5.3 一元一次方程的应用（2）（讲义，知识点&12大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

第五章 一元一次方程 5.3实际问题与一元一次方程（2） 课标要点 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2.掌握用一元一次方程解决行程（相遇、追击、航行、环形跑道、火车过桥）、商品销售、调配、数字、年龄、图表信息、方案决策等常见实际问题的方法，能找出等量关系并列方程求解； 3.能根据实际意义检验方程的解是否合理，发展模型观念和应用意识。 学习重难点 重点： 1.掌握行程问题中相遇、追击、航行、环形跑道、火车过桥的基本等量关系； 2.掌握商品销售问题中进价、售价、利润、利润率、折扣的关系，并据此列方程。 难点： 1.根据具体情境准确找出等量关系，建立方程模型（尤其是行程类方向与量程分析）； 2.对方案决策、图表信息等问题进行信息加工与分类比较。 知识点 实际问题与一元一次方程 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 随学随练 1．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 2．从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7小时，开通高速公路后，车速平均每小时增加了20千米，只需5小时即可到达，则甲、乙两地的路程是(　　) A．200千米 B．250千米 C．300千米 D．350千米 【答案】D 【分析】设甲乙两地的路程是x千米，则公共汽车原来的车速是x÷7，开通高速公路后的车速是x÷7＋20，根据两地的路程相等列得方程(＋20)×5＝x，借这个方程即可求出甲乙两地的路程. 【详解】设甲乙两地的路程是x千米，根据题意列方程得：(＋20)×5＝x，解得x＝350.故甲乙两地距离350千米，答案选D. 【点睛】本题的解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解. 知识点 实际问题与一元一次方程的易错点 ◆1、古代数学问题 审题不清，未把古代用语（“盈”“不足”“凫雁相逢”等）翻译成现代数量关系，就盲目列式。 ◆2、二、行程问题——相遇问题 等量关系记反或漏用“同时出发时间相等”：应列“甲的行程＋乙的行程＝出发点之间距离”。 ◆3、三、行程问题——追及问题 把“路程差”写成“路程和”：追及应列“快者路程－慢者路程＝追及路程”。 ◆4、四、行程问题——航行问题 顺流、逆流速度求反：顺流＝静水速度＋水流速度，逆流＝静水速度－水流速度，勿混。 ◆5、行程问题——环形跑道问题 同向与背向等量关系混淆：同向“乙程－甲程＝跑道长”，背向“乙程＋甲程＝跑道长”。 ◆6、火车过桥（隧道）问题 漏加/漏减车长：“完全通过”路程＝桥长＋车长，“完全在桥内”路程＝桥长－车长。 ◆7、调配问题 未抓住“调配前后总量不变、调配后产生新倍比关系”，导致调配后两量关系列错。 ◆8、商品销售问题 混淆进价、售价、标价与利润关系，或折扣算错：利润＝售价－进价，实际售价＝标价×折扣。 ◆9、数字问题 设某数而不会用数位表示，或十位与个位弄反：两位数＝十位数字×10＋个位数字。 ◆10、年龄问题 忽视“两人年龄差永远不变”这一核心，而只盯年龄和，导致方程列错。 ◆11、图表信息问题 读图不细、信息提取不全或误读单位，未把图表信息正确转化为数量关系。 ◆12、方案决策问题 未先求“两种方案值相等”的分界点，或分界点两侧的取值判断不完整、漏比较。 随学随练 3．某体育场的环形跑道长400米，甲、乙两人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两人才能再次相遇？ 【答案】经过10分钟后两人再次相遇． 【详解】试题分析：设经过x分钟后甲，乙两人再次相遇，则甲跑的路程是250x米，乙路的路程为290x米.根据等量关系“甲路程-乙路程=400”，列出方程解方程即可． 试题解析： 设经过x分钟后甲，乙两人再次相遇． 则甲跑的路程是250x米，乙路的路程为290x米． 由题意得290x－250x＝400. 解得x＝10. 答：经过10分钟后两人再次相遇． 点睛：本题考查了环形跑道上的追及问题．正确找出等量关系“甲路程-乙路程=环形跑道的长度”是解题关键． 4．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 题型一 古代数学问题 ▌例1 （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 解题贴士 （1）找等量关系是核心:如"总量不变""前后相等""差值固定"等. （2）古代题常见等量类型: 分配问题:如“百僧百馒”"以绳测井". 盈亏问题:如"人出九盈十一，人出六不足十六. 行程问题:如"凫雁相逢""追及问题!鸡兔同笼类:头数、脚数关系. ▌对点练1-1 （26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿，每人竿，多竿；每人竿，恰好分完．”则牧童有________人． 【答案】 【分析】设牧童人数为，根据竹竿总数不变建立等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设有牧童人， 根据题意可得， 整理得， 解得， 故牧童共有人． ▌对点练1-2（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个． 【答案】36 【分析】根据两种分梨方式中，孩童人数固定不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设梨有个， ∵每人分4个梨多12个时，孩童人数可表示为， ∵每人分6个梨恰好分完时，孩童人数可表示为， 又∵孩童人数固定不变， ∴列方程得：， 解得：． ▌对点练1-3巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，看看用尽不差争，�三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，请问先生明算者，算来寺内几多僧． 【答案】624 【分析】设寺内有x名僧人，读懂题中的诗句，找出条件，共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，即可列出方程，解出即可． 【详解】设寺内有x名僧人，由题意得 解得：x=624． 即寺内有624名僧人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题中的诗句，找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案． 题型二 行程问题…… 相遇问题 ▌例2甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 【答案】A 【分析】A、B两地总路程不变，根据两种情况的速度和关系列方程求解即可． 【详解】解：设、两地的距离是千米， ∵ 原来两人小时相遇， ∴ 原来两人的速度和为千米/小时， ∵ 每人各自都比原计划每小时少走千米， ∴ 减速后两人的速度和比原来少千米/小时，即减速后速度和为 千米/小时， 又∵ 减速后两人小时相遇，减速后速度和也可表示为千米/小时， ∴ 列方程得 ， 解得 ， 即、两地距离为千米． 解题贴士 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； ▌对点练2-1 （2025七年级上·北京·专题练习）A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相遇？ 【答案】经过2.25小时两车相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设经过x小时两车相遇，根据路程=速度×时间，甲车行驶路程为千米，乙车行驶路程为千米，两车相向而行，总路程为450千米，据此列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过x小时两车相遇，由题意可得， ； 合并同类项，得； 系数化为1，得． 答：经过小时两车相遇． ▌对点练2-2 两列火车从相距630千米的两地同时相向开出．甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶90千米．经过几小时两车相遇？ 【答案】3小时 【分析】设经过小时两车相遇，根据数量关系式甲的速度相遇时间乙的速度相遇时间甲乙两地的距离就可列出方程． 【详解】解：设经过小时两车相遇，根据题意得： ， 解得：， 答：经过3小时两车相遇． ▌对点练2-3、两地之间的路程为，甲骑自行车从地出发，速度为；乙骑摩托车从地出发，速度是甲的2倍，两人同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 【答案】2小时 【分析】由速度、时间、路程之间的关系可知，甲乙速度之和乘以时间等于路程，设经过x小时相遇，根据等量关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设经过x小时相遇， 则：， 解得：， 即经过2小时后相遇． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据速度、时间、路程之间的关系列出方程是解题的关键． 题型三 行程问题…… 追击问题 ▌例3某旅行社推出了以“游山西，读历史”为主题的多条旅游线路，某公司选择了“平遥十洪洞”线路．现有甲、乙两辆大巴车，从平遥出发到洪洞，当甲车行驶10分钟后，乙车从相同地点沿着同一条旅游线路从平遥出发追赶，已知甲车的平均速度为，乙车的平均速度为，乙车从出发到追上甲车需要多久？ 【答案】乙车从出发到追上甲车需要0.5小时． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设乙车从出发到追上甲车需要x小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设乙车从出发到追上甲车需要x小时， 根据题意得， 解得 ∴乙车从出发到追上甲车需要0.5小时． 解题贴士 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； ▌对点练3-1（25-26七年级上·河南信阳·期末）周末，小明骑自行车从家出发去郊外的湿地公园游玩，平均速度为．1小时后，爸爸发现小明忘带了野餐垫，于是爸爸开车从家出发沿同一路线追赶，爸爸开车的平均速度为．求爸爸多久后能追上小明？ 【答案】爸爸后能追上小明 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设爸爸开车后能追上小明，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设爸爸开车后能追上小明， 根据题意，得， 解得， 答：爸爸后能追上小明． ▌对点练3-2 （2025七年级上·全国·专题练习）一队学生步行去郊外春游，每小时走，学生甲因为有事迟出发，为了赶上队伍，以的速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？ 【答案】1小时 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解行程问题中路程、速度、时间的关系，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系是解题的关键．设该生用小时追上了队伍，然后根据：学生甲和队伍的速度之差队伍先行的路程，列出方程，求出该生用多少时间追上了队伍即可． 【详解】解：设该生用小时追上了队伍， 则， 解得， 答：该生用1小时追上了队伍． ▌对点练3-3（26-27七年级上·吉林·期中）甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 【答案】(1)3小时后相遇 (2)出发小时或小时后两车相距40千米 【分析】（1）设两车出发x小时后相遇，根据题意列方程求解即可； （2）设两车出发x小时后相距40千米，根据题意分为相遇前和相遇后进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两车出发x小时后相遇， 由题意得， 解得， 答：3小时后相遇； （2）解：设两车出发x小时后相距40千米， 由题意得，相遇前： 解得； 相遇后：， 解得． 答：出发小时或小时后两车相距40千米． 题型四 行程问题…… 航行问题 ▌例4（26-27七年级上·全国·单元复习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流速度是，则船在静水中的平均速度是________． 【答案】18 【分析】设船在静水中的平均速度为，可得顺流速度为，逆流速度为，根据往返路程相等建立方程求解即可. 【详解】解：设船在静水中的平均速度是， ∵甲码头到乙码头的路程与乙码头到甲码头的路程相等，路程 速度时间， ∴可列方程， 展开得， 移项解得， 即船在静水中的平均速度是. 解题贴士 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 ▌对点练4-1 （24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是___千米/时． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，设这只轮船在静水中的速度是千米/时，根据“（这只轮船在静水中的速度水速）从地顺流到地用的时间（这只轮船在静水中的速度水速）从地返回时用的时间”列出方程，求出这只轮船在静水中的速度是多少；然后根据“速度时间路程”求出两地之间的距离是多少；最后用两地之间的距离的倍除以这只轮船往返用的时间即可求出这只轮船往返的平均速度．理解题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这只轮船在静水中的速度是千米/时， 依题意，得：， 解得：， ∴、两地的距离为：， ∴（千米/时）， ∴这只轮船往返的平均速度是千米/时， 故答案为：． ▌对点练4-2一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了2.8小时：从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 【答案】696千米/时． 【分析】设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为（x+24）千米/时，逆风航行时的平均速度为（x-24）千米/时，根据A，B两个城市之间的航行长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出飞机在无风航行时的平均速度． 【详解】解：设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为（x+24）千米/时，逆风航行时的平均速度为（x-24）千米/时， 依题意得：2.8（x+24）=3（x-24）， 解得：x=696． 答：飞机在无风航行时的平均速度为696千米/时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ▌对点练4-3轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离． 【答案】48km 【分析】根据所用的总时间可得相应的等量关系为：顺流全程的时间+逆流全程的时间＝5，把相关数值代入即可． 【详解】解：设甲、乙两码头的距离xkm， ∴5， ∴x＝48， 答：甲、乙两码头的距离48km 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 题型五 行程问题…… 环形跑道问题 ▌例5学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 【答案】6.25分钟 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是理解第一次相遇时，小明比小丽多跑了1圈的路程．设分钟后他们第一次相遇，根据相遇时小明比小丽多跑了1圈的路程，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设分钟后他们第一次相遇，依题意有 ， 解得． 答：6.25分钟后他们第一次相遇． 解题贴士 环形跑道问题： 同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长. ▌对点练5-1 （25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）小明在400米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间里，他每秒跑5米，后一半时间里，他每秒跑3米，他跑后半圈路程用了________秒． 【答案】 【分析】设小明跑一圈的一半时间为秒，根据总路程列方程求出一半时间的值，再计算后半圈路程中不同速度段的路程，分别计算时间求和． 【详解】解：设小明跑一圈的一半时间为秒， 由题意得，， 解得， （米）， （米）， （米）， （秒）， 秒， 所以他跑后半圈路程用了60秒． ▌对点练5-2甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． 【答案】 48秒 【分析】将环形跑道一圈长度设为单位1，先求出甲的速度，根据反向跑相遇时两人路程和为1圈列方程求解乙的速度，再计算乙跑一圈的时间． 【详解】解：甲跑一圈需要1分20秒，即秒， 设环形跑道一圈长度为单位，则甲的速度为，设乙的速度为， ∵甲乙反向跑，每秒相遇一次，相遇时两人总路程刚好为1圈， ∴， 解得， 因此乙跑一圈的时间为（秒）． ▌对点练5-3嘉琪和李宇在长为400米的环形跑道上练习长跑．嘉琪每秒钟跑5米，李宇每秒钟跑7米．如果两人同时由同一起点出发，同向跑步，经过几秒钟两人首次相遇？ 【答案】秒 【分析】经过秒钟两人首次相遇，根据首次相遇时两人的路程相差米列方程解答即可． 【详解】解：经过秒钟两人首次相遇，则 ， 解得， 答：经过秒两人首次相遇． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型六 火车过桥（隧道）问题 ▌例6 一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】火车匀速行驶，通过隧道的总路程为隧道长度加火车自身长度，根据路程速度时间的关系，可先求出火车速度，再计算火车长度． 【详解】解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 解题贴士 不同情况的分析： ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． ▌对点练6-1 （24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用的时间通过了一条长隧道，则这列火车长（    ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这列火车的长度为x，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这列火车的长度为x， 依题意得：， 解得． 答：这列火车的长度为160m， 故选：C． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·广东深圳·期末）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长的桥（即从车头进入桥头到车尾离开桥尾），又用的时间通过了一条长为的桥，这列火车的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据火车通过两条桥的速度相等列方程，解方程即可． 【详解】解：设这列火车的长度是， 由题意得：， 解得， 故选:C． ▌对点练6-3一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 　m． 【答案】248． 【分析】设这列火车的长度为x m，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这列火车的长度为x m， 根据题意得：， 解得：x＝248， ∴这列火车的长度为248m． 故答案为：248． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型七 调配问题 ▌例7 （25-26七年级上·江苏南通·期中） 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调17人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】调往甲处15人，调往乙处2人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据“甲处人数为乙处人数的2倍”建立等量关系． 设调往甲处的人数，用总支援人数表示调往乙处的人数；根据支援后甲、乙处人数的倍数关系列方程，求解即可． 【详解】解：设调往甲处人，则调往乙处人． 根据题意，得 ∴ 则． 答：应调往甲处15人，调往乙处2人． 解题贴士 调配问题： 调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系． ▌对点练7-1 （24-25七年级上·北京昌平·期末）已知甲班有38人，乙班有40人，现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学参加学农活动，若从甲班抽调的人数是乙班抽调人数的2倍，则甲班剩余人数比乙班剩余人数少12人，请问从甲、乙两班各抽调了多少人？ 【答案】从甲班抽调20人，从乙班抽调10人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意建立方程是解题的关键． 设从乙班抽调人，从甲班抽调人，根据甲班剩余人数比乙班剩余人数少12人建立方程求解． 【详解】解：设从乙班抽调人，从甲班抽调人，依题意，得： 解得：， ∴， 答：从甲班抽调20人，从乙班抽调10人． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【答案】分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设分配x名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点，根据“要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍”列出方程，求解即可． 【详解】解：设分配名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点． 根据题意得：， 解得， ． 答：分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． ▌对点练7-3 （25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 题型八 商品销售问题 ▌例8（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由： （元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 解题贴士 商品销售问题 进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进价，售价有时也叫标价． 利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×（1+利润率） 利润率= 利润成本×100% = 售价－成本成本×100% ※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． ▌对点练8-1 （26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由进价表示出标价与实际售价，再根据利润售价进价的等量关系列方程． 【详解】解：设这种商品每件的进价是元， ∵ 按进价提高后标价， ∴ 标价为元， ∵ 以九折优惠卖出， ∴ 实际售价为元， ∵ 每件获利元， ∴ ． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 【答案】150 【分析】设这款服装每件的标价为x元，根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这款服装每件的标价为x元， ， 解得， 答：这款服装每件的标价为150元． ▌对点练8-3某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 题型九 数字问题 ▌例9 （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1是2026年1月的日历，用图2框出图1中4个数，若这4个数的和是82，则这4个数中最大的数为______． 【答案】25 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设最大的数为x，并表示出其三个数，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设最大的数为x，则其三个数分别为，，． 由题意可得： 即 解得 故答案为25． 解题贴士 1.对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接设未知数的方法. 2.解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数= 十位数字×10＋个位数字. ▌对点练9-1 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，将个位数字与十位数字交换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，则原两位数为_____． 【答案】14 【分析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据将个位数字与十位数字交换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入10x+x+3中，即可求出结论． 【解答】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+3）， 根据题意得：3（10x+x+3）﹣[10（x+3）+x]＝1， 解得：x＝1， ∴10x+x+3＝10×1+1+3＝14， ∴原两位数为14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ▌对点练9-2 一个两位数个位与十位之和等于8，交换两数的位置，得到一个新的两位数，所得新数是原数的4倍还多3，则原来的两位数是______． 【答案】17 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，得到新数与原数的等量关系是解决本题的关键．设原来个位数字是，十位数字是，根据若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数是原数的4倍还多3，可列方程求解． 【详解】解：设原来个位数字是，十位数字是， ， ． ． 所以原数为17． 故答案为：17． ▌对点练9-3（25-26七年级上·广东广州·期中）观察下列三行数： ，2，，8，，32，；① ，4，，16，，64，；② 0，6，，18，，66，；③ (1)第①行和第②行的第8个数分别是多少？ (2)若第①行的某个数是x，则第②行和第③行对应的数分别是什么？ (3)取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行的第几个数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)第①行和第②行的第8个数分别是128和256； (2)第②行数对应的数是2x，第③行数对应的数是3x+2； (3)能，是每行数的第9个数． 【分析】（1）观察不难发现，后一个数是前一个数的倍，然后写出排列规律即可； （2）根据数的特点，第②行数为第①行数的2倍，第③行数为第②行数加2，即第①行数的2倍加2； （3）根据规律写出三行数的第个数，然后列出方程求解即可． 【详解】（1）第①行和第②行的第8个数分别是128和256； （2）第②行数对应的数是， 第③行数对应的数是； （3）第①行、第②行、第③行的第个数分别为，，． 假设每行第个数的和能等于， 解得， 答：每行数的第9个数，这三个数的和能等于，这三个数分别是，，． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，熟记2的指数幂的特征是解题的关键． 题型十 年龄问题 ▌例10 今年女儿8岁，妈妈36岁，若x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则x的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B． 【分析】根据x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍列方程，可解得答案． 【详解】解：根据题意得：36+x＝3（8+x）， 解得x＝6， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 解题贴士 年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的. ▌对点练10-1 儿子今年12岁，父亲今年39岁，（　　）父亲的年龄是儿子的年龄的2倍． A．5年后 B．9年后 C．12年后 D．15年后 【答案】B． 【分析】设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，根据父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍， 根据题意得：39+x＝2（12+x）， 解得：x＝15． 答：15年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ▌对点练10-2 小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的，则x的值 为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B． 【分析】根据“小明的年龄是他祖父年龄的“列方程即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：13+x（76+x）， 解得x＝8， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． ▌对点练10-3张老师今年45岁，学生小明今年13岁，经过　 年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍． 【答案】3． 【分析】设经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍，根据经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍，则张老师的年龄为（45+x）岁，学生小明的年龄是（13+x）岁， 根据题意得：（45+x）＝3（13+x）， 解得：x＝3， 即经过3年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型十一 图表信息问题 ▌例11 （25-26七年级上·全国·期末）根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 【答案】35 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，根据买2把暖瓶3个水杯共需94元列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，由题意可得： ， 解得： 故答案为：35． 解题贴士 解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题． ▌对点练11-1 暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． ▌对点练11-2（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买三杯牛奶和两个饭团，则他最低需花费__________元； (2)某公司从该早餐店购买两种套餐共份作为员工早餐，并享受了九折优惠，共计花费元，问其中购买套餐①多少份？ (3)某日该早餐店准备了杯牛奶，个饭团和个面包，全部售出后当天总收入为元，已知两种套餐售出数量恰好相等，问当日单独售出牛奶多少杯？ 【答案】(1) (2)购买套餐①份 (3)单独售出牛奶杯 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是理清题意找到列方程的相等关系； （1）按照买两份套餐①和一杯牛奶计算即可； （2）根据总花费元列方程即可； （3）根据总收入为元列方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：设购买套餐①份，则购买套餐②份， 由题意得：， 解得， 答：购买套餐①份． （3）解：设售出两种套餐均份，则单独售出牛奶杯，单独售出饭团个，单独售出面包个， 由题意得：， 解得： ， ， 答：单独售出牛奶杯． ▌对点练11-3 （25-26七年级上·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】 (1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【分析】（1）找到一个框中所有数之和的规律，判断出和最大时框的位置． （2）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程即可． （3）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程，判断解是否符合题意即可． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． （3）略. 题型十二 方案决策问题 ▌例12 某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 解题贴士 方案决策问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． ▌对点练12-1 （25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． ▌对点练12-2 延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． ▌对点练12-3（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 基础通关 1．（2026·山西吕梁·一模）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 3．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同． 故选：D 4．（2026·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是同向追及行程问题，可将一圈长度看作单位1，先表示两人的速度，再根据“嘉嘉的路程减去淇淇的路程等于1圈”列方程即可． 【详解】解：∵将跑道一圈的长度看作单位1， ∴嘉嘉的速度为，淇淇的速度为， ∵s后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1， ∴嘉嘉路程为，淇淇路程为，可得方程， 因此正确选项为A． 5．安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　） A．400m B．300m C．200m D．100m 【答案】C． 【分析】设这列动车长为x米，根据动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒得：，即可解得答案． 【详解】解：设这列动车长为x米， 根据题意得：， 解得x＝200， ∴这列动车长为200米； 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程解决问题． 6．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，甲、乙两人沿着长为宽为的长方形按的路线行走，甲从点A出发，以的速度行走，同时乙从点B出发，以的速度行走，当乙第一次追上甲时，他们在长方形的（    ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用；理解题意，根据已知列出一元一次方程，再结合长方形的性质解题是关键．设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意列出方程，求出相遇时间；再由相遇时间确定乙的位置． 【详解】解：设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意得： 甲的行走路程为，乙的行走路程， 当乙第一次追上甲时，， 解得， 此时乙所在位置为：， ， ∴当乙第一次追上甲时，在长方形的边处． 故选：A． 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）极端天气下，输电线路覆冰是电网安全的“心腹大患”，飞行除冰机器人的应用，使电网运维从“人海战术”转向“科技制胜”．已知一台除冰机器人清理一段覆冰线路，前一半路程以的速度清理，后一半路程为了加快进度，速度提高到，全程共用了，则这段线路的总长是___________m． 【答案】 【分析】设这段线路的总长为 ，根据“前一半路程的用时加上后一半路程的用时等于总用时 ”，列一元一次方程求解即可. 【详解】设这段线路的总长为 ， 由题意得： ， 整理得： ， 去分母得： ， 合并同类项得： ， 系数化为得：， 这段线路的总长是． 8．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 【答案】360 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（方案优惠问题），解题的关键是设出商品原价，根据两种方案付款金额相等建立方程求解． 设商品原价为元（，否则方案二无超额折扣，无法与方案一付款相等）；表示出方案一付款为元，方案二付款为元；根据付款相等列方程求解，再计算付款金额． 【详解】解：设商品原价为元（）， 方案一付款：元， 方案二付款：元， 由付款相等得， ， ， ， 相等付款额为元． 故答案为：． 素养提升 9．（2025·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【答案】宣传组原有38人． 【分析】本题考查一元一次方程得应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设宣传组原有x人，根据调完后宣传组的人数是劳动组人数的一半，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设宣传组原有x人， 由题意，得：， 解得：． 答：宣传组原有38人． 10．已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，求甲今年的年龄是多少岁？ 【答案】20岁 【分析】设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁，根据4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁， 根据题意得：x+4＝2（x﹣12+4）， 解得：x＝20． 答：甲今年的年龄是20岁． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 11．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【答案】 【分析】设经过两人首次相遇，两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，方向相反，相对速度为速度之和，首次相遇时，总路程等于跑道周长减去，即可列出方程进行求解． 【详解】解：设经过两人首次相遇， 根据题意，得， 解得． 答：经过两人首次相遇． 12．列方程解应用题： 晚饭后，小明的爸爸像往常一样去散步．半小时后，妈妈发现爸爸没有带手机，就让小明骑自行车去给爸爸送手机．如果爸爸的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，小明用多少时间可以追上爸爸？（要求：先写出审题过程，在设未知数列方程） 【答案】小明用0.25小时可以追上爸爸 【分析】设小明用x小时可以追上爸爸，根据路程=速度时间，结合小明追上爸爸时，两人的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设小明用x小时可以追上爸爸， 依题意得：4×0.5+4x=12x 解得：x=0.25 答：小明用0.25小时可以追上爸爸． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系式，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）甲、乙两队相约沿相同的路线徒步，甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发．问乙队需要多长时间可以追上甲队？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程中的行程问题，通过题意列出方程关系是解题的关键． 假设乙队需要小时可以追上甲队，可列出方程，解出方程即可． 【详解】解：假设乙队需要小时可以追上甲队， 可列方程， 解得， 故乙队需要可以追上甲队． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 【答案】问题：两人同时从同位置同向起跑，经过多长时间小华第一次追上小明？ 解：设经过小华第一次追上小明， 由题意得，， 解得， 答：经过小华第一次追上小明． 【分析】两人同位置，同向起跑，求小华第一次追上小明的时间，根据小华第一次追上小明时，小华比小明多跑建立方程求解即可． 【详解】略 迁移创新 15．学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【答案】(1)参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名. (2)能节省票款600元. 【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数； （2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款． 【详解】（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有名， 根据题意列方程得： 解得：， （名） 答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名； （2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为 （元）， 节省票款为（元）， 答：能节省票款600元． 16．（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试） 某学校开展“足球进校园”活动，计划采购一批足球．现有两种购买方式： 方式一：直接从工厂批发，每个足球68元，但需要额外支付运费300元； 方式二：从商场购买，足球标价为110元/个，学校采购可以打八折． (1)当学校采购多少个足球时，两种方式的费用相等？ (2)若学校需要采购30个足球，采用哪种购买方式更划算？节省了多少钱？ 【答案】(1)15个 (2)方式一更划算，节省300元 【分析】（1）设采购x个足球，根据题意，得方式一需要支付的费用为；元；方式二需要支付的费用为：元，列方程求解即可． （2）把分别代入和中，求得代数式的值，比较大小计算即可． 【详解】（1）解：设采购x个足球，根据题意，得 方式一需要支付的费用为：元； 方式二需要支付的费用为：元， 列方程，得， ， 解得． 答：当学校采购15个足球时，两种方式的费用相等 （2）解：根据题意，得 方式一：当时，（元）， 方式二：当时，（元）， 且（元）， 故方式一更划算，节省300元． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 18．（2026·湖北荆州·二模）如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 (5)日 【分析】（1）根据右边的数比左边的数大1求解即可； （2）根据上方的数比下方的数小7求解即可； （3）先根据左上方的数比中间的数小8，右下方的数比中间的数大8表示出各数，再求和即可； （4）设中间的数为b，表示出其余4个数，然后求和，再结合日历特点求解； （5）设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为，然后列方程求出，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵右边的数比左边的数大1， ∴中间的数为，则右边的数为； （2）解：∵上方的数比下方的数小7， ∴若中间的数为，则上方的数为； （3）解：若中间的数为，则左上方的数为，右下方的数为， ∴这3个数的和为：； （4）解：设中间的数为b，则其余4个数分别是， ∴， ∴要使这5个数的和最小，只要中间的数最小即可， 观察日历表可知，满足条件的最小中间数是8． （5）解：设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为， 五个星期一的和为：， 解得，即2号是星期一， ∴16号是星期一， ∴15号是星期日． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.3实际问题与一元一次方程（2） 课标要点 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2.掌握用一元一次方程解决行程（相遇、追击、航行、环形跑道、火车过桥）、商品销售、调配、数字、年龄、图表信息、方案决策等常见实际问题的方法，能找出等量关系并列方程求解； 3.能根据实际意义检验方程的解是否合理，发展模型观念和应用意识。 学习重难点 重点： 1.掌握行程问题中相遇、追击、航行、环形跑道、火车过桥的基本等量关系； 2.掌握商品销售问题中进价、售价、利润、利润率、折扣的关系，并据此列方程。 难点： 1.根据具体情境准确找出等量关系，建立方程模型（尤其是行程类方向与量程分析）； 2.对方案决策、图表信息等问题进行信息加工与分类比较。 知识点 实际问题与一元一次方程 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 随学随练 1．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 2．从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7小时，开通高速公路后，车速平均每小时增加了20千米，只需5小时即可到达，则甲、乙两地的路程是(　　) A．200千米 B．250千米 C．300千米 D．350千米 知识点 实际问题与一元一次方程的易错点 ◆1、古代数学问题 审题不清，未把古代用语（“盈”“不足”“凫雁相逢”等）翻译成现代数量关系，就盲目列式。 ◆2、二、行程问题——相遇问题 等量关系记反或漏用“同时出发时间相等”：应列“甲的行程＋乙的行程＝出发点之间距离”。 ◆3、三、行程问题——追及问题 把“路程差”写成“路程和”：追及应列“快者路程－慢者路程＝追及路程”。 ◆4、四、行程问题——航行问题 顺流、逆流速度求反：顺流＝静水速度＋水流速度，逆流＝静水速度－水流速度，勿混。 ◆5、行程问题——环形跑道问题 同向与背向等量关系混淆：同向“乙程－甲程＝跑道长”，背向“乙程＋甲程＝跑道长”。 ◆6、火车过桥（隧道）问题 漏加/漏减车长：“完全通过”路程＝桥长＋车长，“完全在桥内”路程＝桥长－车长。 ◆7、调配问题 未抓住“调配前后总量不变、调配后产生新倍比关系”，导致调配后两量关系列错。 ◆8、商品销售问题 混淆进价、售价、标价与利润关系，或折扣算错：利润＝售价－进价，实际售价＝标价×折扣。 ◆9、数字问题 设某数而不会用数位表示，或十位与个位弄反：两位数＝十位数字×10＋个位数字。 ◆10、年龄问题 忽视“两人年龄差永远不变”这一核心，而只盯年龄和，导致方程列错。 ◆11、图表信息问题 读图不细、信息提取不全或误读单位，未把图表信息正确转化为数量关系。 ◆12、方案决策问题 未先求“两种方案值相等”的分界点，或分界点两侧的取值判断不完整、漏比较。 随学随练 3．某体育场的环形跑道长400米，甲、乙两人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两人才能再次相遇？ 4．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 题型一 古代数学问题 ▌例1 （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 （1）找等量关系是核心:如"总量不变""前后相等""差值固定"等. （2）古代题常见等量类型: 分配问题:如“百僧百馒”"以绳测井". 盈亏问题:如"人出九盈十一，人出六不足十六. 行程问题:如"凫雁相逢""追及问题!鸡兔同笼类:头数、脚数关系. ▌对点练1-1 （26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿，每人竿，多竿；每人竿，恰好分完．”则牧童有________人． ▌对点练1-2（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个． ▌对点练1-3巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，看看用尽不差争，�三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，请问先生明算者，算来寺内几多僧． 题型二 行程问题…… 相遇问题 ▌例2甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 解题贴士 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； ▌对点练2-1 （2025七年级上·北京·专题练习）A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相遇？ ▌对点练2-2 两列火车从相距630千米的两地同时相向开出．甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶90千米．经过几小时两车相遇？ ▌对点练2-3、两地之间的路程为，甲骑自行车从地出发，速度为；乙骑摩托车从地出发，速度是甲的2倍，两人同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 题型三 行程问题…… 追击问题 ▌例3某旅行社推出了以“游山西，读历史”为主题的多条旅游线路，某公司选择了“平遥十洪洞”线路．现有甲、乙两辆大巴车，从平遥出发到洪洞，当甲车行驶10分钟后，乙车从相同地点沿着同一条旅游线路从平遥出发追赶，已知甲车的平均速度为，乙车的平均速度为，乙车从出发到追上甲车需要多久？ 解题贴士 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； ▌对点练3-1（25-26七年级上·河南信阳·期末）周末，小明骑自行车从家出发去郊外的湿地公园游玩，平均速度为．1小时后，爸爸发现小明忘带了野餐垫，于是爸爸开车从家出发沿同一路线追赶，爸爸开车的平均速度为．求爸爸多久后能追上小明？ ▌对点练3-2 （2025七年级上·全国·专题练习）一队学生步行去郊外春游，每小时走，学生甲因为有事迟出发，为了赶上队伍，以的速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？ ▌对点练3-3（26-27七年级上·吉林·期中）甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 题型四 行程问题…… 航行问题 ▌例4（26-27七年级上·全国·单元复习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流速度是，则船在静水中的平均速度是________． 解题贴士 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 ▌对点练4-1 （24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是___千米/时． ▌对点练4-2一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了2.8小时：从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． ▌对点练4-3轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离． 题型五 行程问题…… 环形跑道问题 ▌例5学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 解题贴士 环形跑道问题： 同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长. ▌对点练5-1 （25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）小明在400米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间里，他每秒跑5米，后一半时间里，他每秒跑3米，他跑后半圈路程用了________秒． ▌对点练5-2甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，他们以固定速度反向跑，甲跑一圈要1分20秒，乙每30秒与甲相遇一次，则乙跑一圈要________． ▌对点练5-3嘉琪和李宇在长为400米的环形跑道上练习长跑．嘉琪每秒钟跑5米，李宇每秒钟跑7米．如果两人同时由同一起点出发，同向跑步，经过几秒钟两人首次相遇？ 题型六 火车过桥（隧道）问题 ▌例6 一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 解题贴士 不同情况的分析： ①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度． ②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度． ▌对点练6-1 （24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用的时间通过了一条长隧道，则这列火车长（    ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 ▌对点练6-2 （24-25七年级上·广东深圳·期末）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长的桥（即从车头进入桥头到车尾离开桥尾），又用的时间通过了一条长为的桥，这列火车的长度是（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-3一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 　m． 题型七 调配问题 ▌例7 （25-26七年级上·江苏南通·期中） 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调17人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 解题贴士 调配问题： 调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系． ▌对点练7-1 （24-25七年级上·北京昌平·期末）已知甲班有38人，乙班有40人，现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学参加学农活动，若从甲班抽调的人数是乙班抽调人数的2倍，则甲班剩余人数比乙班剩余人数少12人，请问从甲、乙两班各抽调了多少人？ ▌对点练7-2 （25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ ▌对点练7-3 （25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 题型八 商品销售问题 ▌例8（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 解题贴士 商品销售问题 进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进价，售价有时也叫标价． 利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×（1+利润率） 利润率= 利润成本×100% = 售价－成本成本×100% ※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． ▌对点练8-1 （26-27七年级上·全国·课后作业）将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． ▌对点练8-3某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 题型九 数字问题 ▌例9 （25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1是2026年1月的日历，用图2框出图1中4个数，若这4个数的和是82，则这4个数中最大的数为______． 解题贴士 1.对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接设未知数的方法. 2.解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数= 十位数字×10＋个位数字. ▌对点练9-1 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，将个位数字与十位数字交换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，则原两位数为_____． ▌对点练9-2 一个两位数个位与十位之和等于8，交换两数的位置，得到一个新的两位数，所得新数是原数的4倍还多3，则原来的两位数是______． ▌对点练9-3（25-26七年级上·广东广州·期中）观察下列三行数： ，2，，8，，32，；① ，4，，16，，64，；② 0，6，，18，，66，；③ (1)第①行和第②行的第8个数分别是多少？ (2)若第①行的某个数是x，则第②行和第③行对应的数分别是什么？ (3)取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行的第几个数；如果不能，请说明理由． 题型十 年龄问题 ▌例10 今年女儿8岁，妈妈36岁，若x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则x的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 解题贴士 年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的. ▌对点练10-1 儿子今年12岁，父亲今年39岁，（　　）父亲的年龄是儿子的年龄的2倍． A．5年后 B．9年后 C．12年后 D．15年后 ▌对点练10-2 小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的，则x的值 为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 ▌对点练10-3张老师今年45岁，学生小明今年13岁，经过　 年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍． 题型十一 图表信息问题 ▌例11 （25-26七年级上·全国·期末）根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 解题贴士 解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题． ▌对点练11-1 暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． ▌对点练11-2（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买三杯牛奶和两个饭团，则他最低需花费__________元； (2)某公司从该早餐店购买两种套餐共份作为员工早餐，并享受了九折优惠，共计花费元，问其中购买套餐①多少份？ (3)某日该早餐店准备了杯牛奶，个饭团和个面包，全部售出后当天总收入为元，已知两种套餐售出数量恰好相等，问当日单独售出牛奶多少杯？ ▌对点练11-3 （25-26七年级上·辽宁大连·期末）生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 题型十二 方案决策问题 ▌例12 某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 解题贴士 方案决策问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． ▌对点练12-1 （25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ ▌对点练12-2 延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ ▌对点练12-3（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 基础通关 1．（2026·山西吕梁·一模）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 4．（2026·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　） A．400m B．300m C．200m D．100m 6．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，甲、乙两人沿着长为宽为的长方形按的路线行走，甲从点A出发，以的速度行走，同时乙从点B出发，以的速度行走，当乙第一次追上甲时，他们在长方形的（    ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）极端天气下，输电线路覆冰是电网安全的“心腹大患”，飞行除冰机器人的应用，使电网运维从“人海战术”转向“科技制胜”．已知一台除冰机器人清理一段覆冰线路，前一半路程以的速度清理，后一半路程为了加快进度，速度提高到，全程共用了，则这段线路的总长是___________m． 8．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 素养提升 9．（2025·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 10．已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，求甲今年的年龄是多少岁？ 11． （24-25七年级下·山东济宁·期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 12．列方程解应用题： 晚饭后，小明的爸爸像往常一样去散步．半小时后，妈妈发现爸爸没有带手机，就让小明骑自行车去给爸爸送手机．如果爸爸的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，小明用多少时间可以追上爸爸？（要求：先写出审题过程，在设未知数列方程） 13．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）甲、乙两队相约沿相同的路线徒步，甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发．问乙队需要多长时间可以追上甲队？ 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 迁移创新 15．学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 16．（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试） 某学校开展“足球进校园”活动，计划采购一批足球．现有两种购买方式： 方式一：直接从工厂批发，每个足球68元，但需要额外支付运费300元； 方式二：从商场购买，足球标价为110元/个，学校采购可以打八折． (1)当学校采购多少个足球时，两种方式的费用相等？ (2)若学校需要采购30个足球，采用哪种购买方式更划算？节省了多少钱？ 17．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 18．（2026·湖北荆州·二模）如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $