江西南昌市南昌县2026-2027学年度第一学期期中九年级数学试卷

九年级 数学（二） 说明：1．范围：25.1~28.1． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1．下列生活中的现象属于旋转的是（ ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 2．关于x的方程根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．密度ρ、质量m、体积V之间的关系为，当质量m一定时，另外两个变量的函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．图象必经过点 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 5．将下列抛物线先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，能得到抛物线的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，点是坐标原点，已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为点，对称轴为直线，其中点，，且．给出以下结论： ①；②．下列说法正确的是（ ） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①②都错误 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．一元二次方程的根为________． 8．如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则________． 9．若m是关于x的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为________． 10．若反比例函数的图象与直线的一个交点是点，则它们的另一个交点坐标是________． 11．已知一名运动员推铅球，脱手后，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为．铅球飞行至水平距离m时，达到最大高度________． 12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是抛物线上的一点，且的面积为1，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解方程： （1）； （2）． 14．为弘扬江西地方文化，让更多游客了解豫章故郡，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款非遗纸雕灯的成本价是40元，当售价为50元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出9件． （1）设该款非遗纸雕灯降价x元，则每天售出的数量是________件； （2）设平均每天获利为Q元，写出Q与x的关系式（化成最简形式，不要求写出自变量的取值范围）． 15．如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）请仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴；（保留画图痕迹） （2）结合图象，直接写出当时，x的取值范围是________． 16．如图，反比例函数的图象在第一象限与正方形的边，分别交于点，．已知点为的中点． （1）求证：点为的中点； （2）当时，求正方形的边长． 17．对于“已知，求的最大值”这个问题，小明是这样求解的： ，，， ，的最大值为． 请你按照这种方法计算：当时，求的最小值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值． 19．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于，两点，交反比例函数的图象于，两点．试求： （1）反比例函数的解析式和点的坐标； （2）一次函数的解析式． 20．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系回答下列问题： 已知实数a，b（）满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值； （2）思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 22．某社区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头安装在距离地面2.8米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米．以点为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求最外层水柱所在抛物线的解析式； （2）已知车棚的宽度为7.6米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面0.8米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上再安装一个与消防喷淋头相同型号的消防喷淋头，请通过计算，确定在满足所需条件时，点与点之间的距离的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23．【定义】在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该函数的“最优纵横差”． 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横差”为．函数的图象上所有点的“纵横差”可以表示为．当时，的最大值为，故函数的“最优纵横差”为7． 【问题】根据定义，回答下列问题： （1）点的“纵横差”为_______； （2）已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值； ②当时，此二次函数的“最优纵横差”为4，求的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优纵横差”对应的点记为点，点与点到直线的距离相等，则的值为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级 数学（二）参考答案 一、 1.B2.A3.B4.D5.C6.A 二、 7.x1=0,x=438.70°9.-310.(1，-5)11.412.(1,1)或(1+√2,3+2√2)或(1-√2,3-2√2) 三、 13.解：(1)3(x-1)=x(x-1), 移项，得3(x-1)2-x(x-1)=0, 因式分解，得(x一1)(2x-3)=0, 则x-1=0或2x-3=0, 3 解得x1=1,x2=2 (3分) (2)(x-3)(x十4)=8. x2+x-20=0, (x-4)(x+5)=0, 则x-4=0或x+5=0,解得x1=4,x2=-5. (6分) 14.解：(1)由题意得，当该款非遗纸雕灯降价x元时，每天售出的数量是(60十9x)件. (2分) (2)由题意得Q=(50-40-x)(60+9x)=(10-x)(60+9.x)=-9x2+30x+600. (6分) 15.解：(1)如图，直线1为所求对称轴. (3分) 0 (2)-3<x<1. (6分) 16.解：(1)证明：，四边形ABCO是正方形， .AB∥OC.AB=OA=OC. 设AB=OA=OC=2a(a>0), ∴点A(0,2a),点B(2a,2a). :点P为AB的中点， ∴点P(a,2a). :点P在反比例函数y=冬的图象上， .aX2a=k,即2a2=k, :点Q在反比例函数y=的图象上，点Q又在BC上， 九年级·数学（二）（人教版）第1页（共4页） .点Q的横坐标=2a, 点Q的载坚标-会一 =a ..QC=a. 点Q为BC的中点. (3分) (2)2a2=8,a>0, .a=2, ..AB=0A=OC=4, ∴.正方形ABCO的边长为4. (6分) 17.解：，2n十m=4, ∴.m=4-2n, :2+1=2m+m= 4 2 nmn-2n2+4n-(n-1)2+1 (2分) m>0,n>0,.0<n<2,.0<-(n-1)2+1≤1， 12 2 m 十n=-0m-1)+≥1=2， :品+的最小值为2 (6分) m 四、 18.解：1)根据题意得4=[-(2k+1了-42-)>0，解得>-号， 即实数人的取值范围为k>一号 (4分) (2),该方程的一个根为1， .1-(2k+1)+k-k=0, 整理得2一3k=0,解得k=0或k=3. :>-日的值为0或3 (8分) 19.解：)把点A(3,8)代入y=m,得m=3X8=24, “反比例函数的解析式为y兰 (3分) 把点B(6m)代人y-24,得6m=24,解得n=4, x 点B(6,4). (4分) (2)由(1)得点B(6,4), 把点A(3,8),B(6,4)代入y=kx+b, 3k+b=8, 得 解得 31 6k+b=4, b=12, 4 ·一次函数的解析式为y=一3x+12. (8分) 20.解：(1)证明：：△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为点E,点A的对应点D落在线段AB 上， .CA=CD,∠A=∠CDE, .∠A=∠CDA, ∴∠CDA=∠CDE, 九年级·数学（二）（人教版）第2页（共4页） .DC平分∠ADE. (3分) (2)∠ACB=90°，∠A=75°， .∠CBA=90°-∠A=90°-75°=15 ∠A=∠CDA=75°， ∴.∠ACD=180°-∠A-∠CDA=180°-75°-75°=30°. ,△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC, ∴.CB=CE,∠ACD=∠BCE=30°，∠CED=∠CBA=15°， 1 1 六∠CBE=∠CEB=2×(180°-∠BCE)=2×180°-30)=75， ∴.∠DEB=∠CEB-∠CED=75°-15°=60°， ∴.∠DEB的度数为60°. (8分) 五、 21.解：(1)4=(-7)-4×7×(-1)=77>0， 可将a,b看作方程7x2一7x一1=0的两个不相等的实数根， a+b=1,ab=-7 1 ∴a6+a6=a6(a+b)=-7×1=-月 (4分) (2)将b=0代入方程b2-56+3=0中得等式不成立，∴.b≠0. 在方程6-56+3=0的两边同时除以6，得3（分）广-5（分）+1=0， 六可将u,方看作方程3x-5x+1=0的两个不相等的实数根。 △=(-5)-4×3×1=13>0，显然a,b≠0， 3 则2a6-4a+23ab+3 3a+b 3×5 ab+4a+万ab+4a+-1 一1= 一1= ,4a,1 15 12 3 (9分) a++号+4 1,4a 5 9 a+6+6 3 22.解：(1)由题意可知，点E的坐标为(0,0.8)，顶点D的坐标为(2,2.8)， 设最外层水柱所在抛物线的解析式为y=a(x一2)+2.8(a≠0)， 将点E(0,0.8)代人，得0.8=4a十2.8，解得a=-2, 1 六最外层水性所在珑物线的解析式为y=一子：一-2)十2.8 (3分) 1 (2)y=-2（x-2)+2.8, 当y=0.8时，2(x=2+2.8=0,8,解得x=0或x=4 设抛物线上横坐标为4的点为点P,则点P(4,0.8),如图. 由题意可设消防喷淋头G的最外层水柱所在抛物线的解析式为y=一之红一6)+2.8， (6分) 1 当此抛物线经过点P(4,0.8)时，有0.8=-2（4-h)+2.8, 3/米 D B 解得h=2(舍去)或h=6, 此时AG=6米， E ∴.DG=AG-AD=6-2=4(米)； 0 Cx/米 九年级·数学（二）（人教版）第3页（共4页） 当抛物线y=2(x一h)+2.8经过点(.6,0,8)时) 有0.8？.6-h)+2,8,解得h=9.6(舍去)或h=5.6 此时AG=5.6米，DG=AG-AD=5.6-2=3.6(米). 综上所述，DG的取值范围为3.6米≤DG≤4米. (9分) 六、 23.解：(1)点B(-5,-1)的“纵横差”为-1-(-5)=-1十5=4， (2分) (2)①证明：y-x=-x2+(2b+1)x-b+5-x =-x+2bx-b2+5 =-(x-b)+5. (x-b)≥0 .一(x-b)20 ∴一(x一b)2+5≤5，故该二次函数的“纵横差”有最大值5， ∴无论b取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为5. (5分) ②：y-x=-(x-b)2+5, ∴当x=b时，y一x有最大值，最大值为5， ∴.当一1≤b≤4时，二次函数的“最优纵横差”为5，不符合题意，舍去； 当b>4时，-(4-b)2+5=4,解得b=5或6=3（舍去）： 当b<-1时，-(-1-b)+5=4,解得b=0(舍去)或6=-2. 综上所述，b的值为5或-2 (9分) ③“y=-x+(26+10x-6+5=-(x-26)+46+21. 2 4 顶点M的坐标为(，6十】 y-x=-(x-b)2+5,∴点N(b,b+5) ,点M与点N到直线y=3的距离相等， .点M与点N关于直线y=3对称或yM=yN 4b+21+b+5 当点M与点N关于直线y=3对称时，y“十N=3,即4 2 2 3，解得6=-1 9 当yw=心时，6十21=6十5，此时方程无解. 综上所述6的值为一吕 (12分) 九年级·数学（二）（人教版）第4页（共4页）