每人分2颗，那么少2颗；如果女生每人分3颗，男生每人分2颗，那么多2颗．这个班男生和女生各有多少名？ 12．某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同.2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元，2月份与1月份的销售总额相同，求1月份的售价． 13．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 14．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测）七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 迁移创新 15．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）学校准备利用假期维修操场，如果甲工程队单独进行维修需要8天，乙工程队单独进行维修需要12天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先修2天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为12000元，甲工程队每天的工程费比乙多2000元，操场维修完成后，学校需要支付给甲、乙两个工程队共多少钱？ 16．（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 17．（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 18．（25-26七年级上·四川南充·期末）年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元． (1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元． (2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）． (3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？ 19．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 20．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【知识背景】数轴上，点A，B表示的数为a，b，则A，B两点的距离，的中点P表示的数为． 【知识运用】已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，，P为数轴上一动点． (1)________，________； (2)若点为线段的中点，则点对应的数为________．若B为线段的中点，则P点对应的数为________； (3)若点A、点B同时向左运动，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间，点A到线段中点P的距离恰好是1？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $