精品解析：江西南昌市青山湖区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级学科诊断数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先排除非整式方程，再结合未知数个数、最高次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A选项化简得，是一元一次方程，不符合题意； B选项分母含未知数，是分式方程，不符合题意； C选项是整式方程，仅含一个未知数，且的最高次数为，符合题意； D选项含两个未知数，不符合题意． 2. 数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 输送带运输的行李箱 C. 轮船航行时的螺旋桨的转动 D. 商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 3. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 4. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将的图象向左平移3个单位长度，得，再向上平移4个单位长度，得． 5. 如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论为（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 当时，， 即， 即，故①错误； 由图像可知，对称轴为直线， ， 即点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ，故②正确； 二次函数与有两个不同的交点，故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； 函数经过，对称轴为直线， 故一定经过， 的x的取值范围为，故④正确； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写“一个根为0，另一个根为正数”的一个一元二次方程：_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知方程的一个根为0，另一个根为正数，可任选一个正数作为另一根，通过因式分解构造满足条件的一元二次方程． 【详解】解：设另一个正根为2， ∵方程的一个根为0， ∴以0和2为根的一元二次方程为， 整理得． 8. 抛物线的开口方向是________． 【答案】向上 【解析】 【分析】抛物线的开口方向由二次项系数的正负决定，只需判断该抛物线二次项系数的符号即可． 【详解】解：∵在抛物线中，二次项系数为，且， ∴该抛物线的开口方向是向上． 9. 若一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ 一元二次方程的两个根为， ∴ 由根与系数的关系可得 ∴ ． 10. 抛物线与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上的点横坐标为0，将代入抛物线解析式计算y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：抛物线， 令， 则， 因此抛物线与轴的交点坐标为． 11. 《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】已知矩形面积为864平方步，宽比长少12步，设宽为步，先根据宽与长的数量关系表示出长的代数式，再结合矩形面积公式建立等量关系列方程． 【详解】解：∵设矩形的宽为步，且宽比长少12步 ∴矩形的长为步 ∵矩形面积等于长与宽的乘积，已知该矩形面积为864平方步 ∴将长、宽、面积代入等量关系，可列方程为． 12. 反比例函数的图象经过，，点P在x轴上，点P的横坐标为整数，且是等腰三角形，请写出点P的坐标_______________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】设点P的坐标为，p为整数，根据等腰三角形腰与底的三种组合，利用两点间距离公式列方程求解，排除三点共线的无效解，筛选出横坐标为整数的有效点． 【详解】解：设点P的坐标为，其中p为整数． ∵， ∴； ∵，， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴直线与轴交于点； 分三种情况讨论为等腰三角形的情况： 当时，则 ∵ ∴ 化简得 解得，不是整数，舍去． 当时，则 ∵ ∴ 化简得 解得，即或； ∴点P的坐标为或， ∴此时都满足A、B、P三点不共线，符合题意； 当时，则 ∴ 展开化简得 解得， ∴点P的坐标为， ∴此时满足A、B、P三点不共线，符合题意； 综上，符合条件的P点坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 14. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥ （1）小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）②，等式右边没有除以2 （2） 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键； （1）发现第二步等式右边没有除以2； （2）直接利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：②，等式右边没有除以2； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 15. 已知：如图四边形的四个顶点都在正方形的网格的格点上（网格的单位为1），在边上找到一点P，使为直角： （1）通过计算得出，的长度可能为__________或__________； （2）在上找到点P，请用无刻度直尺作出（只作出其中的一种情况）． 【答案】（1）3或4 （2）如图：即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再解方程求出解； （2）如图：取格点P使得，构造等腰直角三角形和等腰直角三角形，即可作出． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得，，， ∴， ∵，， ∴，整理得：，解得或， ∴的长度可能是3或4． 【小问2详解】 解：如图：取格点P使得，则， 由网格图可知：，，， ∴，都是直角三角形， ∴， ∴． 16. 如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，点是中点，反比例函数的图像经过点，并交于点． （1）求的值； （2）求五边形的面积． 【答案】（1）4 （2）7 【解析】 【分析】（1）直接将点坐标代入函数解析式得出答案； （2）首先求出点坐标，进而得出的面积，进而得出答案． 【小问1详解】 把 代入得， ； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，点是中点， ∴， ∴点坐标为：， ∵， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的面积为：7． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义，正确得出点坐标是解题关键． 17. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中与x轴的交点A为，与y轴的交点B为，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式即可； （2）求出，再根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， 【小问2详解】 解：∵、，点B为 ∴，， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知：如图所示，绕点A，顺时针旋转50°，得到，当E在BC边上时： （1）求证：； （2）连接BD，当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质可知，， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，根据三角形的外角性质即可证明； （2）根据旋转的性质得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 19. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 20. 某服装店以每件元的价格购进一批T恤，如果以每件元出售，那么一个月内能售出件，根据以往销售经验，销售单价每提高元，销售量就会减少件． （1）当该服装店将销售单价定为元时，那么销售量为________件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）T恤的销售单价应定为元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是利用“利润=单件利润×销售量”，列出一元二次方程． （1）销售数量等于计划售出数量与销售减少量的差，列式计算即可； （2）设销售单价提高元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（件）； 【小问2详解】 解：设T恤的销售单价提高元，依题意得 ， 整理得， 解之得，， ∵要尽量减少库存， ． 恤的销售单价应为元． 答：T恤的销售单价应定为元． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 综合与实践 一般地，把抛物线向上（或向下）平移，向左（或向右）平移可以得到抛物线． （1）特殊感知：如果把抛物线：，向右平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为，点M在抛物线上： ①如图1，点M在x轴上，抛物线与x轴交于点N，___________； ②在上取任意点M，且，如图2，连接，并延长交于N点，___________； （2）类比迁移：如果把抛物线：，经过平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为A，如图3，在上取一点M，连接，并延长交于N点，求的值，并说明理由； （3）变式应用：请根据以上的规律，如果把抛物线：，经过平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为A，在上取一点M，连接，并延长交于N点，请直接写出的结果：___________（用，表示） 【答案】（1）①12，②12 （2）6，理由如下： 联立与可得， 解得， ∴， 抛物线化简得， 设， 设直线，则， 解得， ∴直线 与抛物线联立可得，， 解得或， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①分别令两个函数表达式中的，即可求解，即可求解的值； ②先求出直线的表达式，再与抛物线联立求解，即可求解的值； （2）同第一问的②求解即可； （3）同上求解，注意联立直线与抛物线表达式之后，得到的一元二次方程的两个实数根即为直线与抛物线的两个交点的横坐标，再由韦达定理直接求解即可． 【小问1详解】 解：①对于，令，则， 解得， 即， 对于，令，则， 解得， 即， ∴； ②把代入，可得， ∴， ∵， 设直线，则 解得， ∴直线， 与抛物线联立可得，， 解得或， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由抛物线：可设，交点， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 与抛物线：联立可得，， 整理可得， 由题意得，该方程的两个根即为直线与抛物线的两个交点的横坐标，即， ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学科诊断数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 输送带运输的行李箱 C. 轮船航行时的螺旋桨的转动 D. 商场的扶手电梯载着顾客上下楼 3. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论为（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写“一个根为0，另一个根为正数”的一个一元二次方程：_____________． 8. 抛物线的开口方向是________． 9. 若一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 10. 抛物线与y轴的交点坐标为________． 11. 《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为__________________． 12. 反比例函数的图象经过，，点P在x轴上，点P的横坐标为整数，且是等腰三角形，请写出点P的坐标_______________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥ （1）小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________； （2）请你写出此题正确的解题过程． 15. 已知：如图四边形的四个顶点都在正方形的网格的格点上（网格的单位为1），在边上找到一点P，使为直角： （1）通过计算得出，的长度可能为__________或__________； （2）在上找到点P，请用无刻度直尺作出（只作出其中的一种情况）． 16. 如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，点是中点，反比例函数的图像经过点，并交于点． （1）求的值； （2）求五边形的面积． 17. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中与x轴的交点A为，与y轴的交点B为，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知：如图所示，绕点A，顺时针旋转50°，得到，当E在BC边上时： （1）求证：； （2）连接BD，当时，求的度数． 19. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 20. 某服装店以每件元的价格购进一批T恤，如果以每件元出售，那么一个月内能售出件，根据以往销售经验，销售单价每提高元，销售量就会减少件． （1）当该服装店将销售单价定为元时，那么销售量为________件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 综合与实践 一般地，把抛物线向上（或向下）平移，向左（或向右）平移可以得到抛物线． （1）特殊感知：如果把抛物线：，向右平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为，点M在抛物线上： ①如图1，点M在x轴上，抛物线与x轴交于点N，___________； ②在上取任意点M，且，如图2，连接，并延长交于N点，___________； （2）类比迁移：如果把抛物线：，经过平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为A，如图3，在上取一点M，连接，并延长交于N点，求的值，并说明理由； （3）变式应用：请根据以上的规律，如果把抛物线：，经过平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为A，在上取一点M，连接，并延长交于N点，请直接写出的结果：___________（用，表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $