精品解析：甘肃省天水市第九中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期期中试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 若数列是等比数列，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式将表示出来，然后将的表达式列出来，最后计算对数的值. 【详解】因为数列是等比数列， 则，而. 则. 故选：B. 2. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以. 故选：D. 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差中项的定义及等比数列的通项公式列式计算即得. 【详解】设正项等比数列的公比为，则，， 由成等差数列，得，即，而， 则，解得，所以. 故选：D 4. 已知直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. 或3 B. 2 C. 或5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，可得圆心到直线的距离d，根据条件，结合弦长公式，可得d，联立即可得答案. 【详解】将圆变为标准方程可得， 圆心坐标为，半径为， 设圆心到直线的距离为d，则， 又直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 所以，解得或. 故选：C 5. 已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 6. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：，即，圆心，半径， 两圆的圆心距，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：C 7. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件，结合点在圆外的判定规则建立不等式组，求解得到的取值范围. 【详解】首先，对于圆的一般方程，其表示圆的充要条件为, 所以，由圆的方程为得： ，即，解得, 其次，过点可向圆引两条切线，等价于点在圆外, 对于圆的一般方程，点在圆外的判定条件为, 将代入得，解得, 联立两个不等式的解，可得的取值范围为,即 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的式子相加可得： ， 所以，所以， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对得2分，有选错的得0分）． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. 方程表示的直线过定点 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若方程表示圆，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、直线过顶点、截距式方程以及圆的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，当时，不存在，此时直线方程为，故A错误； 对于B，将代入直线方程，则方程恒成立，故B正确； 对于C，当截距为零时，直线方程为，故C错误； 对于D，由，则，即，解得，故D正确. 故选：AC. 10. 圆和圆的交点为、，则有（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】A构造即可；B构造即可；C利用AB选项求出的递推关系可得，即可计算；D利用裂项相消求和. 【详解】对于A选项，由条件可得，，且， 所以，则数列是首项和公比均为2的等比数列， 故，故A错误； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以，则数列是首项和公比均为1的等比数列， 则，故B正确； 对于C选项，由，可得， 所以，故C正确； 对于D选项，若， 则数列的前项和为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 13. 已知直线，，若，则的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解. 【详解】因为，，， 所以当，即时，，，显然不满足题意； 当，即时，， 由解得或， 当时，，舍去； 当时，，满足题意； 综上：. 故答案为：. 14. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对式子两边同时除以，得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求得结果. 【详解】将两边同时除以，得， ∴，又，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，∴． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设直线和直线的交点为. （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【小问1详解】 由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，．在等比数列中，，， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和为． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可； （2）由分组求和与裂项相消求解即可． 【小问1详解】 因为已知等差数列的前项和为，，，设公差为， 由已知得，，解得， 所以， 即通项公式为； 因为等比数列中，，， 设公比为，所以，所以， 所以， 即通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 18. 记 是数列 的前 项和， ，且数列 是等差数列. （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列 是等差数列先求出，再利用的关系即可求出. （2）先求出，再利用错位相减即可求出数列 的前 项和 . 【小问1详解】 ，，，又，则， 又数列 是等差数列，设其公差为，则， 由等差数列的通项公式可得，即， 当时，， 当时，，上式也成立， 故 的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知， 的通项公式为，， ， 即 ①， 该式两边同乘得， ②， ①②得 ， ， ， . 19. 圆C过点及原点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程： （2）定点，由圆C外一点P向圆C引切线，切点为Q，且满足． ①求点P的轨迹方程； ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可求出圆心和半径，即可求得答案； （2）①设,连接，利用圆的切线性质以及即可求解；②求出C关于直线的对称点，数形结合，根据的几何意义，即可求解. 【小问1详解】 由题意知圆C过点及原点，则线段的垂直平分线方程为， 又圆心C在直线上，则联立，解得，则圆心为， 故半径为, 故圆的方程为； 【小问2详解】 ①设,连接，则， 则，而，即得， 即得， 即点P的轨迹方程为； ②设C关于直线的对称点为， 则，解得，即， 故, 当P点位于上时，等号成立，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 若数列是等比数列，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 已知直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. 或3 B. 2 C. 或5 D. 4 5. 已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 7. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对得2分，有选错的得0分）． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. 方程表示的直线过定点 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若方程表示圆，则 10. 圆和圆的交点为、，则有（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为___________． 13. 已知直线，，若，则的值是___________. 14. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设直线和直线的交点为. （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，．在等比数列中，，， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和为． 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 18. 记 是数列 的前 项和， ，且数列 是等差数列. （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 19. 圆C过点及原点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程： （2）定点，由圆C外一点P向圆C引切线，切点为Q，且满足． ①求点P的轨迹方程； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $