29.1.1 圆的有关概念(课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.1 圆的有关概念 第二十九章 圆 人教版九年级上册 29.1.1 圆的有关概念 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形. 情境导入 骑车运动 思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？ 情境导入 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 探究点1：圆的定义 新知探究 4 甲 丙 乙 丁 为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径. 探究点1：圆的定义 新知探究 · r O A 圆的旋转定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”. 有关概念 固定的端点O叫作圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示． 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 探究点1：圆的定义 新知探究 一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 半径相同，圆心不同 圆心相同，半径不同 确定一个圆的要素 同心圆 等圆 探究点1：圆的定义 新知探究 圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的. 满足什么条件的？ 有间隙吗？ 圆也可以看成是由多个点组成的 到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上吗？ 探究点1：圆的定义 新知探究 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ． （2）到定点的距离等于定长的点都在 ． 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． O · A C E r r r r r D 定长r 同一个圆上 圆的集合定义 想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？ 探究点1：圆的定义 新知探究 例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上. ∴AO=OC= AC，OB=OD= BD. 探究点1：圆的定义 新知探究 弦： · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫作直径． 注意：1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 探究点2：圆的有关概念 新知探究 O A B O A B 探索：圆中最长的弦是什么？为什么？ O A B C C D C D O A B C O A B C D O A B C D 【发现】直径是最长的弦 探究点2：圆的有关概念 新知探究 1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”． 2.直径是圆中最长的弦. · C O A B 连接OC， 在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC， 而AB=2OA，AO=OC，所以AB>AC. 探究点2：圆的有关概念 【归纳总结】 【模型展示】 新知探究 弧: · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 劣弧与优弧 · C O A B 半圆 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ( 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. ( 探究点2：圆的有关概念 新知探究 例2 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; (2)请写出以点A为端点的弦及直径; 弦AF，AB，AC.其中弦AB又是直径. (3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是 ， A B C E F D O 劣弧： 优弧： AF, ( AD, ( AC, ( AE. ( AFE, ( AFC, ( AED, ( AEF. ( AF ( AEF. ( 探究点2：圆的有关概念 新知探究 15 等圆: · C O A 能够重合的两个圆叫做等圆. · C O1 A 容易看出： 等圆是两个半径相等的圆. 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 探究点2：圆的有关概念 新知探究 结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 可见这两条弧不可能完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同 “等弧”要区别于“长度相等的弧” 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10 cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ ︵ ︵ D C A B 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ 探究点2：圆的有关概念 新知探究 例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，求∠ACD的度数. ∴∠ACD=90°－80°=10°. 解：∵∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠B=50°. ∵CD=CB， ∴∠BCD=180°－2×50°=80°. 方法指导：在圆中常利用半径相等得等腰三角形求角度. 探究点3：同圆或等圆中的半径相等 新知探究 【变式】如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°． 求∠AOC的度数． ∴∠AOC=∠C+∠E=60°． 解：如图，连接OD. ∵AB=2DE，AB=2OD， ∴OD=DE. ∴∠DOE=∠E=20°. ∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°. ∵OC=OD， ∴∠C=∠ODC=40°. 连半径，构造等腰三角形 探究点3：同圆或等圆中的半径相等 新知探究 问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . .A . 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 探究点4：点和圆的位置关系 新知探究 问题2：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？ 探究点4：点和圆的位置关系 新知探究 点和圆的位置关系： r P d P r d P r d R r P 点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R 数形结合： 位置关系 数量关系 d 探究点4：点和圆的位置关系 【归纳总结】 新知探究 1.⊙O的半径为10 cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8 cm、10 cm、12 cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系分别是：点A在 ；点B在 ；点C在 . 练一练： 圆内 圆上 圆外 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2.若OP= ，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 o D 探究点4：点和圆的位置关系 新知探究 1.画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的( ) A.直径 B.半径 C.周长 D.面积 B 随堂练习 2.[新课标—数学文化题]战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为　 　.  　圆心　 3.若☉O的半径为3，OA＝2，则点A与☉O的位置关系是( ) A.点A在☉O内 B.点A在☉O上 C.点A在☉O外 D.不能确定 A 4.已知☉O的半径为5，点P在☉O外，则OP的长可能是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D 5.若☉O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则☉O的半径r可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D 6.已知☉O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为(3，4)，则点P在☉O　 　.(填“内”“外”或“上”)  　外　 7.已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是( ) A.2 B.4 C.8 D.10 D 8.[2024·阜阳太和期中]下列说法正确的是( ) A.经过圆心的线段是直径 B.直径是同一个圆中最长的弦 C.长度相等的两条弧是等弧 D.弧分为优弧和劣弧 B 9.[易错题]如图，图中有　 　条直径，有　 　条弦，以A为端点的劣弧有　 　条，以C为端点的优弧有　 　条. 　3　 　2　 　2　 　1　 10.如图，下列说法中正确的是　 　.(填序号)  ①线段AB，AC，CD都是☉O的弦； ②线段AC经过圆心O，线段AC是直径； ③AD＝BD； ④弦AB把圆分成两条弧，其中是劣弧. 　②　 11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心、BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E.若∠A＝25°，求∠DCE的度数.   解：∠DCE＝40°. 12.M，N是☉O上两点，已知OM＝4，那么一定有( ) A.MN＞8 B.MN＝8 C.MN＜8 D.MN≤8 D 13.《左传》中记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆.对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具.生活中，车轮通常的形状是圆形.下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳(不上下颠簸)行驶的是　 　.(填序号)  ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上. 　②③　 14.如图，在☉O中，AB为直径，CD⊥AB于点C，四边形CDEF是正方形，连接BD.若OC＝3，OF＝1，则BD的长为　 　.  4 15.[教材P116练习第4题改编]如图，BD，CE是△ABC的高，M为BC的中点.试说明点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上.   解：连接ME，MD. ∵BD，CE是△ABC的高，M为BC的中点， ∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC， ∴由圆的定义可知点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上. 16.[教材P144复习题29第5题改编](1)如图，AB是☉O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么☉O的周长L＝πa. 探究：①如图1，把AB分成两条相等的线段，每个 小圆的周长L2＝πa＝L； ②如图2，把AB分成三条相等的线段，每个小圆的 周长L3＝  　＝  　；  图1　 图2　 πa L ③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝  　＝  　；  …… ④如图3，把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝  　＝  　.  图3 图1　 图2　 πa L πa L (2)应用：如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆.有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( )  A.猫先到达B地 B.老鼠先到达B地 C.猫和老鼠同时到达B地 D.无法确定 C (3)拓展：请仿照上面的探索方法和步骤，计算并推导出：当把大圆直径平均分成n等份时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S之间的关系是　 　. Sn＝S 圆 定义 旋转定义 要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径 集合定义 同圆半径相等 有关概念 弦（直径） 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 半圆 优弧 同心圆 等圆 同圆 等弧 能够互相重合的两段弧 劣弧 点和圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 点P在圆环内 r≤d≤R R r P d 课堂小结 $